1 

8. Dynamika manipulatora 

Masa  –  wielkość  fizyczna  charakteryzująca  oddziaływanie  grawitacyjne  i 

bezwładność ciała. Bezwładność to  zdolność do przeciwstawiania się zmianom prędkości w 

ruchu  postępowym.  Podzielmy  myślowo  ciało  na  nieskończoną  ilość  elementów  (punktów 

materialnych)  i  niech 

ρ

  oznacza  gęstość  ciała  w  punkcie,  V  objętość  ciała,  wówczas  masę 

ciała m wyznaczyć moŜna z zaleŜności 

 

 

(

)

m

z

y

x

z

y

x

V

=

∫

d

d

d

,

,

ρ

 

(1) 

 

Równanie (1) moŜna zapiać takŜe w następującej postaci 

 

 

m

v

V

=

∫

d

ρ

 

(2) 

 

gdzie: dv – elementarna objętość (dv = dxdydz), 

ρ

 = 

ρ

 (x, y, z) –  jw. funkcja gęstości ciała. 

Ś

rodek  masy  to  punkt  przyłoŜenia  wypadkowej  sił  cięŜkości  działających  na  ciało. 

Ś

rodek masy obiektu ciągłego  ma współrzędne (x

c

, y

c

, z

c

) określone jako  

 

 

∫

∫

∫

=

=

=

V

c

V

c

V

c

v

z

m

z

v

y

m

y

v

x

m

x

d

1

,

d

1

,

d

1

ρ

ρ

ρ

 

(3) 

 

Równanie (3) moŜna zapiać takŜe w następującej postaci 

 

 

∫

∫

∫

=

=

=

m

c

m

c

m

c

m

z

m

z

m

y

m

y

m

x

m

x

d

1

,

d

1

,

d

1

 

(4) 

 

gdzie  dm  = 

ρ

 dv  opisuje  nieskończenie  małą  masę  punktu  materialnego  o  współrzędnych 

(x, y, z). Równania (4) zapisane w zwarty sposób ma postać 

 

 

∫

=

m

c

m

r

m

r

d

1

 

(5) 

 

 

2 

gdzie:  r

c

  –  wektor  opisujący  środek  masy  w  trójwymiarowym  układzie  współrzędnych,  

r – wektor opisujący połoŜenie punktu ciała. 

Moment  bezwładności  wielkość  fizyczna  skalarna  charakteryzująca  bezwładność 

ciała w ruchu obrotowym dookoła danej osi. Matematycznie moment bezwładności względem 

osi zdefiniowany jest następująco  

 

 

(

)

(

)

(

)

∫

∫

∫

+

=

+

=

+

=

m

zz

m

yy

m

xx

m

y

x

I

m

z

x

I

m

z

y

I

d

,

d

,

d

2

2

2

2

2

2

 

(6) 

 

Moment  dewiacji  (inaczej  iloczyn  inercji)  –  moment  bezwładności  określony  w 

prostokątnym układzie współrzędnych wzorami 

 

 

∫

∫

∫

=

=

=

=

=

=

m

zy

yz

m

zx

xz

m

yz

xy

m

z

y

I

I

m

z

x

I

I

m

y

x

I

I

d

,

d

,

d

 

(7) 

 

Macierz  inercji  (inaczej  macierz  bezwładności  lub  tensor  bezwładności)  –  macierz 

3x3  zawierająca  momenty  bezwładności  i  momenty  dewiacji,  względem  prostokątnego 

układu współrzędnych, zapisane w postaci 

 

 





















−

−

−

−

−

−

=

zz

zy

zx

yz

yy

yx

xz

xy

xx

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Ι

 

(8) 

 

Macierz inercji zawiera sześć niezaleŜnych wielkości. Dla danego ciała zaleŜą one od pozycji 

i  orientacji  układu  odniesienia  ciała.  Układ  odniesienia  moŜna  tak  dobrać,  aby  momenty 

dewiacji były równe zero. Wówczas osie układu odniesienia nazywane są osiami głównymi, a 

odpowiadające im momenty bezwładności – głównymi momentami bezwładności. 

 

Zadanie 1 

a)

 

Znajdź macierz inercji prostopadłościanu o jednorodnej gęstości 

ρ

 względem układu {0} 

pokazanego na rys. 1. 

b)

 

Wyznacz analitycznie środek masy prostopadłościanu z rys. 1. 

c)

 

Znajdź  macierz  inercji  prostopadłościanu  z  rys.  1  względem  układu  współrzędnych  {1}, 

powstałego w wyniku przesunięcia układu {0} do punktu środka masy. 

 

3 

l

w

h

0

X

0

Y

0

Z

{0}

 

 

Rys. 1. Ciało o jednorodnej gęstości 

 

 

Zadanie 2 

Macierze inercji członów manipulatora OP przedstawionego na rys. 2 są następujące 

 





















=

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

zz

yy

xx

I

I

I

I

,  





















=

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

zz

yy

xx

I

I

I

I

 

 

a całkowite masy są równe m

1

 i m

2

. Środek masy członu 1 jest umieszczony w odległości l

1

 

od  osi  pary  obrotowej,  a  środek  masy  członu  2  jest  połoŜony  w  odległości  d

2

  od  osi  pary 

obrotowej. Wyznacz równania ruchu tego manipulatora stosując równania Lagrange’a. 

 

 

E

p 

= 0

l

1

d

2

m

1

m

2

g

 

 

Rys. 2. Manipulator typu OP 

 

 

 

4 

Zadanie 3 

Wyznacz  równania  ruchu  manipulatora  POO,  przedstawionego  na  rys. 3.  Przyjmij,  Ŝe 

wszystkie ogniwa są symetryczne. Długość pierwszego ogniwa, czyli odległość od osi 

0

Z do 

osi 

1

Z, liczona wzdłuŜ osi 

1

X, wynosi a

1

. Długość drugiego ogniwa, czyli odległość od osi 

1

Z 

do osi 

2

Z, liczona wzdłuŜ osi 

2

X, wynosi a

2

. Analogicznie, długość trzeciego ogniwa wynosi 

a

3

. Macierze inercji kolejnych ogniw wynoszą 

 





















=

1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

zz

yy

xx

I

I

I

I

,  





















=

2

2

2

2

2

0

0

0

0

0

0

zz

yy

xx

I

I

I

I

,  





















=

3

3

3

3

3

0

0

0

0

0

0

zz

yy

xx

I

I

I

I

 

 

a ich masy są równe m

1

, m

2

, m

3

. Środki mas kolejnych ogniw umieszczone są w punktach C

1

, 

C

2

  i  C

3

.  Odległość  punktu  C

1

  od  osi 

0

Z  liczona  wzdłuŜ  osi 

1

X  wynosi  e

1

.  Analogicznie 

odległości punktów C

2

 i C

3

 od osi 

1

Z i 

2

Z wynoszą odpowiednio e

2

 i e

3

. 

 

 

 

Rys. 3. Manipulator POO 

 

5 

Literatura: 

[1] Buratowski T.: Podstawy robotyki, AGH Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-

Dydaktyczne, 2006 

[2] Craig J. J.: Wprowadzenie do robotyki. Mechanika i sterowanie, Wydawnictwa 

Naukowo-Techniczne, 1995 

[3] Jezierski E.: Dynamika robotów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2006 

[4] Spong M. W., Vidyasagar M.: Dynamika i sterowanie robotów, Wydawnictwa 

Naukowo-Techniczne, 1997 

[5] Wrotny L.T.: Dynamika układów mechanicznych. Repetytorium teoretyczne i zadania, 

Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1995 

[6] Wrotny L.T.: Kinematyka i dynamika maszyn technologicznych i robotów 

przemysłowych

, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1996 

 

 

Informacja o prawach autorskich 

 O ile nie zaznaczono inaczej, rysunki i teksty pochodzą z pozycji podanych w literaturze. 

Niniejsze opracowanie stanowi pomoc do laboratorium z Podstaw Robotyki.