Def. Ciąg funkcyjny:
Ciąg funkcyjny w zbiorze A jest to przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej dokł. jednej
określonej na tym zbiorze. Funkcję przyporządkowaną liczbie naturalnej n ozn. f
n
(x) natomiast cały
ciąg będziemy oznaczać {f
n
(x) } który po napisaniu daje: (f
1
(x) i f
2
(x), ...). Jeżeli ciąg funkcyjny
{f
n
(x)}jest określony w A, to dla każdego x
0
∈
A do funkcji granicznej z ciągu funkcyjnego,
otrzymamy konkretny ciąg liczbowy {f
n
(x
0
)}, który jest zbieżny lub rozbieżny.
Def. Zbieżność ciągu funkcyjnego do funkcji granicznej:
Ciąg funkcyjny {f
n
(x)} jest zbieżny w A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy lim
n
→∞
f
n
(x)-f(x)
lub f
n
(x)
n
e
→∞
→
f(x)
⇔
Λ
ε>0
Λ
x
∈Α
V
s
Λ
n
>
s.
f
n
(x)- f(x)
<ε
oprócz zbieżności ciągu funkc. mówimy o jego
zbieżności jednostronnej, którą ozn. symbolem:
Λ
f
n
(x)
A
⇒
f(x)
⇔
Λ
ε>0
V
δ
Λ
x
∈
A
f
n
(x)- f(x)
<ε
Dla zb. zwykłej liczba
δ
ma istnieć dla każdego
ε>
0 i x
∈
A
Dla zb. jednostronnej ma mieć jednakową wartość dla całego zbioru A
Ze zbieżności jednostronnej wynika zbieżność zwykła
[f
n
(x)
A
⇒
f(x)]
⇒
[f
n
(x)
e
→
f(x)]
Tw. Granica jednostajnie zb. ciągu f. ciągłych jest f. ciągłą
Warunek Cauche’go:
Na to aby ciąg f
n
(x) był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby
Λ
ε>0
V
r
że
Λ
n>r
zachodzi [f
n
(x)
- f
r
(x)]<
ε
-Szereg geometryczny:
Saq
n-1
lub Saq
k
1. Jeżeli a=0 to szer. zb. & S= 0
2. Jeżeli a
≠
0 to szer. geom.
-dla
q
<
1 szer. geom. zb. i S=a/1-q
-dla
q
≥
1 szer. geom. rozb.
-Szereg Dirchleta: S1/n
a
, a
∈
R, dla
α>1
sz zbieżny; dla a
≤1
sz rozbieżny.
-Szereg naprzemienny: Szereg
Σ
(-1)
n+1
a
n
, gdzie a
n
>0 dla n=1,2,3,… nazywamy szer
naprzemiennym.
Def. Zbieżność szeregu liczbowego:
Szereg liczbowy nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych jest zbieżny do granicy
właściwej lim S
n
=S ; S- suma szeregu.
Def. Równość szeregów:
n
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
=
∧
⇔
=
∑
∑
∞
=
∞
=
1
1
Z równości szeregów wynika równość ich sum, ale nie na odwrót.
Def. Iloczyn przez liczbę:
(
)
∑
∑
∞
=
∞
=
∈
=
1
1
;
n
n
n
n
R
k
ka
a
k
Def. N- reszta szeregu: jeżeli w szeregu
Σ
a
k
pominiemy n początkowych wyrazów to otrzymamy
szereg:
...
2
1
1
+
+
=
+
+
∞
+
=
∑
n
n
n
k
k
a
a
a
który nazywamy n – resztą szeregu
Σ
a
k
.
Tw. Jeżeli szeregi
Σ
a
n
;
Σ
b
n
są zbieżne, a ich sumy wynoszą odpowiednio: S
1
i S
2
to
Σ
(a
n
+ b
n
) i
Σ
(ka
n
) wynoszą odpowiednio S
1
+S
2
i kS
1
.
Tw Warunek konieczny zbieżności szeregu:
Jeżeli szereg
Σ
a
n
jest zbieżny, to lim a
n
=0
Dowód:
a
n
=S
n
-S
n-1
; lim a
n
= lim (S
n
-S
n-1
) = lim S
n
- lim S
n-1
= S-S=0
Tw. Zbieżność szeregu: Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach nieujemnych jest
ograniczony z góry, to szereg ten jest zbieżny.
Dowód:
S
n
=a
1
+ a
2
+ a
3
+…+ a
n
Λ
a
n
≥
0, ciąg S
n
jest ciągiem niemalejącym, ciąg ograniczony z góry z
założenia. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny
⇒
S
n
-jest zbieżny.
Kryterium porównawcze:
Jeżeli wyrazy szeregów
Σ
a
n
i
Σ
b
n
są nieujemne, a ponadto istnieje taka liczba naturalna n
0
, że n>
n
0
i spełniona jest nierówność a
n
≤
b
n
, to:
- ze zbieżności szer b
n
wynika zbieżność szeregu a
n
- z rozbieżności szeregu a
n
wynika rozb szeregu b
n
Dowód:
S
n
=
Σ
a
n
- chcemy pokazać, że jest zbieżny.
S
n
= S
n0
+
Σ
a
k
≤
S
n0
+
Σ
b
k
≤
S
n0
+ B;
k= n
0
+1 ciąg sum częściowych S
n
=S
n0
+ B jest ograniczony stąd wynika zbieżność
Σ
b
k\n
z
założenia zbieżny i równy B.
Kryterium d’Alamberta:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim a
n+1
/a
n
, to szereg
Σ
a
n
o wyrazach dodatnich
jest zbieżny, gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium Cauchyego:
Jeżeli istnieje granica właściwa lub niewłaściwa g=lim n
√
a
n
, to szereg o wyrazach nieujemnych jest
zbieżny gdy g<1, natomiast rozb dla g>1.
Kryterium całkowe:
Niech funkcja f(x) będzie funkcją ciągłą, malejącą i dodatnią dla x
≥
n
0
∈
N wówczas war
koniecznym i dostatecznym zbieżności takiego szeregu jest zbieżność całki n
0
∫
∞
f(x)dx
Kryterium Leibniza:
Jeżeli ciąg {a
n
} jest nierosnący oraz lim a
n
=0, to szereg naprzemienny jest zbieżny.
[Ciąg nierosnący
Λ
a
n+1
≤
a
n
]
Kryterium Weierstrassa:
Jeżeli
Σ
a
n
liczb. jest zbież i jeżeli
Λ Λ
x A n n
i
∈
≥
0
spełniona jest nierówność
f
n
(x)
≤
a
n
to
Σ
funkcyjny jest
zbieżny jednostajnie i bezwzględnie w zbiorze A.
Σ
a
n
nazywamy majorantą
Σ
funkcyjnego.
Dowód:
Σ
a
n
jako zbieżny musi spełniać warunek:
Λ Υ Λ
ε
ε
>
>
+
+
+ + <
0
1
k n k
k
k
n
a
a
a
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
k
k
n
k
k
n
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
+ +
≤
+
+ +
+
+
1
1
≤
+
+ + < ⇒
+
a
a
a
k
k
n
1
ε
f x
f
x
f x
k
k
n
( )
( )
( )
+
+ +
<
+
1
ε
- war. konieczny i dostateczny zb
Σ
funkcyjnego.
Def: Bezwzględna zbieżność szeregu:
Σ
a
n
nazywamy bezwzględnie zbieżnym jeżeli jest zbieżny
Σ
złożony z bezwzględnych wartości.
Jeżeli
Σ
a
n
jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. (
Σ
a
n
)=
Σ
(a
n
). Jeżeli
Σ
jest zbieżny to
nazywamy go warunkowo zbieżnym.
Def. Iloczyn Caychy’ego szeregów:
Szereg
Σ
a
n
, gdzie a
n
=
Σ
a
k
b
n-k+1
; n=1,2...- nazywamy iloczynem Cauchy’ego szeregów
Σ
a
n
i
Σ
b
n
tzn:
(
Σ
a
n
) (
Σ
b
n
) =
Σ
a
n
(
Σ
a
n
) (
Σ
b
n
) =
Σ
a
n
a
k
=
Σ
a
k
b
n
-
k
Twierdzenie: Jeżeli szeregi
Σ
a
n
i
Σ
b
n
są zbieżne i chociaż jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny,
to ich iloczyn jest zbieżny.
Tw. Całkowanie szeregu funkcyjnego:
Jeżeli
Σ
f
n
(x) o wyrazach ciągłych w przedziale <a,b> jest w tym przedziale jednostajnie zbieżny to
0
∫
b
[
Σ
f
n
(x)]dx=
Σ
0
∫
b
f
n
(x)dx.
Tw. Różniczkowanie szeregu funkcyjnego:
Jeżeli wyrazy sz. Funkcyjnego mają ciągłe pochodne f
’
n
(x) w przedziale <a,b>,
Σ
funkcyjny
Σ
f
n
(x)
jest zbieżny w przedziale <a,b> a ponadto sz.
Σ
f’
n
(x) jest jednostajnie zbieżny w przedziale <a,b> to:
( )
( )
∧
=
∞
= ∑
∈
=
∞
∑
x a b
n
n
f x
n
n
f x
,
'
'
1
1
Def. Promień szeregu potęgowego:
Promieniem R zbieżności
Σ
potęgowego
Σ
a
n
x
n
nazywamy kres górny zbioru bezwzględnych
wartości x dla
Σ
ten jest
Σ
zbieżnym.
Tw. Promień szeregu potęgowego:
Jeżeli istnieje granica:
lim
,
, ,...
lub lim
n
n
n
n
n
n
a
a
a
dla n
a
→∞
+
→∞
=
≠
=
=
1
0
1 2
λ
λ
to promień zbieżności szeregu
Σ
a
n
x
n
wynosi:
R
gdy
R
dla
R
dla
=
= +∞
=
< < +∞
= +∞
=
0
1
0
0
λ
λ
λ
λ
Tw. Całkowanie szeregu potęgowego:
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału
Σ
pot.
Σ
a
n
x
n
tzn. x
∈
(-R,R) to całka:
∫∑
∑
∞
=
∞
=
+
+
=
x
n
n
n
n
n
n
x
n
a
dt
t
a
0
0
0
1
1
przy czym promień zbieżności tego szeregu jest taki jak szeregu
wyjściowego.
Dowód: Założenia o całkowaniu szeregu są spełnione dla:
∫
∑
∑
∑∫
∞
=
+
∞
=
+
∞
=
∞
=
+
=
∑
=
=
+
x
n
n
n
x
n
n
t
n
n
n
x
n
n
n
n
x
a
n
a
dt
t
a
dt
t
a
n
0
1
1
0
0
1
0
0 0
1
1
1
Tw. Różniczkowanie szeregu potęgowego:
Jeżeli x należy do wnętrza przedziału zb.
Σ
pot.
Σ
a
n
x
n
to pochodna:
∑
∑
∞
=
−
∞
=
=
1
1
0
n
n
n
n
n
n
nx
a
x
a
dx
d
-
promień zb. tego
Σ
jest taki sam jak szeregu wyjściowego.
Uzasadnienie: zał. Tw. o różniczkowaniu
Σ
funkcyjnego są spełnione czyli możemy różniczkować
wyraz po wyrazie:
(
)
∑
∑
∞
=
−
∞
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
1
1
2
3
2
1
2
2
1
0
0
...
3
2
...
n
n
n
n
n
n
nx
a
x
a
x
a
a
x
a
x
a
a
dx
d
x
a
dx
d
Szereg Taylora:
Niech f będzie funkcją, która ma w pewnym otoczeniu Q punktu x
0
wszystkie pochodne, tzn. jest
klasy C
∞
. Funkcję taką dla każdego x
∈
Q-{x
0
} i każdego n
∈
N możemy rozwinąć w
Σ
Taylora:
( )( )
( ) ( )
n
n
k
n
k
k
x
x
n
c
f
x
x
k
x
f
x
f
0
0
1
0
0
!
!
)
(
−
+
−
=
∑
−
=
http://notatek.pl/ciagi-i-szeregi-macierze-rachunek-
operatorow-liczby-zespolone?notatka