KONSTRUKCJE SPRĘŻONE 

 

•

 

Obliczeniowe wartości siły sprężającej w stanie granicznym nośności 

Wg PN-02 [1]: 

t,

m

p

d

P

P

⋅

=

γ

                                                                       (1) 

 
  W przypadku oblicze

ń nośności na docisk oraz określenia zbrojenia pod zakotwieniami należy obliczać, że: 

pk

d

F

P

=

                                                                           (2) 

gdzie:  
         

p

γ

 - cz

ęściowy współczynnik bezpieczeństwa dla siły sprężającej równy: 

                            0,9 lub 1,0 dla efektów korzystnych 
                            1,2 lub 1,0 dla efektów niekorzystnych (pocz

ątkowa sytuacja obliczeniowa) 

         F

pk

 - charakterystyczna siła zrywaj

ąca cięgno. 

 
Wg EN 2 [2]:  
                                                    

t,

m

fav

,

p

d

P

P

⋅

=

γ

                                                                    (3) 

 
                                                   

t,

m

unfav

,

p

d

P

P

⋅

=

γ

                                                                   (4) 

 

•

 

Spr

ężenie w większości przypadków jest uważane za efekt korzystny i dlatego w stanie granicznym nośności należy zastosować 

współczynnik 

fav

,

p

γ

 równy 1,0 dla stałej i  przej

ściowej kombinacji obciążeń. 

•

 

Przy obliczaniu stateczno

ści w stanie granicznym nośności w konstrukcjach ze sprężeniem zewnętrznym, w których zwiększenie 

siły spr

ężającej jest efektem niekorzystnym, należy stosować współczynnik 

unfav

,

p

γ

. Zalecana warto

ść tego współczynnika wynosi 

1,3.  

•

 

Przy  obliczaniu  efektów  lokalnych  nale

ży  także  stosować 

unfav

,

p

γ

  o  zalecanej  warto

ści  1,2.  Dotyczy  to  również  sprawdzania 

no

śności przekroju w sytuacji początkowej. 

 

 

W  analizie  elementów  spr

ężonych  cięgnami  bezprzyczepnościowymi  należy  uwzględnić  odkształcenie  całego  elementu  podczas 

obliczenia  przyrostu  napr

ężeń  w  cięgnach.  Jeśli  nie  przeprowadza  się  dokładnych  obliczeń,  można  założyć,  że  przyrost  naprężeń  od 

efektywnego spr

ężenia do naprężeń w stanie granicznym użytkowalności wynosi 

MPa

uls

,

p

100

=

σ

∆

. 

 
Je

śli przyrost naprężeń jest obliczany w stanie odkształceń całego elementu, stosować należy średnie wartości własności materiałowych.  

Warto

ści  obliczeniowe  przyrostu  naprężeń 

p

p

pd

∆

γ

σ

∆

σ

∆

⋅

=

  powinny  by

ć  wyznaczane  przy  użyciu  częściowych  współczynników 

bezpiecze

ństwa 

sup

,

p

∆

γ

 i 

inf

,

p

∆

γ

. Zalecane warto

ści 

2

1,

sup

,

p

=

∆

γ

 i 

8

0,

inf

,

p

=

∆

γ

.  

Je

śli stosuje się liniową analizę przekroju niezarysowanego, można przyjąć dolną granicę odkształceń i wówczas: 

0

1,

inf

,

p

sup

,

p

=

=

∆

∆

γ

γ

. 

  

•

 

Charakterystyczne wartości siły sprężającej w stanie granicznym użytkowalności 

  Wielko

ści  sił 

sup

,

k

P

  i 

inf

,

k

P

  s

ą  granicami  przedziału  tolerancji  i  uwzględniają  niedokładność  wprowadzenia  sił  sprężających  do 

konstrukcji oraz oszacowania ich warto

ści końcowych. 

 
Wg PN-02: 
                                                      

t,

m

sup

sup

,

k

P

r

P

⋅

=

                                                                 (5) 

 
                                                      

t,

m

inf

inf

,

k

P

r

P

⋅

=

                                                                  (6) 

 

gdzie:  

1

1,

r

sup

=

- współczynnik wyznaczaj

ący górną wartość siły sprężającej w stanie  

                            granicznym u

żytkowalności. 

           

9

0,

r

inf

=

- współczynnik wyznaczaj

ący dolną wartość siły sprężającej w stanie 

                            granicznym u

żytkowalności. 

 
  Warto

ści 

1

1,

r

sup

=

  i 

9

0,

r

inf

=

  przyjmuje  si

ę wtedy, jeśli dokładniejsze ich określenie nie jest możliwe. Dodatkowo, wstępnie szacuje 

si

ę, iż suma strat doraźnych i reologicznych jest nie większa niż 30% początkowej siły sprężającej. 

  Wielko

ści 

sup

,

k

P

 i 

inf

,

k

P

 mo

żna wyrazić w postaci: 

 

 

 

( ) (

) ( )

t

,

x

P

t

,

x

P

m

sup

,

k

⋅

+

=

λ

1

                                                         (7) 

( ) (

) ( )

t

,

x

P

t

,

x

P

m

inf

,

k

⋅

−

=

λ

1

                                                         (8) 

 

  Zakładaj

ąc, że z uwagi na precyzję  manometrów zmienność siły 

0

P

wynosi  ±2%  za

ś niedokładność oceny wszystkich strat wynosi 

±20%, wówczas: 
 

( )

t

,

x

P

,

P

,

P

sup

,

k

∆

⋅

−

⋅

=

8

0

02

1

0

                                                    (9) 

 

( )

t

,

x

P

,

P

,

P

inf

,

k

∆

⋅

−

⋅

=

2

1

98

0

0

                                                  (10) 

 

przy 

( )

( )

t

,

x

P

P

t

,

x

P

m

∆

−

=

0

                                                   (11) 

 

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

0

0

0

0

0

1

2

0

02

0

8

0

02

1

P

t

,

x

P

P

t

,

x

P

,

,

t

,

x

P

P

t

,

x

P

P

t

,

x

P

,

P

,

t

,

x

P

t

,

x

P

t

,

x

P

m

m

sup

,

k

∆

∆

∆

∆

∆

λ

−

⋅

+

=

−

+

−

⋅

−

⋅

=

−

=

 

 

Dla 

( )

30

0

0

,

P

t

,

x

P

=

∆

, warto

ść 

11

0,

=

λ

, za

ś dla 

( )

15

0

0

,

P

t

,

x

P

=

∆

 warto

ść 

05

0,

=

λ

.  

 
Wg EN-2:  
 
Najwy

ższa wartość charakterystyczna: 

 
                                                    

)

x

(

P

r

P

t,

m

sup

sup

,

k

⋅

=

                                                           (12) 

 
Najni

ższa wartość charakterystyczna: 

 
                                                    

)

x

(

P

r

P

t,

m

inf

inf

,

k

⋅

=

                                                            (13)      

 

 

 
gdzie warto

ści 

sup

r

i 

inf

r

 mog

ą być przyjmowane: 

 

•

 

dla strunobetonu i ci

ęgien bez przyczepności  

05

1,

r

sup

=

 i 

95

0,

r

inf

=

, 

•

 

dla kablobetonu i ci

ęgien związanych z przekrojem poprzez iniekcję  

10

1,

r

sup

=

                         i 

90

0,

r

inf

=

. 

•

 

je

śli poczynione zostały odpowiednie pomiary (np. bezpośredni pomiar siły sprężającej w warunkach użytkowalności) można 

przyj

ąć, że 

0

1,

r

r

inf

sup

=

=

. 

 

•

 

Częściowe współczynniki bezpieczeństwa dla materiałów 

  Przyj

ęte przez PN-02 i EC 2 częściowe współczynniki bezpieczeństwa dla materiałów w stanach granicznych nośności 

c

γ

i 

s

γ

 podano 

w tablicy 1. 
     Tablica 1. Cz

ęściowe współczynniki dla materiałów w stanach granicznych nośności 

 

 

Sytuacje 
obliczeniowe 

c

γ

dla 

betonu 

s

γ

dla stali 

zbrojeniowej 

p

γ

dla stali 

spr

ężającej 

Wg PN-
02 

Trwała i 
przej

ściowa 

 
Wyj

ątkowa 

1,5 

 

1,3 

1,15 

 

1,0 

1,25

* 

 

1,0 

 
Wg EC 2 

Trwała i 
przej

ściowa 

 
Spowodowana 
wypadkiem 

1,5 

 

1,2 

1,15 

 

1,0 

1,15 

 

1,0 

*Prowadzi to do zbyt du

żej redukcji wytrzymałości obliczeniowej 

pk

pk

p

f

,

,

f

,

⋅

=

⋅

=

72

0

25

1

9

0

σ

 

 
Cz

ęściowe  współczynniki  bezpieczeństwa  dla  weryfikacji  stanów granicznych użytkowalności przyjmuje się równe 1,0. 

 

 

•

 

Wytrzymałość i naprężenia w betonie w chwili sprężenia 

0

t

 

  Minimalna klasa betonu przyjmowana przez PN-02 wynosi C30 dla kablobetonu i C37 dla strunobetonu. Równocze

śnie naprężenia 

ściskające w betonie, w początkowej sytuacji obliczeniowej pod działaniem siły sprężającej 

sup

,

k

P

  nie  powinny  przekracza

ć podanych 

warto

ści:  

•

 

w elementach strunobetonowych: 

                          przy spr

ężeniu osiowym - 

)

t

(

f

,

cm

0

6

0

 

                          przy spr

ężeniu mimośrodowym - 

)

t

(

f

,

cm

0

7

0

 

•

 

w elementach kablobetonowych: 

                          przy spr

ężeniu osiowym - 

)

t

(

f

,

cm

0

5

0

 

                          przy spr

ężeniu mimośrodowym - 

)

t

(

f

,

cm

0

6

0

 

 
 

Średnią  wytrzymałość  betonu  w  chwili  sprężenia 

)

t

(

f

cm

0

mo

żna  przyjmować  równą  0,85  założonej  28  –  dniowej  gwarantowanej 

wytrzymało

ści betonu 

cube

,

c

f

. 

  Wytyczne EC 2 nie precyzuj

ą minimalnych klas betonu dla konstrukcji sprężonych. Przyjmuje się tylko dodatkowe wytyczne: 

•

 

wytrzymało

ść betonu w chwili sprężenia nie może być niższa od wartości minimalnej, definiowanej przez European Technical 

Approval, 

•

 

w elementach strunobetonowych napr

ężenia ściskające w betonie w czasie zabiegu sprężania mogą dochodzić do wartości 

ck

f

,7

0

, 

•

 

napr

ężenia  ściskające  betonu  w  konstrukcji  wywołane  siłą  sprężającą  i  pozostałymi  obciążeniami  w  czasie,  powinny  zostać 

ograniczone do warto

ści 

)

t

(

f

,

ck

c

6

0

≤

σ

, 

•

 

je

żeli  naprężenia  ściskające  w  betonie  stale  przekraczają  wartość 

)

t

(

f

,

ck

45

0

,  to  powinno  si

ę  uwzględnić  nieliniowość  pełzania 

betonu, 

•

 

lokalne  rozłupanie  lub  rozszczepienie  betonu  pod  zakotwieniami  musi  by

ć  ograniczone  według  zaleceń  European  Technical 

Approval, 

•

 

je

śli sprężenie jest realizowane etapami, wówczas wymagana wytrzymałość betonu może być zredukowana. 

 
Obowi

ązuje zasada, iż minimalna wytrzymałość 

( )

t

f

cm

 w chwili rozpocz

ęcia sprężenia siłą sprężającą nieprzekraczającą 30% pełnego 

spr

ężenia, musi wynosić co najmniej 50% wytrzymałości końcowej, wymaganej przy pełnym sprężeniu. Pomiędzy tą wytrzymałością 

minimaln

ą  a  wytrzymałością  końcową  przy  pełnym  sprężeniu, sprężenie może być kolejno proporcjonalnie uzupełniane. 

 

 

2.

 

Siła sprężająca 

•

 

Początkowa siła sprężająca i jej zmiany po sprężeniu 

  Oznaczenia oraz wielko

ści sił sprężających początkowych, po stratach doraźnych  i stratach całkowitych przedstawiono w tablicy 2. 

 
  Tablica 2. Oznaczenia sił spr

ężających  

 

Oznaczenia 

według 

Pocz

ątkowa siła 

spr

ężająca 

Siła spr

ężająca po 

stratach dora

źnych 

Siła spr

ężająca po 

uwzgl

ędnieniu 

strat całkowitych 

PN-02 [1] 

max

,

p

A

P

0

0

σ

⋅

=

 

0

0

pm

p

m

A

P

σ

⋅

=

 

t,

pm

p

t,

m

A

P

σ

⋅

=

 

EC 2 [2] 

max

,

p

p

max

A

P

σ

⋅

=

 

)

x

(

A

)

x

(

P

pm

p

m

0

0

σ

⋅

=

 

t,

m

P

 

 

gdzie:                    

   

pk

f

,80

0

≤

 

   

k

.

p

f

,

1

0

90

0

≤

 

 

      

pk

f

,75

0

≤

      

   

k

.

p

f

,

1

0

85

0

≤

 

 

pk

t,

pm

f

,65

0

≤

σ

 

 
 
 
 
 
 
 









max

,

p

max

,

σ

σ

0









)

x

(

,

pm

,

pm

0

0

σ

σ

 

 

 
Straty siły sprężającej obejmują: 
 

1)

 

dora

źne straty siły sprężającej zachodzące w procesie sprężania konstrukcji, obejmują: 

 

•

 

straty dora

źne spowodowane tarciem cięgna w kanale (kablobeton) 

)

x

(

P

µ

∆

, 

•

 

straty dora

źne od poślizgu cięgna w zakotwieniu 

sl

P

∆

 (kablobeton) lub w uchwytach technologicznych (strunobeton), okre

ślone na 

podstawie  wielko

ści  poślizgu  podanej  w  aprobacie  technicznej  systemu  sprężania,  obliczone  przy  uwzględnieniu  możliwości 

zmiany tej straty na długo

ści cięgna, 

•

 

straty  spr

ężenia  spowodowane  sprężystym  odkształceniem  betonu 

c

P

∆

,  obliczone  przy  zało

żeniu  siecznego  współczynnika 

spr

ężystości 

cm

E

  dla  betonu  o  klasie  odpowiadaj

ącej  wytrzymałości  charakterystycznej  betonu  w  chwili  sprężenia    t,  oraz 

rzeczywistego współczynnika spr

ężystości stali, z uwzględnieniem kolejności (w kablobetonie) naciągu cięgien, 

•

 

 straty dora

źne od częściowej relaksacji stali (w strunobetonie) 

ir

P

∆

 obliczone na podstawie 

świadectw producenta stali, 

 

2)

 

opó

źnione (reologiczne) straty siły sprężającej zachodzące w czasie t, tj.: 

 

•

 

straty  opó

źnione  wywołane  skurczem  i  pełzaniem  betonu  oraz  relaksacją  stali  sprężającej 

)

t

(

P

t

∆

,  okre

ślone  przy  założeniu 

równoczesnego wyst

ępowania odkształceń opóźnionych w betonie i relaksacji stali. 

 
  Siła  spr

ężająca  po  stratach  doraźnych,  tj.  siła  przekazywana  na  beton  bezpośrednio  po  zakotwieniu  cięgien  wyznaczana  jest  ze 

wzorów: 
 

•

 

w strunobetonie: 

                                                  

c

ir

sl

m

P

P

P

P

P

∆

∆

∆

−

−

−

=

0

0

                                                 (14) 

•

 

w kablobetonie (w odległo

ści x od zakotwienia czynnego): 

                                                 

c

sl

m

P

P

)

x

(

P

P

P

∆

∆

∆

µ

−

−

−

=

0

0

                                             (15) 

  Siła spr

ężająca (wartość średnia) w strunobetonie, po czasie t od sprężenia określana jest ze wzoru: 

                                            

)

t

(

*

P

P

P

P

P

P

t

c

ir

sl

t,

m

∆

∆

∆

∆

−

−

−

−

=

0

                                      (16) 

 

 

 

 
Graficzne przedstawienie strat siły spr

ężającej w strunobetonie podano na rys 1.

Czas t 

 

Przekazanie spr

ężenia 

na beton 

Betonowanie 

elementów w 

formach 

Wykonanie 

naci

ągu cięgien 

∆

P

sl

 

∆

P

ir

     relaksacja stali na torze naci

ągowym 

∆

P

c

 

∆

P

*

t

(t

1

) 

∆

P

0

 

∆

P

t

(t) 

P

0

 

P

m,0

 

P

m,t

 

≤

 0,80 f

pk

 

≤

 0,90 f

p0,1k

 

σ

p0,max

 

σ

pm0

 

≤

 0,75 f

pk

 

≤

 0,85 f

pk0,1k

 

    Przekazanie  spr

ężenia na beton 

Dowolny czas 

t

1 

Siła spr

ężająca P 

t

0

 

t

1 

 

 

Straty siły spr

ężającej w kablobetonie przedstawiono graficznie na rys. 2. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Czas t 

t

1 

Wybrany czas t

1 

Betonowanie 

elementu 

Naci

ąg cięgna 

spr

ężającego 

∆

P

µ

(x)

 

∆

P

sl

 

∆

P

c

 

∆

P

t

(t

1

) 

Straty własne urz

ądzeń naciągowych 

naciągowych 

∆

P

0

 

∆

P

t

(t) 

P

0

 

P

m,t

 

≤

 0,80 f

pk

 

≤

 0,90 f

p0,1k

 

σ

p0,max

 

σ

pm0

 

≤

 0,75 f

pk

 

≤

 0,85 f

pk0,1k

 

Kotwienie ci

ęgna 

spr

ężającego 

Siła spr

ężająca P  

 

 

gdzie:  

p

A

= poprzeczne pole przekroju ci

ęgna, 

pk

f

 = wytrzymało

ść charakterystyczna stali sprężającej na rozciąganie, 

k

.

p

f

1

0

= charakterystyczna granica plastyczno

ści stali sprężającej, 

)

x

(

pm0

σ

= napr

ężenia w cięgnie sprężającym bezpośrednio po sprężeniu, 

)

x

(

P

t,

m

= 

średnia wartość siły sprężającej w przekroju x po uwzględnieniu wszystkich strat, 

 

)

x

(

P

)

x

(

P

)

x

(

P

r

s

c

m

t,

m

+

+

−

=

∆

0

 

c

P

∆

= strata siły na skutek odkształce

ń sprężystych elementu po przekazaniu siły, 

sl

P

∆

= strata siły na skutek po

ślizgu w zakotwieniach (lub w uchwytach technologicznych w strunobetonie). Nie występuje w przypadku 

zakotwie

ń bezpoślizgowych, 

ir

P

∆

= strata siły od cz

ęściowej relaksacji stali sprężającej na torze naciągowym, 

µ

∆

P

= strata siły na skutek tarcia, 

)

t

(

P

t

∆

= strata siły na skutek pełzania, skurczu i relaksacji stali spr

ężającej po czasie t. W przypadku strunobetonu bierze się pod uwagę 

tylko  relaksacj

ę  pozostałą  po  odjęciu  częściowej  relaksacji  na  torze  naciągowym.  Stąd  straty  opóźnione  w  strunobetonie 

oznaczono jako 

)

t

(

*

P

t

∆

. 

 
  W zestawieniu strat dora

źnych nie wymieniono strat własnych urządzeń naciągowych w strunobetonie  i strat własnych zespołu prasa 

naci

ągowa-agregat pompowy w kablobetonie. Muszą one być każdorazowo uwzględnione przy realizacji projektowanej siły sprężającej. 

 
  Przy  projektowaniu  konstrukcji  spr

ężonych  niezbędnym  staje  się  oszacowanie  efektywnego  sprężenia  w  różnych  sytuacjach  i 

obliczenie strat spr

ężenia spowodowanych działaniem wielu czynników. Jeśli to możliwe, obliczenia powinny być oparte na danych z 

praktyki lub na podstawie danych do

świadczalnych. 

 
Sił

ę sprężającą w kablobetonie, po czasie t od sprężenia wyznacza się ze wzoru: 

 
                                         

)

t

(

P

P

P

)

x

(

P

P

P

t

c

sl

t,

m

∆

∆

∆

∆

µ

−

−

−

−

=

0

                                     (17) 

   

 

Straty  reologiczne  (opó

źnione)  są  wynikiem  relaksacji  stali sprężającej, skurczem i pełzaniem betonu. 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys. 3  Straty spr

ężenia w kablobetonie na długości cięgna 

≤

 0,80 f

pk 

≤

 0,90 f

p0,1 k 

σ

p0 max = 

P

0 

P

0

-

∆

P

c 

Siła spr

ężająca P

 

P

m,0 

P

m,t 

∆

P

c 

∆

P

µ

(x) 

(P

0

-

∆

P

c

)e

-

µ

(

θ

+kx) 

P

m,t

 (x

1

) 

∆

P

t

(t) 

Odległo

ść od zakotwienia czynnego 

x

1

 

x 

Zasi

ęg poślizgu x

0 

 

 

Obliczenie strat doraźnych siły sprężającej 

•

 

Straty siły sprężającej spowodowane tarciem cięgna w kanale: 

 
   

 

                               

(

)

[

]

kx

e

P

)

x

(

P

+

−

−

=

Θ

µ

µ

∆

1

0

                                                (18)     

gdzie: 
            x = odległo

ść rozpatrywanego przekroju od punktu przyłożenia prasy naciągowej [m], 

     

µ

= współczynnik tarcia ci

ęgna w kanale (zależny od charakterystyk powierzchni cięgien  i  kanałów,  obecności  rdzy  i  kształtu 

przekroju ci

ęgna), 

Θ

= suma k

ątów zakrzywienia trasy cięgna na długości od 0 do x (niezależnie od    kierunku i znaku) [rad], 

k = niezamierzony k

ąt falowania trasy cięgna (na jednostkę długości). Wielkość k zależy od: jakości cięgna, odległości pomiędzy 

punktami  jego  podparcia,  rodzaju  osłonki  lub  kanału  kablowego.  Dla  ci

ęgien  zewnętrznych,  składających  się  z  równoległych 

drutów lub splotów wielko

ść k można zaniedbać. 

Warto

ści 

µ

i  k  maj

ą  szczególne  znaczenie  przy  długich  kablach  wewnętrznych,  jak  i  silnie  zakrzywionych  kablach  wewnętrznych  i 

zewn

ętrznych. 

Zalecane 

średnie wartości 

µ

 i k proponowane przez PN-02 wynosz

ą: 

 
Współczynnik k nale

ży określić doświadczalnie. Przy braku dokładniejszych danych można przyjąć 

m

/

rad

,

k

,

01

0

005

0

≤

≤

. 

 
Warto

ść współczynnika 

µ

mo

żna przyjmować:                           

0,17 - przy tarciu drutów po stali osłonki, 
0,19 - przy tarciu splotów po stali osłonki, 
0,35 - przy tarciu pr

ętów gładkich po stali, 

0,65 - przy tarciu pr

ętów żebrowanych po stali. 

 
Współczynniki tarcia 

µ

 dla kabli z przyczepno

ścią i zewnętrznych kabli bez przyczepności przyjęte przez EC-2 [2] podano w tablicy 3. 

 

 
 
 

 

 

Tablica 3  Współczynnik tarcia 

µ

 dla kabli z przyczepno

ścią i bez przyczepności [2]. 

 

 

Kable z 
przyczepno

ścią

1)

 

Zewn

ętrzne cięgna bez przyczepności 

Osłonki 
stalowe bez 
smaru 

Osłonki 
HDPE bez 
smaru 

Osłonki ze 
smarem 

Osłonki 
HDPE ze 
smarem 

Druty ci

ągnione na zimno 

0,17 

0,25 

0,14 

0,18 

0,12 

Sploty 

0,19 

0,24 

0,12 

0,16 

0,10 

Pr

ęty żebrowane 

0,65 

- 

- 

- 

- 

Gładkie pr

ęty okrągłe 

0,33 

- 

- 

- 

- 

 

   1)  

dla kabli wypełniaj

ących około połowy przekroju poprzecznego kanału 

 
W tablicy 4 przedstawiono przedziały współczynników tarcia na odcinku prostym 

k

µ

oraz na krzywi

źnie 

µ

 według zalece

ń normy 

ameryka

ńskiej ACI 318:2002 [4]. 

 
Tablica 4 współczynniki tarcia na odcinku prostym 

k

µ

 i na krzywi

źnie 

µ

. 

 

Charakterystyka powierzchni 

Rodzaj ci

ęgna 

k

µ

 

µ

 

Kable w osłonach metalowych 

(przewidziane do iniekcji zaczynem 

cementowym) 

Wielodrutowe 

0,0010÷0,0015 

0,15÷0,25 

Pr

ęty 

0,0001÷0,0006 

0,08÷0,30 

Sploty 7-drutowe 

0,0005÷0,0020 

0,15÷0,25 

Kable bez przyczepno

ści 

powlekane 

żywicą 

Wielodrutowe 

0,0010÷0,0020 

0,05÷0,15 

Sploty 7-drutowe 

0,0010÷0,0020 

0,05÷0,15 

Kable bez przyczepno

ści 

powlekane smarem 

Wielodrutowe 

0,0003÷0,0020 

0,05÷0,15 

Sploty 7-drutowe 

0,0003÷0,0020 

0,05÷0,15 

 
 
 
 

 

 

•

 

Straty sprężenia spowodowane sprężystym odkształceniem betonu 

c

∆

P

: 

 

a) w elementach strunobetonowych: 

 

                                                      

0

2

1

P

I

A

z

P

cs

cs

cp

p

e

c













+

=

ρ

α

∆

                                           (19)  

 

b) w elementach kablobetonowych (straty te nale

ży uwzględniać tylko w przypadku 

    kolejnego naci

ągu kabli): 

 

                                                  

0

2

1

2

1

P

I

A

z

n

n

P

cs

cs

cp

p

e

c













+

−

=

ρ

α

∆

                                       (20) 

 
gdzie:  

                                                      

cs

p

p

A

A

=

ρ

,             

cm

p

e

E

E

=

α

 

n = liczba kabli. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

•

 

Straty wywołane poślizgiem cięgna w zakotwieniach 

sl

∆P

. 

  Warto

ść  poślizgu  cięgien  w  zakotwieniach  a

p

  nale

ży  przyjmować  na  podstawie  doświadczeń  w  zależności  od  typu  i  rodzaju 

zakotwienia. Straty wywołane po

ślizgiem cięgna na odcinku poślizgu x

p0

 nale

ży obliczać wg wzoru: 

                                               

p

p

p

sl

A

E

x

x

x

a

P

2

0

0

2

−

=

∆

 

                                      (21) 

gdzie:  
   

=

p

a

warto

ść poślizgu przyjmowana dla odpowiednich rodzajów zakotwień, 

   

=

0

x

zasi

ęg pośllizgu w [m], 

 x = odległo

ść rozpatrywanego przekroju elementu od zakotwienia sprężanego cięgna. 

       Gdy x > x

0

 , wówczas 

0

=

sl

P

∆

. 

Warto

ść odległości zasięgu poślizgu x

0

 nale

ży obliczać: 

 

- dla kabli prostych: 

 

                                   

0

0

P

k

A

E

a

x

p

p

p

µ

=

   

                                      (22) 

 

- dla kabli zakrzywionych: 

                                         

r

P

A

E

a

ln

r

x

p

p

p

0

0

1

1

µ

µ

−

=

 

                                                  (23) 

Dla belek przyjmuje si

ę, jako miarodajną, wartość bardziej niekorzystną obliczoną wg (22) i (23). 

 
 
 
 
 

 

 

•

 

Straty spowodowane częściową relaksacją stali 

 
  W elementach strunobetonowych straty te oblicza si

ę ze wzoru: 

 
                                                        

p

pir

ir

A

P

⋅

=

σ

∆

∆

                                                            (24) 

w którym: 
              
  

pir

σ

∆

= strata napr

ężenia w  cięgnach  sprężających  spowodowana relaksacją stali w czasie 

              od naci

ągu cięgien do przekazania siły na beton, dla początkowego poziomu     naprężeń 

0

pm

p

σ

σ

=

. 

 
 
 

•

 

Straty wywołane wpływem różnic temperatury w strunobetonie 

T

P

0

∆

. 

 
  W  produkcji  elementów  strunobetonowych  stosowana  jest  zwykle  obróbka  cieplna  betonu  celem  przy

śpieszenia  jego  dojrzewania. 

Mog

ą  wówczas  występować  różnice  temperatur  między  cięgnami  a  konstrukcją  oporową,  w  której  cięgna  są  kotwione.  Nagrzanie 

mieszanki betonowej spowoduje pewien spadek napr

ężeń w cięgnach i w konsekwencji straty siły sprężającej 

T

P

0

∆

 wyra

żone wzorem 

[5]: 
 

(

)

0

0

9

0

T

T

A

E

,

P

max

pT

p

p

T

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

α

∆

                                          (25) 

gdzie: 

=

pT

α

współczynnik rozszerzalno

ści cieplnej stali na 1ºC, 

=

−

0

T

T

max

okre

ślona różnica temperatury w ºC w czasie naparzania. 

 
 
 
 
 

 

 

•

 

 Odkształcenia opóźnione w betonie i relaksacja stali sprężającej w aspekcie strat reologicznych siły sprężającej 

 

Na  wielko

ść  strat  reologicznych  siły  sprężającej  wpływają  odkształcenia  opóźnione  wywołane  skurczem  i  pełzaniem  betonu  oraz 

relaksacj

ą  stali  sprężającej.  Precyzja  metod  określających  wpływy  pełzania  i  skurczu  betonu  będzie  funkcją  prawdopodobieństwa 

danych dotycz

ących opisu ich zjawisk i znaczenia ich wpływu na rozważane stany graniczne.  

Warto

ści 

)

t

,

t

(

0

φ

 nale

ży obliczać zgodnie z załącznikiem A zawartym w PN-02. Współczynnik pełzania 

)

t

,

t

(

0

φ

uzale

żnia się tam od: 

-

 

wilgotno

ści względnej środowiska, 

-

 

stosunku przekroju rozpatrywanego elementu do jego obwodu, 

-

 

czasu trwania obci

ążenia, 

-

 

wytrzymało

ści betonu, 

-

 

zmian temperatury otoczenia betonu.  

 
W  zał

ączniku  A  przedstawiono  także  wartości  końcowego  współczynnika  pełzania  betonu 

)

t

,

(

0

∞

φ

oraz  funkcji 

)

t

t

(

0

−

β

  okre

ślającej 

przyrost pełzania po przyło

żeniu obciążenia obliczone dla cementów zwykłych i szybkotwardniejących. 

W przypadku gdy 

)

t

(

f

.

cm

c

0

45

0

>

σ

 wówczas współczynnik 

)

t

,

t

(

k

0

φ

 oblicza si

ę ze wzoru: 

 
                                                

)

.

k

(

.

k

e

)

t

,

t

(

)

t

,

t

(

45

0

5

1

0

0

−

⋅

=

σ

φ

φ

                                             (26) 

 
w  którym  k

σ

  jest  stosunkiem  napr

ężeń ściskających w betonie 

c

σ

  do 

średniej wytrzymałości betonu na ściskanie w chwili obciążenia 

f

cm

(t

0

). Ten sam wzór na 

)

t

,

t

(

k

0

φ

zaleca tak

że EC 2 z tą różnicą, że pełzanie nieliniowe przyjmuje się dla 

)

t

(

f

,

ck

c

45

0

>

σ

. 

 
Na warto

ść końcowego odkształcenia skurczowego 

ca

cd

cs

ε

ε

ε

=

=

 składaj

ą się : 

        

cd

ε

- odkształcenie skurczowe na skutek wysychania, 

        

cd

ε

- autogeniczny przyrost skurczu. 

 
Wielko

ść odkształceń skurczowych uzależnia się od:  

-

 

wilgotno

ści względnej, 

-

 

typu u

żytego cementu, 

-

 

wytrzymało

ści betonu na ściskanie w wieku 28 dni. 

 

 

•

 

Relaksacja stali sprężającej 

Relaksacja  stali  spr

ężającej  zależy  od  wytrzymałości  charakterystycznej  stali,  od  wielkości  występujących  w  niej  naprężeń  oraz  od 

temperatury otoczenia w której pracuje konstrukcja. Wielko

ści relaksacji po 1000 godz. podaje zwykle producent stali sprężającej. PN02 

przedstawia straty napr

ężeń w stali sprężającej wywołane jej relaksacją w zależności od stosunku 

pk

p

f

σ

 zmieniaj

ącego się od 0,6 do 0,8, 

co pokazano na rys. 4.  Przybli

żoną wielkość strat w wyniku relaksacji w czasie od 0 do 1000 godz. przedstawiono w tablicy 5. Wartość 

p

σ

 przyjmuje si

ę równą 

pgo

σ

, gdzie 

=

0

pg

σ

 pocz

ątkowe naprężenie w cięgnach wywołane naciągiem i obciążeniami stałymi. 

  Warto

ść strat po długim okresie czasu przyjmowana jest jako dwukrotnie większa niż po 1000 godz. 

 
Tablica 5. Straty napr

ężeń w stali sprężającej w czasie od 0 do 1000 godz. w wyniku relaksacji stali 

 

Czas w godzinach 

1 

2 

20  100  200  500  1000 

Straty na skutek relaksacji 
w % strat po 1000 godz. 

15 

25 

35 

55 

65 

85  100 

 
 

  Przy temperaturze konstrukcji powy

żej 60

0

C straty spowodowane relaksacj

ą po krótkim okresie czasu mogą być 2 do 3 razy większe 

ni

ż przy temperaturze 20

0

C, krótkotrwała obróbka cieplna nie ma wpływu na relaksacj

ę po długim okresie czasu. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 4  Straty w stali spr

ężającej wywołane relaksacją po 1000 godz. przy 

σ

p

/f

pk

 od 0,6-0,8 

przy temperaturze t = 20

0 

 
Według EC 2 wyró

żnia się 3 klasy relaksacji: 

 

-

 

klasa 1: druty i liny (typowe ci

ęgna sprężające), 

-

 

klasa 2: druty i liny o niskiej relaksacji, 

-

 

klasa 3: pr

ęty obrabiane i walcowane na gorąco.  

Obliczenia  strat  od  relaksacji  stali  spr

ężającej  powinny  opierać  się  na  wartości 

1000

ρ

,  tj.  strat  spowodowanych  relaksacj

ą  po  1000 

godzinach po spr

ężeniu w średniej temperaturze 20

0

C. Warto

ść 

1000

ρ

 jest wyra

żona jako procentowy stosunek wstępnego naprężenia do 

napr

ężenia równego 0,7f

p

, przy czym f

p

 jest wła

ściwą wytrzymałością na rozciąganie dla próbek sprężonych. 

Warto

ści 

1000

ρ

przyjmuje si

ę jako równe: 8% dla klasy 1; 2,5% dla klasy 2 i 4% dla klasy 3, lub zgodnie z zaleceniami podanymi przez 

producenta stali. 
   

12,0   Klasa 1 (druty i 
sploty spr

ężające zwykłe) 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

4,

1,5 

1,0 

8,0 

4,0 

2,5 

7,0   Klasa 3 (pr

ęty) 

4,5   Klasa 2 (druty i 
sploty spr

ężające o 

niskiej relaksacji) 

0,6 

0,7 

0,8 

% od 

σ

p 

pk

p

f

σ

R
e
l
a
k
s
a
c
j
a 

 

 

Straty napr

ężeń powstałe w wyniku relaksacji stali sprężającej w czasie określa się ze wzorów: 

klasa 1: 

5

)

1

(

75

,

0

7

,

6

1000

10

1000

39

,

5

−

−

⋅













⋅

⋅

⋅

=

∆

µ

µ

ρ

σ

σ

t

e

pi

pr

                     (27) 

klasa 2: 

5

)

1

(

75

,

0

1

,

9

1000

10

1000

66

,

0

−

−

⋅













⋅

⋅

⋅

=

∆

µ

µ

ρ

σ

σ

t

e

pi

pr

                     (28) 

klasa 3: 

5

)

1

(

75

,

0

8

1000

10

1000

98

,

1

−

−

⋅













⋅

⋅

⋅

=

∆

µ

µ

ρ

σ

σ

t

e

pi

pr

 

     

       (29) 

gdzie dodatkowo oznaczono: 

=

pr

σ

∆

warto

ść bezwzględna strat od relaksacji 

0

pm

pi

σ

σ

=

 (dla strunobetonu 

pi

σ

stanowi napr

ężenie początkowe pomniejszone o straty natychmiastowe, występujące w procesie 

spr

ężania) 

=

t

czas po spr

ężeniu (w godzinach) 

pk

pi

f

σ

µ

=

 

Ko

ńcową wartość relaksacji można określić ze wzorów (27), (28), (29) przyjmując czas t równy 500 000 godzin (około 57 lat). 

W  obliczeniach  strat  od  relaksacji  w  strunobetonie,  gdzie  zastosowano  przy

śpieszenie  dojrzewania  betonu  przez  obróbkę  termiczną, 

nale

ży  uwzględnić  przyśpieszoną  relaksację  poprzez  wprowadzenie  „zastępczego  czasu” 

eq

t

,  jaki  powinien  by

ć  dodany  do  czasu  po 

spr

ężeniu 

t

 w obliczeniu strat według wzorów (27), (28), (29).  

 
Czas zast

ępczy można wyznaczyć z równania: 

(

)

∑

=

−

⋅

−

⋅

−

=

n

i

i

)

t

(

max

T

eq

t

T

T

,

t

i

max

1

20

20

20

14

1

∆

∆

                                             (30) 

gdzie: 

=

)

t

(

i

T

∆

temperatura [ºC] w czasie 

i

t

∆

, 

=

max

T

maksymalna temperatura [ºC] w czasie procesu nagrzewania. 

 

 

 

 Obliczeniowa analiza strat reologicznych siły sprężającej 

  Zało

żenia obliczeniowe: 

•

 

straty reologiczne (opó

źnione) siły sprężającej oblicza się przy założeniu występowania równoczesnego skurczu i pełzania betonu 

oraz relaksacji stali spr

ężającej, 

•

 

z  uwagi  na  odkształcenia  od  skurczu  i  pełzania  betonu  elementu  spr

ężonego  i  wynikającą  stąd  redukcję  wydłużenia  stali 

spr

ężonej, w obliczeniach określa się t.zw. „relaksację złagodzoną” t.j. wartość 

pr

,

σ

∆

⋅

80

0

. Warto

ść 

pr

σ

∆

 oblicza si

ę w zależności 

od klasy stali oraz wzgl

ędnego poziomu naprężeń 

pk

p

f

σ

, 

•

 

w  obliczeniach  strat  reologicznych  bierze  si

ę pod uwagę odkształcenia skurczowe 

( )

0

t

,

t

cs

ε

  oraz  odkształcenia  betonu  wywołane 

pełzaniem od napr

ężeń 

(

)

cpo

cg

σ

σ

+

 wyst

ępujących w poziomie stali sprężającej, 

•

 

przyjmuje si

ę założenie, iż strata siły sprężającej działającej na betonowy przekrój sprowadzony jest równa stracie siły sprężającej 

w stali 

r

s

c

,

p

+

+

σ

∆

, 

gdzie: 

=

cg

σ

napr

ężenie  w  betonie  na  poziomie  środka  ciężkości  cięgien  od  ciężaru  własnego  i  innych  obciążeń  stałych  (naprężenia 

rozci

ągające przyjmuje się ze znakiem minus) 

=

cpo

σ

pocz

ątkowe naprężenie w betonie na poziomie środka ciężkości cięgien wywołane sprężeniem: 

cs

cp

pd

cs

pd

cpo

J

y

z

N

A

N

⋅

⋅

+

=

σ

                                                    (31) 

 

t,

m

pd

P

N

=

(przyjmowane przy obliczaniu strat), 

=

cs

A

pole powierzchni przekroju sprowadzonego, 

=

cs

J

moment bezwładno

ści przekroju sprowadzonego, 

=

cp

z

odległo

ść siły 

pd

N

 od 

środka ciężkości przekroju sprowadzonego, 

=

y

odległo

ść rozpatrywanego włókna od środka ciężkości przekroju sprowadzonego, 

=

=

pgo

p

σ

σ

pocz

ątkowe naprężenie w cięgnach, wywołane naciągiem i obciążeniami stałymi. 

 
   

 

 

Wychodz

ąc  z  warunku  równości  zmian  w  czasie  odkształceń  stali  sprężającej  i  odkształceń  opóźnionych  betonu  w  osi  cięgien 

spr

ężających oddalonych od środka ciężkości przekroju o wartość 

cp

z

 otrzymuje si

ę: 

 

( )

( )

( )

(

)

( )

( )















+

⋅

−

⋅

+

+

=

⋅

−

+

+

cs

cp

cs

c

c

cm

cpo

cg

cs

p

pr

r

s

c

,

p

J

z

A

E

t

,

t

P

E

t

,

t

t

,

t

E

t

,

t

,

t

,

t

2

0

0

0

0

0

1

8

0

∆

φ

σ

σ

ε

σ

∆

σ

∆

   (32) 

 

Wprowadzaj

ąc do równania (32) skorygowany moduł sprężystości betonu 

( ) ( )

0

0

1

t

,

t

t

,

t

E

E

cm

c

φ

χ

⋅

+

=

 gdzie 

( )

8

0

0

,

t

,

t

=

χ

 wówczas równanie (32) 

mo

żna zapisać w postaci: 

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

[

]















+

⋅

⋅

+

⋅

−

+

⋅

+

+

=

⋅

−

+

+

cs

cp

cs

cm

c

cm

cpo

cg

cs

p

pr

r

s

c

,

p

J

z

A

t

,

t

,

E

t

,

t

P

E

t

,

t

t

,

t

E

t

,

t

,

t

,

t

2

0

0

0

0

0

0

1

8

0

1

8

0

φ

∆

φ

σ

σ

ε

σ

∆

σ

∆

                    (33) 

Mno

żąc równanie (33) przez 

p

p

E

A

⋅

otrzymuje si

ę: 

 

( )

( )

[

]

( )

(

)

( )

( )

( )

[

]

cm

p

p

cs

cp

cs

c

cm

p

p

cpo

cg

p

p

cs

p

pr

r

s

c

,

p

E

E

A

J

z

A

t

,

t

,

t

,

t

P

E

E

A

t

,

t

E

A

t

,

t

A

t

,

t

,

t

,

t

⋅

⋅















+

⋅

⋅

+

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

−

+

+

2

0

0

0

0

0

0

1

8

0

1

8

0

φ

∆

φ

σ

σ

ε

σ

∆

σ

∆

  (34) 

 

Podstawiaj

ąc, że: 

( )

( )

( )

0

0

0

t

,

t

P

t

,

t

P

A

t

,

t

c

r

s

c

p

r

s

c

,

p

∆

∆

σ

∆

=

=

⋅

+

+

+

+

 otrzymuje si

ę po przekształceniach: 

 

( )

( )

( )

(

)

( )

[

]

0

2

0

0

0

8

0

1

1

1

8

0

t

,

t

,

z

J

A

t

,

t

t

,

t

,

E

t

,

t

cp

cs

cs

p

p

cpo

cg

p

pr

p

cs

r

s

c

,

p

φ

ρ

α

σ

σ

φ

α

σ

∆

ε

σ

∆

⋅

+

⋅













⋅

+

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

+

 

(35) 

gdzie: 

cm

p

p

E

E

=

α

;

cs

p

p

A

A

=

ρ

 stopie

ń zbrojenia 

 

 

W betonowych konstrukcjach spr

ężonych o dużym stopniu zbrojenia 

c

s

A

A

 (mosty spr

ężone, żelbetowe zbiorniki lub silosy wzmocnione 

przez  spr

ężenie  i  inne)  należy  przy  obliczeniu  efektywnych  sił  sprężających  beton  uwzględnić  oprócz  strat  wywołanych  skurczem  i 

pełzaniem betonu i relaksacj

ą stali także stratę siły sprężającej spowodowaną obecnością zbrojenia zwykłego w przekroju. 

   
Wówczas w rozwa

żaniach wykorzystuje się dodatkowo założenia: 

•

 

Strata siły w stali spr

ężającej: 

 

( )

( )

p

r

s

c

,

p

p

A

t

,

t

t

,

t

P

⋅

=

+

+

0

0

σ

∆

∆

                                                      (36) 

 

•

 

Siła spr

ężająca przejęta przez zbrojenie zwykłe w przekroju sprężonym: 

 

( )

( )

s

s

ps

A

t

,

t

t

,

t

P

⋅

=

0

0

σ

∆

∆

                                                         (37) 

 

•

 

Straty siły spr

ężającej w betonie: 

 

( )

( )

( )

0

0

0

t

,

t

A

t

,

t

A

t

,

t

P

s

s

r

s

c

,

p

p

c

σ

∆

σ

∆

∆

⋅

+

⋅

=

+

+

                                    (38) 

 
  Po wykonanych podstawieniach i przekształceniach uzyskuje si

ę ostatecznie: 

 

( )

( )

( ) ( )

(

)

( )

[

]

( )

p

s

s

cp

cs

cs

c

p

p

s

e

p

p

p

s

e

cpo

cg

pr

p

p

p

s

s

cs

r

s

c

,

p

A

A

t

,

t

t

,

t

,

z

J

A

A

A

A

A

A

A

t

,

t

t

,

t

,

A

A

E

A

E

t

,

t

t

,

t

⋅

−

+

⋅

+

⋅













⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

=

+

+

0

0

2

0

0

0

0

8

0

1

1

1

8

0

σ

∆

φ

α

α

α

α

σ

σ

φ

σ

∆

ε

σ

∆

(39) 

gdzie: 

cm

p

p

cm

s

e

E

E

i

E

E

=

=

α

α

 

 
 

 

 

3.

 

Stan graniczny użytkowalności 

  Sprawdzenie SGU obejmuje: 
 
1)

 

weryfikacj

ę ograniczenia naprężeń w betonie i w zbrojeniu, 

2)

 

kontrol

ę zarysowania przekrojów i weryfikację ograniczenia szerokości rys, 

3)

 

weryfikacj

ę ograniczenia ugięć. 

 
  Weryfikacj

ę  ograniczenia  naprężeń  w  przekroju  w  stanie  granicznym  użytkowalności  oraz  analizę  zarysowania  przekroju 

przeprowadza si

ę oddzielnie. W obliczeniach naprężeń w przekroju sprężonym przyjmuje się następujące założenia: 

 

•

 

napr

ężenia obliczone są dla charakterystyki przekroju bez rys, bądź dla przekrojów zarysowanych w zależności od przypadku, 

•

 

przekrój uznaje si

ę za zarysowany jeśli naprężenia rozciągające w betonie przekroczą wartość f

ctm

, 

•

 

wpływ obci

ążeń długotrwałych uwzględnia się poprzez przyjęcie 

15

=

=

cm

s

E

E

α

 je

śli naprężenia od obciążeń stałych są większe niż 

50% napr

ężeń całkowitych, 

•

 

przy  rozpatrywaniu  przekroju  niezarysowanego  przyjmowa

ć  należy,  że  cały  przekrój  betonu  bierze  udział  w  przenoszeniu 

napr

ężeń, oraz że zarówno beton jak i stal zachowują się sprężyście przy ściskaniu i rozciąganiu, 

•

 

przy  rozpatrywaniu  przekroju  zarysowanego  nale

ży  przyjąć,  że  beton  zachowuje  się  sprężyście  przy  ściskaniu,  natomiast 

niezdolny jest do przenoszenia jakichkolwiek napr

ężeń rozciągających. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

•

 

Weryfikacja ograniczonych naprężeń w betonie i w zbrojeniu 

     Napr

ężenia w materiałach w przekroju niezarysowanym obliczać należy przyjmując model liniowo sprężysty, przy wykorzystaniu 

superpozycji napr

ężeń od obciążeń zewnętrznych w sytuacji użytkowej i od sprężenia miarodajną siłą sprężającą: 

 

σ

x

 = 

σ

c

 + 

σ

cp

, 

 

w którym wg PN-02: 

cs

Sd

o

Sd

cs

Sd

c

J

y

)

M

e

N

(

A

N

−

⋅

+

=

σ

,  

 

 

        (40) 

 

cs

cp

pd

cs

pd

cp

J

y

z

N

A

N

⋅

⋅

+

=

σ

                                                (41) 

 

gdzie: 

=

pd

N

 

sup

,

k

P

 lub 

inf

,

k

P

 w stanach granicznych u

żytkowalności 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

Tablica 6. Ograniczenie napr

ężeń w zbrojeniu i betonie 

 

Wg PN-02 

Wg EC2 

Z

b

ro

je

n

ie

 

Pasywne 

σ

s

 

Napr

ężenie 

graniczne 

Kombinacja 

obci

ążeń 

Pasywne 

σ

s

 

Napr

ężęni

a 

graniczne 

Kombinacja 

obci

ążeń 

f

yk

 

przy obliczaniu 

minimalnego 

zbrojenia 

0,8f

yk

 

charakterystycz

na 

 f

yk

 

pod 

obci

ążeniami 

wymuszonymi 

S

p

rę

ża

ją

ce

 

σ

o,max

 

0,80 f

pk

 

0,90 f

p0,1k

 

przy 

chwilowym 

przeci

ążeniu 

celem 

zmniejszenia 

strat od tarcia i 

po

ślizgu w 

zakotwieniach 

S

p

rę

ża

ją

ce

 

σ

p,max

 

0,80 f

pk

 

0,90 f

p0,1k

 

 
 

0,95 f

p0,1k

 

przy 

chwilowym 

przeci

ążeniu w 

przypadku 

wysokiego 

tarcia 

σ

pmo

 

0,75 f

pk

 

0,85 f

p0,1k

 

po 

uwzgl

ędnieniu 

strat dora

źnych 

σ

pmo

(x

) 

0,75 f

pk

 

0,85 f

p0,1k

 

po 

uwzgl

ędnieniu 

strat dora

źnych 

σ

pmt

 

0,65 f

pk

 

po 

uwzgl

ędnieniu 

całkowitych 

strat 

średnia wartość 

napr

ężeń w 

ci

ęgnach 

σ

p

≤ 0,75 

f

pk

 

– 

B

et

o

n

 

ściskanie 

σ

c

 

od 0,5 

f

cm

 (t

o

) do 

0,7 f

cm

 (t

o

) 

w pocz

ątkowej 

sytuacji  

ściskanie 

σ

c

 

0,6 f

ck

 

charakterystycz

na 

0,45 f

cm

 (t

o

) 

dla zachowania 

pełzania 

liniowego 

0,45 f

ck

 

prawie stała 

 

 

rozci

ąganie 

σ

ct

 

σ

ct

 = 0 

na 

gł

ębokość 

25mm od 

dolnej 

kraw

ędzi 

osłonki 

najni

ższeg

o kabla w 

przekroju 

spr

ężonym 

kombinacja 

podstawowa 

dla klas 

ekspozycji 

konstrukcji 

XD1, XD2, 

XD3, XS1, 

XS2, XS3, 
XF2, XF4, 

XA1, XA2, 

XA3 

rozci

ąganie 

σ

ct

 

σ

ct

 = 0 

na 

gł

ębokość 

25mm od 

dolnej 

kraw

ędzi 

osłonki 

najni

ższeg

o kabla w 

przekroju 

spr

ężonym 

kombinacja 

stała dla klas 

ekspozycji 

konstrukcji 
XC2, XC3, 

XC4, XD1, 

XD2, XS1, 

XS2, XS3 

 
 

•

 

Kontrola zarysowania przekrojów 

  Mo

żliwość pojawienia się rys prostopadłych do osi elementu można sprawdzić z podanych warunków: 

•

 

w elementach zginanych: 

 
                                           M

Sd

 < M

cr

 = W

cs

(

σ

cp

 + f

ctm

)                                                    (42) 

 

•

 

w elementach osiowo rozci

ąganych: 

 
                                            N

Sd

 < N

cr

 = A

cs

(

σ

cp

 + f

ctm

),                                                   (43) 

 

•

 

w elementach mimo

środowo rozciąganych: 

 

                                            

cs

cs

o

ctm

cp

cr

Sd

A

W

e

)

f

(

N

N

1

+

+

=

<

σ

 

                                                  (44) 

 σ

cp

 = napr

ężenia w skrajnych włóknach przekroju wywołane siłą sprężającą po uwzględnieniu strat. 

 
   

 

 

Według  PN-02  sprawdzenie  szeroko

ści  rys  prostopadłych  do  osi  elementu  nie  jest  wymagane,  jeśli  warunki  pojawienia  się  rys 

przedstawione  wzorami  (42),  (43),  (44)  s

ą  spełnione,  a  równocześnie  w  strefie  rozciąganej  przekroju  istnieje  zbrojenie  wyrażone 

wzorem: 

ct

lim

,

s

eff

,

ct

c

min

,

s

A

f

k

k

A

⋅

⋅

⋅

=

σ

 

 

 

 

 

(45) 

Pole  przekroju  strefy  rozci

ąganej 

ct

A

  w  elemencie  spr

ężonym  w  chwili  poprzedzającej  zarysowanie,  określa  się  odpowiednio  do 

rozpatrywanego przypadku obci

ążenia na podstawie liniowego rozkładu naprężeń. 

Warto

ść 

lim

,

s

σ

 oznacza tu przyrost napr

ężenia w stali zwykłej i sprężającej od stanu, w którym naprężenie w betonie na poziomie środka 

ci

ężkości zbrojenia w efektywnym polu 

eff

,

ct

A

 jest równa zeru do pojawienia si

ę rysy. Wartość 

p

lim

,

s

σ

∆

σ

=

 przyjmuje si

ę odpowiednio do 

średnicy pręta lub cięgna sprężającego wg tablicy 7. 
 

Tablica 7. Zale

żność naprężeń 

lim

,

s

σ

 od maksymalnej 

średnicy prętów o dużej przyczepności przy rysach 

mm

,

w

k

2

0

≤

. 

Przyrost napr

ężeń w stali 

lim

,

s

σ

[MPa]  Maksymalna 

średnica pręta 

160 

25 

200 

16 

240 

12 

280 

8 

320 

6 

360 

5 

400 

4 

 
 
  Mo

żliwość  pojawienia  się  rys  ukośnych  w  elementach  sprężonych  należy  sprawdzać  w miejscach  występowania  maksymalnych 

warto

ści głównych naprężeń rozciągających na podstawie warunku: 

   

 

                                     

│

σ

t,max

│ ≤ f

ctm

                                                   (46) 

 

 

 

Warto

ści naprężeń głównych rozciągających oblicza się ze wzoru: 

 

   

                          

2

2

2

2

xy

y

x

y

x

max

,

t

τ

σ

σ

σ

σ

σ

+













−

−

+

=

                                       (47) 

gdzie: 
 

σ

x

 = napr

ężenie normalne od siły sprężającej i obciążeń zewnętrznych w kierunku osi x, 

 

σ

y

 = napr

ężenie normalne w kierunku osi y, 

 

τ

xy

 = napr

ężenia styczne obliczone ze wzoru: 

 

                                                    

w

cs

0

c

Sd

xy

b

J

S

V

⋅

⋅

=

τ

                                                              (48) 

 

V

Sd

 = siła poprzeczna zredukowana w przypadku zastosowania ci

ęgien sprężających  odgiętych, 

 

V

Sd

 = V

od

 – V

pd

, 

 

V

od 

 = siła poprzeczna w rozwa

żanym przekroju od obciążeń zewnętrznych, 

         

o

p

t,

pm

p

inf

pd

sin

A

r

V

α

σ

γ

⋅

⋅

⋅

⋅

=

, 

 

  

 

 

gdzie: 

           r

inf

 = 0,9, 

           

γ

p

 = 1,0,  

 

  S

c0

  =  moment  statyczny  cz

ęści  przekroju  położonej  powyżej  rozpatrywanego  włókna,  obliczony  względem  środka  ciężkości 

przekroju. 

 
 
 
 
 

 

 

•

 

Normowe ograniczenia rozwartości rys 

Przyj

ęte w PN-02 i EC 2 ograniczenia szerokości rozwarcia rys (tab. 8 i tab. 9) wynikają z uwagi na: 

•

 

ochron

ę zbrojenia przed korozją, 

•

 

wymagania zwi

ązane z przeznaczeniem konstrukcji, 

•

 

unikni

ęcie wyraźnych rys ze względów estetycznych. 

Tablica 8. Graniczne szeroko

ści rys w konstrukcjach strunobetonowych i kablobetonowych z przyczepnością wg PN-02 

Wymagania u

żytkowe 

Klasa ekspozycji 

w

lim

 [mm] dla podstawowej 

kombinacji obci

ążeń 

ochrona przed korozj

ą 

X0, XC1 

0,2 

XC2, XC3, XC4, 

XF1, XF3 

0,2 

1)

 

XD1, XD2, XD3, 

XS1, XS2, XS3, 

XF2, XF4, 

XA1, XA2, XA3 

brak rozci

ągania 

2)

 

1)

 

dodatkowo – brak rozci

ągania dla kombinacji obciążeń długotrwałych 

2)

 

dotyczy warstwy betonu wokół ci

ęgien o grubości nie mniejszej niż 25mm 

 
Dla konstrukcji spr

ężonych cięgnami bez przyczepności rozwartość rys przyjmuje się jak w konstrukcjach żelbetowych. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

Tablica 9. Zakres warto

ści w

max

 [mm] wg EC 2 

Klasa 

środowiska 

Konstrukcje spr

ężone z 

ci

ęgnami 

bezprzyczepno

ściowymi 

Konstrukcje strunobetonowe 

i kablobetonowe z 

przyczepno

ścią 

Prawie stała kombinacja 

obci

ążeń 

Cz

ęsta kombinacja obciążeń 

X0, XC1 

0,4 

1)

 

0,2 

XC2, XC3, XC4 

0,3 

0,2 

2)

 

XD1, XD2, XS1, XS2, 

XS3 

dekompresja 

1)

 

Dla klas X0 i XC1 szeroko

ść rozwarcia rys nie ma wpływu na trwałość konstrukcji i jej 

ograniczenie wynika ze wzgl

ędów estetycznych. W przypadku braku wymogów 

estetycznych warto

ść graniczna może być zwiększona 

2)

 

Dla tych klas 

środowiska należy dodatkowo sprawdzić warunek dekompresji pod prawie 

stał

ą kombinacją obciążeń 

 

•

 

Weryfikacja obliczeniowa rozwartości rys 

•

 

Według PN-02 

 

  Do okre

ślenia obliczeniowej szerokości rozwarcia rys w konstrukcjach sprężonych przyjmuje się podstawową kombinację obciążeń. 

Podstawowa formuła wzoru jest podobna jak w konstrukcjach 

żelbetowych: 

   

 

 

 

 

 

 

   

 

 

                           

sm

rm

k

s

w

ε

β

⋅

⋅

=

                                                        (49) 

gdzie: 
          

k

w

= obliczeniowa szeroko

ść rozwarcia rys [mm], 

          

rm

s

 = 

średni końcowy rozstaw rys, 

          

sm

ε

= 

średnie odkształcenie zbrojenia rozciąganego, 

     

β

= współczynnik wyra

żający stosunek obliczeniowej szerokości rysy do  

            szeroko

ści średniej, równy 1,7 lub 1,3. 

 

Średni,  końcowy  rozstaw  rys 

rm

s

  w  spr

ężonych  elementach zginanych  lub  rozciąganych,  po  uwzględnieniu  cięgien 

 

 

spr

ężających znajdujących się w efektywnej strefie rozciąganej przedstawia wyrażenie: 

(

)

p

s

pj

n

j

pj

,

j

n

i

si

si

,

i

eff

,

ct

rm

A

A

n

k

k

A

k

,

s

p

s

+

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

=

∑

∑

=

=

φ

φ

1

1

2

25

0

50

                        (50) 

w którym: 

            k

2

 = współczynnik zale

żny od rozkładu odkształceń w strefie rozciąganej, 

           

φ

si

 = 

średnica zbrojenia pasywnego, 

           

φ

pj

 = 

średnica cięgien sprężających równa 

5

,

0

)

(

6

,

1

pj

A

, 

           A

s

 = przekrój zbrojenia zawartego wewn

ątrz efektywnej strefy rozciąganej A

ct,eff

, 

           A

p

 = przekrój ci

ęgien sprężających wewnątrz efektywnej strefy rozciąganej, 

          k

i,si

 = współczynnik przyczepno

ści dla prętów żebrowanych, splotów i drutów nagniatanych równy 0,8,  

          k

j.pj

 = współczynnik przyczepno

ści przyjmowany dla cięgien sprężających równy 2,0, 

            n = suma pr

ętów zbrojenia i cięgien sprężających znajdujących się w efektywnej  

                  strefie rozci

ąganej. 

   

eff

,

ct

A

= efektywne pole rozci

ąganej strefy przekroju. 

 

Średnie odkształcenie zbrojenia 

sm

ε

 podobnie jak w konstrukcjach 

żelbetowych oblicza się z wyrażenia: 



























⋅

−

⋅

=

2

2

1

1

s

sr

s

s

sm

E

σ

σ

β

β

σ

ε

                                                (51) 

gdzie: 

0

1

1

,

=

β

dla pr

ętów żebrowanych, 

5

0

1

,

=

β

dla pr

ętów gładkich, 

0

1

2

,

=

β

przy jednokrotnym obci

ążeniu krótkotrwałym, 

5

0

2

,

=

β

przy obci

ążeniu długotrwałym lub wielokrotnie zmiennym. 

 

 
 
 
 

 

 

Warto

ści  naprężeń 

s

σ

  i 

p

σ

∆

,  odpowiadaj

ących  naprężeniom  w  zbrojeniu  sprowadzonym  (zbrojenie  zwykłe  plus  stal  sprężająca)  w 

przekroju rysy, wywołanych obci

ążeniem, dla którego sprawdza się rozwartość rys (podstawowa kombinacja obciążeń) można wyliczyć 

ze wzoru: 













⋅

−

+

=

∆

=

t

m

s

p

s

p

s

P

r

z

M

A

A

,

inf

1

σ

σ

                                       (52) 

gdzie: 

M

s

 = moment zginaj

ący z uwagi na sprowadzony środek ciężkości zbrojenia i stali sprężającej cięgien znajdujących się w efektywnej 

strefie rozci

ąganej.  

         

)

(

1

,

inf

,

inf

d

v

P

r

z

P

r

M

M

t

m

cp

t

m

Sd

s

−

⋅

−

⋅

⋅

+

−

=

                            (53) 

przy czym: 
 

=

ν

 odległo

ść środka ciężkości przekroju od dolnej krawędzi, 

d

1

 = odległo

ść środka ciężkości sprowadzonego zbrojenia (zwykłego plus sprężającego) w efektywnej strefie rozciąganej od dolnej 

kraw

ędzi przekroju, 

=

Sd

M

 moment zginaj

ący w rozważanym przekroju od obciążeń kombinacji podstawowej. 

 
  Warto

ści  naprężeń 

sr

σ

  i 

pr

σ

∆

  odpowiadaj

ą  naprężeniom  w  zbrojeniu  sprowadzonym,  obliczonym  w  przekroju  przez  rysę  od 

momentu rysuj

ącego 

o

cr

M

 wynosz

ą: 

 

p

s

o

cr

pr

sr

A

A

z

M

+

⋅

=

∆

=

1

σ

σ

                                                (54) 

gdzie: 
 

(

)

1

1

d

v

J

v

J

f

M

cs

cp

cs

ctm

cp

o

cr

−

⋅

−

⋅

+

=

σ

σ

                                       (55) 

 

 
 
 

 

 

Napr

ężenie od sprężenia na dolnej rozciąganej krawędzi wynosi: 

 

v

J

z

P

r

A

P

r

cs

cp

t

m

cs

t

m

cp

⋅

⋅

⋅

+

⋅

=

,

inf

,

inf

σ

 

 
Napr

ężenie w betonie od sprężenia na poziomie 

1

d

 od dolnej kraw

ędzi wynosi: 

 

(

)

1

,

inf

,

inf

1

d

v

J

z

P

r

A

P

r

cs

cp

t

m

cs

t

m

cp

−

⋅

⋅

⋅

+

⋅

=

σ

                                    (56) 

 

 

=

∆

pr

σ

 przyrost napr

ężeń w stali sprężającej pod obciążeniem powodującym zarysowanie. 

 

•

 

Obliczenia rozwartości rys według EC-2. 

 
  Obliczeniow

ą rozwartość rys według EC-2 wyznacza się z zależności: 

 

(

)

cm

sm

r

k

S

W

ε

ε

−

⋅

=

max

,

                                             (57) 

gdzie: 

=

max

,

r

S

 maksymalny rozstaw rys, 

=

sm

ε

 

średnie  odkształcenie  w  zbrojeniu  pod  odpowiednią  kombinacją  obciążeń  (częsta  dla  przekrojów  sprężonych  cięgnami  z 

przyczepno

ścią, prawie stała dla cięgien bez przyczepności) z wyłączeniem efektów odkształceń narzuconych i uwzględnieniem 

współdziałania betonu rozci

ąganego, 

=

cm

ε

 

średnie odkształcenie betonu między rysami. 

 

Wielko

ść różnicy odkształceń określa się ze wzoru: 

(

)

s

s

s

eff

,

p

e

eff

,

p

eff

,

ct

t

s

cm

sm

E

,

E

f

k

σ

ρ

α

ρ

σ

ε

ε

⋅

≥

⋅

+

⋅

⋅

−

=

−

6

0

1

                              (58) 

 

 

 

gdzie: 

 

=

s

σ

  napr

ężenie  w  zbrojeniu  rozciąganym  w  przekroju  zarysowanym.  W  elementach  strunobetonowych 

s

σ

  mo

że  być  zastąpione 

przez 

p

σ

∆

  okre

ślające  przyrost  naprężeń  w  cięgnach  sprężających  od  stanu  zerowych  odkształceń  w  betonie  na  poziomie  cięgien 

spr

ężających, 

cm

s

e

E

E

=

α

 

 

eff

,

c

p

s

eff

,

p

A

A

A

⋅

+

=

1

ξ

ρ

                                          (59) 

 

=

eff

,

c

A

efektywna powierzchnia betonu o wysoko

ści 

eff

,

c

h

 wokół armatury rozci

ąganej (zbrojenia zwykłego i cięgien sprężających). 

=

1

ξ

stosunek przyczepno

ści stali sprężającej do przyczepności zbrojenia zwykłego, uwzględniający stosunek ich średnic. 

 

p

s

φ

φ

ξ

ξ

⋅

=

1

                                                          (60) 

 

=

ξ

 stosunek przyczepno

ści stali sprężającej do przyczepności zbrojenia zwykłego wg tablicy 10 

=

s

φ

 

średnica najgrubszego zbrojenia pasywnego, 

=

p

φ

 ekwiwalentna 

średnica zbrojenia sprężającego, a mianowicie: 

p

p

A

,

⋅

=

6

1

φ

 dla wi

ązki drutów, 

drutu

p

,

φ

φ

⋅

=

75

1

 dla splotów 7-drutowych, 

drutu

p

,

φ

φ

⋅

=

20

1

 dla splotów 3-drutowych, 

 

 
 
 
 

 

 

Tablica 10. Stosunek 

ξ

 przyczepno

ści stali sprężającej do przyczepności zbrojenia zwykłego. 

 

Stal spr

ężająca 

ξ

 

Strunobeton 

Kablobeton o ci

ęgnach z przyczepnością 

≤ C 50/60 

≥ C 55/67 

Gładkie pr

ęty i druty 

nie stosowane 

0,3 

0,15 

Sploty 

0,6 

0,5 

0,25 

Druty 

żebrowane 

0,7 

0,6 

0,3 

Pr

ęty o dużej 

przyczepno

ści 

0,8 

0,7 

0,35 

 
 
Rozstaw rys S

r 

 
  W  przypadku,  kiedy  armatura  z  przyczepno

ścią  jest  rozmieszczana  w  niewielkich  odstępach  w  strefie  rozciąganej  [o  rozstawie 













+

⋅

≤

2

5

φ

c

] maksymalny rozstaw rys mo

że być obliczony ze wzoru: 

eff

,

p

max

,

r

k

k

,

c

,

S

ρ

φ

⋅

⋅

⋅

+

⋅

=

2

1

425

0

4

3

                                              (61) 

gdzie: 

=

φ

 

średnica pręta. Jeśli w przekroju występują pręty o różnych średnicach t.j. 

1

n

  pr

ętów o średnicy 

1

φ

  i 

2

n

  pr

ętów o średnicy 

2

φ

, 

wówczas nale

ży przyjąć: 

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

φ

φ

φ

φ

φ

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

n

n

n

n

eq

                                                         (62) 

=

c

 otulenie pr

ętów, 

=

1

k

współczynniki przyczepno

ści: 

=0,8 dla pr

ętów wysokiej przyczepności, 

=1,6 dla pr

ętów gładkich (np. armatura sprężająca) 

=

2

k

współczynnik zale

żny od rozkładu odkształceń: 

=0,5 dla zginania, 
=1,0 dla rozci

ągania czystego. 

 

 

 

Dla przypadku rozci

ągania mimośrodowego należy przyjmować: 

 

(

)

1

2

1

2

2

ε

ε

ε

⋅

+

=

k

                                                              (63) 

przy czym: 

=

1

ε

 najwi

ększe zaś 

=

2

ε

 najmniejsze odkształcenie włókien skrajnych przy zało

żeniu przekroju zarysowanego. 

 

  Je

żeli  rozstaw  armatury  posiadającej  przyczepność  przekracza 













+

⋅

2

5

φ

c

  lub  je

śli  wewnątrz  strefy  rozciąganej  nie  ma  armatury  z 

przyczepno

ścią, wówczas górna granica rozwartości rys może być wyznaczona przy założeniu rozstawu rys: 

 

(

)

x

h

S

r

−

⋅

=

3

,

1

max

,

                                                     (64) 

 

•

 

Minimalne zbrojenie w przekroju sprężonym wg EC-2 

 
  W wytycznych EC-2 przyjmuje si

ę, iż w przypadkach występowania w przekrojach sprężonych naprężeń rozciągających większych 

od 

eff

,

ct

f

, konieczna jest pewna minimalna ilo

ść zbrojenia, gwarantująca ograniczone rozwartości rys. W przekrojach poprzecznych belek 

teowych i d

źwigarów skrzynkowych, zbrojenie minimalne wyznacza się dla poszczególnych partii przekroju (półki, środnik). Przekrój 

zbrojenia wewn

ątrz strefy rozciąganej oblicza się z podobnego wzoru wyjściowego jak w PN-02: 

ct

s

eff

ct

c

s

A

f

k

k

A

⋅

⋅

⋅

=

σ

,

min

,

 

 
gdzie: 

=

ct

A

 powierzchnia strefy rozci

ąganej betonu. Jest ona wyznaczana tuż przed wystąpieniem pierwszej rysy 

=

s

σ

 maksymalne napr

ężenie rozciągające w zbrojeniu tuż po wystąpieniu zarysowania. Można przyjąć, że jest ono równe f

yk

. Mo

że 

istnie

ć konieczność przyjęcia niższej wartości naprężeń 

s

σ

 w celu spełnienia wymaga

ń dotyczących szerokości rozwarcia rys zgodnie 

z maksymaln

ą średnicą prętów lub ich maksymalnym rozstawem, 

=

eff

ct

f

,

średnia wartość wytrzymałości betonu na rozciąganie w momencie, w którym oczekiwać można pojawienia się pierwszej rysy. 

 

 

ctm

eff

ct

f

f

=

,

 lub mniej t.zn. 

)

(t

f

ctm

 je

śli pojawienie się rys może nastąpić wcześniej niż po 28 dniach, 

=

k

 współczynnik uwzgl

ędniający wpływ nierównomiernych naprężeń samo- równoważących się w przekroju 

0

,

1

=

k

 dla 

środników o wysokości h ≤ 300mm lub półek o szerokości mniejszej niż 300mm, 

65

,

0

=

k

 dla 

środników o wysokości h ≥ 800mm lub półek o szerokości ≥ 800mm. 

=

c

k

współczynnik uwzgl

ędniający rozkład naprężeń w przekroju bezpośrednio przed zarysowaniem jak również zmiany ramienia sił 

wewn

ętrznych, 

Dla czystego rozci

ągania k

c

 = 1,0. 

 

Dla zginania ze 

ściskaniem: 

 

- dla przekrojów prostok

ątnych i środników przekrojów skrzynkowych i teowych: 

 

0

,

1

1

4

,

0

,

*

1

≤

























⋅

⋅

+

=

eff

ct

c

c

f

h

h

k

k

σ

                                          (65) 

 

- dla półki przekroju teowego i skrzynkowego: 

 

5

,

0

9

,

0

,

≥

⋅

=

eff

ct

ct

cr

c

f

A

F

k

                                              (66) 

 

=

c

σ

 

średnia wartość naprężeń w betonie istniejących w części przekroju rozważanego, 

bh

N

Ed

c

=

σ

 

gdzie: 

=

Ed

N

  osiowa  siła  w  stanie  granicznym  u

żytkowalności działająca na rozpatrywaną część przekroju (dodatnia dla siły ściskającej). 

Wielko

ść  tą  określa  się  biorąc  pod  uwagę  charakterystyczne  wartości  sprężenia  i  siły  normalnej  pod  odpowiednią  kombinacją 

obci

ążeń, 

=

1

k

  współczynnik  uwzgl

ędniający  wpływ  siły  normalnej  na rozkład naprężeń 

 

 

5

,

1

1

=

k

 je

śli 

Ed

N

 jest sił

ą ściskającą, 

h

h

k

⋅

⋅

=

3

2

*

1

 je

śli 

Ed

N

 jest sił

ą rozciągającą, 

m

,

h

dla

h

h

*

0

1

<

=

 

m

,

h

dla

,

h

*

0

1

0

1

≥

=

 

=

cr

F

absolutna warto

ść siły rozciągającej w półce przed zarysowaniem na skutek momentu rysującego, obliczonego przy 

eff

ct

f

,

. 

 
  Mo

żna  także  założyć,  że  cięgna  sprężające  posiadające  pełną  przyczepność  z  betonem  w  strefie  rozciąganej  mają  wpływ  na 

powstawanie zarysowania na odcinku 

mm

150

≤

 od 

środka tych cięgien. Wówczas: 

 

ct

eff

ct

c

p

p

s

s

A

f

k

k

A

A

⋅

⋅

⋅

=

∆

⋅

⋅

+

⋅

,

1

min

,

σ

ξ

σ

                                  (67) 

gdzie: 

=

p

A

  pole  powierzchni  stali  spr

ężającej  (zarówno  w  przypadku  kablobetonu  jak  i  strunobetonu)  wewnątrz  efektywnej  strefy 

rozci

ąganej 

eff

ct

A

,

, 

=

eff

ct

A

,

 jest efektywnym polem betonu rozci

ąganego wokół zbrojenia zwykłego lub sprężającego, 

1

ξ

 oblicza si

ę wg (60)  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

•

 

Ugięcie elementów sprężonych 

  Ugi

ęcie elementów sprężonych pracujących bez rys w okresie 

0

t

t

−

 nale

ży obliczać stosując zasadę superpozycji ugięć od obciążeń 

zewn

ętrznych i sprężenia wg wzoru: 

 

                                             

cs

eff

,

c

eff

cp

pd

p

cs

eff

,

c

eff

sd

k

I

E

l

z

N

I

E

l

M

a

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

2

2

α

α

                                        (68) 

gdzie: 
    

=

⋅

cs

eff

,

c

J

E

 sztywno

ść dla obliczenia ugięć pod obciążeniami długotrwałymi. Dla   

obliczenia ugi

ęć od obciążeń doraźnych 

przyjmuje si

ę sztywność 

cs

cm

J

E

B

⋅

=

0

, 

            

sd

M

= moment zginaj

ący wyznaczony zgodnie z 4.7.4 PN-02, 

           

,inf

,sup

lub

k

k

pd

P

P

N

=

, 

=

cp

z

mimo

śród siły sprężającej, 

            

k

α

= współczynnik zale

żny od układu obciążeń, 

            

p

α

= współczynnik zale

żny od trasy cięgna. 

=

eff

l

rozpi

ętość efektywna, 

( )

0

1

t

,

t

E

E

cm

eff

,

c

φ

+

=

; 

=

cs

J

 sprowadzony moment bezwładno

ści przekroju, 

 

  W  analizie  stanu  granicznego  ugi

ęcia  w  ustrojach  bez  rys  (68)  konieczne  jest  zarówno  obliczenie  określonych  składników 

uwzgl

ędniających  charakter  obciążeń,  jak  i  czas  ich  przyłożenia  i  związane  z  tym  zmiany.  Ugięcie  w  sprężonych  ustrojach 

zarysowanych mo

żna obliczyć według teorii podanej w pracy [8].