MK-8
DRGANIA POPRZECZNE STRUNY
Zadanie przykładowe
Znaleźć przybliżone rozwiązanie równanie drgań poprzecznych struny zamocowanej nieruchomo na
końcach z dokładnością do 50 form drgań. Przyjąć następujące dane: długość l = 1 [m], gęstość liniowa
ρ =0.1 [kg/m], naciąg T = 1000 [N], oraz warunki początkowe
(
)
x
l
x
x
w
x
w
−
=
=
)
(
)
0
,
(
0
,
0
)
(
)
,
(
0
0
=
=
∂
∂
=
x
v
t
t
x
w
t
.
Rozwiązanie przedstawić jako animację.
Równanie drgań poprzecznych struny ma postać
0
)
,
(
)
,
(
2
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
t
x
w
v
t
t
x
w
gdzie
ρ
=
T
v
2
Rozwiązanie powyższego równania zawierające n form drgań jest następujące
( ) ( )
∑
=
⋅
=
n
i
i
i
t
T
x
X
t
x
w
1
)
,
(
gdzie
( )
=
l
x
i
x
X
i
π
sin
oznaczają formy drgań struny zamocowanej nieruchomo na końcach, a
( )
( )
( )
t
B
t
A
t
T
i
i
i
i
i
ω
ω
sin
cos
+
=
. A
i
, B
i
to stałe wyznaczane z warunków początkowych,
ω
i
jest częstością
drgań, którą można wyznaczyć ze wzoru
i
l
v
i
π
ω
=
. W przypadku, gdy prędkość początkowa struny
równa jest zeru stałe B
i
= 0, i = 1..n.
Rozwiązanie zadania w Maple’u
Dane
> restart:
> l:=1;T:=1000;rho:=1/10;
> v:=sqrt(T/rho);
funkcje definiujące formy i częstości drgań
> X:=(x,i)->sin(Pi*i*x/l);
> omega:=i->v/l*Pi*i;
> n:=50;
# liczba określająca ilość form własnych w rozwiązaniu
warunek początkowy
> w0:=x->x*(l-x);
> plot(w0(x),x=0..l);
wyznaczanie stałych A
i
> for i to n do
A[i]:=evalf(Int(w0(x)*X(x,i),x=0..l))/evalf(Int(X(x,i)^2,x=0..l));
p[i]:=plot([[i,0],[i,A[i]]]):
end do:
> plots[display](seq(p[i],i=1..n));
# wykres widma stałych A
i
