1
Przykład:
liczenie momentu bezwładno
ś
ci pr
ę
ta o masie M i długo
ś
ci L.
Moment bezwładno
ś
ci elementu
o masie dm wynosi x
2
dm
∫
∑
−
=
=
2
/
2
/
2
2
d
d
L
L
i
i
i
m
x
m
x
I
x
L
m
m
c
d
d
=
je
ż
eli pr
ę
t ma stał
ą
g
ę
sto
ść
:
12
3
d
2
2
/
2
/
3
2
/
2
/
2
L
m
x
L
m
x
x
L
m
I
c
L
L
c
L
L
c
=
=
=
−
−
∫
Ruch post
ę
powy
Ruch obrotowy
2
2
1
d
d
v
m
E
m
t
m
m
k
=
=
=
=
a
F
p
F
F
v
p
a,
v,
r,
2
2
1
d
d
,
Iω
E
I
t
Ι
I
k
=
=
=
×
=
=
×
=
ε
M
L
M
F
r
M
ω
L
p
r
L
ε,
ω,
,
ϕϕϕϕ
przypadek szczególny,
L
||
ω
ω
ω
ω
oraz
M
||
εεεε
Analogie ruchu obrotowego do ruchu post
ę
powego
2
Przykład ruchu (1): Wahadło fizyczne
moment siły
powoduj
ą
cy
ruch:
2
2
d
d
t
I
I
M
θ
ε
=
=
θ
θ
sin
d
d
2
2
mgd
t
I
−
=
θ
sin
d
mg
M
−
=
II zasada dynamiki
Newtona dla bryły
sztywnej:
czyli:
dla małych wychyle
ń
θ
:
0
d
d
2
2
=
+
θ
θ
I
mgd
t
poniewa
ż
:
θ
θ
≈
sin
rozwi
ą
zanie równania oscylatora drga
ń
harmonicznych:
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
θ
θ
+
=
t
t
I
mgd
=
0
ω
mgd
I
T
π
2
=
0
d
d
2
0
2
2
=
+
θ
ω
θ
t
PRZYKŁADY RUCHU BRYŁY SZTYWNEJ
Przykład ruchu (2): Toczenie si
ę
(bez po
ś
lizgu) po równi pochyłej
– równania ruchu
Toczenie bez po
ś
lizgu:
R
a
ε
=
ma
T
mg
=
−
θ
sin
ruch post
ę
powy
ruch obrotowy
R
a
I
I
RT
M
SM
SM
=
=
=
ε
.
θ
sin
3
2
g
a
=
np. dla walca:
2
/
sin
R
I
m
mg
a
SM
+
=
θ
3
Przykład ruchu (3): Toczenie si
ę
(bez po
ś
lizgu) po równi pochyłej
– równania ruchu
ruch post
ę
powy
ruch obrotowy
2
2
1
SM
kp
m
E
v
=
R
ω
=
v
2
2
1
ω
I
E
SM
ko
=
2
2
2
1
2
1
ω
SM
SM
I
m
mgh
+
=
v
Toczenie bez po
ś
lizgu
np. dla walca
Z zasady zachowania energii
gh
SM
3
4
=
v
2
/
2
R
I
m
mgh
SM
SM
+
=
v
Znajd
ź
przyspieszenie liniowe klocka o masie m, przyspieszenie k
ą
towe
bloczka oraz napr
ęż
enie nici. Dane s
ą
masa bloczka M i jego promie
ń
R. (Wszelkie
opory i tarcie pomijamy).
2
2
1
MR
Moment bezwładno
ś
ci bloczka wynosi
M
m
m
g
M
m
mg
R
I
m
mg
a
+
=
+
=
+
=
2
2
2
2
M
m
mM
g
N
+
=
2
M
m
m
R
g
+
=
2
2
ε
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
ε
I
RN
M
wyp
=
=
ma
N
mg
F
wyp
=
−
=
R
a
=
ε
związek miedzy ruchem
postępowym i obrotowym
II zasada
dynamiki
Newtona
Przykład:
4
const.
0
d
d
=
⇒
=
=
L
L
M
t
const.
=
=
ω
ωω
ω
Ι
L
KONSEKWENCJE ZASADY ZACHOWANIA
MOMENTU PĘDU I DRUGIEJ ZASADY DYNAMIKI
DLA RUCHU OBROTOWEGO
2. Stała wymuszona o
ś
obrotu
const.
≠
L
const.
d
d
≠
=
t
L
M
Obrót pręta wokół osi nieswobodnej (po lewej) i swobodnej (po prawej)
Obrót wokół osi nieswobodnej: Gdy za pomocą łożysk ustalimy w przestrzeni oś obrotu (narzucimy
na nią więzy), wektor momentu pędu będzie dążył do zmiany orientacji; spowoduje to powstanie sił
oddziaływania między osią a łożyskami. Momenty sił reakcji łożysk spowodują precesję wektora L.
Obrót wokół osi swobodnej: Nie potrzeba łożysk ponieważ momenty sił są zerowe.
W układzie obracającym się siła odśrodkowa dąży do rozmieszczenia masy jak najdalej od osi
obrotu (maksymalny moment bezwładności). Stabilny jest stan odpowiadający zerowemu
momentowi sił odśrodkowych a tym samym zerowym siłom reakcji łożysk.
5
g
r
M
m
×
=
θ
θ
ϕ
ω
sin
1
sin
L
M
t
L
L
t
p
=
∆
∆
≅
∆
∆
=
∆
t
∆
L
M
=
θ
ω
sin
L
M
p
=
Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstaw
ą
ró
ż
nych technik
do
ś
wiadczalnych jak np. magnetyczny rezonans j
ą
drowy (NMR)
Precesja b
ą
ka pod wpływem siły ci
ęż
ko
ś
ci
3. Precesja pod wpływem działaj
ą
cego momentu siły
kolejka
ω
ω
I
mgr
L
mgr
p
=
=
θ
sin
mgr
M
=
Precesja osi Ziemi spowodowana momentem siły grawitacyjnej
Ziemia nie jest b
ą
kiem swobodnym.
Niejednorodno
ś
ci pola grawitacyjnego w
którym si
ę
porusza (niezerowy moment sił
grawitacji) powoduj
ą
precesj
ę
astronomiczn
ą
wektora momentu p
ę
du (w przybli
ż
eniu
równoległ
ą
do osi obrotu Ziemi
*
). Okres
precesji wynosi ok. 26 000 lat.
Dodatkowo pole grawitacyjne zmienia si
ę
w
czasie (wpływ Ksi
ęż
yca) co powoduje nutacj
ę
.
*
uwaga w punkcie 1. opisano niewielk
ą
precesj
ę
osi obrotu Ziemi wokół kierunku wektora
momentu p
ę
du (
Ziemia nie jest idealna kulą i nie obraca się wokół osi głównej)
6
g
r
M
m
×
=
θ
θ
ϕ
ω
sin
1
sin
L
M
t
L
L
t
p
=
∆
∆
≅
∆
∆
=
∆
t
∆
L
M
=
θ
ω
sin
L
M
p
=
Zjawisko precesji momentu magnetycznego jest podstaw
ą
ró
ż
nych technik
do
ś
wiadczalnych jak np. magnetyczny rezonans j
ą
drowy (NMR)
Precesja b
ą
ka pod wpływem siły ci
ęż
ko
ś
ci
3. Precesja pod wpływem działaj
ą
cego momentu siły
kolejka
ω
ω
I
mgr
L
mgr
p
=
=
θ
sin
mgr
M
=
Rower