MATEMATYKA
Tematy prac kontrolnych
uzupełniający plan nauczania
Klasa
II liceum ogólnokształcącego
/wg programu zatwierdzonego przez Ministra Edukacji Narodowej i Sportu
decyzją Nr DKOS-4015-104/02/.
Warszawa 2004
MATEMATYKA
Tematy prac kontrolnych
uzupełniający plan nauczania
Klasa
II liceum ogólnokształcącego
/wg programu zatwierdzonego przez Ministra Edukacji Narodowej i Sportu
decyzją Nr DKOS-4015-104/02/.
Warszawa 2004
I. Podstawa programowa. Treści nauczania z matematyki
Zasadniczym aktem prawnym w zakresie nauczania matematyki w liceum
ogólnokształcącym jest podstawa kształcenia ogólnego obowiązująca od 1
września 2002 r. na mocy Rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej i
Sportu z dnia 26 lutego 2002 r., która zamieszczona jest w Dzienniku Ustaw nr
51 z dnia 9 maja 2002 r.
Podstawa programowa zawiera cele edukacyjne, zadania szkoły, treści
nauczania i osiągnięcia jakie należy uwzględnić przy tworzeniu programów i
podręczników do nauczania matematyki w szkołach ponadgimnazjalnych.
Podstawa programowa zakłada kształcenie z matematyki w liceum
ogólnokształcącym w zakresie podstawowym oraz rozszerzonym.
Treści nauczania z matematyki dla klas I - III liceum ogólnokształcącego w
zakresie podstawowym
Treści podkreślone zaplanowane zostały do realizacji w klasie drugiej. Treści
te wraz z przewidywanymi osiągnięciami uczniów określają zakres prac
kontrolnych z matematyki dla uczniów klasy drugiej.
Liczby i ich zbiory.
1. Zbiory; suma, iloczyn, różnica zbiorów. Podstawowe pojęcia rachunku zdań.
2. Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory; liczby naturalne (liczby
pierwsze), liczby całkowite, wymierne i niewymierne. Rozwinięcie
dziesiętne liczby rzeczywistej.
3. Przypomnienie działań na potęgach. Potęga o wykładniku wymiernym.
4. Oś liczbowa. Przedziały na osi liczbowej. Suma przedziałów; iloczyny i
różnice takich zbiorów.
5. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej. Interpretacja geometryczna.
6. Pojęcie błędu przybliżenia. Szacowanie wartości liczbowych. Obliczanie
procentowe.
Funkcje i ich własności.
1. Pojęcie funkcji. Wykres funkcji liczbowej.
3
2.Wyznaczenie dziedziny funkcji, jej miejsc zerowych, zbioru wartości,
wartości największej i najmniejszej w danym przedziale, przedziałów
monotoniczności.
3. Zastosowanie funkcji do opisu zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu
codziennym.
4. Przesuwanie wykresu funkcji wzdłuż osi x i osi y.
Wielomiany i funkcje wymierne.
1. Funkcja liniowa.
2. Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki. Wykres funkcji kwadratowej.
3. Rozwiązywanie zadań prowadzących do równań i nierówności stopnia
drugiego.
4. Wielomiany. Działania na wielomianach.
5. Dzielenie wielomianów z resztą. Twierdzenie Bẻzout. Zastosowanie do
znajdywania pierwiastków wielomianów metodą rozkładania na czynniki.
6. Działania na wyrażeniach wymiernych. Funkcja homograficzna.
7. Rozwiązanie równań i nierówności z funkcją homograficzną.
Funkcje trygonometryczne.
1. Funkcje trygonometryczna kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
2. Miara łukowa kąta. Definicja funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta.
3. Wykresy funkcji trygonometrycznych.
4. Najprostsze tożsamości trygonometryczne.
Ciągi liczbowe.
1. Definicja i przykłady ciągów liczbowych.
2. Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Wzór na sumę n początkowych
wyrazów.
3. Procent składany. Oprocentowanie lokat i kredytów.
Planimetria
4
1. Własności czworokątów wypukłych. Okrąg wpisany w czworokąt. Okrąg
opisany na czworokącie.
2. Wyznaczenie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem
trygonometrii.
3. Oś symetrii i środek symetrii figury.
4. Twierdzenie Talesa i jego związek z podobieństwem. Cechy podobieństwa
trójkątów.
Geometria analityczna
1.Równanie prostej na płaszczyźnie. Półpłaszczyzna – opis za pomocą
nierówności.
2. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Stereometria
1. Graniastosłupy i ostrosłupy. Walec, stożek, kula.
2. Wzajemne położenie krawędzi i ścian brył: kąt nachylenia prostej do
płaszczyzny i kąt dwuścienny.
3.Wyznaczanie związków miarowych w bryłach z zastosowaniem
trygonometrii.
Rachunek prawdopodobieństwa
1. Proste zadania kombinatoryczne.
2. Pojęcie prawdopodobieństwa i jego własności.
3. Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń w skończonych przestrzeniach
probabilistycznych.
4.Elementy statystyki opisowej: średnia arytmetyczna, średnia ważona,
mediana, wariancja i odchylenie standardowe (liczone z próby).
5
II. Przewidywane osiągnięcia uczniów po ukończeniu klasy drugiej
Uczeń kończący klasę drugą powinien umieć:
- wykonywać działania na wielomianach;
- rozkładać wielomiany na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia,
grupowanie i wyłączanie wspólnego czynnika;
- zastosować twierdzenie Bézout;
- sprawdzać, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu;
- rozwiązywać równania i nierówności wielomianowe;
- skracać i rozszerzać wyrażenia wymierne;
- dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić wyrażenia wymierne;
- rysować wykresy funkcji homograficznych;
- opisywać własności funkcji homograficznych;
- rozwiązywać równania wymierne i nierówności wymierne;
-rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do prostych równań
wymiernych;
- zamieniać miarę kąta w stopniach na miarę łukową i odwrotnie;
- obliczać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów o mierze
radianowej;
- stosować wzory redukcyjne;
-stosować
związki
między
funkcjami
trygonometrycznymi
tego
samego argumentu rzeczywistego do dowodzenia prostych tożsamości
trygonometrycznych;
- sporządzać wykresy funkcji trygonometrycznych i odczytywać własności
tych funkcji z ich wykresów;
- rozwiązywać proste równania trygonometryczne wykorzystując poznane
wzory;
- rozwiązywać nierówności trygonometryczne posługując się wykresami
funkcji trygonometrycznych;
- obliczać wartości wyrazów ciągu na podstawie wzoru;
- sprawdzać, czy dana wartość jest wyrazem danego ciągu;
- rysować wykresy ciągów;
- sprawdzać, które wyrazy ciągu należą do danego przedziału;
- badać monotoniczność ciągu;
- sprawdzać, czy ciąg jest arytmetyczny;
- ustalać wzór ciągu arytmetycznego na podstawie różnych danych;
- obliczać sumy n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego;
- rozwiązywać zadania z wykorzystaniem średniej arytmetycznej wzorów na a
n
i S
n
;
- sprawdzać, czy ciąg jest geometryczny;
- ustalać wzór ciągu geometrycznego na podstawie różnych danych;
- obliczać sumy n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego;
- rozwiązywać zadania o ciągach geometrycznych z wykorzystaniem wzorów
6
na a
n
i S
n
;
- posługiwać się ciągiem geometrycznym do obliczeń związanych z procentem
składanym, z oprocentowaniem kredytów i lokat bankowych;
- rozróżniać trapezy, równoległoboki, prostokąty, romby, kwadraty, deltoidy
wśród innych czworokątów;
- ustalać zależności między zbiorami czworokątów;
- stosować warunki istnienia okręgu wpisanego w czworokąt oraz okręgu
opisanego na czworokącie;
- rozróżniać figury osiowosymetryczne;
- rozwiązywać zadania z wykorzystaniem osi symetrii trójkątów i
czworokątów;
- rozróżniać figury środkowosymetryczne;
- rozwiązywać zadania z wykorzystaniem środka symetrii figury;
- obliczać obwody i pola wielokątów i kół.
III. Podręczniki . Zbiory zadań i książki pomocnicze
Na bazie podstawy programowej powstało ponad 20 autorskich programów
nauczania matematyki dla liceum ogólnokształcącego, które zamieszczone
są w wykazie programów MENiS. Na podstawie tych programów
wydanych zostało wiele podręczników do nauczania matematyki w zakresie
podstawowym, w tym między innymi:
1)Wiktor Bartol, Krystyna Dałek, Ewa Łakoma, Zofia Milczek, Grażyna
Miłosz, Leszek Rudak, Grażyna Rygał, Wacław Zawadowski – Podręcznik.
Matematyka się liczy. 2. Liceum ogólnokształcące, liceum profilowane,
technikum. Kształcenie w zakresie podstawowym – WSiP SA. 2003.
2)Matematyka przyjemna i pożyteczna. Podręcznik, klasa 2, szkoły
ponadgimnazjalne, zakres podstawowy – Marek Zakrzewski, Tomasz Żak,
Eugeniusz Jakubas, Piotr Nodzyński, Jacek Szuty, Danuta Zakrzewska –
Wydawnictwo Szkolne PWN. 2003.
3) Małgorzata Trzeciak, Monika Jankowska – Matematyka. Klasa 2. Podręcznik
dla liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum.
Kształcenie w zakresie podstawowym – WSiP SA. 2003.
7
4)Maciej Antek, Piotr Grabowski – Matematyka. Podręcznik dla liceum
ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum. 2. Kształcenie
ogólne w zakresie podstawowym. – Wydawnictwo Nowa Era. 2003.
5)Stanisław Zieleń – Matematyka dla klasy 2. Liceum ogólnokształcące,
liceum profilowane, technikum. Zakres podstawowy i rozszerzony –
Wydawnictwo Nowik. 2003.
6)Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy drugiej liceum
ogólnokształcącego, liceum profilowanego, technikum. Zakres podstawowy
i rozszerzony - Ryszard J. Pawlak, Helena Pawlak, Alicja Rychlewicz,
Andrzej Rychlewicz, Kazimierz Żylak – Res Polona. 2003.
7) Matematyka z plusem. Matematyka II. Podręcznik dla liceum i technikum.
Zakres podstawowy. - Marcin Karpiński, Małgorzata Dobrowolska, Jacek
Lech – Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe. 2003.
8)Krzysztof Kłaczkow, Marcin Kurczab, Elżbieta Świda – Matematyka.
Podręcznik dla uczniów liceów i techników. Klasa II. Zakres podstawowy i
rozszerzony – Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro. 2003.
W poszerzaniu i sprawdzaniu umiejętności mogą pomóc między innymi
następujące zbiory zadań i książki pomocnicze:
1) Matematyka. Klasa 2. Kształcenie w zakresie podstawowym. Zbiór zadań dla
liceum ogólnokształcącego, liceum profilowanego i technikum – Małgorzata
Trzeciak, Monika Jankowska, Anna Oszańska-Iwanek - WSiP SA. 2003.
2)Matematyka. Klasa 2. Kształcenie w zakresach podstawowym i
rozszerzonym. Zbiór zadań dla liceum ogólnokształcącego, liceum
profilowanego i technikum – Norbert Dróbka, Karol Szymański – WSiP
SA. 2003.
3) Matematyka przyjemna i pożyteczna. Zbiór zadań. Klasa 2 – Jacek Szuty,
Eugeniusz Jakubas, Piotr Nodzyński – Wydawnictwo Szkolne PWN. 2003.
4) Matematyka się liczy. Zbiór zadań i zagadnień : Kształcenie w zakresie
podstawowym. Część 2 – Wiktor Bartol, Krystyna Dałek, Ewa Łakoma,
Zofia Milczek, Grażyna Miłosz, Leszek Rudak, Grażyna Rygał. Wacław
Zawadowski – WSiP SA. 2003.
5) I ty zostaniesz Euklidesem. Zbiór zadań z matematyki dla klasy drugiej
liceum i technikum. Zakres podstawowy. – Anna Zalewska,, Edward
8
Stachowski – Oficyna Wydawniczo – Poligraficzna „Adam”. 2003.
6) Encyklopedia Szkolna. Matematyka – w wersji książkowej lub CD–ROM –
WSiP SA.
7) Tablice matematyczne.
W cyklu edukacyjnym „ Matematyka się liczy” zawarta jest również obudowa
internetowa dostępna pod adresem
.
9
IV. Prace kontrolne
Terminy i kryteria oceniania prac kontrolnych
Uczniów obowiązuje wykonanie czterech – spośród sześciu – zaproponowanych
prac kontrolnych. Dwie pierwsze należy przesłać do Zespołu Szkół w
Warszawie do 31 stycznia, a następne dwie do 15 czerwca.
Pisz starannie długopisem lub piórem, rysunki wykonuj ołówkiem. Każda praca
zawiera sześć zadań. Ostatnie z nich jest o podwyższonym stopniu trudności. Za
każde zadanie można otrzymać najwyżej 4 punkty. Prace będą oceniane według
następujących zasad:
24 – 23 pkt – celujący,
22 – 20 pkt – bardzo dobry,
19 – 16 pkt – dobry,
15 – 12 pkt – dostateczny,
11 – 8 pkt – dopuszczający,
7 – 0 pkt – niedostateczny.
POWODZENIA!
10
Praca kontrolna nr 1
Wielomiany
Zadanie 1.
Dane są wielomiany:
W(x) = 2x² – 3; P(x) = x³ + x – 2
Wykonaj działania i uporządkuj wielomiany:
a) 3 P(x) – 2 W(x);
b) W(x) · P(x);
Zadanie 2.
a) Wykonaj dzielenie wielomianów:
(x
4
– 3x³ – x² + 2x + 6) : (x – 2).
b) Nie wykonując ilorazu podaj resztę z dzielenia:
x
5
– 4x³ – 3x² – 2x – 5 przez x + 1.
Zadanie 3.
Rozłóż na czynniki wielomiany:
a) 8x³ + 1;
b) x
5
+ 3x
4
– 4x³ – 12x²;
Zadanie 4.
Rozwiąż równania:
a) x³ – 3x² + 4x – 12 = 0;
b) x
7
– 5x
5
+ 4x³ = 0;
Zadanie 5.
Rozwiąż nierówności:
a) (3x² – 5x + 2)(3 – 2x)²(9 – x) < 0;
b) 3x³ + 5x² – 27x – 45 ≤ 0;
Zadanie 6.
Wykaż, że nierówność x
4
+ 2x³ + 3x² + 2x + 2 > 0 jest spełniona
przez każdą liczbę rzeczywistą x.
11
Praca kontrolna 2
Wyrażenia wymierne. Funkcja homograficzna
Zadanie 1.
a) Rozszerz wyrażenie tak, aby otrzymać wyrażenie o wskazanym
mianowniku:
6
5
1
1
2
−
−
=
+
x
x
x
. Wyznacz dziedziny lewej i prawej
strony równości.
b) Skróć ułamek
1
1
2
3
2
4
6
+
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
i oblicz jego wartość dla x = -2.
Zadanie 2.
Ustal dziedzinę wyrażenia i wykonaj wskazane działania:
a)
;
25
5
4
1
5
2
2
−
−
−
⋅
+
−
x
x
x
x
x
b)
;
2
3
1
9
4
4
3
2
1
2
2
x
x
x
x
x
x
−
+
−
−
−
+
+
−
Zadanie 3.
Rozwiąż równania:
a)
;
1
3
2
2
1
3
−
=
−
x
x
x
b)
0
6
5
3
2
2
1
3
2
=
+
+
+
+
+
+
+
x
x
x
x
x
x
.
Zadanie 4.
Rozwiąż nierówności:
a)
;
0
2
3
2
>
−
−
x
x
b)
3
1
2
1
1
<
−
−
+
x
x
.
Zadanie 5.
Dana jest funkcja:
x
x
y
−
−
=
1
1
2
. Narysuj wykres tej funkcji uwzględniając
punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych. Podaj dziedzinę, zbiór
wartości i przedziały monotoniczności funkcji.
12
Zadanie 6.
Wykaż, że jeśli
1
,
0
1
2
2
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
+
c
z
b
y
a
x
to
z
c
y
b
x
a
i
c
z
b
y
a
x
,
gdzie a, b, c, x, y, z są różne od 0.
13
Praca kontrolna nr 3
Funkcje trygonometryczne
Zadanie 1.
Wyznacz miarę łukową kątów wewnętrznych następujących
wielokątów foremnych: trójkąta, kwadratu, pięciokąta, sześciokąta.
Zadanie 2.
Oblicz wartości:
a) sin 1020°;
b) ctg
4
11
π.
Zadanie 3.
Narysuj w przedziale < -2π; 2π > wykres funkcji:
y = - 2 + 2cos x.
Wyznacz: zbiór wartości, miejsca zerowe i przedziały, w których
funkcja rośnie.
Zadanie 4.
Rozwiąż równania:
a) cos x =
2
1
;
b) tg x = tg
3
2
π
Zadanie 5.
Rozwiąż nierówności:
a)
sin x >
2
1
dla x
∈
< -2π; 2π >;
b) tg x ≤ 1 dla x
∈
< -2π; 2π >.
Zadanie 6.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x spełniony jest warunek - 2
< tg (sin x) < 2.
14
Praca kontrolna nr 4
Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny
Zadanie 1.
Oblicz pięć początkowych wyrazów ciągu (a
n
) określonego wzorem:
a) a
;
4
15
2
5
−
+
=
n
n
n
b) a
;
4
−
=
n
n
n
Zadanie 2.
Zbadaj monotoniczność ciągów określonych wzorami:
a) a
3
5
2
5
+
+
=
n
n
n
; b) b
n
n
3
1
=
Zadanie 3.
Które wyrazy każdego z ciągów (a
n
) i (b
n
) są równe liczbom: - 8; 0;
8, jeżeli a
4
n
n
=
; b
n
= n² + n –12 ?
Zadanie 4.
Ciąg arytmetyczny (a
n
) spełnia warunki: a
4
=3 i a
7
= 9. Oblicz a
30
oraz S
30
.
Zadanie 5.
Wartość użytkowa pewnej maszyny malała z roku na rok
w ciągu arytmetycznym. Po ilu latach maszyna całkowicie straciła
wartość użytkową, jeżeli wiadomo, że jej wartość po 18 latach była
dwa razy mniejsza niż jej wartość po 4 latach.
Zadanie 6.
Ciąg (a
n
) określony jest wzorem a
n
= n² , zaś ciąg (b
n
) wzorem b
n
= a
1
+
n
- a
n
. Wykaż, że ciąg (b
n
) jest arytmetyczny.
15
Praca kontrolna nr 5
Ciąg geometryczny. Procent składany
Zadanie 1.
Ciągi (a
n
), (b
n
), (c
n
) i (d
n
) są określone wzorami ogólnymi: a
n
n
)
3
(
=
;
b
n
= n²; c
n
n
3
2
=
; d
n
= 2n – 5. Zbadaj, który z ciągów jest geometryczny.
Zadanie 2.
O ciągu geometrycznym (a
n
) wiemy, że a
2
= 8 i a
3
= 4. Oblicz a
10
i S
10
.
Zadanie 3.
Wpłacono do banku 10000 zł na lokatę oprocentowaną na 12%
w stosunku rocznym. Oblicz stan lokaty po dwóch latach, bez
uwzględniania podatku od odsetek, jeżeli dopisywanie odsetek jest:
a) roczne;
b) miesięczne.
Uwaga! Jeśli nie dysponujesz kalkulatorem, wystarczy, że jako
rozwiązanie podasz odpowiednie wyrażenie zawierające dane z zadania.
Jeśli chcesz policzyć wszystko do końca, wynik możesz WYJĄTKOWO
podać w przybliżeniu.
Zadanie 4.
Przedsiębiorca otrzymał z banku 100000 zł kredytu. Oprocentowanie
kredytu wynosi p% rocznie, przy czym odsetki dolicza się po upływie
każdego roku (kapitalizacja roczna). Po dwóch latach niespłacania
kredytu zobowiązania przedsiębiorcy wobec banku z tego tytułu
wynosiły 150000 zł. Ile wynosił procent p?
Uwaga! Wynik możesz WYJĄTKOWO podać w przybliżeniu.
Zadanie 5.
Kowalski co miesiąc wpłaca 200 zł na fundusz emerytalny, w którym
oprocentowanie wynosi p% i odsetki dopisywane są co miesiąc. Jaki
kapitał zgromadzi Kowalski w funduszu emerytalnym po 30 latach?
16
Zadanie 6.
Udowodnij, że jeżeli liczby x, y, z tworzą ciąg geometryczny, to (x + y
+ z)(x – y + z) = x² + y² + z².
17
Praca kontrolna nr 6
Figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne.
Wielokąty
Zadanie 1.
Wyznacz równania wszystkich osi symetrii kwadratu ABCD, gdzie
A = (3, 2), B = (– 1, 4), C = (– 3, 0), D = (1, – 2).
Zadanie 2.
Na okręgu o promieniu 4 cm opisany jest równoramienny trapez,
którego długości podstaw różnią się o 12 cm. Oblicz obwód trapezu.
Zadanie 3.
W koło wpisano prostokąt, w którym stosunek długości sąsiednich
boków wynosi 2 : 1. Wyznacz stosunek pola prostokąta do pola koła.
Zadanie 4.
Naszkicuj wykres funkcji f określonej wzorem f(x) =
4
3
−
−
x
x
. Wyznacz
współrzędne środka symetrii oraz równania osi symetrii tego wykresu.
Dokonaj obliczeń uzasadniających odpowiedź!
Zadanie 5.
Długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 2, a ich
iloczyn jest równy 480. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Zadanie 6.
Wykaż, że jeśli w czworokącie wypukłym ABCD przekątne przecinają
się w punkcie O i zachodzi równość AO · OC = BO · OD, to na tym
czworokącie można opisać okrąg.
18
18