Teoria liczb 2010, sem.IV,

B.Bajorska, O.Macedońska

Wykład 7.

Równanie Pitagorasa

Definicja 1. (1) Równanie postaci X

2

+ Y

2

= Z

2

o niewiadomych X, Y, Z

nazywamy równaniem Pitagorasa.

(2) Każdą trójkę liczb naturalnych spełniającą równanie Pitagorasa na-

zywamy trójką pitagorejską. Jeśli trójka pitagorejska składa się z liczb
względnie pierwszych, to nazywamy ją właściwą trójką pitagorejską.

(3) Trójkąt, którego długości boków tworzą (właściwą) trójkę pitagorejską

nazywamy (właściwym) trójkątem pitagorejskim.

Przykład Trójka 3, 4, 5 jest trójką pitagorejską, bo 3

2

+ 4

2

= 5

2

. Jest

to trójka właściwa ponieważ NW D(3, 4, 5) = 1. Trójkąt o bokach długości
3, 4, 5 jest właściwym trójkątem pitagorejskim. Trójka 6, 8, 10 jest również
trójką pitagorejską, ale nie właściwą, ponieważ NW D(6, 8, 10) = 2. Trójkąt
o bokach długości 6, 8, 10 jest trójkątem pitagorejskim.
Uwaga 1 Trójki pitagorejskie są uporządkowanymi trójkami liczb - z reguły
po zmianie kolejności przestają być pitagorejskie. Jedynym wyjątkiem jest
zamiana pierwszych dwóch liczb – jeśli x, y, z jest trójką pitagorejską, to
y, x, z również.
Uwaga 2 Jeśli x, y, z jest trójką pitagorejską, to rozwiązaniami całkowitymi
równania Pitagorasa są również wszystkie trójki liczb postaci ±x, ±y, ±z
(układ znaków dowolny).

Lemat 1. Każda trójka pitagorejska jest naturalną wielokrotnością pewnej
trójki właściwej.

Dowód. Niech x, y, z będzie trójką pitagorejską i niech NW D(x, y, z) = d.
Wtedy istnieją liczby naturalne x

1

, y

1

, z

1

takie, że x = dx

1

, y = dy

1

, z = dz

1

oraz NW D(x

1

, y

1

, z

1

) = 1 (Wykład 3, Wn.3, Lem.3). Ponadto, dzieląc obu-

stronnie równość x

2

+ y

2

= z

2

przez d

2

, otrzymujemy x

2

1

+ y

2

1

= z

2

1

, zatem

x

1

, y

1

, z

1

jest właściwą trójką pitagorejską, a x, y, z jest jej naturalną wielo-

krotnością.

Twierdzenie 1 (Pitagoras). Istnieje nieskończenie wiele właściwych trójek
pitagorejskich.

Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego naturalnego n mamy

(2n

2

+ 2n + 1)

2

= (2n

2

+ 2n)

2

+ 2(2n

2

+ 2n) + 1 = (2n

2

+ 2n)

2

+ (2n + 1)

2

,

zatem liczby postaci 2n + 1, 2n

2

+ 2n, 2n

2

+ 2n + 1 tworzą trójki pitagorej-

skie. Ponieważ dwie ostatnie różnią się o 1, to są względnie pierwsze, a więc
wszystkie trzy są względnie pierwsze. Zatem są to trójki właściwe i jest ich
nieskończenie wiele.

1

Udowodnimy najpierw cztery lematy potrzebne do następnego twierdzenia.

Lemat 2. Niech d, z będą niezerowymi liczbami całkowitymi. Jeśli d

2

|z

2

, to

d|z.

Dowód. Aby udowodnić, że d|z wystarczy pokazać, że NW D(d, z) = d.
Jeśli NW D(d, z) = t, to dla pewnych całkowitych liczb a, b mamy z = at, d =
bt, N W D(a, b) = 1 (Wykład 3, Wn.3). Ponadto z warunku d

2

|z

2

wynika, że

dla pewnego całkowitego k mamy z

2

= kd

2

. Zatem

a

2

t

2

= kb

2

t

2

=⇒ a

2

= kb

2

=⇒ b|a

2 L.Eukl.

=⇒ b|a,

a więc b = NW D(a, b) = 1. Stąd b = 1, a więc d = t = NW D(d, z).

Lemat 3. Trójka pitagorejska x, y, z jest właściwa wtedy i tylko wtedy, gdy
NW D(x, y) = 1. To znaczy

NW D(x, y, z) = 1 ⇐⇒ NW D(x, y) = 1.

Dowód. Jeśli NW D(x, y) = 1, to oczywiście NW D(x, y, z) = 1, zatem
trójka jest właściwa.

Odwrotnie, z faktu, że trójka x, y, z jest właściwa, czyli NW D(x, y, z) = 1

mamy wywnioskować, że NW D(x, y) = 1. Niech NW D(x, y) = d, wtedy
d|x, d|y, a więc mamy d

2

dzieli x

2

, y

2

, a stąd d

2

|(x

2

+ y

2

), czyli d

2

|z

2

. Z

Lematu 2 mamy d|z. A więc d dzieli NW D(x, y, z), czyli d|1. a stąd d = 1
co kończy dowód.

Lemat 4. Jeśli x, y, z jest właściwą trójką pitagorejską, to liczby x, y są
różnej parzystości, a z jest liczbą nieparzystą.

Dowód. Zauważmy najpierw, że kwadrat liczby parzystej jest postaci 4k, a
kwadrat liczby nieparzystej postaci 4k + 1.

Z Lematu 3 wynika, że liczby x, y nie mogą być jednocześnie parzyste.

Załóżmy, że x, y są nieparzyste. Stąd x

2

= 4r + 1, y

2

= 4s + 1 dla pewnych

r, s. Wtedy z

2

= 4(r + s) + 2, co jest niemożliwe, bo kwadraty są postaci 4k

lub 4k + 1. Tak więc x, y są różnej parzystości i ich kwadraty też. Wtedy
z

2

= 4k + 1 dla pewnego k, a więc z jest liczbą nieparzystą.

Lemat 5. Niech a, b, c będą liczbami naturalnymi. Jeśli c

2

= ab oraz

NW D(a, b) = 1, to istnieją liczby naturalne m, n takie, że a = n

2

, b = m

2

.

Dowód. Zapiszmy liczby a, b, c w postaci kanonicznej (Wykład 6, Wn.1)

a =

Y

p

i

∈P

p

k

i

i

,

b =

Y

p

i

∈P

p

j

i

i

,

c =

Y

p

i

∈P

p

t

i

i

,

przy czym prawie wszystkie liczby k

i

, j

i

, t

i

są równe 0, a P jest uporządkowa-

nym rosnąco zbiorem liczb pierwszych.

Z równości c

2

= ab mamy

Y

p

i

∈P

p

k

i

+j

i

i

=

Y

p

i

∈P

p

2t

i

i

2

Ponieważ NW D(a, b) = 1, to wykładniki k

i

, j

i

nie mogą być równocześnie

różne od 0, więc z Podstawowego Twierdzenia Arytmetyki (Wykład 6, Tw.1)
wynika, że dla każdego i albo k

i

= 2t

i

albo j

i

= 2t

i

. Zatem wszystkie

wykładniki w postaciach kanonicznych liczb a, b są parzyste, a więc liczby

n :=

Y

p

i

∈P

p

ki

2

i

,

m :=

Y

p

i

∈P

p

ji

2

i

są naturalne oraz a = n

2

, b = m

2

.

Twierdzenie 2 (Postać właściwych trójek pitagorejskich). Jeśli x, y, z jest
właściwą trójką pitagorejską taką, że y jest liczbą parzystą, to istnieją względ-
nie pierwsze liczby naturalne m, n o różnej parzystości, przy czym m > n,
takie, że

x = m

2

− n

2

,

y = 2mn,

z = m

2

+ n

2

.

Dowód. Jeśli x, y, z jest trójką pitagorejską (liczby są naturalne oraz z > x),
to

y

2

= z

2

− x

2

= (z − x)(z + x).

Ponieważ y jest parzyste, to y = 2c dla pewnego naturalnego c. Wobec tego
z Lematu 4 wynika, że x, z są nieparzyste, a zatem 2|z ± x, czyli dla pewnych
naturalnych a, b, a < b, mamy

z − x = 2a, z + x = 2b.

Zatem mamy

b + a = z, b − a = x.

Pokażemy najpierw, że NW D(a, b) = 1. Jeśli NW D(a, b) = d, to d|a, d|b

i z Własności 8 (Wykład 2, Tw.1) mamy

d|b + a =⇒ d|z oraz d|b − a =⇒ d|x.

Zatem oczywiście d

2

|z

2

, d

2

|x

2

, a stąd

d

2

|z

2

− x

2

=⇒ d

2

|y

2 Lem.2

=⇒ d|y.

Ponieważ x, y, z jest trójką właściwą oraz d|x, d|y to z Lematu 3 wynika, że
d = 1, a stąd mamy NW D(a, b) = 1.

Z równości y

2

= (z − x)(z + x) mamy c

2

= ab, a z Lematu 5 wynika, że

istnieją liczby naturalne m, n takie, że a = n

2

, b = m

2

, wobec tego

z = b + a = m

2

+ n

2

,

x = b − a = m

2

− n

2

,

i dalej mamy

c

2

= ab = n

2

m

2

=⇒ c = mn oraz y = 2c = 2mn.

3

Ponieważ x = m

2

− n

2

= (m − n)(m + n) oraz x jest nieparzystą liczbą

dodatnią, to obie liczby m ± n muszą być nieparzyste i dodatnie, co z kolei
oznacza, że liczby m, n muszą być różnej parzystości oraz m > n.

Pozostaje jeszcze pokazać, że NW D(m, n) = 1. Jeśli NW D(m, n) = d,

to d|m, d|n, skąd oczywiście wynika, że d

2

|m

2

, d

2

|n

2

i mamy

d

2

|m

2

− n

2

=⇒

d

2

|x

oraz

d

2

|2mn

=⇒

d

2

|y.

Zatem d

2

|NW D(x, y). Ponieważ z Lematu 3 mamy NW D(x, y) = 1, to

d = 1, co kończy dowód twierdzenia.

Poniższe twierdzenie jest niejako odwrotne do Twierdzenia 2.

Twierdzenie 3. Każda trójka liczb naturalnych x, y, z postaci:

x = m

2

− n

2

,

y = 2mn,

z = m

2

+ n

2

,

gdzie m, n są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi o różnej parzystości
takimi, że m > n, jest właściwą trójką pitagorejską.

Dowód. Ponieważ (m

2

− n

2

)

2

+ (2mn)

2

= (m

2

+ n

2

)

2

, to x, y, z jest trójką

pitagorejską. Aby udowodnić iż jest to trójka właściwa, wystarczy pokazać,
że NW D(x, z) = 1, bo wtedy także NW D(x, y, z) = 1.

Jeśli NW D(x, z) = d, to w szczególności

d|x =⇒ d|m

2

− n

2

oraz d|z =⇒ d|m

2

+ n

2

,

i na podstawie Własności 8 (Wykład 2, Tw.1) mamy

d|z + x =⇒ d|2m

2

oraz d|z − x =⇒ d|2n

2

.

Ponieważ z założenia jedna z liczb m, n jest nieparzysta a druga parzysta,
to x = m

2

− n

2

jest liczbą nieparzystą, zatem każdy jej dzielnik (d również)

jest liczbą nieparzystą. Wobec tego NW D(d, 2) = 1 i z Lematu Euklidesa
(Wykład 3, Lem.1) wynika, że d|m

2

, d|n

2

, a więc d|NW D(m

2

, n

2

). Ponieważ

NW D(m, n) = 1, to NW D(m

2

, n

2

) = 1, zatem d|1, więc d = 1, co kończy

dowód.

Uwaga Z Twierdzeń 2 i 3, Lematu 1 oraz Uwagi 1 po Definicji 1 wynika, że
każda trójka pitagorejska jest postaci

k(m

2

− n

2

),

2kmn,

k(m

2

+ n

2

)

lub postaci

2kmn,

k(m

2

−n

2

),

k(m

2

+n

2

)

gdzie k, m, n są naturalne i takie, że m > n, 2 - (m−n), NW D(m, n) = 1.

4