1
Podstawy Konstrukcji Maszyn
Wykład 2
Podstawy obliczeń elementów maszyn
Dr inŜ. Jacek Czarnigowski
ObciąŜenia elementu
ObciąŜeniem elementu (części lub całej maszyny) są
oddziaływania innych elementów, środowiska oraz
obciąŜeń wewnętrznych
ObciąŜenia powierzchniowe
ObciąŜenia objętościowe
2
ObciąŜenia elementu
P
1
P
2
P
3
P
n
ObciąŜenia powierzchniowe:
Siły czynne – „napędzające”
Siły bierne – „hamujące”
ObciąŜenia elementu
P
1
P
2
P
3
P
n
ObciąŜenia objętościowe:
Siły bezwładności i cięŜaru
ObciąŜenia wewnętrzne – zmiana stanu wewnętrznego materiału
P
g
Oddziaływanie środowiska – ciśnienie itp.
3
ObciąŜenia elementu
P
1
P
2
ObciąŜenia wewnętrzne
P
3
P
n
P
g
ObciąŜenia elementu
P
1
P
2
ObciąŜenia wewnętrzne
W
W
2
W
n
W
1
4
ObciąŜenia elementu
W
2
W
n
W
1
NapręŜenia
i
i
i
ś
r
A
W
=
ρ
A
W
A
0
lim
→
=
ρ
2
m
N
Pa
=
2
2
6
mm
N
1
m
N
10
MPa
1
=
=
NapręŜenia
ρ
ρ
ρ
ρ
x
y
z
NapręŜenie normalne
σ
NapręŜenie styczne
τ
5
NapręŜenia
x
y
z
NapręŜenie normalne
NapręŜenie styczne
σ
y
τ
x
τ
z
σ
z
τ
x
τ
y
σ
x
τ
y
τ
z
3
6
Klasyfikacja obciąŜeń
Rozciąganie lub ściskanie
A
P
r
=
σ
A
P
c
=
σ
6
Klasyfikacja obciąŜeń
Ścinanie
A
T
t
=
τ
Klasyfikacja obciąŜeń
Zginanie
x
x
g
g
W
l
P
W
M
⋅
=
=
σ
Oś obojętna przedmiotu
7
Klasyfikacja obciąŜeń
Skręcanie
o
o
s
s
W
r
P
W
M
⋅
=
=
τ
Środek cięŜkości przekroju
Wskaźniki bezwładności przekroju
O – środek cięŜkości
X – oś obojętna
Y – oś obojętna
W
x
W
y
W
o
8
Wskaźniki bezwładności przekroju
X
Y
d
A
x
y
Moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej
∫
=
A
x
dA
y
J
2
∫
=
A
y
dA
x
J
2
Wskaźniki bezwładności przekroju
X
Y
d
A
x
y
Moment bezwładności przekroju względem środka cięŜkości
y
x
A
o
J
J
dA
r
J
+
=
=
∫
2
r
9
Wskaźniki bezwładności przekroju
X
Y
x
max
y
max
max
x
J
W
x
x
=
max
y
J
W
y
y
=
Wskaźnik bezwładności przekroju względem osi obojętnej
Wskaźniki bezwładności przekroju
X
Y
r
max
max
r
J
W
o
o
=
Wskaźnik bezwładności przekroju względem środka cięŜkości
10
Wskaźniki bezwładności przekroju
Typowe przekroje
64
4
d
J
J
y
x
⋅
=
=
π
32
4
d
J
J
J
y
x
o
⋅
=
+
=
π
32
2
3
d
d
J
W
W
x
y
x
⋅
=
=
=
π
16
2
3
d
d
J
W
o
o
⋅
=
=
π
Wskaźniki bezwładności przekroju
Typowe przekroje
12
3
h
b
J
x
⋅
=
12
3
b
h
J
y
⋅
=
(
)
12
2
2
b
h
h
b
J
J
J
y
x
o
+
⋅
⋅
=
+
=
6
2
2
h
b
h
J
W
x
x
⋅
=
=
6
2
2
b
h
b
J
W
y
y
⋅
=
=
2
2
2
2
6
h
b
h
b
h
b
J
W
o
o
+
⋅
⋅
=
+
=
11
Wskaźniki bezwładności przekroju
Typowe przekroje
obrys
Wewnetrzny
obrys
y
Zewnetrzyn
J
J
J
−
=
(
)
64
64
64
4
4
4
4
d
D
d
D
J
J
y
x
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
=
π
π
π
(
)
32
32
32
4
4
4
4
d
D
d
D
J
o
−
⋅
=
⋅
−
⋅
=
π
π
π
(
)
D
d
D
D
J
W
W
x
y
x
⋅
−
⋅
=
=
=
32
2
4
4
π
(
)
D
d
D
D
J
W
o
o
⋅
−
⋅
=
=
16
2
4
4
π
ZłoŜony stan napręŜeń
Zasada superpozycji – obciąŜenia moŜna traktować
jako oddzielne, a łączyć wyniki ich oddziaływania na
element
b
h
l
P
P
P
x
P
y
Obliczenie
napręŜeń
składowych
Rozciąganie
Zginanie
Ścinanie
NapręŜenia
zastępczego
12
ZłoŜony stan napręŜeń
Składanie napręŜeń
Tego samego typu (styczne lub normalne)
RóŜnych typów (styczne i normalne)
Składanie geometryczne wektorów
Hipoteza Hubera
ZłoŜony stan napręŜeń
Składanie napręŜeń – Hipoteza Hubera
Hipoteza Hubera (polski uczony z XIX wieku) – hipoteza energii
odkształcenia postaciowego oparta na załoŜeniu, Ŝe napręŜenia
styczne inaczej oddziaływają na element niŜ napręŜenia normalne.
Przy czym moŜliwe jest obliczenie napręŜenia zastępczego o
identycznej energii odkształcenia „ziarna” elementu jak wspólne
działanie napręŜeń stycznych i normalnych.
2
2
3
w
w
z
τ
σ
σ
⋅
+
=
13
ZłoŜony stan napręŜeń
2
2
3
w
w
z
τ
σ
σ
⋅
+
=
Składanie napręŜeń – Hipoteza Hubera
w
w
τ
σ
2
1
>
gdy
2
2
3
1
w
w
z
τ
σ
τ
+
=
gdy
w
w
σ
τ
⋅
>
2
Gdzie:
w
σ
- Wypadkowe napręŜenie normalne
w
τ
- Wypadkowe napręŜenie styczne
Przykład 02.1
b = 10 mm
h = 30 mm
l = 100 mm
Obliczyć napręŜenia
maksymalne przekroju przy
mocowaniu elementu
P = 2 kN
α
= 30
o
P
x
P
y
y
x
y
z
P
x
= P sin
α
α
α
α
= 2000 sin 30
o
= 1000 N
P
y
= P cos
α
α
α
α
= 2000 cos 30
o
= 1732 N
14
Przykład 02.1
b = 10 mm
h = 30 mm
l = 100 mm
ObciąŜenia naleŜy zredukować
do środka cięŜkości
rozpatrywanego przekroju
zastępując je odpowiednimi
siłami i momentami
P = 2 kN
α
= 30
o
P
x
P
y
y
x
y
z
Przykład 02.1
b = 10 mm
h = 30 mm
l = 100 mm
P
x
= 1000 N
y
x
y
z
Rozciąganie
h
b
P
A
P
x
x
r
⋅
=
=
σ
MPa
33
,
3
mm
N
33
,
3
30
10
1000
2
=
=
⋅
=
r
σ
15
Przykład 02.1
b = 10 mm
h = 30 mm
l = 100 mm
P
y
y
x
y
z
Ścinanie
h
b
P
A
P
y
y
t
⋅
=
=
τ
MPa
77
,
5
mm
N
77
,
5
30
10
1732
2
=
=
⋅
=
t
τ
Przykład 02.1
l = 100 mm
P
y
y
x
y
z
M
g
= P l
Zginanie
2
2
6
6
h
b
l
P
h
b
l
P
W
M
y
y
z
g
g
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
=
σ
MPa
47
,
115
mm
N
47
,
115
mm
mm
N
47
,
115
30
10
100
1732
6
2
3
2
=
=
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
g
σ
16
Przykład 02.1
Rozciąganie
MPa
33
,
3
=
r
σ
Ścinanie
MPa
77
,
5
=
t
τ
Zginanie
MPa
47
,
115
=
g
σ
normalne
normalne
styczne
Przykład 02.1
Rozciąganie
MPa
33
,
3
=
r
σ
Ścinanie
MPa
77
,
5
=
t
τ
Zginanie
MPa
47
,
115
=
g
σ
sumują
odejmują
17
Przykład 02.1
Rozciąganie
MPa
33
,
3
=
r
σ
Ścinanie
MPa
77
,
5
=
t
τ
Zginanie
MPa
47
,
115
=
g
σ
sumują
Maksymalne
NapręŜenia zastępcze – zgodnie z hipotezą Hubera
MPa
8
,
118
47
,
115
33
,
3
=
+
=
+
=
g
r
w
σ
σ
σ
MPa
77
,
5
=
=
t
w
τ
τ
Przykład 02.1
Maksymalne
NapręŜenia zastępcze – zgodnie z hipotezą Hubera
MPa
8
,
118
47
,
115
33
,
3
=
+
=
+
=
g
r
w
σ
σ
σ
MPa
77
,
5
=
=
t
w
τ
τ
MPa
22
,
119
77
,
5
3
8
,
118
3
2
2
2
2
=
⋅
+
=
⋅
+
=
w
w
z
τ
σ
σ
18
NapręŜenia dopuszczalne
Warunek wytrzymałościowy
x
Z
k
=
≤
σ
x
Z
k
=
≤
τ
k – napręŜenie dopuszczalne [MPa]
Z – granica wytrzymałości [MPa]
x – współczynnik bezpieczeństwa
NapręŜenia dopuszczalne
NapręŜenia dopuszczalne są określane oddzielnie dla:
- kaŜdego materiału,
- kaŜdego typu obciąŜenia,
- 3 typów zmienności obciąŜenia.
Rozciąganie:
k
r
Ściskanie:
k
c
Zginanie:
k
g
Skręcanie:
k
s
Ścinanie:
k
t
19
Zmienność obciąŜeń
Klasyfikacja obciąŜeń:
ObciąŜenia stałe
ObciąŜenia zmienne
Wartość, kierunek i zwrot
nie ulegają zmianie w czasie
Wartość, kierunek lub zwrot
(jedna lub wiele z
powyŜszych) ulega zmianie
w czasie
NapręŜenia dopuszczalne przy
obciąŜeniu stałym
Do określania napręŜenia dopuszczalnego przy napręŜeniach
stałych przyjmuję się jako granicę wytrzymałości wartość granicy
plastyczności
R
e
R
0,2
lub doraźnej wytrzymałości
R
m
(dla
materiałów kruchych).
Odkształcenie
R
m
20
NapręŜenia dopuszczalne przy
obciąŜeniu stałym
Dla materiałów kruchych (np. Ŝeliwo)
m
m
x
R
k
=
x
m
= 3,5
Dla materiałów z wyraźną granicą plastyczności (np. stal)
e
e
x
R
k
=
x
e
= 2
÷
2,3
Dla materiałów z umowną granicą plastyczności
e
x
R
k
2
,
0
=
x
e
= 2
÷
2,3