MATEMATYKA UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH
ANALIZA SKŁADKI POBIERANEJ PRZEZ NIEKTÓRE
TOWARZYSTWA UBEZPIECZEŃ.
Autor
Piotr Chrzan
MATEMATYKA UBEZPIECZEŃ ŻYCIOWYCH
ANALIZA SKŁADKI POBIERANEJ PRZEZ NIEKTÓRE
TOWARZYSTWA UBEZPIECZEŃ.
Autor
Piotr Chrzan
SPIS TREŚCI
WSTĘP
I. POLSKIE TABLICE TRWANIA ŻYCIA
1.1.
PODSTAWOWE PARAMETRY TABLIC TRWANIA ŻYCIA
1.2.
ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA DALSZEGO TRWANIA ŻYCIA
II. UBEZPIECZENIA ŻYCIOWE
2.1.
DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIA NA WYPADEK ŚMIERCI
2.2.
TERMINOWE UBEZPIECZENIE NA WYPADEK ŚMIERCI
2.3.
UBEZPIECZENIE NA DOŻYCIE
2.4.
UBEZPIECZENIE NA ŻYCIE I DOŻYCIE
2.5.
ODROCZONE DOŻYWOTNIE UBEZPIECZENIA NA WYPADEK ŚMIERCI
2.6.
SUMA UBEZPIECZENIA PŁATNA W MOMECIE ŚMIERCI UBEZPIE-
CZONEGO
III. RENTY ŻYCIOWE
3.1.
RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA PŁATNA NATYCHMIAST
3.2.
RENTA ŻYCIOWA TERMINOWA PŁATNA PRZEZ N LAT
3.3.
ODROCZONA RENTA ŻYCIOWA DOŻYWOTNIA
3.4.
SKŁADKA PŁATNA ROCZNIE
IV. ANALIZA SKŁADKI POBIERANEJ PRZEZ NIEKTÓRE TOWA-
RZYSTWA UBEZPIECZEŃ NA ŻYCIE
4.1.
ANALIZA SKŁADKI DOŻYWOTNIEGO UBEZPIECZENIA NA WYPADEK
ŚMIERCI
4.2.
ANALIZA SKŁADKI TERMINOWEGO UBEZPIECZENIA NA WYPADEK
ŚMIERCI
4.3.
ANALIZA SKŁADKI UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE I DOŻYCIE
4.4.
ZAKOŃCZENIE
LITERATURA
DODATEK A -
RENTY PEWNE
DODATEK B -
TABLICE FUNKCJI KAPITALIZACJI ZŁOŻONEJ
DODATEK C -
TABLICE LICZB KOMUTACYJNYCH
2
WSTĘP
Od trzech lat można zauważyć wśród Polaków wzrost zainteresowania ubezpiecze-
niami na życie. Obecnie na polskim rynku działa 21 firm ubezpieczeń życiowych. Firmy
te z roku na rok odnotowują znaczny wzrost dochodów z tytułu sprzedaży polis ubezpie-
czeniowych. Eksperci przewidują, że do końca 1999 roku w Polsce działać będzie ponad
50 firm ubezpieczeń na życie.
Wzrastająca liczba firm ubezpieczeniowych oraz wzrastająca liczba oferowanych
przez te firmy produktów powoduje wzrost zapotrzebowania na wiedzę, która pozwoli
indywidualnemu lub zespołowemu decydentowi wybrać w "optymalny" sposób rodzaj
ubezpieczenia oraz oferującą go firmę.
Na przeciw tym zapotrzebowaniom wychodzi niniejsze opracowanie, w którym
przedstawiono podstawowe metody wyznaczania wysokości składek ubezpieczeniowych.
W rozdziale pierwszym przedstawiono najważniejsze informacje zawarte w Pol-
skich Tablicach Trwania Życia oraz podano przykłady rozkładów prawdopodobieństwa
dalszego trwania życia.
Teoretyczne podstawy wyznaczania wysokości jednorazowych składek dla najważ-
niejszych rodzajów ubezpieczeń życiowych przedstawiono w rozdziale drugim. Rozważa-
nia teoretyczne poparto przykładami.
W rozdziale trzecim przedstawiono zasady wyznaczania wartości początkowej rent
życiowych oraz składek rocznych ubezpieczeń życiowych.
Rozdział czwarty ma charakter opracowania typu "Analiza Przypadków" (Case Stu-
dy). W rozdziale tym, na podstawie rozważań teoretycznych przedstawionych w rozdziale
drugim i trzecim, przeprowadzono analizę składek pobieranych przez towarzystwa ubez-
pieczeń: Powszechny Zakład Ubezpieczeń na Życie - PZU Życie S.A., Pierwsze Amery-
kańsko-Polskie Towarzystwo Ubezpieczeń na Życie i Reasekuracji - Amplico Life S.A.,
Towarzystwo Ubezpieczeń na Życie (Polska) - Commercial Union S.A. , Towarzystwo
Ubezpieczeń na Życie -Warta Vita S.A.
Niniejsza praca powinna zainteresować agentów i doradców ubezpieczeniowych,
którzy chcieliby zrozumieć zasady wyznaczania cen na produkty, które oferują klientom
oraz studentów akademii ekonomicznych, którzy chcieliby w przyszłości pracować w fir-
mach ubezpieczeniowych
3
I. POLSKIE TABLICE TRWANIA ŻYCIA
Pierwsze przedwojenne "Polskie Tablice Trwania Życia"
1
opracował Główny Urząd
Statystyczny na podstawie danych o liczbie zgonów zarejestrowanych w latach 1952-1953.
Od tego czasu w odstępach pięcioletnich publikowane są tablice tego typu. Ostatnie tablice
2
zostały opracowane na podstawie danych z lat 1990-1991 i opublikowane w 1993 roku.
Polskie Tablice Trwania Życia są niezbędnym narzędziem pracy demografów , socjologów
i aktuariuszy. pozwalają one na dokonywanie różnego typu analiz dotyczących umieralno-
ści i zdrowotności społeczeństwa oraz na sporządzanie prognoz demograficznych.
Wszystkie obliczenia w niniejszym opracowaniu przeprowadzono na podstawie Pol-
skich Tablic Trwania Życia 1990-1991
2
. W pierwszym rozdziale opracowania przedsta-
wiono najważniejsze informacje zawarte w tych tablicach oraz podano przykłady ilustrują-
ce rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych opisujących dalsze trwanie życia.
1
Zasępa R.,Polskie Tablice Wymieralności 1952-1953; Przegląd Statystyczny 4/1956
2
Mijakowska Jadwiga,Polskie Tablice Trwania Życia 1990-1991, GUS Warszawa 1993
4
1.1. PODSTAWOWE PARAMETRY TABLIC TRWANIA ŻYCIA
Przedmiotem
badań aktuariuszy są między innymi zmiany w czasie liczebności wy-
branych populacji losowych. Celem tych badań jest określenie liczby jednostek opuszcza-
jących daną populację. Fakt opuszczenia populacji może być interpretowany jako śmierć
danej jednostki . Jeżeli przez X oznaczymy zmienną losową wyznaczającą czas życia ele-
mentu populacji (czas bycia elementem populacji ) mierzonych w pełnych jednostkach
czasu (np. lata, półrocza, kwartały, miesiące), to gromadząc odpowiedni materiał staty-
styczny można w sposób empiryczny (statystyczny) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej
X. Rozkład ten można wyznaczyć na wiele sposobów, w praktyce aktuarialnej preferuje
się jednak podejście, które pozwala określić rozkład prawdopodobieństwa czasu trwania
życia (element populacji) przez podanie pewnych prawdopodobieństw warunkowych.
Niech
q
ob X x
X
x
=
x
< +
≥
Pr
(
)
1
(1.1)
gdzie: X - zmienna losowa określająca czas trwania życia elementu populacji
x - wiek elementu populacji
x= 0,1,2 .... w
Prawdopodobieństwa q
x
są prawdopodobieństwami zdarzeń, że element populacji, który
dożył wieku x nie przeżyje całego kolejnego okresu (np.roku), tzn. nie osiągnie wieku x+1.
Z
prawdopodobieństw q
x
można bezpośrednio uzyskać inne ważne prawdopodobień-
stwa
p
x
= 1- q
x
(1.2)
gdzie: p
x
- prawdopodobieństwo, że element, który dożył wieku x osiągnie wiek x+1 (prze-
żyje jeszcze co najmniej jeden okres(rok)).
Prawdopodobieństwa
q
x
, p
x
pozwalają z kolei wyznaczyć prawdopodobieństwa
n x
p
ob X n X x
=
+
≥
Pr
(
)
(1.3)
(1.4)
n x
x
x
x n
x j
j
n
p
p p
p
p
=
⋅
=
+
+ −
+
=
−
∏
1
1
0
1
...
⋅
1
p
p
x
x
=
n x
p
- prawdopodobieństwo zdarzenia, że element w wieku x przeżyje jeszcze co najmniej
n okresów (lat), to znaczy dożyje wieku x+n
5
n x
n x
q
P X x n X x
p
=
< +
≥
= −
(
) 1
(1.5)
n x
x x
x x
n
x x n
j x
j
n
x j
q
p q
p q
p q
p q
=
+
+ +
=
+
−
+ −
=
−
+
∑
0
1
1
1
1
0
1
...
(1.6)
1
0
1
q
q
p
x
x
x
=
=
;
gdzie:
- prawdopodobieństwo zdarzenia, że element w wieku x nie przeżyje kolej-
nych n okresów (lat), to znaczy nie dożyje wieku x+n
n x
q
Wyżej wymienione prawdopodobieństwa pozwalają wyznaczyć rozkład bardzo waż-
nej w matematyce aktuarialnej zmiennej losowej Y
x
wyznaczającej dalszy czas trwania
życia elementu populacji w wieku x (osoby w wieku x)
Pr
(
)
ob Y
k
p q
x
k x x k
=
=
+
(1.7)
dla x =0,1,2, . . . , w oraz k=0,1,2, ... w-x
gdzie: Y
0
=X - zmienne losowa określająca czas trwania życia
x - wiek elementu populacji
k - liczba lat życia ponad wiek x
k
x
p
- prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje jeszcze k lat, tzn. dożyje
wieku x+k
q
x k
+
- prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x+k nie przeżyje kolejnego roku,
tzn. nie osiągnie wieku x+k+1
w - maksymalny wiek życia osoby ubezpieczanej ( W Polsce przyjmuje się w=100)
Najważniejsze informacje o zmiennych losowych
Y
x
(X= Y
0
)
dotyczące populacji
Polaków podane są w "Polskich tablicach Trwania Życia"
3
. Tablice te należą do kategorii
tablic bieżących i odzwierciedlają poziom umieralności określonych populacji (ogółem,
mężczyźni, kobiety, miasto, wieś).
Tablice trwania życia opisują hipotetyczne populacje o liczebności początkowej
l
0
=100000 osób i podawane są w nich między innymi informacje o następujących para-
metrach:
l
x
- liczba osób dożywających wieku x (x=0,1,2, ... w=100)
3
Mijakowska J., Polskie Tablice Trwania Życia 1990-1991. Główny Urząd Statystyczny. Warszawa 1993
6
d
x
- liczba osób zmarłych w wieku x
d
x
= l
x
- l
x+1
dla x=0,1,2, ..., w-1
(1.8)
d
w
= l
w
q
x
- prawdopodobieństwo zgonu w ciągu roku osoby x -letniej
d
l
i
i
w
=
∑
=
0
0
q
d
l
x
x
x
=
dla
x=0,1,2,
...,
w
(1.9)
p
x
- prawdopodobieństwo przeżycia roku przez osobę x -letnią
p
q
l
l
x
x
x
x
= −
=
+
1
1
dla x=0,1,2, ..., w-1
(1.10)
p
w
=0
Wyżej zapisane prawdopodobieństwa pozwalają wyznaczyć (por. wzory 1.3 do 1.6)
n x
q
- prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x nie osiągnie wieku x+n
n x
x
x
x
q
l
l
l
=
−
+ n
dla x=0,1,2 . . . w; n=0,1,2, ... w-x
(1.11)
n x
p
- prawdopodobieństwo, że osoba w wieku x osiągnie wiek x+n
n x
n x
x n
x
p
q
l
l
= −
=
+
1
dla x=0,1,2 . . . w; n=0,1,2, ... w-x
(1.12)
L
x
- średnia liczba osób dożywających w wieku x
L
l
d
x
x
x
= −
2
(1.13)
L
l
l
x
x
x
=
+
+1
2
(1.14)
T
x
- fundusz czasu jaki mają do przeżycia osoby w wieku x
T
L
l
l
x
x
i x
w
x
x
i x
w
=
=
+
=
−
= +
∑
1
1
2
∑
(1.15)
7
e
x
- przeciętne dalsze trwanie życia dożywających wieku x
e
T
l
x
x
x
=
(1.16)
s
x
- odchylenie standardowe dalszego trwania życia obliczone według wzoru
s
s
p
e
q
p
x
x
x
x
x
x
x
=
+
−
+1
2
(
)
α
2
(1.17)
gdzie:
α =
≥
1
2
5
dla x
Polskie Tablice Trwania Życia 1990-1991 zostały zbudowane na podstawie oszacowania
prawdopodobieństw zgonu q
x.
Pozostałe funkcje tablicowe
l
x
, d
x
, p
x
,L
x
, T
x
, e
x
, oraz S
x
zostały wyznaczone na podstawie wzorów (1.8) - (1.17).
W dodatku C podano fragmenty tablic zawierające informacje o parametrach populacji
Polaków ogółem oraz mężczyzn i kobiet ogółem.
1.2. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA DALSZEGO TRWANIA
ŻYCIA
Z wzorów 1.7 do 1.12 można wyprowadzić następującą zależność dla rozkładu
zmiennej losowej Y
x
- dalszego trwania życia
Pr
(
)
ob Y
k
d
l
x
x k
x
=
=
+
(1.18)
dla x=0,1,2, . ,w oraz k = 0,1,2, . . . w-x.
Korzystając z wzoru 1.13 oraz danych zamieszczonych w dodatku C wyznaczono rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y
x
dla mężczyzny oraz kobiety w wieku 20 i 40
lat. Wyniki obliczeń zamieszczono w tablicy 1.1.
8
Tablica 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa dalszego trwania życia - mężczyzna
Lata
x = 20 lat
x = 40 lat
Prob(Y
x
= k)
Prob(Y
x
≥ k) Prob(Y
x
= k)
Prob(Y
x
≥ k)
0 0,001460 1,000000 0,004951 1,000000
1 0,001635 0,998365 0,005372 0,995049
2 0,001748 0,996904 0,005848 0,989677
3 0,001790 0,995156 0,006410 0,983829
4 0,001769 0,993366 0,007026 0,977419
5 0,001738 0,991597 0,007707 0,970393
6 0,001738 0,989859 0,008388 0,962686
7 0,001769 0,988121 0,009047 0,954298
8 0,001851 0,986352 0,009674 0,945250
9 0,001985 0,984500 0,010269 0,935576
10 0,002129 0,982515 0,010896 0,925307
11 0,002294 0,980386 0,011577 0,914411
12 0,002468 0,978093 0,012323 0,902834
13 0,002664 0,975624 0,013133 0,890512
14 0,002880 0,972960 0,013998 0,877378
15 0,003127 0,970081 0,014895 0,863380
16 0,003394 0,966954 0,015836 0,848485
17 0,003692 0,963560 0,016809 0,832649
18 0,004011 0,959868 0,017857 0,815840
19 0,004351 0,955856 0,018938 0,797983
20 0,004711 0,951506 0,020051 0,779045
21 0,005112 0,946795 0,021176 0,758993
22 0,005564 0,941683 0,022170 0,737818
23 0,006099 0,936119 0,023056 0,715648
24 0,006685 0,930020 0,023867 0,692591
25 0,007333 0,923335 0,024645 0,668724
26 0,007981 0,916002 0,025445 0,644079
27 0,008609 0,908020 0,026245 0,618633
28 0,009205 0,899412 0,027034 0,592388
29 0,009771 0,890207 0,027791 0,565354
30 0,010367 0,880436 0,028483 0,537563
31 0,011015 0,870068 0,029056 0,509080
32 0,011725 0,859053 0,029499 0,480024
33 0,012496 0,847328 0,029780 0,450525
34 0,013319 0,834832 0,029910 0,420745
35 0,014173 0,821512 0,029856 0,390836
36 0,015068 0,807339 0,029629 0,360980
37 0,015993 0,792272 0,029229 0,331352
38 0,016991 0,776278 0,028634 0,302123
39 0,018020 0,759287 0,027845 0,273489
40 0,019079 0,741268 0,026786 0,245644
41 0,020149 0,722189 0,025510 0,218858
42 0,021095 0,702041 0,024040 0,193348
43 0,021938 0,680946 0,022408 0,169308
44 0,022710 0,659008 0,020657 0,146900
45 0,023450 0,636298 0,018830 0,126243
9
ciąg dalszy tablicy 1.1
Lata
x = 20 lat
x = 40 lat
Prob(Y
x
= k)
Prob(Y
x
≥ k) Prob(Y
x
= k)
Prob(Y
x
≥ k)
46 0,024211 0,612848 0,016971 0,107413
47 0,024972 0,588637 0,015101 0,090442
48 0,025723 0,563665 0,013274 0,075342
49 0,026443 0,537942 0,011523 0,062068
50 0,027101 0,511499 0,009869 0,050545
51 0,027646 0,484397 0,008345 0,040676
52 0,028068 0,456751 0,006961 0,032331
53 0,028335 0,428683 0,005718 0,025370
54 0,028459 0,400348 0,004637 0,019652
55 0,028407 0,371889 0,003708 0,015014
56 0,028191 0,343481 0,002919 0,011307
57 0,027811 0,315290 0,002259 0,008388
58 0,027245 0,287479 0,001719 0,006129
59 0,026494 0,260234 0,001286 0,004410
60 0,025486 0,233739 0,000951 0,003124
61 0,024273 0,208253
62 0,022874 0,183980
63 0,021321 0,161106
64 0,019655 0,139785
65 0,017917 0,120130
66 0,016148 0,102213
67 0,014368 0,086066
68 0,012630 0,071697
69 0,010964 0,059067
70 0,009390 0,048103
71 0,007940 0,038713
72 0,006624 0,030773
73 0,005441 0,024149
74 0,004412 0,018709
75 0,003528 0,014296
78 0,002777 0,010769
79 0,002150 0,007992
80 0,001635 0,005842
10
Tablica 1.2 Rozkład prawdopodobieństwa dalszego trwania życia - kobieta
Lata
x = 20 lat
x = 40 lat
Prob(Y
x
= k)
Prob(Y
x
≥ k) Prob(Y
x
= k)
Prob(Y
x
≥ k)
0 0,000377 1,000000 0,001748 1,000000
1 0,000388 0,998365 0,001935 0,995049
2 0,000388 0,999235 0,002131 0,996317
3 0,000398 0,998848 0,002338 0,994186
4 0,000398 0,998450 0,002566 0,991848
5 0,000418 0,998052 0,002814 0,989282
6 0,000428 0,997634 0,003072 0,986469
7 0,000459 0,997206 0,003310 0,983396
8 0,000489 0,996747 0,003507 0,980086
9 0,000540 0,996257 0,003683 0,976579
10 0,000591 0,995717 0,003879
0,972896
11 0,000653 0,995125 0,004128
0,969016
12 0,000724 0,994473 0,004438
0,964889
13 0,000806 0,993749 0,004821
0,960451
14 0,000897 0,992943 0,005286
0,955630
15 0,000999 0,992046 0,005814
0,950343
16 0,001112 0,991046 0,006393
0,944530
17 0,001244 0,989935 0,006993
0,938136
18 0,001387 0,988691 0,007593
0,931143
19 0,001550 0,987304 0,008224
0,923550
20 0,001723 0,985754 0,008938
0,915325
21 0,001907 0,984030 0,009745
0,906387
22 0,002101 0,982123 0,010645
0,896642
23 0,002305 0,980023 0,011638
0,885997
24 0,002529 0,977718 0,012724
0,874359
25 0,002774 0,975189 0,013925
0,861634
26 0,003029 0,972415 0,015228
0,847710
27 0,003263 0,969386 0,016614
0,832482
28 0,003457 0,966123 0,018073
0,815867
29 0,003630 0,962666 0,019604
0,797794
30 0,003824 0,959036 0,021207
0,778190
31 0,004069 0,955212 0,022873
0,756983
32 0,004375 0,951143 0,024580
0,734110
33 0,004752 0,946768 0,026318
0,709530
34 0,005211 0,942016 0,028035
0,683212
35 0,005731 0,936805 0,029690
0,655177
36 0,006302 0,931074 0,031253
0,625486
37 0,006894 0,924771 0,032660
0,594234
38 0,007485 0,917878 0,033870
0,561574
39 0,008107 0,910393 0,034853
0,527704
40 0,008811 0,902285 0,035515
0,492852
41 0,009606 0,893474 0,035867
0,457337
42 0,010493 0,883868 0,035877
0,421470
11
ciąg dalszy tablicy 1.2
Lata
x = 20 lat
x = 40 lat
Prob(Y
x
= k)
Prob(Y
x
≥ k) Prob(Y
x
= k)
Prob(Y
x
≥ k)
43 0,011472 0,873375 0,035525
0,385593
44 0,012543 0,861902 0,034822
0,350068
45 0,013726 0,849359 0,033777
0,315247
46 0,015011 0,835633 0,032401
0,281470
47 0,016378 0,820622 0,030735
0,249069
48 0,017815 0,804244 0,028821
0,218334
49 0,019325 0,786429 0,026701
0,189512
50 0,020905 0,767104 0,024425
0,162811
51 0,022547 0,746199 0,022066
0,138387
52 0,024230 0,723652 0,019676
0,116320
53 0,025943 0,699422 0,017307
0,096644
54 0,027636 0,673479 0,015021
0,079337
55 0,029267 0,645843 0,012838
0,064316
56 0,030807 0,616575 0,010821
0,051477
57 0,032194 0,585768 0,008990
0,040656
58 0,033387 0,553574 0,007345
0,031666
59 0,034356 0,520186 0,005917
0,024321
60 0,035009 0,485830 0,004686
0,018404
61 0,035356 0,450821
62 0,035366 0,415466
63 0,035019 0,380100
64 0,034326 0,345081
65 0,033296 0,310756
66 0,031939 0,277460
67 0,030297 0,245521
68 0,028411 0,215223
69 0,026320 0,186812
70 0,024077 0,160492
71 0,021752 0,136415
72 0,019396 0,114663
73 0,017061 0,095267
74 0,014807 0,078206
75 0,012655 0,063399
78 0,010667 0,050744
79 0,008862 0,040077
80 0,007240 0,031215
Na podstawie danych zawartych w tablicy 1.1 i 1.2 wykonano niżej zamieszczone rysunki,
które ilustrują wybrane rozkłady prawdopodobieństwa dalszego trwania życia.
12
Rys.1.1. R O ZKŁ AD P R AW DO P O DO BIEŃS T W A DAL S ZEG O
T RW A NIA ŻYCIA M ĘŻCZYZN Y W W IEK U 20 i 40 L A T
( N a p o d sta w ie P T T Ż 1990-1991)
0,000000
0,005000
0,010000
0,015000
0,020000
0,025000
0,030000
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
80
DA L SZ E T RW A NIE Ż YC IA W L A T A C H
PRAWDOPODOBIE
Ń
STWO PRZE
Ż
YCIA KOLEJ
N
Y
C
k-l
a
t
PROB(Y x =k)-męz c z y z na 20 lat
PROB( Y x =k)-męż c z y z na 40 lat
Rys.1.2. PRAW DOPODOBIEŃSTW O PRZEŻYCIA
CO NAJMNIEJ k -lat. W YKRES FUNKCJI G(k)=1-
F(k)=PROB(Y
x
>=k). MĘŻCZYZNA W W IEKU 20 i
40 LAT
( Na podstaw ie PTTŻ 1990-1991)
0,000000
0,100000
0,200000
0,300000
0,400000
0,500000
0,600000
0,700000
0,800000
0,900000
1,000000
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
79
DALSZE TRWANIE ŻYCIA w latach
PRAWDOPODOBIE
Ń
STWO
PRZE
Ż
YCIA CO NAJMNIEJ k- la
t
PROB(Yx>k)-męzczyzna 20 lat
PROB( Y x>k)-mężczyzna 40 lat
13
Rys.1.3. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA
DALSZEGO TRWANIA ŻYCIA KOBIETA W WIEKU
20 i 40 LAT
( Na podstawie PTTŻ 1990-1991)
0,000000
0,005000
0,010000
0,015000
0,020000
0,025000
0,030000
0,035000
0,040000
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
80
DALSZE TRWANIE ŻYCIA W LATACH
PRAWDOPODOBIE
Ń
STWO
PRZE
Ż
YCIA KOLEJNYCH k- la
PROB( Yx=k)-kobieta 20 lat
PROB( Yx=k)-kobieta 40 lat
Rys.1.4. PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRZEŻYCIA CO
NAJMNIEJ
k-lat. WYKRES FUNKCJI G(k)=1-F(k)=PROB(Y
X
>=k). KOBIETA W WIEKU 20 i 40 LAT ( Na
podstawie PTTŻ 1990-1991)
0,000000
0,100000
0,200000
0,300000
0,400000
0,500000
0,600000
0,700000
0,800000
0,900000
1,000000
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
80
DALSZE TRWANIE ŻYCIA w latach
PRAWDOPODOBIE
Ń
STWO
PRZE
Ż
YCIA CO NAJMNIEJLEJ
k
lat
PROB( Yx>k)-kobieta 20 lat
PROB( Yx>k)-kobieta 40 lat
14
Rys.1.5. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA
DALSZEGO TRWANIA ŻYCIA. KOBIETA i MĘŻCZYZNA
W WIEKU 20 LAT
( Na podstawie PTTŻ 1990-1991)
0,000000
0,005000
0,010000
0,015000
0,020000
0,025000
0,030000
0,035000
0,040000
0
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
80
DALSZE TRWANIE ŻYCIA W LATACH
PRAWDOPODOBIE
Ń
STWO
PRZE
Ż
YCIA KOLEJ
N
YCH k
-la
PROB( Yx=k)-kobieta 20 lat
PROB(Yx=k)-męzczyzna 20 lat
Rys.1.6. PROWDOPODOBIEŃSTWO PRZEŻYCIA
CO NAJMNIEJ
k-lat.WYKRES FUNKCJI G(k)=1-F(k)=PROB(Y
X
>=k). KOBIETA i MĘŻCZYZNA W WIEKU 20 LAT.
( Na podstawie PTTŻ 1990-1991)
0,000000
0,100000
0,200000
0,300000
0,400000
0,500000
0,600000
0,700000
0,800000
0,900000
1,000000
0
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
79
DALSZE TRWANIE ŻYCIA w latach
PROWDOPODOBIE
Ń
STWO
PRZE
Ż
YCIA CO NAJ
MNIEJ
k
-
la
t
PROB( Yx>k)-kobieta 20 lat
PROB(Yx>k)-męzczyzna 20 lat
15
Rys.1.7. ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA
DALSZEGO TRWANIA ŻYCIA. KOBIETA i MĘŻCZYZNA W
WIEKU 40 LAT( Na podstawie PTTŻ 1990-1991)
0,000000
0,005000
0,010000
0,015000
0,020000
0,025000
0,030000
0,035000
0,040000
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
DALSZE TRWANIE ŻYCIA W LATACH
PRAWDOPODOBIE
Ń
STWO PRZE
Ż
YC
I
KOLEJ
N
YCH k
-la
t
PROB( Yx=k)-kobieta 40 lat
PROB( Yx=k)-mężczyzna 40 lat
Rys.1.8. PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRZEŻYCIA CO
NAJMNIEJ k-lat. WYKRES FUNKCJI
G(k)=1-F(k)=PROB(Y
X
>=k). KOBIETA i MĘŻCZYZNA W
WIEKU 40 LAT
(Na podstawie PTTŻ 1990-1991)
0,000000
0,100000
0,200000
0,300000
0,400000
0,500000
0,600000
0,700000
0,800000
0,900000
1,000000
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
DALSZE TRWANIE ŻYCIA w latach
PRAWDOPODOBIE
Ń
STWO
PRZE
Ż
YCIA CO NAJMNIEJ k-la
t
PROB( Yx>k)-kobieta 40 lat
PROB( Yx>k)-mężczyzna 40 lat
16
Charakterystyki liczbowe (opisowe) rozkładów dalszego trwania życia zamieszczono w
tablicy 1.3
Tablica 1.3
Charakterystyki opisowe rozkładu zmiennej losowej Y
x
- dalszego trwania życia
4
Charakterystyka Mężczyzna Kobieta
Nazwa
Symbol
Wzór
x=20 lat x=40 lat x=20 lat x=40 lat
Dminanta
d
d
ob Y
k w x
x
=
k
=
≤ ≤ −
max Pr (
)
0
54 34 62 42
Mediana
Me
Pr (
) Pr (
)
,
ob Y
M
ob Y
M
x
e
x
e
≤
=
≥
= 05
51 31 60 40
Wartość
oczekiwana
E(Y
x
)
E Y
k ob Y k
x
x
k
w x
( )
Pr (
=
)
=
=
−
∑
0
47,677
29,735
55,343
37,029
Wariancja
D Y
x
2
( )
D Y
E Y
E Y
x
x
x
2
( )
(
( ))
=
−
2
222,387 161,793 166,652 140,898
Odchylenie
standardowe
D Y
x
(
)
D Y
D Y
x
( )
( )
=
2
x
14,912 12,719
12,909 11,870
Współczynnik
zmienności
V
V
D Y
E Y
x
x
= ( )
( )
0,312 0,427 0,233
0,320
Współczynnik
asymetrii
(skośności)
A
s
A
E Y
d
D Y
s
x
x
=
−
( )
( )
-0,423 -0,335 -0,515 -0,418
Charakterystyki liczbowe zamieszczone w tablicy 1.3 obliczono na podstawie da-
nych zamieszczonych w tablicach 1.1-1.2 oraz przytoczonych wyżej wzorów. Nieznaczne
różnice liczbowe pomiędzy danymi zawartymi w tablicy 1.3 a danymi zawartymi w "Pol-
skich Tablicach Trwania Życia 1990-1991" dotyczące przeciętnego (średniego) dalszego
trwania życia (E(Y
x
), e
x
) oraz odchylenia standardowego (D(Y
x
), s
x
) wynikają z różnicy
definicji i sposobów obliczeń (por. 1.16,1.17, tablica 1.3).
Dla
ubezpieczeń na życie, gdzie ważny jest czas jaki upłynął od momentu ubezpie-
czenia do momentu wypłaty odszkodowania, istotną informację o ryzyku
5
związanym z
4
Jóźwiak J.,Podgórski J., Statystyka od podstaw, PWE Warszawa 1994
5
Ubezpieczenia w gospodarce rynkowej. Praca zbiorowa pod redakcją A. Wąsiewicza. Oficyna Wydawni-
cza Branta 1994.
17
ubezpieczeniem zawiera funkcja G(x) = (1 - F(x)) - funkcja prawdopodobieństwa dalszego
trwania życia (por. Rys.1.2, rys.1.4, Rys.1.6,Rys.1.8).
Na przykład prawdopodobieństwo przeżycia kolejnych 25 lat dla mężczyzny 20 letniego
P(Y
20
≥25) = 0,975189, a dla dla mężczyzny 40 letniego P(Y
40
≥25) = 0,861634
(por.Tab.1.1). Oznacza to, że ubezpieczenie na życie na okres 25 lat mężczyzny 20 letnie-
go jest związane z dużo mniejszym ryzykiem niż ubezpieczenie mężczyzny 40 letniego.
Prawdopodobieństwo wypłaty sumy ubezpieczenia przez firmę ubezpieczeniową w okresie
ubezpieczenia (25 lat) w pierwszym przypadku wynosi 0,024811, a w drugim 0,138366.
Różnica tych prawdopodobieństw 0,113555 jest zaznaczona na rysunkach funkcji G(x)
(por. Rys.1.2). Różnice ryzyka związanego z ubezpieczeniem kobiety bądź mężczyzny w
tym samym wieku przedstawiają rysunki 1.6 i 1.8. Dobrą miarą ryzyka związanego z ubez-
pieczeniem na życie może być również współczynnik zmienności V, którego małe warto-
ści informują o małym zróżnicowaniu faktycznie przeżytej liczby lat od momentu ubezpie-
czenia względem przeciętnej liczby lat dalszego trwania życia.
W dalszej części pracy wykażemy, że przedstawione w tablicach 1.1 i 1.2 rozkłady
prawdopodobieństwa dalszego trwania życia mają zasadniczy wpływ na wysokość jedno-
razowej składki netto ubezpieczeń życiowych.
18