GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI
1. Dane są wektory:
2, 3,1
a =
,
1, 6, 1
b =
,
1,5,3
c =
. Wyznaczyć:
a)
2
3
a
b
c
a
b)
2
2
b
c
a c
c)
2
4
b
a
a c
d)
2
3
a
b
a c
2. Napisać równania ogólne płaszczyzn spełniających podane warunki:
a) płaszczyzna przechodzi przez punkt
0
,
2
,
1
P
i jest prostopadła do wektora
2
,
3
,
0
n
b) płaszczyzna przechodzi przez punkty
0
,
0
,
0
1
P
,
3
,
2
,
1
2
P
,
5
,
3
,
1
3
P
c) płaszczyzna przechodzi przez punkt
0
,
0
,
0
1
P
i jest prostopadła do prostej
0
5
2
2
0
1
3
:
z
y
x
z
y
x
l
d) płaszczyzna przechodzi przez punkt
3
,
1
,
1
P
i jest równoległa do wektorów
0
,
1
,
1
a
,
1
,
1
,
0
b
e) płaszczyzna przechodzi przez punkt
0
,
3
,
0
P
i jest równoległa do płaszczyzny
0
2
3
:
y
x
H
f) płaszczyzna przechodzi przez punkt
3
,
1
,
2
P
i jest prostopadła do płaszczyzn
0
:
1
y
x
H
,
0
:
2
z
y
H
g) płaszczyzna przechodzi przez punkt
4
,
5
,
1
A
i jest prostopadła do wektora
AB , gdzie
7
,
3
,
4
B
.
3. Napisać równania parametryczne prostych spełniających podane warunki:
a) prosta przechodzi przez punkt
2
,
5
,
3
P
i jest równoległa do wektora
3
,
1
,
2
u
b) prosta przechodzi przez punkty
6
,
0
,
1
1
P
,
4
,
2
,
2
2
P
c) prosta przechodzi przez punkt
2
,
1
,
2
1
P
i jest równoległa do prostej
1
1
2
1
1
:
z
y
x
l
d) prosta przechodzi przez punkt
0
,
2
,
7
P
i jest prostopadła do wektorów
3
,
0
,
2
1
v
,
0
,
2
,
1
2
v
e) prosta jest częścią wspólną płaszczyzn
1
:
2
4
0
H x
z
i
2
:
6
0
H
x
y
f) prosta jest równoległa do płaszczyzn o równaniach
1
:6
2
0
H
x
y
z
i
2
:
3
2
1 0
H
x
y
z
i przechodzi przez punkt
2,3,1
P
g) prosta jest prostopadła do prostych:
1
1
:
2
3
2
x
y
z
l
x
y
z
,
2
3
:
1
x
t
l
y
t
z
t
,
R
t
oraz
przechodzi przez punkt
2,3,1
P