16. Pole magnetyczne, indukcja
Wybór i opracowanie Marek Chmielewski
16.1.
Znaleźć indukcje pola magnetycznego w odległości r od nieskończone długiego
przewodnika walcowego o promieniu przekroju poprzecznego a w którym płynie prąd I.
r
B
i
16.2.
Wyznaczyć indukcję pola magnetycznego wytworzonego przez prąd o natężeniu i płynący
przez nieskończenie długi przewodnik zgięty pod kątem prostym:
a) W punkcie A leżącym w płaszczyźnie przewodnika odległym od jego końca o odległość h, na
przedłużeniu jednego z ramion przewodnika (rys)
b) W punkcie C odległym o h od osi przewodnika, leżący pod kątem
α
do osi jednego z ramion
przewodnika.
C
A
α
i
16.3.
Jednorodnie naładowana ładunkiem Q cienka tarcza o promieniu R, obraca się z prędkością
kątową
ω
dookoła swojej osi. Znaleźć wartość indukcji pola magnetycznego w jej geometrycznym
środku.
ω
R
B
16.4.
Wyznaczyć wartość indukcji pola magnetycznego wewnątrz nieskończonego solenoidu, w
którym na l jego długości przypada N ciasno ułożonych zwojów w których płynie prąd I.
l
N
I
16.5.
Wyznaczyć wartości gęstości energii pola magnetycznego wewnątrz nieskończonego
solenoidu o promirniu R, gęstości liniowej zwojów n, przez który płynie prąd i.
16.6.
Dwa zwoje drutu o promieniu R ustawionych tak jak na rysunku odległych o d tak, że ich
osie symetrii się pokrywają. W solenoidach płyną prądy I w tym samych kierunkach. Wyznaczyć
wartość indukcji pola magnetycznego na osi łączącej obydwa zwoje w zależności od odległości
pomiędzy zwojami.
d
R
I
I
R
16.7.
Elektron porusza się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B po linii śrubowej o
promieniu R i skoku h, wyznaczyć wartość prędkości elektronu.
h
R
B
16.8.
W taśmie metalowej o szerokości a i grubości d płynie prąd I. Taśma znajduje się w
jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Obliczyć różnicę potencjałów między punktami A
i C taśmy, jeżeli wiadomo, że w jednostce objętości materiału z jakiego zrobiona jest taśma,
znajduje się n elektronów na jednostkę objętości.
16.9.
Dany jest jednorodny pierścień o promieniu r i oporze R. W dwóch dowolnych punktach A i
B tego pierścienia przyłączono dwa długie przewody, tak by ich kierunki tworzyły przedłużenia
promieni tego pierścienia, zasilane ze źródła o napięciu U. Obliczyć indukcję magnetyczną w
środku pierścienia.
16.10.
Wzdłuż osi cienkościennej rury biegnie prostoliniowy przewód. Prąd I płynący w rurze
wraca przewodem do źródła. Wyznaczyć wielkość indukcji pola magnetycznego jako funkcję
odległości od środka rury.
i
i
U
16.11.
Pręt o długości l i masie m położono na dwóch równoległych szynach nachylonych pod
kątem
α
do poziomu. Szyny znajdują się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B,
skierowanym prostopadle do poziomu. Znaleźć prędkość ruchu pręta w przypadku gdy szyny nie
są połączone oraz w przypadku, gdy szyny są zwarte na jednych końcach oporem R. Przyjąć, że
pręt może ślizgać się bez tarcia oraz że opór pręta i szyn można zaniedbać.
16.12.
Na dwóch równoległych poziomych szynach położono pręt o oporze R, długości l i masie m.
Szyny są połączone ze źródłem napięcia U i znajdują się na całej swojej długości w jednorodnym
polu magnetycznym, indukcji B, skierowanej prostopadle do szyn. Współczynnik tarcia pręta o
szyny wynosi
µ
. Jaka będzie maksymalna prędkość pręta?
16.13.
Dwie równoległe, poziome szyny są połączone kondensatorem o pojemności C. Na szynach
położono pręt o długości l i masie m. Z jakim przyspieszeniem a będzie poruszał się pręt, jeżeli
działa na niego zewnętrzna siła pozioma F oraz jednorodne pole magnetyczne B wszędzie
prostopadłe do pręta i do płaszczyzny ruchu.
16. Rozwiązania
r
i
B
i
r
B
i
dl
B
const
B
Bdl
l
d
B
l
d
B
i
l
d
B
π
µ
µ
π
µ
µ
2
2
0
0
0
0
=
=
=
=
=
⇒
=
∫
∫
r
r
r
r
r
r
16.1.R. Korzystamy z prawa Ampera
r
dl
B
i
16.2.R. a) Korzystamy z prawa Biota-Savarta. Każdy z odcinków przewodu potraktujemy oddzielnie, a
wynik końcowy uzyskamy z superpozycji uzyskanych wyników cząstkowych.
β
π
µ
β
β
π
µ
π
µ
3
2
0
2
0
3
0
sin
4
sin
sin
4
4
h
dl
i
dB
h
r
r
dl
i
dB
r
r
l
d
i
B
d
=
=
=
×
=
r
r
r
B
i
dl
r
β
α
d
h
l
β
β
β
β
d
h
dl
tg
h
l
l
h
tg
2
sin
−
=
=
=
h
i
d
h
i
B
d
h
i
B
d
h
i
dB
π
µ
β
β
π
µ
β
β
π
µ
β
β
π
µ
π
π
4
sin
4
sin
4
sin
4
0
2
0
0
0
2
0
0
∫
∫
=
=
−
=
−
=
Dla drugiej części przewodu punkt A leży dokładnie na jego przedłużeniu a więc wektor dl jest zawsze
równoległy do wektora r.
0
0
4
0
3
0
=
⇒
=
×
=
≡
×
⇒
B
r
r
l
d
i
B
d
r
l
d
r
l
d
r
r
r
r
r
r
r
π
µ
Wynik końcowy jest równy jest zatem:
Jest to dokładnie połowa wartości uzyskanej w
pierwszym zadaniu.
h
i
B
π
µ
4
0
=
b) Analogicznie jak w punkcie a) rozpatrujemy każdą z półprostych osobno i tak ja w punkcie poprzednim
wykorzystamy prawo Biota Savarta.
Dla pierwszej półprostej
h=h’=hsin
α oraz górna
granica całkowania to
α.
W wyniku uzyskujemy:
C
α
i
h'
h
(
)
α
α
π
µ
β
β
α
π
µ
α
cos
1
sin
4
sin
sin
4
0
0
0
1
−
=
=
∫
h
i
d
h
i
B
C
π/2−α
i
h'
h
Dla drugiej półprostej h’=hsin(
π/2-α)=hcosα i
całkujemy od
π/2-α do 0 (zgodnie z
kierunkiem prądu dla pierwszej półprostej). W
wyniki uzyskujemy
(
)
α
α
π
µ
β
β
α
π
µ
α
π
sin
1
cos
4
sin
cos
4
0
0
2
0
1
−
=
=
∫
−
h
i
d
h
i
B
Wynik końcowy to B=B
1
+B
2
16.3.R.
Podzielimy
całą tarcze na pierścienie o promieniu r i grubości dx. Określimy wartość
indukcji pola magnetycznego dB
x
od ładunku przemieszczającego się wraz z pierścieniem.
x
di
dB
x
x
i
dl
x
di
dB
dlx
x
l
d
x
l
d
x
x
l
d
di
dB
d
x
l
x
x
2
2
1
4
1
4
4
)
(
0
2
0
2
0
3
0
µ
π
π
µ
π
µ
π
µ
=
=
=
=
×
⇒
⊥
×
=
∫
r
r
r
r
r
r
ω
x
dx
dl
dBx
xdx
R
Q
dq
π
π
2
2
=
W czasie t = T przez przekrój dx przemieści się ładunek
dt
dq
i
=
T
dq
di
=
czyli przepłynie prąd
xdx
R
Q
xdx
R
Q
di
T
2
2
2
2
2
π
ω
ω
π
π
π
ω
π
=
=
⇒
=
dx
R
Q
x
R
Qxdx
dB
x
2
0
2
0
2
2
π
ω
µ
π
ω
µ
=
=
R
Q
B
dx
R
Q
B
R
π
ω
µ
π
ω
µ
2
2
0
0
2
0
∫
=
⇒
=
16.4.R.
Korzystamy z prawa Ampera
i
l
d
B
l
0
µ
=
∫
r
r
i
A
B
C
D
L
Założenia:
- nieskończona długość solenoidu,
- wewnątrz jednorodne pole magnetyczne B
- na zewnątrz wartość indukcji pola magnetycznego wynosi 0
4
3
2
1
0
∫
∫
∫
∫
∫
=
+
+
+
=
A
D
D
C
C
B
B
A
Ni
l
d
B
l
d
B
l
d
B
l
d
B
l
d
B
µ
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
1
-
⊥ d
B
∫
=
⇒
B
A
l
d
B
l
0
r
r
r
r
2
-
⇒
=
B 0
∫
=
C
B
l
d
B
0
r
r
r
i
l
N
B
Ni
Bl
µ
µ
=
=
0
3
-
⊥ d
B
∫
=
⇒
D
C
l
d
B
l
0
r
r
r
r
4 -
∫
=
⇒
=
A
D
Bl
l
d
B
const
B
r
r
16.5.R.
W celu wyznaczenia energii posłużymy się indukcyjnością nieskończonego solenoidu.
Korzystając z prawa Faradaya
dt
di
L
U
−
=
Dla
części środkowej długiego solenoidu (
dt
d
U
B
Φ
−
=
gdzie
Φ
B
jest strumieniem pola
magnetycznego ) wypadkowy strumień przechodzi przez N zwojów dlatego
Li
N
dt
di
L
dt
d
N
U
B
B
=
Φ
⇒
−
=
Φ
−
=
2
2
R
nlB
R
NB
N
B
π
π
=
=
Φ
Indukcja pola magnetycznego wewnątrz solenoidu wynosi (patrz poprzednie zadanie)
ni
B
0
µ
=
2
2
0
R
l
n
i
N
L
B
π
µ
=
Φ
=
2
2
0
R
il
n
N
B
π
µ
=
Φ
Lidi
dE
dt
di
Li
dt
dE
P
dt
di
Li
i
U
P
dt
di
L
U
U
B
B
m
m
=
=
=
=
=
⇒
=
=
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
i
n
R
l
i
D
l
n
R
l
E
V
E
e
i
R
l
n
i
L
E
B
B
B
B
µ
π
π
µ
π
π
µ
=
=
=
=
=
=
Łatwo można zauważyć, że dla składowej indukcji pola magnetycznego B wynik podobnej
kalkula
2
2
2
0
0
2
2
2
0
HB
e
H
B
B
i
n
e
B
B
=
=
=
=
µ
µ
µ
Dodatkowo w powietrzu
16.6.R.
Rozpatrzymy pojedynczy zwój.
α
α
π
µ
cos
sin
ˆ
ˆ
4
3
0
B
d
B
d
B
d
dB
y
dB
x
dB
B
d
B
d
B
d
r
r
l
d
i
B
d
yz
x
y
x
yz
x
r
r
r
r
r
r
r
r
r
=
=
+
=
+
=
×
=
2
0
4
r
dl
i
B
d
r
l
d
π
µ
=
⇒
⊥
r
r
r
2
2
2
2
sin
R
x
R
R
x
r
tg
R
x
x
R
tg
+
=
+
=
=
⇒
=
α
α
α
R
dl
r
i
dB
dB
dB
x
yz
α
α
x
∫
+
=
⇒
+
=
l
x
X
dl
R
x
R
i
B
dl
R
x
R
i
dB
2
3
2
2
0
2
3
2
2
0
4
4
π
µ
π
µ
2
3
2
2
0
2
3
2
2
0
2
2
4
R
x
R
R
x
B
x
+
=
+
=
π
π
2
iR
R
i
µ
µ
y
cji daje dokładnie zero. Ze względu na symetrię kołową, dodając wektory, o tej samej długości,
rozmieszczone na okręgu możemy wykazać zerowanie się składowej wypadkowej indukcji pola
magnetycznego B
yz
.
Y
Z
dB
yz1
-dB
yz1
dB
yz2
-dB
yz2
d
R
i
i
R
0
d
X
(
)
2
3
2
2
2
0
2
3
2
2
2
0
2
2
R
d
x
iR
R
x
iR
B
w
x
w
+
−
+
+
=
µ
µ
B
B
=
16.7.R.
lektron
będzie poruszał się po linii śrubowej, gdy jego prędkość będzie skierowana pod kątem
α
V
x
– prędkość stała odpowiedzialna za skok linii śrubowej
la magnetycznego
Pole magnetyczne na składową V
y
działa dokładnie w sposób jaki można opisać za pomocą siły
Działa siła pola magnetycznego F
to siła doś
6.8.R.
a poruszające się ładunki działa siła
E
do B.
V
y
– prędkość prostopadłą do kierunku wektora indukcji po
dośrodkowej
l
r
r
r
r
r
rodkowa czyli
R
F
y
d
=
F
l
– jest
1
N
r
B
V
e
F
B
×
=
[
]
2
2
2
2
2
1
2
1
,
ˆ
ˆ
2
2
+
=
+
=
+
=
=
+
=
=
=
=
=
⇒
=
R
h
m
qBR
R
h
V
V
V
V
V
V
V
y
V
x
V
V
R
hV
V
V
R
T
T
h
V
m
qBR
V
B
qV
R
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
y
π
π
π
π
r
r
r
2
mV
żnicy napięć pomiędzy punktami A i C.
ępnie powoduje powstanie pola elektrycznego, przeciwnie skierowanego do
siły pola magnetycznego
V
V
x
y
B
α
V
B
qV
F
B
V
B
V
q
F
y
l
y
y
l
2
mV
=
⇒
⊥
×
=
r
r
Po woduje ona powstanie ró
To napięcie nast
e
E
F
E
r
r
=
B
Ze wzglę
w
du na analogie z kondensatorem płaskim U=aE
y teraz wyznaczyć prędkość unoszenia elektronów V
łkowity ładunek przepływający przez powierzchnię
a
A
-
V
F
i
B
F
E
d
C
W stanie równowagi wypadkowa
artość siły wynosi 0
B
V
e
E
e
F
F
B
E
r
r
r
×
=
=
+
0
0
VB
eE
F
F
B
E
r
r
=
−
E
eVB
=
⇒
=
aVB
U
=
Należ
W czasie
∆t elektrony pokonają drogę V
∆t, ca
S=ad, wynosi
∆Q=neV∆tad
ned
nead
neVa
t
Q
i
=
iB
aVB
U
i
V
d
AC
=
=
=
⇒
6.9.R.
1
ola magnetycznego w środku okręgu
ie drugie punkt b)
∆
∆
=
Przewody doprowadzające prąd nie powodują
powstania p
(patrz zadan
W pierścieniu popłyną dwa różne prądy, każdy z
ytworzy pole magnetyczne w środku
Napięcie powstające pomiędzy punktami A i C nosi nazwę napięcia Halla
nich w
Biotta-Savarta wyznaczymy wartość indukcji
pola magnetycznego w środku pierścienia
L
R
L
R
U
i
R
U
i
2
1
1
2
1
1
ρ
=
=
=
=
2
2
ρ
S- pole przekroju przewodnika
pierścienia.
Wyznaczymy te prądy i na podstawie prawa
S
S
R
3
0
1
1
4
r
l
d
r
r
l
d
i
B
d
S
L
U
i
π
µ
ρ
⊥
×
=
=
r
r
r
v
r
2
1
0
1
2
1
0
4
4
1
dl
r
L
US
B
r
dl
L
US
L
πρ
µ
πρ
µ
=
∫
U
A
L
1
B
r
L
i
i
1
2
2
2
1
4 r
πρ
0
1
US
B
dB
µ
=
=
⇒
2
0
2
4 r
US
B
πρ
µ
=
Analogiczne obliczenia dla odcinka L
2
pozwalają uzyskać następujący wynik
Wartości indukcji pochodzących od różnych odcinków pierścienia mają tą samą wartość. Ze
względu na różnicę w kierunkach prądów płynących w obu odcinkach pierścienia, wartości indukcji
pola magnetycznego różnią się znakami. Wypadkowa wartość pola magnetycznego wynosi zatem
0, bez względu na miejsca podłączenia przewodów tj. umieszczenia punktów A i B.
16.10.R.
Wykorzystamy prawo Ampera. Pole
magnetyczne pomiędzy pierścieniami
wytwarzać będzie tylko prąd płynący w
B
dl
∫
6.11.R.
l
1
α
mg
F
x
F
l
F
y
R
B
F
lx
l
pierścieniu wewnętrznym
l
d
B
i
l
d
B
l
R<x<R
Dla x=const ; B=const
i
x
B
i
dl
B
µ
π
µ
2
0
0
=
=
∫
r
r
r
r
=
0
µ
x
i
B
π
µ
2
0
=
⇒
Gdy szyny nie są połączone rezystorem R wtedy działa tylko siła grawitacji (F
l
=0) i pręt będzie poruszał
się ruchem jednostajnie przyspieszonym o wartości przyspieszenia a=gsin
α z prędkością początkową
V
0
=0 z pozycji początkowej x
0
=0. Równanie ruchu będzie miało następującą postać:
R
r
X
2
sin
)
(
2
)
(
0
0
g
t
x
x
t
V
a
t
x
α
=
+
+
=
Gdy połączymy szyny rezystorem R w obwodzie, ze względu na prawo indukcji Fara
2
2
t
t
daya, popłynie
prąd i wytworzy się siła oddziaływania pola magnetycznego F
l
działająca przeciwnie do siły
ściągającej pochodzą
z przyspieszeniem
cej od pola grawitacyjnego. Pręt będzie poruszał się
równoważenia się sił ściągającej i sił
ruchem jednostajnym. Osiągnie zatem prędkość mak
jednostajnie zmiennym do chwili z
y Lorenza. W dalszej części
będzie poruszał się
symalną.
α
cos
ilb
F
ilB
F
B
i
B
i
l
F
lx
l
l
=
=
⇒
⊥
×
=
lVB
Blx
dt
d
dt
d
B
−
=
−
=
Φ
−
=
ε
inus oznacza polaryzacje powstającej różnicy potencjałów, w naszym przypadku w celu wyznaczenia
rądu p ynącego przez pręt został on już uwzględniony przy kierunku działania siły pola magnetycznego.
r
r
r
r
r
M
p
ł
ypadkowa wartość siły zsuwające
ącą postać:
które umożliwia pełny
pis ruchu pre
oż
unek znikania siły
ypadkowej j
j działającej na pręt ma następuj
R
R
i
lVB
α
cos
=
=
lVB
U
U
α
W
cos
sin
cos
cos
sin
2
2
2
−
=
−
=
−
=
α
α
α
α
α
B
Vl
mg
lVB
lB
mg
F
F
F
lx
x
cos
=
0
sin
cos
sin
2
2
2
=
−
=
α
α
g
dt
dx
cos
2
2
2
2
2
2
2
+
⇒
−
α
α
B
l
dt
x
d
V
R
B
l
Rm
mg
dt
x
d
m
R
R
ozwiązanie uzyskanego równania różniczkowego jest równaniem ruchu x=x(t)
R
o
ta.
na w sposób prosty wyznaczyć maksymalną szybkość poruszania się pręta. War
est warunkiem poruszania się ze stałą prędkością V
max
.
α
α
2
2
2
sin
cos
Rmg
B
l
V
M
w
α
2
2
2
cos
B
l
R
α
max
max
0
sin
V
16.12.R.
przeciw
ilB
F
i
B
nie skierowane do zewnętrznego.
R
R
lBV
U
ind
=
mg
=
⇒
=
−
W
siła przesuw
Z drugiej strony pojawi się napięcie indukowane
wyniki przepływu prądu pojawi się
ająca pręt w poziomie F
l
B
l
=
⇒
⊥ r
r
Dlatego
F
t
F
l
mg
µ
mg
R
lBV
U
−
−
lB
F
F
F
i
t
l
w
ind
w
lBV
U
U
U
−
−
=
−
=
=
=
Prę
omentu gdy F
w
=0
t przyspiesza do m
max
R
mg
U
V
mg
U
lB
µ
µ
−
=
⇒
=
max
lBV
−
2
2
l
B
Bl
R
16.13.R.
ącej siły F to powstaje siła elektromotoryczna indukcji:
, przyrost powstającego napięcia wynosi
Gdy
pręt porusza się pod wpływem działaj
BlV
ind
=
V
Bl
U
ind
∆
=
∆
el
U
.
Zmiana
napięcia indukowanego umożliwi przepływ prądu przez kondensator.
Pojawi się zatem siła elektrodynamiczna
a
l
CB
ilB
F
2
2
=
=
przeciwnie skierowana do F
Na pręt będzie działać siła wypadkowa o wartości
F
F
F
−
=
el
w
CBla
t
V
CBl
i
t
Q
i
C
Q
U
C
Q
U
=
∆
∆
=
⇒
∆
∆
=
∆
=
∆
⇒
=
2
2
l
CB
m
2
2
F
a
a
l
CB
F
ma
F
w
+
=
⇒
−
=
=