RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO PARA AFRFB
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1
Aula 8 – Parte 1
1.
Ângulos ....................................................................................................................................................... 2
I.
Ângulo reto, agudo, obtuso ....................................................................................................................... 2
II.
Bissetriz de um ângulo ............................................................................................................................... 3
III. Ângulos complementares, suplementares e replementares .................................................................... 3
IV. Ângulos opostos pelo vértice ..................................................................................................................... 4
2.
Paralelismo ................................................................................................................................................. 6
I.
Lei Angular de Tales ................................................................................................................................... 8
3.
Polígonos .................................................................................................................................................. 10
I.
Polígono Regular ...................................................................................................................................... 12
II.
Número de diagonais de um polígono de n lados ................................................................................... 13
III. Soma dos ângulos internos de um polígono convexo ............................................................................. 17
4.
Classificação dos Triângulos ..................................................................................................................... 24
I.
Síntese de Clairaut ................................................................................................................................... 25
5.
Teorema de Tales ..................................................................................................................................... 29
6.
Teorema de Pitágoras e suas aplicações .................................................................................................. 32
I.
Diagonal do quadrado ............................................................................................................................. 33
II.
Altura do triângulo equilátero ................................................................................................................. 33
7.
Semelhança de Triângulos ........................................................................................................................ 42
8.
Quadriláteros ............................................................................................................................................ 47
I.
Trapézios .................................................................................................................................................. 49
II.
Paralelogramo .......................................................................................................................................... 50
III. Losango .................................................................................................................................................... 51
IV. Retângulo ................................................................................................................................................. 51
V. Quadrado ................................................................................................................................................. 52
9.
Circunferência e Círculo ............................................................................................................................ 57
I.
Corda, diâmetro e tangentes ................................................................................................................... 71
II.
Relações entre cordas e secantes ............................................................................................................ 79
10. Triângulos, circunferências e áreas .......................................................................................................... 81
Esfera ................................................................................................................................................................ 89
Cilindro ............................................................................................................................................................. 91
Cone .................................................................................................................................................................. 99
Paralelepípedo reto-retângulo e cubo ........................................................................................................... 101
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2
11. Relação das questões comentadas ......................................................................................................... 105
12. Gabaritos ................................................................................................................................................ 123
1. Ângulos
Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem. Essas semi-retas são os lados do
ângulo e a origem comum das semi-retas é o vértice do ângulo.
O vértice do ângulo é o ponto O. Os lados do ângulo são as semi-retas AO e OB.
I.
Ângulo reto, agudo, obtuso
Os ângulos são medidos em graus ou em radianos. Nesta aula trabalharemos apenas com graus.
Na próxima aula (trigonometria) trabalharemos com os ângulos medidos em radianos.
Quando as semi-retas que formam o ângulo são opostas, dizemos que o ângulo é raso e sua
medida é, por definição, 180º (180 graus).
Pois bem, a partir da figura anterior, vamos traçar uma semi-reta que divida exatamente o ângulo
ao meio. Teremos dois ângulos de 90º que são chamados de ângulos retos.
Ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
A
B
O
O
180º
Quando este símbolo aparecer em
alguma figura, estará indicado
que se trata de um ângulo reto.
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3
Ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso.
Podemos dizer que o ângulo de 1 grau (1º) é um ângulo reto dividido em 90 partes iguais.
O ângulo reto tem 90 graus (90º).
Existem ainda submúltiplos do grau. Dizemos que um grau (1º) é igual a um ângulo de 60 minutos
(60’).
1° = 60′
Podemos ainda dizer que o ângulo de um minuto (1’) é igual a um ângulo de 60 segundos (60’’).
1
= 60′′
II.
Bissetriz de um ângulo
Considere um ângulo de vértice O. Uma semi-reta interna ao ângulo e que o divide em dois
ângulos congruentes.
III.
Ângulos complementares, suplementares e replementares
Dois ângulos são complementares se e somente se a soma de suas medidas é 90º. Um deles é o
complemento do outro.
Se um dos ângulos mede
, diremos que a medida do outro é
= 90° − .
Por exemplo, o complemento de 30º é
30° = 90° − 30° = 60°.
Dois ângulos são suplementares se e somente se a soma de suas medidas é 180º. Um deles é o
suplemento do outro.
Se um dos ângulos mede
, diremos que a medida do outro é
= 180° − .
Por exemplo, o suplemento de 30º é
30° = 180° − 30° = 150°.
O
Ângulo agudo
Ângulo obtuso
O
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Dois ângulos são replementares se e somente se a soma de suas medidas é 360º. Um deles é o
replemento do outro.
Se um dos ângulos mede
, diremos que a medida do outro é
= 360° − .
Por exemplo, o replemento de 30º é
30° = 360° − 30° = 330°.
IV.
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um são as semi-retas opostas dos
lados do outro.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes (têm a mesma medida).
01.
(Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são
suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, assinale a
alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos:
a) 25º
b) 36º
c) 43º
d) 65º
e) 137º
Resolução
Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180º. Em tempo, dois
ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90º e dois ângulos são
replementares se a soma de suas medidas é 360º.
Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por
sup
, o seu complemento é
denotado por
e o seu replemento é denotado por
.
Assim, tem-se as seguintes relações:
sup
= 180
−
comp
= 90
−
rep
= 360
−
#
#
Ângulos opostos pelo vértice
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Voltemos ao enunciado: Dois ângulos são suplementares. Digamos que o maior meça x
graus. Assim, o menor medirá (180 – x) graus.
A medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor.
= 4 ∙
180 − − 35
= 720 − 4 − 35
5 = 685
= 137
Atenção!!! A resposta não é a letra E!!! O problema pede o menor dos ângulos. Como os
ângulos são suplementares, o menor ângulo será
180
− 137
= 43
.
Letra C
02.
(Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura abaixo, as duas
aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo
X?
(A) 100º 45’
(B) 106º 37’
(C) 98º 99’
(D) 360º
(E) 111º 11’
Resolução
Vimos na questão passada que d
ois ângulos são suplementares se a soma de suas
medidas é 180º. Se um ângulo mede xº, o seu suplemento é denotado por
sup
e
sup
= 180
−
sup
72
83′ = 180
− 72
83′
Lembremos que 1º é o mesmo que 60’ (60 minutos). Assim, 180º = 179º60’ e
72º83’=73º23’
sup
72
83′ = 179
60′ − 73
23′
sup
72
83′ = 106
37′
Letra B
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EP 1. Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 58º?
Resolução
Vamos considerar que o ângulo mede
graus. Desta forma, seu complemento é igual a 90° − .
Podemos reescrever o enunciado assim:
Â)*+
)
+ ),
é .*/+ / 58°
−
90° − = 58°
− 90° + = 58°
2 = 148°
= 74°
O ângulo procurado é 74º.
EP 2. Determine dois ângulos suplementares, sabendo que um deles é o triplo do outro.
Resolução
Se um dos ângulos mede
graus, então o outro medirá 180° − .
= 3 ∙
180° −
= 540° − 3
4 = 540°
= 135°
O outro ângulo é
180° − 135° = 45°.
Resposta: Os ângulos são 135º e 45º.
2. Paralelismo
Duas retas são paralelas se são coincidentes (iguais) ou se são coplanares (pertencem ao mesmo
plano) e não possuem pontos comuns.
Para os nossos objetivos, vamos trabalhar apenas com retas paralelas distintas.
r
s
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As retas r e s são paralelas e indicamos assim:
∥ .
Vamos agora considerar duas retas paralelas distintas r e s, e uma reta t concorrente com r e s.
Desta forma, 8 ângulos importantes ficam determinados.
Vamos considerar dois grupos de ângulos:
Grupo I
→ 13, 33, 53, 73.
Grupo II
→ 23, 43, 63, 83.
Todos os ângulos do grupo I são congruentes entre si.
Todos os ângulos do grupo II são congruentes entre si.
Escolhendo-se um ângulo qualquer do grupo I e um ângulo qualquer do grupo II, certamente eles
serão suplementares (a soma é igual a 180º).
Se a reta t for perpendicular às retas r e s, então os oito ângulos serão congruentes.
Resumindo:
Vamos considerar que a reta t é concorrente obliqua. Então dos oito ângulos determinados, 4 são
agudos e 4 são obtusos.
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os agudos, então eles são congruentes (têm a mesma medida).
Escolhendo-se 2 ângulos dentre os obtusos, então eles são congruentes (têm a mesma medida).
Escolhendo-se 1 ângulo agudo e 1 ângulo obtuso, então eles são suplementares (a soma é igual
a 180º).
03.
(Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.
8
7
6
5
4
3
2
1
r
s
t
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8
Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é:
a) 100°.
b) 55°30’.
c) 60°.
d) 44°30”.
e) 80°.
Resolução
Tracemos uma reta paralela às retas “r” e “s” pelo ponto de interseção dos segmentos inclinados.
O ângulo que fica acima da reta vermelha é igual a
# e o ângulo que fica abaixo da reta vermelha
é igual a
5. Isso é verdade pois quando temos duas retas paralelas cortadas por uma transversal,
os ângulos agudos são congruentes.
Assim,
6 = # + 5
6 = 44
30
′
+ 55
30
′
= 99
60
′
= 100
Letra A
I.
Lei Angular de Tales
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.
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9
04.
(CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O
ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
a) 40°
b) 70°
c) 75°
d) 80°
e) 90°
Resolução
Se os ângulos do triângulo encontram-se na razão 2:3:4, podemos chamá-los de 2x, 3x e 4x.
Lembremos da Lei Angular de Tales: a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é sempre
180º.
Assim,
2 + 3 + 4 = 180
9 = 180
= 20
O maior ângulo é
4 = 4 ∙ 20
= 80
Letra D
05.
(Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de
vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B
e C mede:
a) 45º
b) 60º
c) 90º
d) 120º
e) 150º
Resolução
A Lei Angular de Tales garante que
7 + 8 + 9 = 180°. Como 7 = 60°, então:
60° + 8 + 9 = 180°
8 + 9 = 120°
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10
Vamos traçar as bissetrizes dos ângulos B e C. Lembre-se que uma bissetriz é uma semi-reta
interna ao ângulo que o divide em duas partes de mesma medida. A bissetriz do ângulo B o divide
em dois ângulos de medida B/2. A bissetriz do ângulo C o divide em dois ângulos de medida C/2.
Vamos aplicar novamente a Lei Angular de Tales:
: +
8
2
+
9
2
= 180°
: +
8 + 9
2
= 180°
Como
8 + 9 = 120°:
: +
120°
2
= 180°
: + 60° = 180°
: = 120°
Letra D
3. Polígonos
De acordo com o número
) de lados, os polígonos recebem nomes especiais.
Número de Lados
Nome do polígono
3
Triângulo ou Trilátero
4
Quadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octógono
9
Eneágono
10
Decágono
11
Undecágono
12
Dodecágono
15
Pentadecágono
20
Icoságono
X
C/2
B/2
60º
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11
O perímetro de um polígono é a soma dos seus lados. Temos o costume de indicar o perímetro de
um polígono por
2 e o seu semiperímetro (metade do perímetro) por .
06.
(Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de um terreno
retangular de medida 94 m e 36 m.
(A) 320 m
(B) 280 m
(C) 260 m
(D) 270 m
(E) 300 m
Resolução
Temos o costume de denotar o perímetro (soma das medidas de todos os lados de um
polígono) por 2p.
Assim,
2 = 94 + 94 + 36 + 36 = 260 .
Letra C
07.
(Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao
redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse
terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem
(A) 12 m por 36 m.
(B) 25 m por 50 m.
(C) 1 km por 12 km.
(D) 15 m por 32 m.
(E) 18 m por 36 m.
Resolução
Denotando a largura por x, o comprimento será 3x.
O perímetro é igual a 96m.
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12
Assim,
+ + 3 + 3 = 96
8 = 96
= 12
Assim, a largura é 12m e o comprimento 3 x 12 = 36m.
Letra A
I.
Polígono Regular
Um polígono que possui todos os lados congruentes (com mesma medida) é dito equilátero.
Um polígono que possui todos os ângulos congruentes (com mesma medida) é dito equiângulo.
Um polígono convexo é regular se e somente se é equilátero e equiângulo.
É muito importante observar o seguinte fato:
O único polígono que se é equilátero, então é equiângulo e se é equiângulo, então é equilátero é o
triângulo.
Polígono equilátero
Polígono equiângulo
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Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, podemos concluir que cada ângulo
interno de um triângulo equilátero mede:
180°
3
= 60°
II.
Número de diagonais de um polígono de n lados
Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não consecutivos do
polígono.
O pentágono e suas 5 diagonais.
Vamos deduzir a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono de duas maneiras:
i)
Argumento combinatório
Um polígono de
) lados possui ) vértices. Para determinar uma diagonal devemos escolher dois
dos
) vértices. Observe que uma diagonal AB é igual a uma diagonal BA. Portanto, não é
relevante a ordem dos vértices. A priori, o número de diagonais seria igual a
9
;
<
.
Destas
9
;
<
há alguns segmentos que são “pseudo-diagonais”. São os lados do polígono. Devemos
das
9
;
<
“pseudo-diagonais” retirar os
) lados.
Portanto, o número de diagonais é igual a:
= = 9
;
<
− )
60º
60º
60º
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= =
) ∙
) − 1
2 ∙ 1
− )
= =
)
<
− )
2
− ) =
)
<
− ) − 2)
2
=
)
<
− 3)
2
= =
) ∙
) − 3
2
ii)
Argumento geométrico
Considere um polígono com
) lados. De cada vértice partem ) − 3 diagonais. Subtraímos o
número 3, porque não podemos “mandar” uma diagonal para o próprio vértice e nem para os
vértices que estão “ao lado”.
Vamos ver, por exemplo, um heptágono (polígono de 7 lados).
Observe que cada vértice “manda” 4 diagonais (7 – 3).
Pois bem, então de cada vértice partem
) − 3 diagonais. Isso é importantíssimo e já foi
perguntado em prova!!
Como são
) vértices, “então”o total de diagonais seria igual a ) ∙
) − 3.
Porém, nesta conta cada diagonal é contada duas vezes, pois tem extremidades em 2 vértices.
Portanto, o número de diagonais é igual a:
= =
) ∙
) − 3
2
08.
(Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a alternativa que
corresponde ao número de diagonais de um icoságono.
a) 340
b) 190.
c) 170.
d) 380.
e) 95.
Resolução
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Vamos lembrar os nomes dos polígonos em função do número de lados.
Número de
Lados
Nome do polígono
3
Triângulo ou Trilátero
4
Quadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octógono
9
Eneágono
10
Decágono
11
Undecágono
12
Dodecágono
15
Pentadecágono
20
Icoságono
Portanto, o icoságono é um polígono com 20 lados. O número de diagonais de um polígono com n
lados é igual a
= =
) ∙
) − 3
2
Assim, o número de diagonais do icoságono é igual a
= =
20 ∙
20 − 3
2
= 170 >./*
)/..
Letra C
09.
(AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a
partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é
igual a:
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
Resolução
Mostramos anteriormente a fórmula que fornece o número de diagonais de um polígono convexo.
= =
) ∙
) − 3
2
De cada vértice partem (n – 3) diagonais. Isso porque não podemos traçar diagonais para o
próprio vértice nem para os vértices adjacentes.
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Um hexágono possui
= =
6 ∙
6 − 3
2
= 9 >./*
)/..
Assim, se o polígono possui n lados, de cada vértice partem n – 3 diagonais. Dessa forma,
) − 3 = 9
) = 12
Letra B
10.
(Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um
joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de
lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia
(A) triangular.
(B) quadrangular.
(C) pentagonal.
(D) hexagonal.
(E) decagonal.
Resolução
O número de diagonais é igual ao número de lados.
= = )
) ∙
) − 3
2
= )
) ∙
) − 3 = 2)
Como n > 0, podemos “cortar n em ambos os membros”.
) − 3 = 2
) = 5
Trata-se, portanto, de um pentágono. O pentágono possui 5 diagonais.
Letra C
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III.
Soma dos ângulos internos de um polígono convexo
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo com
) lados é
?
@
= 180° ∙
) − 2
Quem sabe que a soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° pode facilmente entender
a fórmula acima. Ou seja, saber o valor da soma dos ângulos internos de um triângulo permite
calcular a soma dos ângulos de qualquer outro polígono convexo.
Como exemplo, considere o polígono de cinco lados disposto abaixo (pentágono).
Vamos tomar o vértice de cima como referência. A partir deste vértice, quantas diagonais
podemos traçar?
Diagonal é qualquer segmento de reta que une dois vértices de um polígono.
Embora eu tenha dito “qualquer”, este “qualquer” tem exceção. Cada lado do polígono liga dois
vértices. Só que os lados não são diagonais.
Então uma diagonal seria qualquer segmento de reta que liga dois vértices não adjacentes de um
polígono.
Para exemplificarmos, vamos tomar como referência o vértice de cima (destacado em vermelho
na figura abaixo).
Queremos construir diagonais a partir deste vértice. As diagonais devem ligar este vértice aos
demais.
Não podemos ter diagonais ligando este vértice aos dois vizinhos, pois aí teríamos lados. Não
podemos ter diagonal ligando este vértice a ele próprio.
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Assim, dos 5 vértices do pentágono, este vértice em destaque só pode formar diagonal quando
ligado a dois dos demais vértices. Ou seja, só é possível construirmos 2 diagonais a partir dele.
Abaixo detalhamos as duas diagonais:
Você pode guardar isso como regra. A partir de um vértice, sempre conseguiremos traçar
3
−
n
diagonais (onde n é o número de vértices do polígono).
Por que precisamos subtrair 3?
Porque não podemos formar diagonais com os dois vértices vizinhos, nem com o próprio vértice
em análise.
→
Número de diagonais que partem de um dado vértice do polígono de n lados:
3
−
n
Muito bem, traçadas as duas diagonais, nós conseguimos dividir o pentágono em 3 triângulos.
Ora, se a soma dos ângulos internos do triângulo é 180 e com 3 triângulos nós formamos um
pentágono, então a soma dos ângulos internos de um pentágono fica:
º
540
º
180
3
=
×
E nós podemos fazer isto para qualquer figura.
Para um polígono de n lados ficaria assim. Partindo de um dos vértices nós conseguimos traçar
3
−
n
diagonais. Com isso, dividimos a figura em
2
−
n
triângulos. Logo, a soma dos ângulos
internos de um polígono de n lados é dada por:
º
180
)
2
(
×
−
n
→
Soma dos ângulos internos de um polígono de n lados
º
180
)
2
(
×
−
n
Observe que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma medida.
Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de
) lados é igual a:
7
@
=
180° ∙
) − 2
)
Vamos determinar a soma dos ângulos internos de alguns polígonos para exercitar.
) = 3 → ,.â)*+
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19
?
B
= 180° ∙
3 − 2 = 180° ∙ 1 = 180°
Que já sabíamos através da Lei Angular de Tales
) = 4 → C/>.+á,
?
E
= 180° ∙
4 − 2 = 180° ∙ 2 = 360°
) = 5 → ),á*
)
?
F
= 180° ∙
5 − 2 = 180° ∙ 3 = 540°
11.
(SUSEP 2010/ESAF) A soma S
1
dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados,
com n ≥ 3, é dada por S
i
=(n-2).180
0
. O número de lados de três polígonos convexos, P
1
, P
2
, e
P
3
, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os
ângulos internos dos três polígonos é igual a 3240
0
, então o número de lados do polígono P
2
e o
total de diagonais do polígono P
3
são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5
b) 5 e 44
c) 11 e 44
d) 5 e 11
e) 11 e 5
Resolução
O enunciado foi muito generoso já fornecendo a fórmula da soma dos ângulos internos de um
polígono. O primeiro polígono tem (x – 3) lados. Assim, na fórmula devemos substituir o “n” por “x
– 3” obtendo
− 3 − 2 ∙ 180
. O segundo polígono tem “x” lados, e, portanto, devemos substituir
o “n” por “x” obtendo
− 2 ∙ 180
. Por fim, o terceiro polígono tem (x+3) lados e a soma dos seus
ângulos internos será
+ 3 − 2 ∙ 180
. Já que a soma de todos os ângulos internos é 3240º,
temos a seguinte equação:
− 3 − 2 ∙ 180
+
− 2 ∙ 180
+
+ 3 − 2 ∙ 180
= 3.240
− 5 ∙ 180
+
− 2 ∙ 180
+
+ 1 ∙ 180
= 3.240
180
∙ − 900
+ 180
∙ − 360
+ 180
∙ + 180
= 3.240
540
∙ − 1.080
= 3.240
540
∙ − 1.080
= 3.240
540
∙ = 4.320
= 8
Portanto, o número de lados de P
2
é 8.
O primeiro polígono P
1
possui 8 – 3 = 5 lados.
O polígono P
3
possui 8+3 = 11 lados. O número de diagonais de um polígono de n lados é dado
por
= =
) ∙
) − 3
2
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20
Assim, o número de diagonais de P
3
é
= =
11 ∙
11 − 3
2
= 44
A questão não tem resposta e foi anulada pela ESAF.
12.
(APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente,
(n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do
polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são,
respectivamente, iguais a:
a) 9 e 8
b) 8 e 9
c) 9 e 10
d) 10 e 11
e) 10 e 12
Resolução
Esta questão foi anulada porque no início falava-se em polígonos X e Y e em seguida falava-se
em polígonos A e B. Mas não vamos perder uma questão aqui só por causa disso. Vamos
considerar que o polígono X é o polígono A e o polígono Y é o polígono B (esta era a intenção da
ESAF).
Vimos anteriormente que quando um polígono é regular, todos os seus ângulos têm a mesma
medida. Portanto, a medida de cada ângulo interno de um polígono convexo de
) lados é igual a:
7
@
=
180° ∙
) − 2
)
O enunciado diz que
o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do polígono B em 5º
(cinco graus).
7
@
G
= 7
@
H
+ 5°
180° ∙
)
I
− 2
)
I
=
180° ∙
)
J
− 2
)
J
+ 5°
180° ∙
) + 1 − 2
) + 1
=
180° ∙
) − 2
)
+ 5°
180° ∙
) − 1
) + 1
=
180° ∙
) − 2
)
+ 5°
180° ∙
) − 1
) + 1
=
180° ∙
) − 2 + 5° ∙ )
)
180° ∙ ) − 180°
) + 1
=
180° ∙ ) − 360° + 5° ∙ )
)
180° ∙ ) − 180°
) + 1
=
185° ∙ ) − 360°
)
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21
Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:
185° ∙ ) − 360° ∙
) + 1 =
180° ∙ ) − 180° ∙ )
185° ∙ )
<
+ 185° ∙ ) − 360° ∙ ) − 360° = 180° ∙ )
<
− 180° ∙ )
Para evitar uma poluição visual, vamos deixar de escrever o símbolo do grau.
5)
<
+ 5) − 360 = 0
Vamos dividir os dois membros da equação por 5.
)
<
+ ) − 72 = 0
) =
−K ± √K
<
− 4/
2/
) =
−1 ± N1
<
− 4 ∙ 1 ∙
−72
2 ∙ 1
) =
−1 ± √289
2
=
−1 ± 17
2
Como
) é positivo, só devemos usar o +.
) =
−1 + 17
2
=
16
2
= 8
Como o polígono X tem
) + 1 lados, então ele possui 9 lados.
O polígono Y tem
) lados, então ele possui 8 lados.
Poderíamos ter resolvido a equação do segundo grau da seguinte maneira:
72
2
=
+
n
n
72
)
1
(
=
+
×
n
n
Um produto entre dois naturais seguidos que dá 72, só poderia ser 8 e 9.
Letra A
Questão anulada
Mesmo que o candidato não soubesse como resolver a questão, dava para marcar a alternativa
certa. Sabemos que X tem
1
+
n
lados. Sabemos que Y tem n lados. Logo, X tem 1 lado a mais
que Y.
A única alternativa que prevê isso é a letra A. Em todas as outras, Y tem mais lados que X, o que
é falso.
13.
(Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares
colados.
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22
O valor do ângulo ABC é:
A) 18
o
B) 20
o
C) 22
o
D) 24
o
E) 26
o
Resolução
Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com
) lados utilizamos a fórmula:
?
;
=
180° ∙
) 2
Desta forma, a soma dos ângulos internos de um pentágono é igual a:
?
F
180° ∙
5 2 180° ∙ 3
?
F
540°
Como os pentágonos do problema são regulares, então os pentágonos são eqüiângulos (têm
todos os ângulos com as mesmas medidas).
Para calcular a medida de cada ângulo dos pentágonos, devemos dividir
540° por 5.
7
540°
5 108°
Vamos calcular a medida do ângulo
:
0 108° 0 108° 360°
0 216° 360°
144°
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23
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos B e C são congruentes.
Vamos chamar os ângulos B e C de
O.
O 0 O 0 180°
2O 0 144° 180°
2O 36°
O 18°
Letra A
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24
4. Classificação dos Triângulos
Os triângulos podem ser classificados:
i)
Quanto aos lados
Triângulo Equilátero
Triângulo Isósceles
Triângulo Escaleno
Tem os três lados
congruentes.
Tem dois lados congruentes.
Tem os três lados não-
congruentes.
Quanto aos ângulos:
Triângulo Acutângulo
Triângulo Retângulo
Triângulo Obtusângulo
Tem três ângulos agudos.
Tem um ângulo reto.
Lados menores: catetos
Lado maior (oposto ao
ângulo reto): hipotenusa
Tem um ângulo obtuso.
Observe que todo triângulo equilátero é isósceles, mas nem todo triângulo isósceles é equilátero.
Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo
oposto é o ângulo do vértice.
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25
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes (este teorema é conhecido como
Pons Asinorum).
O triângulo equilátero também é equiângulo (possui os três ângulos congruentes) e seus ângulos
medem 60º.
Como classificar um triângulo quanto aos lados sabendo apenas os valores dos ângulos?
Se os três ângulos forem congruentes (o triângulo for equiângulo), então o triângulo será
equilátero.
Se apenas dois ângulos forem congruentes, então ele é isósceles (Pons Asinorum que foi visto no
início desta página).
Se os três ângulos forem diferentes, então o triângulo é escaleno.
E como classificar um triângulo quanto aos ângulos, sabendo a medida de seus lados?
Neste caso devemos utilizar a Síntese de Clairaut.
I.
Síntese de Clairaut
Em geometria nós consideramos que o lado a é oposto ao ângulo A, o lado b é oposto ao ângulo
B e o lado c é oposto ao ângulo C.
Vamos considerar que o lado a é o maior lado do triângulo.
O triângulo é acutângulo se e somente se
/
<
< K
<
0
<
.
BASE
Ângulos Congruentes
Ângulo do vértice
C
B
A
a
b
c
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26
O triângulo é obtusângulo se e somente se
/
<
> K
<
0
<
.
O triângulo é retângulo se e somente se
/
<
K
<
0
<
(esta parte da Síntese de Clairaut é
conhecida como TEOREMA DE PITÁGORAS).
14.
(Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode
ser usado apenas uma vez.
Coluna 1
1. Triângulo retângulo
2. Triângulo acutângulo
3. Triângulo obtusângulo
Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo.
a) 1, 2, 3
b) 3, 2, 1
c) 2, 3, 1
d) 3, 1, 2
e) 2, 1, 3
Resolução
Foram dados os lados de três triângulos e devemos classificá-los quanto aos ângulos.
Para resolver esse problema utilizaremos a conhecida Síntese de Clairaut.
Seja um triângulo de lados “a”, “b” e “c”. Consideraremos “a” como o maior lado.
O triângulo é acutângulo se e somente se
/
<
< K
<
0
<
.
O triângulo é retângulo se e somente se
/
<
K
<
0
<
(Teorema de Pitágoras).
O triângulo é obtusângulo se e somente se
/
<
> K
<
0
<
.
Coluna 1
1. Triângulo retângulo
2. Triângulo acutângulo
3. Triângulo obtusângulo
Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13
13
<
? 6
<
0 12
<
169 ? 36 0 144
169 < 180
O triângulo é acutângulo
(2).
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27
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13
13
<
? 5
<
0 12
<
169 ? 25 0 144
169 169
O triângulo é retângulo
(1).
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
12
<
? 6
<
0 10
<
144 ? 36 0 100
144 > 136
O triângulo é obtusângulo
(3).
Letra E
15.
(Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui
(A) os três lados com medidas diferentes.
(B) dois lados com medidas iguais.
(C) os três lados com medidas iguais.
(D) um ângulo reto.
(E) dois ângulos obtusos.
Resolução
Vimos no resumo anterior que um triângulo equilátero possui os três lados com medidas
iguais. O gabarito oficial é a
letra C
.
Por outro lado, quem possui três lados com medidas iguais também possui dois lados com
medidas iguais. Ou seja, todo triângulo equilátero também é isósceles. A banca também
deveria aceitar a letra B.
Obviamente, o objetivo nosso é passar no concurso e não brigar com a banca
organizadora. Facilmente se percebe que o objetivo da banca é fazer com que o candidato
marque a alternativa C.
16.
(Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com
a mesma medida, é chamado de triângulo
(A) isósceles
(B) retângulo
(C) equilátero
(D) normal
(E) escaleno
Resolução
Aqui não há discussão. O triângulo é chamado de equilátero.
Letra C
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28
17.
(EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,
respectivamente,
/ 0 e / 0 O, onde /, O, são números reais. Sabendo que o ângulo oposto
ao cateto que mede
/ 0 é igual a 45º, segue-se que:
a)
O 2
b)
O S3
T
U
V 2
c)
O 3
T
U
d)
O
e)
O 2
Resolução
O triângulo é retângulo e um dos ângulos agudos mede 45º. Vamos considerar que a medida do
terceiro ângulo é x. Pela Lei Angular de Tales,
0 45° 0 90° 180°
45°
Portanto, os ângulos do triângulo são 45º, 45º e 90º.
Como o triângulo possui dois ângulos congruentes, então ele é isósceles (também possui dois
lados congruentes). Como a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, podemos
concluir que os catetos são iguais.
/ 0 / 0 O
O
Letra D
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29
5. Teorema de Tales
Antes de enunciar o Teorema de Tales propriamente dito, vamos definir algumas coisas...
Feixe de retas paralelas é um conjunto de retas paralelas (em um mesmo plano) entre si. Uma
reta é transversal a este feixe se concorre com todas as retas do feixe.
Pois bem, o Teorema de Tales afirma que se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra.
Na figura anterior, podemos afirmar, por exemplo, que:
/
K
>
18.
(Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO)
Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então
o valor de X será de:
(A) 6
d
c
b
a
Feixe de retas
paralelas
Transversais
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30
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) 2
Resolução
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas,
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra.
Assim,
4
8
2 0 2
5 1
4 ∙
5 1 8 ∙
2 0 2
20 4 16 0 16
4 20
5
Letra B
19.
(Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande
matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales
poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são
paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.
Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y.
a) 36.
b) 42.
c) 49.
d) 96.
e) 98.
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31
Resolução
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas,
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra.
Observe que o segmento de comprimento 10 na reta da esquerda corresponde ao segmento de
comprimento y na reta da direita. O segmento de comprimento 30 (10+20) na reta da esquerda
corresponde ao segmento AB de comprimento 21 (este valor encontra-se no enunciado). Assim,
10
30
O
21
Em toda proporção, o produto dos meios (30 e y) é igual ao produto dos extremos (10 e 21).
30 ∙ O 10 ∙ 21
30 ∙ O 210
O 7
Como o segmento AB mede 21 e y=7, então o segmento de comprimento 2x+2 mede 14.
2 0 2 14
2 12
6
O produto dos valores x e y é 6 x 7 = 42.
Letra B
20.
(AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A,
segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas
paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o
segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm.
Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
b) 6, 34 e 50
c) 10, 30 e 50
d) 14, 26 e 50
e) 14, 20 e 56
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32
Resolução
Vamos construir uma figura que descreva bem a situação acima.
O Teorema de Tales diz que se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas,
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os
respectivos segmentos correspondentes da outra.
Observe que, na reta A, o segmento compreendido entre a primeira e a quarta reta paralela do
feixe mede
2 0 10 0 18 30. O seu segmento correspondente na reta B mede 90 cm (exatamente
o triplo). Então os segmentos correspondentes na reta B de 2, 10 e 18 serão exatamente o triplo.
Podemos afirmar que:
/ 3 ∙ 2 6
K 3 ∙ 10 30
3 ∙ 18 54
Letra A
6. Teorema de Pitágoras e suas aplicações
Vamos considerar um triângulo retângulo.
O maior lado de um triângulo retângulo sempre fica oposto ao ângulo reto e é chamado de
hipotenusa. Na figura acima, a hipotenusa é o lado a. Os outros lados são chamados de catetos.
c
a
b
90
c
b
a
30
18
10
2
A
B
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33
Vimos anteriormente que o Teorema de Pitágoras afirma que um triângulo é retângulo se e
somente se
/
<
K
<
0
<
.
Vamos ver duas aplicações imediatas do Teorema de Pitágoras e em seguida resolver alguns
problemas envolvendo diretamente este assunto.
I.
Diagonal do quadrado
Vamos considerar um quadrado de lado
ℓ.
Um quadrado, por definição, é um quadrilátero regular, ou seja, possui todos os lados congruentes
e todos os ângulos congruentes (retos).
Pelo Teorema de Pitágoras:
>
<
ℓ
<
0 ℓ
<
>
<
2ℓ
<
> ℓ√2
Desta forma, a diagonal de um quadrado de lado
5 mede 5√2 .
II.
Altura do triângulo equilátero
Por definição, a altura de um triângulo equilátero é um segmento que parte de um vértice e atinge
o lado oposto formando um ângulo reto.
Há uma propriedade que diz que a altura de um triângulo equilátero divide o lado oposto em dois
segmentos de mesmo comprimento. Então se considerarmos que o lado do triângulo equilátero é
igual a
ℓ, então o lado oposto fica dividido em dois segmentos de comprimento ℓ/2.
ℓ
ℓ
ℓ
>
ℓ
ℓ/2
ℓ
ℎ
ℓ
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34
Pelo Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que:
ℓ
<
ℎ
<
0 Z
ℓ
2[
<
ℓ
<
ℎ
<
0
ℓ
<
4
Vamos multiplicar os dois membros da equação por 4 para eliminar o denominador.
4ℓ
<
4ℎ
<
0 ℓ
<
3ℓ
<
4ℎ
<
ℎ
<
3ℓ
<
4
ℎ
ℓ√3
2
Desta forma, a altura de um triângulo equilátero com
4 de lado é igual a:
ℎ
4√3
2 2√3
21.
(EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um triângulo retângulo
medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual a:
a) 36 cm
b) 38 cm
c) 40 cm
d) 42 cm
e) 44 cm
Resolução
“O teorema de Pitágoras fora impresso em milhões, se não bilhões, de mentes
humanas. É o teorema fundamental que toda criança inocente é forçada a
aprender.”
Simon Singh
O Último Teorema de Fermat – Editora Record
O teorema de Pitágoras nos diz que em todo triângulo retângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. Vamos decodificar esta frase.
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35
Tem um triângulo retângulo na história. Ei-lo:
A hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto. É sempre o maior
lado do triângulo retângulo. No nosso exemplo, é o lado de medida a. Os outros lados,
adjacentes ao ângulo reto, são chamados de catetos. O teorema de Pitágoras afirma que:
/
<
K
<
0
<
Os catetos do problema medem 9 cm e 12 cm. Podemos calcular a hipotenusa com o
auxílio do teorema de Pitágoras.
/
<
9
<
0 12
<
/
<
81 0 144
/
<
225
/ 15
O perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados. É comum em
geometria plana indicar o perímetro por
2 (desta forma o semiperímetro é indicado por
.
2 9 0 12 0 15 36
Letra A
22.
(ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com
a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na
primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km
do cruzamento?
a) 5 km
b) 4 km
c)
2
4
km
d) 3 km
e)
2
5
km
Resolução.
a
b
c
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36
A figura abaixo representa a situação dada:
Vamos chamar a distância entre os dois carros de x.
O triângulo de lados 3, 4, e x é retângulo. A hipotenusa, que é o maior lado, vale x. Aplicando o
teorema de Pitágoras, temos:
2
2
2
4
3 +
=
x
25
16
9
2
=
+
=
x
5
=
x
Letra A
23.
(Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante
um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa
altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou
no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo
quebrou-se o poste.
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
(E) 2
Resolução
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37
O poste quebrado está mais espesso no desenho. Se o segmento vertical mede x metros, então o
segmento inclinado medirá 18 – x, já que a soma dos dois segmentos deve ser 18 m (altura do
poste).
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo.
<
+ 12
<
=
18 −
<
<
+ 12
<
=
18 −
<
<
+ 144 = 324 − 36 +
<
36 = 324 − 144
36 = 180
= 5
Letra B
24.
(ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura
relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a
base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
Resolução
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38
Todo triângulo isósceles possui dois lados congruentes. O lado não-congruente é chamado de
base. A altura relativa à base divide-a em dois segmentos de mesmo comprimento: chamemo-los
de x. Assim, a base mede 2x. Como a base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a
altura relativa à base, então essa altura mede 2x+2. Chamaremos os lados congruentes de y.
O enunciado nos informou que o perímetro do triângulo é igual a 36. Assim,
O + O + 2 = 36
2O + 2 = 36
Dividindo ambos os membros por 2, temos
O + = 18
O = 18 −
C/çã
^
Ao traçarmos a altura relativa a base, obtemos dois triângulos retângulos que podemos aplicar o
Teorema de Pitágoras.
<
+
2 + 2
<
= O
<
C/çã
^^
Agora precisaríamos resolver este sistema de duas equações.
Os valores de x e y que atenderem às duas equações simultaneamente são a nossa solução.
Só que estas equações não são nada amigáveis. Dá certo trabalho resolvê-las.
Então vamos parar um pouco para analisar as alternativas.
Como a altura é maior que a base (informação dada no próprio enunciado), já podemos descartar
algumas alternativas:
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
Vamos testar a letra B. A base seria 10 m. Logo, metade da base valeria 5 m.
5
=
x
Da equação I, temos:
x
y
−
=
18
13
=
⇒
y
Vamos substituir estes valores de x e y na equação II, para ver se ela é obedecida.
2
2
2
)
2
2
(
x
x
y
+
+
=
2
2
2
5
)
2
5
2
(
13
+
+
×
=
25
144
169
+
=
169
169 =
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39
As duas equações foram obedecidas. Logo, esta é a alternativa correta.
Vamos agora resolver o sistema utilizando a força braçal.
O = 18 −
C/çã
^
<
+
2 + 2
<
= O
<
C/çã
^^
Como
O = 18 − ,
<
+
2 + 2
<
=
18 −
<
<
+ 4
<
+ 8 + 4 = 324 − 36 +
<
4
<
+ 44 − 320 = 0
Dividindo ambos os membros por 4, obtemos:
<
+ 11 − 80 = 0
=
−K ± √K
<
− 4/
2/
=
−11 ± N11
<
− 4 ∙ 1 ∙
−80
2 ∙ 1
=
−11 ± √441
2
=
−11 ± 21
2
Como x > 0, então
=
−11 + 21
2
= 5
A base é 2x, logo a base é
K = 2 = 2 ∙ 5 = 10
Como a altura é 2x+2, então
ℎ = 2 ∙ 5 + 2 = 12
Letra B
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40
25.
(RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são
retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.
Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é:
a) 15m
b) 16m
c) 17m
d) 19m
e) 21m
Resolução
Já que o objetivo é calcular a distância entre os pontos A e D, o primeiro passo é traçar um
segmento que ligue estes dois pontos.
Vamos também prolongar o segmento AB para a direita até o ponto E, de forma que BE = CD.
Vamos ligar o ponto D ao ponto E. Obviamente
=_ = 89 =
11.
Está formado o triângulo retângulo ADE.
O cateto AE mede 13, o cateto DE mede 11 e queremos calcular a hipotenusa AD.
Vamos aplicar o Teorema de Pitágoras que diz que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos.
7=
<
11
<
0 13
<
7=
<
290
4
9
4
E
11
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41
O problema pede o valor mais próximo da medida de AD. Observe que
17
<
= 289, portanto:
7= ≅ 17
Letra C
26.
(SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o
fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o
leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de,
aproximadamente:
a) 7 km
b) 8 km
c) 9 km
d) 10 km
e) 11 km
Resolução
O trajeto feito pelo fazendeiro é o seguinte:
Para calcular a distância do fazendeiro até sua casa, devemos ligar o ponto inicial e o ponto final
do trajeto. Podemos formar um triângulo retângulo como é feito na figura abaixo.
Devemos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo vermelho.
2 a
11 a
3 a
6 a
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42
<
= 8
<
+ 4
<
<
= 80
Como
9
<
= 81, então:
≅ 9
Letra C
7. Semelhança de Triângulos
Observem os dois triângulos da figura abaixo:
Eles são muito parecidos. Pegamos o triângulo menor, da esquerda, e demos um zoom. Com
isso, chegamos ao triângulo da direita. Quando isso acontece, dizemos que os triângulos são
semelhantes. Um é o outro “aumentado”.
Explicação meio “grosseira” esta que nós demos, né?
Bom, melhorando um pouquinho a definição, dizemos que dois triângulos são semelhantes se e
somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos
(correspondentes) proporcionais.
Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente
congruentes e os lados homólogos (correspondentes) proporcionais.
Os segmentos correspondentes são proporcionais. Isto é:
/
/′ =
K
K′ =
′ = a
a
a’
b'
c'
b
c
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43
A constante de proporcionalidade
a é a chamada razão de semelhança.
Esta constante indica em quantas vezes precisamos aumentar o triângulo menor para chegar no
maior. Ou seja, ela nos diz de quantas vezes foi o “zoom”.
Exemplo: se a razão de semelhança é 3, isto significa que pegamos cada lado do triângulo
pequeno e triplicamos. Com isso, obteremos o triângulo grande.
Se a razão entre os segmentos correspondentes dos triângulos é
a, pode-se afirmar que a razão
entre as áreas dos triângulos é
a
<
.
Isto significa que se multiplicamos os lados de um triângulo por 4, então a área será multiplicada
por 16 = 4².
27.
(Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um
terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao
prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A
altura do prédio, em metros, é:
(A) 75
(B) 45
(C) 30
(D) 29
(E) 25
Resolução
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim:
15 =
5
3
3 = 75
= 25
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44
Letra E
28.
(Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste.
Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra
da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de
(A) 6,2 metros.
(B) 6,6 metros.
(C) 6,8 metros.
(D) 7,0 metros.
(E) 7,2 metros.
Resolução
Os dois triângulos acima são semelhantes, assim:
5,4 =
80
60
60 = 432
= 7,2
Letra E
29.
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma
forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância
de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de:
a) 1,5m
b) 1,6m
c) 1,75m
d) 1,92m
e) 2,00m
Resolução
8
1,6
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45
Usemos a semelhança dos triângulos:
8/ >
,.â)*+
/.
8/ >
,.â)*+
)
=
7+,/ >
,.â)*+
/.
7+,/ >
,.â)*+
)
+ 6
=
8
1,6
+ 6
= 5
5 = + 6
4 = 6
= 1,5 ,
Letra A
30.
(ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T
1
, e T
2
, é igual a 8.
Sabe-se que a área do triângulo T
1
é igual a 128 m
2
. Assim, a área do triângulo T
2
é igual a
a) 4 m
2
.
b) 16 m
2
.
c) 32 m
2
.
d) 64 m
2
.
e) 2 m
2
.
Resolução
Relembremos uma propriedade importantíssima:
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de
semelhança.
Assim,
128
7
b<
= 8
<
128
7
b<
= 64
64 ∙ 7
b<
= 128
7
b<
= 2
6
x
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46
Letra E
31.
(SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e
AC = 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O
segmento AN mede:
a) 7/4
b) 2
c) 9/4
d) 5/2
e) 11/4
Resolução
Vamos calcular o valor da hipotenusa do triângulo retângulo ABC.
(89)
<
= (78)
<
+ (79)
<
(89)
<
= 8
<
+ 6
<
(89)
<
= 100
89 = 10
Observe que os triângulos ABC e MNB são semelhantes: ambos são triângulos retângulos e têm
um ângulo em comum B. Vamos chamar o ângulo B de
6. O outro ângulo agudo do triângulo ABC
e o outro ângulo agudo do triângulo MNB serão chamados de
#.
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47
Como o ponto M é o ponto médio da hipotenusa BC, então
9c = c8 = 5.
Os triângulos ABC e MNB são semelhantes.
d.
,)/ >
,.â)*+
ce8
d.
,)/ >
,.â)*+
789 =
f/>
,
/ # )
,.â)*+
ce8
f/>
,
/ # )
,.â)*+
789
8e
89 =
c8
78
8e
10 =
5
8
8 ∙ 8e = 5 ∙ 10
8e =
50
8 = 6,25
7e + 8e = 78
7e + 6,25 = 8
7e = 1,75 =
175
100 =
7
4
Letra A
8. Quadriláteros
De acordo com a teoria já vista, os quadriláteros (polígonos com 4 lados) possuem 2 diagonais a
soma dos ângulos internos é igual a 360º.
#
#
6
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48
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os
quadrados.
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49
I.
Trapézios
Um quadrilátero é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos. Os lados paralelos do
trapézio são as bases.
De acordo com os dois lados que não são bases, temos:
- trapézio escaleno (como o da figura acima), se estes lados não são congruentes.
- trapézio isósceles (como o da figura abaixo), se estes lados são congruentes.
O trapézio é retângulo quando possui dois ângulos retos.
Em qualquer trapézio, os ângulos opostos são suplementares (a soma é 180º).
/ + K = + > = 180°
Se o trapézio é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.
Base Menor (b)
Base Maior (B)
c
b
d
a
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50
O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é chamado de
base média e a sua medida é igual à média aritmética das bases.
8
g
=
8 + K
2
A área de um trapézio qualquer é calculada da seguinte forma:
7 =
(8 + K) ∙ ℎ
2
Onde
ℎ é a altura do trapézio. A altura do trapézio é a distância entre as bases.
II.
Paralelogramo
Um quadrilátero é paralelogramo se e somente se possui os lados opostos paralelos.
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes e os ângulos adjacentes são
suplementares (a soma é 180º).
Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
As diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.
A área do paralelogramo é o produto da base pela altura. A altura é a distância entre as bases.
7 = K ∙ ℎ
a
a
b
b
Base Menor (b)
Base Maior (B)
B
M
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51
III.
Losango
Um quadrilátero é losango se e somente possui os quatro lados congruentes (quadrilátero
equilátero).
Todo losango é um paralelogramo.
As diagonais de um losango são perpendiculares (formam quatro ângulos retos.
Como todo losango é um paralelogramo, então os losangos possuem todas as propriedades dos
paralelogramos.
A área do losango é o semi-produto das diagonais.
7 =
= × >
2
IV.
Retângulo
Um quadrilátero é um retângulo se e somente se possui os quatro ângulos retos.
O retângulo é um quadrilátero equiângulo (ângulos com mesma medida).
Todos os retângulos são paralelogramos.
As diagonais do retângulo são congruentes e podem ser calculadas com o auxílio do Teorema de
Pitágoras.
d
b
a
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52
>
<
= /
<
+ K
<
A área de um retângulo é igual ao produto dos lados (base vezes altura).
7 = / × K
V.
Quadrado
Um quadrilátero é um quadrado se e somente se é equilátero e equiângulo (quadrilátero regular).
Seus quatro ângulos são retos e os quatro lados são congruentes.
Podemos afirmar que o quadrado é um quadrilátero que é simultaneamente retângulo e losango.
Já vimos que um quadrado de lado
ℓ tem diagonal com medida ℓ√2.
A área de um quadrado é igual ao quadrado do lado.
7 = ℓ
<
32.
(Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro
recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de
36m
2
, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de:
(A) 2m e 18m
(B) 20m e 6m
(C) 4m e 9m
(D) 3m e 12m
(E) 10m e 16m
Resolução
A área é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. Assim, temos que
∙ O = 36 (^)
Como o perímetro é igual a 26m, então
2 + 2O = 26
Dividindo ambos os membros por 2, temos
+ O = 13
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53
Devemos pensar em dois números cuja soma é 13 e o produto é 36. Podemos testar as
alternativas ou resolver o sistema. Rapidamente verificamos que a alternativa C satisfaz as
condições do problema.
+ O = 13
O = 13
Substituindo essa expressão na equação (I):
∙ O = 36 (^)
∙ (13 ) = 36
13 ∙
<
= 36
<
13 + 36 = 0
=
K L √K
<
4/
2/
=
(13) L N(13)
<
4 ∙ 1 ∙ 36
2 ∙ 1
=
13 L √169 144
2
=
13 L 5
2
Assim,
= 9 ⇒ O = 13 9 = 4
Ou
= 4 ⇒ O = 13 4 = 9.
Logo, as dimensões são 4m e 9m.
Letra C
33.
(Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois
quadrados é de 25 m
2
e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos
lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
Obs.:Figuras fora de escala.
(A) 3m e 4m
(B) 3,5m e 3,5m
(C) 5m e 2m
(D) 7m e 7m
(E) 20m e 8m
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54
Resolução
A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado.
Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓ
<
.
A soma das áreas é igual a
25 m
2
. Podemos escrever que
<
+ O
<
= 25
Os quatro lados de um quadrado têm a mesma medida. Assim, o perímetro do primeiro quadrado
é 4x e o perímetro do segundo quadrado é 4y. Como a soma dos perímetros é 28m, temos que
4 + 4O = 28
Dividindo ambos os membros por 4, temos
+ O = 7
Neste ponto, podemos testar as alternativas e marcar a letra A.
Isolando o y:
O = 7
Devemos agora substituir na primeira equação para encontrarmos os valores das incógnitas:
<
+ O
<
= 25
<
+ (7 )
<
= 25
<
+ 49 14 +
<
= 25
2
<
14 + 24 = 0
Dividindo ambos os membros por 2,
<
7 + 12 = 0
=
K L √K
<
4/
2/
=
(7) L N(7)
<
4 ∙ 1 ∙ 12
2 ∙ 1
=
7 L 1
2
Assim,
= 4 ⇒ O = 3
Ou
= 3 ⇒ O = 4
Assim, as dimensões são 3m e 4m.
Letra A
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55
34.
(Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e
seja E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo
ABCD é:
a) 15.
b) 24.
c) 30.
d) 32.
e) 40.
Resolução
A área de um paralelogramo é o produto do comprimento da base pelo comprimento da altura. O
comprimento da base AD já foi fornecido: 8.
Precisamos calcular o comprimento da altura do paralelogramo. A altura é a distância entre as
bases: o segmento BE.
Para calcularmos o comprimento de BE, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras (já visto na aula
passada) no triângulo ABE.
Os valores 5 e 3 foram fornecidos no enunciado. O Teorema de Pitágoras diz que um triângulo é
retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da
hipotenusa.
Assim,
<
+ 3
<
= 5
<
<
+ 9 = 25
<
= 16
= 4
Assim, a área do paralelogramo é dada por
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56
Á
/ = (
. ),
>/ K/) ∙ (
. ),
>/ /+,/) = 8 ∙ 4 = 32
Letra D
35.
(Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e
44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m
2
, é:
(A) 600.
(B) 550.
(C) 500.
(D) 450.
(E) 400
Resolução
Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se e somente se possui dois lados paralelos.
Lembremos a fórmula da área de um trapézio:
7 =
(8 + K) ∙ ℎ
2
Onde B é a base maior, b é a base menor e h é a altura. Para calcularmos a altura, devemos
projetar a base menor sobre a base maior.
A base maior ficou dividida em três segmentos. O da esquerda foi chamado de x. O do meio é
igual à base menor: 16. Já que a base maior mede 44, então o segmento da esquerda mede 44 –
x – 16 = 28 – x.
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da esquerda:
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57
<
+ ℎ
<
= 17
<
<
+ ℎ
<
= 289 (^)
Apliquemos o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo da direita:
(28 )
<
+ ℎ
<
= 25
<
784 56 +
<
+ ℎ
<
= 625
Sabemos por (I) que
<
+ ℎ
<
= 289.
Assim,
784 56 + 289 = 625
1.073 56 = 625
56 = 448
= 8
Voltemos para (I).
<
+ ℎ
<
= 289 (^)
8
<
+ ℎ
<
= 289
ℎ
<
= 289 64
ℎ
<
= 225
ℎ = 15
A fórmula da área de um trapézio:
7 =
(8 + K) ∙ ℎ
2
7 =
(44 + 16) ∙ 15
2
=
60 ∙ 15
2
= 450
<
Letra D
9. Circunferência e Círculo
Circunferência é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um ponto dado
(centro) desse plano é igual a uma distância dada (raio). O dobro do raio é denominado
diâmetro. Portanto, um diâmetro é um segmento que tem as duas extremidades no círculo
e que passa pelo seu centro.
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58
Círculo é a reunião da circunferência com o seu interior. Portanto, o círculo é uma região
do plano e a circunferência é apenas a linha que delimita o círculo.
Como a circunferência é uma linha, podemos calcular o seu comprimento.
Como o círculo é uma região, podemos calcular a sua área.
Existe um número muito famoso em matemática chamado
j (pi). Este é um número
irracional e suas primeiras casas decimais são:
j = 3,1415926535 …
Pois bem, o comprimento da circunferência é dado por:
9 = 2j
A área do círculo é dada por:
7 = j
<
36.
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra três circunferências
com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.
As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O raio da
circunferência de centro A é:
a) 24
b) 23
c) 22
d) 21
e) 20
r
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59
Resolução
Havendo circunferências tangentes, é importantíssimo ligar os centros.
AB = 34, BC = 18 e CA = 30
Temos o seguinte sistema:
/ + K = 34
K + = 18
/ + = 30
Este é um sistema linear muito famoso em questões de matemática. É um sistema
com 3 incógnitas. Só que em cada equação aparece a soma de duas das três
incógnitas. O processo mais rápido para resolver esse tipo de sistema é o seguinte:
i) Escolha a incógnita que você quer calcular.
ii) Multiplique por (-1) os dois membros da equação que não tem a incógnita
escolhida por você.
iii) Some as três equações.
Nosso objetivo é calcular o raio da circunferência de centro A. Logo, queremos calcular o
valor de
/.
O termo
/ não aparece na segunda equação. Portanto, multiplicaremos os dois membros
da segunda equação por -1. Em seguida somaremos as três equações. Desta forma,
K serão cancelados.
/ + K = 34
K = 18
/ + = 30
/ + / = 34 18 + 30
2/ = 46
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60
/ = 23
Letra B
37.
(TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O
perímetro do quadrado é igual a:
a) 32
b) 28
c) 24
d) 20
e) 16
Resolução
A área de um círculo de raio r é igual a
7 = j
<
.
Como a área é igual a
16j, então
j
<
= 16j
<
= 16
= 4
O círculo está inscrito em um quadrado.
Observe que o lado do quadrado é igual ao dobro do raio do círculo (diâmetro).
Assim, ℓ
= 2 ∙ 4 = 8.
O perímetro do quadrado é igual a
2 = ℓ + ℓ + ℓ + ℓ = 4 ∙ ℓ = 4 ∙ 8 = 32
Letra A
38.
(LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m
“cortado” por um arco de circunferência.
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61
Considerando
j=3,14, a área da região pintada de preto é
de
(A) 7,74m²
(B) 7,98m²
(C) 8,42m²
(D) 8,86m²
(E) 9,12m²
Resolução
A área de um quadrado de lado
l é igual a l
m
. A área de uma circunferência de raio
n é igual
a
on
m
.
Observe que a região branca é um quarto de círculo. Portanto, a área da região pintada de
preto é igual à área do quadrado menos a área branca. Lembrando que a área branca é
igual à área do círculo dividida por 4.
7 = 7
pqrstrs
7
uítuqv /E
= ℓ
<
j
<
4 = 6
<
3,14 ∙ 6
<
4
= 7,74
Letra A
39.
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco quadrado com 8 cm de
lado tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de raio.
A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é, aproximadamente:
a) 11%
b) 14%
c) 17%
d) 20%
e) 24%
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62
Resolução
Vamos lembrar as fórmulas das áreas do quadrado e do círculo.
A área de um quadrado de lado
+ é igual a +
<
.
Portanto, a área do quadrado é igual a
8
<
= 64
<
.
A área de um círculo de raio
é igual a j
<
. (
j = 3,1415926535 … )
Portanto, a área do círculo é igual a
j ∙ 2
<
= 4j ≅ 4 ∙ 3,14 = 12,56
<
Para calcular a porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza devemos
dividir a área do círculo pela área do quadrado e multiplicar por 100%.
12,56
64 ∙ 100% =
1256
64 % = 19,625%
Letra D
40.
(BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um
quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a
circunferência toca o quadrado.
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da
área total do quadrado.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito
por sobre os lados do quadrado. Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta.
(B) se somente a afirmativa II estiver correta.
(C) se somente a afirmativa III estiver correta.
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
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63
(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
Resolução
Se o raio da circunferência for igual a
, então o lado do quadrado é igual a 2.
Comprimento da circunferência:
9 = 2jr
Área do círculo:
7
u
= j
<
Área do quadrado:
7
p
= ℓ
<
= (2)
<
= 4
<
Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da
área total do quadrado.
Para calcular a área interior ao quadrado e exterior à circunferência, devemos calcular a
diferença entre a área do quadrado e a área do círculo.
7
xyz@ã
= 7
p
7
u
7
xyz@ã
= 4
<
j
<
Usando uma boa aproximação para o número
j = 3,14:
7
xyz@ã
≅ 4
<
3,14
<
= 0,86
<
Como á área do quadrado é
4
<
, então a metade da área do quadrado é
2
<
.
Portanto, a área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade
da área total do quadrado.
0,86
<
< 2
<
O item é verdadeiro.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado.
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64
O triângulo em destaque na figura é retângulo de catetos iguais a
. A distância AO pode
ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:
(7{
||||)
<
=
<
+
<
(7{
||||)
<
= 2
<
7{
|||| = √2
Portanto, a distância de A até O é maior do que a metade da medida do lado do
quadrado. Isto porque a metade da medida do lado do quadrado é igual ao raio da
circunferência e
√2 Q .
O item é falso.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito
por sobre os lados do quadrado.
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65
O percurso PRQ feito por cima da circunferência equivale a 1/2 do comprimento da
circunferência.
1
2 ∙ 2j =
2j
2 ≅ 3,14 ∙
O mesmo percurso feito pelos lados do quadrado:
Este comprimento é igual a
+ + + = 4.
Como
3,14 < 4, o percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto
do que o feito por sobre os lados do quadrado. O item é verdadeiro.
Letra D
41.
(SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB
e AC.
Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é:
A) 0,5
B) 0,6
C) 0,8
D) 1
E) 1,2
Resolução
Vamos calcular a área da região R que é uma semicircunferência.
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66
Seu diâmetro AB mede 2, portanto seu raio mede 1. A área de uma semicircunferência é a
metade da área de uma circunferência.
} =
j
~
<
2 =
j ∙ 1
<
2
} =
j
2
Vamos calcular o raio da semicircunferência maior. Seu diâmetro é igual a:
78 + 89 = 2 + 1 = 3
Como o raio é a metade do diâmetro, então o raio da semicircunferência maior é igual a 3/2.
A área da região S é igual à área da semicircunferência maior menos a área da região R.
? =
j
<
<
2 }
? =
j ∙ S32V
<
2
j
2 =
j ∙ 94
2
j
2
? =
9j
8
j
2 =
9j 4j
8
? =
5j
8
A razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é:
}
? =
j
2
5j
8
=
j
2 ∙
8
5j =
8
10 = 0,8
Letra C
42.
(ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está
encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De
quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na
superfície?
a) 5
b) 7,5
c) 5 +
2
/
2
5
d)
2
5
e) 10.
Resolução.
Uma esfera é uma figura com formato de uma bola de futebol. Um cone é uma figura com formato
daqueles “chapéus de palhaço” que vemos em festa de aniversário de criança.
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67
Segue o desenho de um cone:
A base de um cone é uma circunferência. Seu perfil é de um triângulo.
A figura abaixo representa uma esfera, encostada num cone, ambos sobre uma superfície
horizontal.
A esfera foi desenhada de modo que seu raio é igual à altura do cone (ambas valem 5).
Seja d a distância perguntada (entre o centro da base do cone e o ponto em que a esfera toca o
solo).
Como os pontos P e Q estão a uma mesma distância em relação ao solo, então eles estão ao
longo de uma mesma horizontal.
Com isso, o segmento PQ tem medida igual à d.
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68
Seja R o ponto em que a circunferência toca o cone:
O ângulo entre o raio da circunferência e o segmento de reta tangente à circunferência é de 90º.
Assim, o ângulo destacado em vermelho na figura abaixo é de 90º:
Agora vamos observar o triângulo PST na figura abaixo:
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69
O segmento PS é altura. Portanto, é perpendicular ao solo. Logo, o triângulo é retângulo. O
ângulo PST, também destacado em vermelho, é de 90º.
O segmento ST corresponde ao raio da base do cone. Logo, seu comprimento é 5. Com isso, o
triângulo PST é isóceles, pois possui dois lados iguais entre si, com ambos valendo 5 cm.
Como o triângulo PST é isóceles, então os outros dois ângulos deste triângulo devem ser iguais
entre si. Lembrando que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º, temos que cada um dos
ângulos restantes, destacados em azul, valem 45º.
O ângulo entre os segmentos PS e PQ é de 90º (pois é um ângulo entre uma vertical e uma
horizontal).
Como o ângulo SPR é de 45º (ver figura acima), o ângulo restante, RPQ, também é de 45º, para
que a soma entre ambos seja de 90º.
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70
Agora vamos analisar o triângulo PRQ. Ele também é retângulo. Já sabemos dois de seus
ângulos. Um vale 45º e outro vale 90º (ver figura acima).
Logo, o ângulo restante deve ser de 45º, para que a soma dê 180º.
Disto resulta que o triângulo PQR tem dois ângulos de 45º. Logo, é um triângulo isósceles.
Apresenta dois lados iguais. Portanto, os segmentos RQ e RP têm a mesma medida.
Como RQ é raio da circunferência, vale 5 cm.
O triângulo PQR é retângulo. Portanto, obedece ao teorema de Pitágoras:
2
2
2
5
5
d
=
+
2
25
2
d
=
×
2
=
5
d
Letra D
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71
I.
Corda, diâmetro e tangentes
Corda de uma circunferência é um segmento cujas extremidades pertencem à circunferência.
O diâmetro de uma circunferência é uma corda que passa pelo seu centro (ver segmento em azul
na figura acima). O comprimento do diâmetro é o dobro do comprimento do raio.
Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único
ponto. A reta “toca” a circunferência.
As retas tangentes são perpendiculares aos raios traçados no ponto de tangência.
Há uma propriedade muito importante referente à retas tangentes.
Considere uma circunferência qualquer e marque um ponto P fora dela. A partir deste ponto P,
trace duas retas tangentes à circunferência.
Pois bem, estas duas retas tangentes tocam a circunferência em dois pontos distintos A e B. O
teorema afirma que PA é igual a PB, ou seja, a distância de P até A é igual à distância de P até B.
B
A
P
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72
Em suma, o segmento azul tem o mesmo comprimento do segmento vermelho.
Pois bem, a partir deste teorema, podemos inferir outro teorema (corolário) que é imediato.
Vamos traçar uma circunferência. A partir desta circunferência vamos desenhar um quadrilátero
de forma que todos os lados do quadrilátero sejam tangentes à circunferência. Dizemos que o
quadrilátero é circunscrito à circunferência. Da mesma forma, podemos dizer que a circunferência
é inscrita ao quadrilátero.
Bom, a figura fica assim:
Os segmentos tangentes que forem congruentes, vamos colocar com cores iguais.
Vamos somar os pares de lados opostos: AB com CD e AD com BC.
Lembre-se que os segmentos de mesma cor são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.
78 + 9= = /+ + +ℎ
+ > +
7= + 89 = /+ +
+ +ℎ
+ >
Portanto,
78 + 9= = 7= + 89
Resumindo o teorema diz o seguinte: um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência
se e somente se a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.
43.
(MPOG 2005/ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos
tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e
os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um
triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu
perímetro será igual a:
C
B
A
D
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73
a) 40 cm
b) 35 cm
c) 23 cm
d) 42 cm
e) 45 cm
Resolução.
Um círculo é inscrito ao triângulo quando ele está dentro do triângulo, tangenciando todos os seus
lados. A figura abaixo representa as informações do enunciado:
O raio do círculo mede 1 cm. O raio é o segmento de reta que parte do centro do círculo e termina
na sua extremidade.
Abaixo desenhamos dois raios:
O ângulo entre o raio e o lado do triângulo, no ponto de tangência, é 90º. Logo, os dois ângulos
destacados em vermelho, abaixo, são de 90º:
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74
Como o triângulo é retângulo, o ângulo destacado em azul também é de 90º. Por fim, como a
soma dos ângulos de um quadrilátero é 360º, o ângulo destacado em verde é também de 90º.
Com isso, podemos concluir que os dois segmentos abaixo medem 1 cm:
Agora vem a informação dada pela questão. Observem os segmentos a e b acima. Eles partem de
um mesmo ponto. E ambos tangenciam a circunferência. Quando isso acontece, os dois
segmentos têm a mesma medida.
Repetindo:
- dados dois segmentos, de medidas a e b, que partem de um mesmo ponto
- ambos terminam sobre a circunferência, tangenciando-a.
Logo:
b
a =
Isto vale sempre, para qualquer circunferência.
Com o mesmo raciocínio, temos que
d
c =
. Nossa figura fica assim:
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75
A hipotenusa do triângulo vale 20 cm. Logo:
20
=
+
c
a
A questão pede o perímetro do triângulo. O perímetro é dado pela soma de todos os seus lados.
O perímetro fica:
Perímetro =
?
)
1
(
)
1
(
)
(
=
+
+
+
+
+
c
a
a
c
=
2
2
2
+
+
c
a
Lembrando que
20
=
+
c
a
, temos:
Perímetro =
2
)
(
2
+
+
×
c
a
=
42
2
20
2
=
+
×
Letra D
44.
(Enap 2006/ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em
metros, c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos
lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR , BP e
CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do triângulo ABC
é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a
a) 18 - c.
b) 18 - x.
c) 36 - a.
d) 36 - c.
e) 36 - x.
Resolução.
A figura abaixo representa a situação dada.
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76
Os segmentos BR e BP partem do mesmo ponto B e terminam tangenciando a mesma
circunferência. Logo, estes dois segmentos têm o mesmo comprimento. Assim, o segmento BR
também mede y.
Com o mesmo raciocínio, temos que PC mede z e AQ mede x.
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77
O exercício pede a medida do segmento CQ. Ou seja, pede-se o valor de z.
O perímetro do triângulo é igual a 36. Ou seja, a soma de todos os lados é 36.
36
)
(
)
(
)
(
=
+
+
+
+
+
y
z
z
x
x
y
36
)
(
2
=
+
+
z
y
x
18
=
+
+
z
y
x
)
(
18
y
x
z
+
−
=
O enunciado disse que o lado AB mede c metros. Portanto, concluímos que:
c
y
x
=
+
Deste modo:
)
(
18
y
x
z
+
−
=
c
z
−
=
18
Letra A
45.
(CGU 2008/ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os
lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados
a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40
e) 50
Resolução.
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78
A figura abaixo representa um quadrilátero circunscrito a uma circunferência. Ou seja, o
quadrilátero está do lado de fora e seus lados tangenciam a circunferência. Podemos também
dizer que a circunferência está inscrita ao quadrilátero.
Vamos dar nomes aos pontos:
Já vimos que, se dois segmentos de reta partem de um mesmo ponto e terminam tangenciando a
mesma circunferência, eles têm a mesma medida. Assim, os segmentos PD e PA têm a mesma
medida. O mesmo vale para QA e QB. Ou para RC e RB. E também para SD e SC.
Na figura acima, estamos dizendo que PD e PA medem p. Estamos dizendo que QA e QB medem
s. E assim por diante.
Vamos agora somar as medidas dos lados opostos.
PQ e SR são opostos. Somando-os, temos:
)
(
)
(
r
q
s
p
+
+
+
=
s
r
q
p
+
+
+
PS e QR são opostos. Somando suas medidas, temos:
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79
)
(
)
(
r
s
q
p
+
+
+
=
s
r
q
p
+
+
+
Disto, concluímos que a soma dos lados opostos é constante. Isto vale sempre.
Em outras palavras: sempre que um quadrilátero for circunscrito a uma circunferência, as somas
de seus lados opostos serão iguais entre si.
Nesta questão da CGU, os lados que medem a e b são opostos entre si. Consequentemente, c e
d também são opostos entre si. Vamos somar os lados opostos.
6
7
)
3
3
(
)
9
4
(
−
=
+
+
−
=
+
x
x
x
b
a
x
x
x
d
c
5
2
3
=
+
=
+
Como este quadrilátero está circunscrito a uma circunferência, as duas somas acima são iguais
entre si.
3
5
6
7
=
⇒
=
−
x
x
x
O perímetro do quadrilátero fica:
30
6
36
6
12
=
−
=
−
=
+
+
+
x
d
c
b
a
Letra B
II.
Relações entre cordas e secantes
Vejamos a relação entre cordas que existe em uma circunferência e a relação que existe entre os
segmentos que cortam uma circunferência a partir de um ponto exterior.
“Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam, então o produto das medidas das
duas partes de uma é igual ao produto das medidas das duas partes da outra”.
Em suma,
O = /K.
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80
“Se por um ponto (P) exterior a uma circunferência conduzimos dois “segmentos secantes” (PB e
PD), então o produto da medida do primeiro (PB) pela de sua parte exterior (PA) é igual ao
produto do segundo (PD) pela de sua parte exterior (PD).”
Em suma,
8 ∙ 7 = = ∙ 9.
46.
(Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:
Determine a medida x indicada.
a) 3
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
Resolução
Pela teoria exposta,
6 ∙ 5 ∙
0 2
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6 5 0 10
= 10
Letra D
10.
Triângulos, circunferências e áreas
Já falamos sobre as áreas dos quadriláteros e do círculo. Neste tópico, vamos falar sobre área de
triângulos.
Podemos expressar a área do triângulo em função dos lados e suas respectivas alturas (os
segmentos tracejados na figura abaixo são as alturas do triângulo).
Pois bem, a área do triângulo é igual a:
7 =
/ ∙ ℎ
r
2
A área do triângulo é igual à metade do produto do lado tomado como base pela altura referente a
esta base.
Há uma fórmula conhecida como Fórmula de Heron (ou Herão) que fornece a área de um
triângulo conhecendo-se apenas os seus lados.
No início da aula, falamos que o perímetro de um polígono, em geometria, é representado por
2 .
O semi-perímetro, ou seja, a soma dos lados dividido por 2 é representado por
.
Se os lados de um triângulo são iguais a
/, K, , então:
=
/ + K +
2
A fórmula de Heron afirma que a área do triângulo é dada por:
7 = N ∙
− / ∙
− K ∙
−
a
c
b
h
a
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82
Há também uma importante fórmula da área do triângulo que expressa a sua área em função do
raio da circunferência inscrita. E o que é uma circunferência inscrita?
É uma circunferência que fica dentro do triângulo de forma que os lados do triângulo sejam
tangentes à circunferência. Bem parecido com aquele quadrilátero que mostramos anteriormente.
Pois bem, a fórmula da área do triângulo em função do raio da circunferência inscrita é a seguinte:
7 = ∙
Onde p é o semi-perímetro e r é o raio da circunferência inscrita.
47.
(Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um terreno tem a
forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse terreno, em metros
quadrados, é:
a) 1800
√2
b) 2200
c) 1950
d) 1200
√2
e) 240
Resolução
Existem diversas formas para calcular a área de um triângulo, a depender dos dados fornecidos.
Já vimos duas: i) A metade do produto da base pela altura. ii) Produto do semiperímetro pelo raio
da circunferência inscrita. Vejamos outra maneira: quando forem dados os três lados, calculamos
a área utilizando a fórmula de Heron. Denotemos por “p” o semiperímetro. A área é dada por:
7 = N ∙
− / ∙
− K ∙
−
O semiperímetro é a semi-soma dos lados.
=
40 + 90 + 110
2
= 120
A área é igual a
7 = N120 ∙
120 − 40 ∙
120 − 90 ∙
120 − 110
7 = √120 ∙ 80 ∙ 30 ∙ 10
7 = √12 ∙ 8 ∙ 3 ∙ 10000
7 = √288 ∙ 10000
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83
7 = √2 ∙ 144 ∙ 10000
7 = 12 ∙ 100√2
7 = 1200√2
Letra D
48.
(Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem 12 cm, 16
cm e 20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
a) 10,3 cm.
b) 6,0 cm.
c) 7,2 cm.
d) 5,6 cm.
e) 9,6 cm.
Resolução
Sabemos que quando são dados os três lados de um triângulo, podemos calcular a área pela
fórmula de Heron. Sabemos também que a área é a metade do produto da base pela altura
(qualquer lado pode ser a base, e utilizamos a altura relativa a esse lado). O semiperímetro é
dado por
=
12 +
16 + 20
2
= 24
A área é igual a
7 = N24 ∙ (24 − 12) ∙ (24 − 16) ∙ (24 − 20)
7 = √24 ∙ 12 ∙ 8 ∙ 4
Como 24 = 12 x 2,
7 = √12 ∙ 2 ∙ 12 ∙ 8 ∙ 4
E 2 x 8 = 16,
7 = √12 ∙ 12 ∙ 16 ∙ 4
7 = √144 ∙ 16 ∙ 4
7 = 12 ∙ 4 ∙ 2 = 96
A área é igual a 96 e pode ser calculada como a metade do produto da base pela altura. Como
queremos calcular a altura relativa ao maior lado, tomaremos o lado de comprimento 20 como
base.
K ∙ ℎ
2 = 96
20 ∙ ℎ
2 = 96
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84
10 ∙ ℎ = 96
ℎ = 9,6
Letra E
49.
(SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura
4. Calcule o raio desse círculo.
a) 1,50
b) 1,25
c) 1,00
d) 1,75
e) 2,00
Resolução
Pelo Teorema de Pitágoras, os lados congruentes do triângulo isósceles medem 5.
Pois, se os lados congruentes medem x, então
<
= 3
<
+ 4
<
<
= 25
= 5
A área do triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.
Assim,
7 =
K ∙ ℎ
2 =
6 ∙ 4
2 = 12
A área do triângulo pode ser expressa como o produto do semiperímetro (p) pelo raio da
circunferência inscrita ao triângulo. Assim,
∙ = 12
5 + 5 + 6
2
∙ = 12
8 ∙ = 12 ⇔ = 1,50
Letra A
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85
50. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A figura abaixo mostra um triângulo
ABC e o ponto D sobre o lado AC.
Sabendo que
78 = 89 = 9= e que =837 = 18°, então o ângulo 983= mede:
a) 58º
b) 60º
c) 62º
d) 64º
e) 66º
Resolução
Vamos marcar na figura os segmentos congruentes (mesma medida).
Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
Portanto, os ângulos A e C têm a mesma medida, pois o triângulo ABC é isósceles.
Os ângulos CBD e BDC também são congruentes, pois o triângulo BCD é isósceles.
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86
Sabemos ainda que o ângulo DBA mede 18º.
Queremos calcular o ângulo CDB = y.
A Lei Angular de Tales afirma que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º.
Pois bem, olhemos o triângulo CBD, de ângulos x, y e y.
+ O + O = 180°
+ 2O = 180°
= 180° − 2O
Olhemos agora o triângulo ABC de ângulos x, x, e y+18º.
+ + O + 18° = 180°
2 + O = 162°
Como
= 180° − 2O, então:
2 ∙ (180° − 2O) + O = 162°
360° − 4O + O = 162
−3O = −198°
O = 66°
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87
Letra E
51. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A órbita da Terra em torno do Sol
é quase circular com raio aproximado de 150 milhões de quilômetros. A velocidade do nosso
planeta em seu eterno percurso em volta do Sol é cerca de:
(A) 2.000km/h.
(B) 10.000km/h.
(C) 50.000km/h.
(D) 100.000km/h.
(E) 200.000km/h.
Resolução
Para calcular tal velocidade, basta dividir a distância percorrida pelo tempo gasto.
O tempo é de
1 /)
= 365 >./ = 365 h 24ℎ = 8.760 ℎ
/
A distância é o comprimento de uma circunferência de raio 150 milhões de quilômetros. O
comprimento da circunferência é
2j. Vamos utilizar a aproximação j ≅ 3,14.
9 = 2 ∙ 3,14 ∙ 150.000.000 = 942.000.000 C.+ô ,
A velocidade é aproximadamente:
942.000.000 a
8.760 ℎ
≅ 107.000 a /ℎ
Letra D
52. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) Em um jardim há um gramado
com a forma de um quadrilátero OABC. Esse gramado será ampliado tomando a forma do
quadrilátero OA'B’C’, semelhante ao anterior, como mostra a figura abaixo.
Sabendo que a área do quadrilátero OABC é de 108 m², que OA =15 m e que AA’ = 5m, a área de
grama nova (parte sombreada da figura que será plantada) é de:
a) 36 m²
b) 48 m²
c) 58 m²
d) 76 m²
e) 84 m²
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88
Resolução
Na questão 30, vimos que:
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de
semelhança.
O lado horizontal do quadrilátero menor mede OA = 15 m e o lado horizontal do quadrilátero maior
mede OA'= OA + AA’ = 15m + 5m = 20 m.
A razão de semelhança (do menor para o maior) é:
15
20 =
3
4
A razão de semelhança entre as áreas é o quadrado desta razão calculada.
Z
3
4[
<
=
9
16
Á/ >
C/>.+á,
{789
Á/ >
C/>.+á,
{7′8′9′
=
9
16
108
=
9
16
9 = 108 ∙ 16
= 192
Esta é a área do quadrilátero maior. A área da região sombreada é a diferença entre a área do
quadrilátero maior e a área do quadrilátero menor.
Á/
K/>/ = 192 − 108 = 84
<
Letra E
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Esfera
A esfera é o sólido geométrico mais fácil de trabalhar. Isto porque tudo que precisamos
calcular depende apenas do seu raio.
O raio é simplesmente a distância do centro da esfera até qualquer ponto da sua
superfície.
Resumo:
Esfera
Volume
=
4
3 ∙ j ∙ ³
Área da Superfície
7 = 4 ∙ j ∙ ²
Exemplo: Qual é o volume de uma esfera, sabendo que a área de sua superfície é igual a
100j ²?
Resolução
Vamos igualar a área da superfície a
100j.
4 ∙ j ∙ ² = 100j
Podemos cortar
j.
4 ∙ ² = 100
² = 25
= 5
Vamos agora aplicar a fórmula do volume.
=
4
3 ∙ j ∙ ³ =
4
3 ∙ j ∙ 5³ =
500j
3 ³
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53. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Um reservatório esférico com 12 m de diâmetro foi
construído com chapas soldadas de aço. A área da superfície esférica, em m², é de:
(A)
144 j
(B)
216 j
(C)
288 j
(D)
432 j
(E)
576 j
Resolução
O diâmetro de uma esfera é o dobro do seu raio. Esta definição também serve para
circunferências.
> = 2 ∙
Como o diâmetro é de 12 m, então o raio da esfera é de 6 m. Para calcular a área da
superfície esférica, basta aplicar a fórmula do resuminho visto anteriormente.
7 = 4 ∙ j ∙ ²
7 = 4 ∙ j ∙ 6² = 144j
Letra A
54. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Uma caixa retangular tem 46 cm de comprimento, 9 cm de
largura e 20 cm de altura. Considere a maior bola que caiba inteiramente nessa caixa. A
máxima quantidade de bolas iguais a essa que podem ser colocadas nessa caixa, de
forma que ela possa ser tampada, é
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 12
Resolução
O diâmetro da bola é limitado pela menor das dimensões da caixa retangular. Portanto, o
maior diâmetro possível da bola é de 9 cm. Como a altura da caixa é de 20 cm, podemos
arrumar duas camadas de bola (uma em cima da outra).
9 cm
46 cm
20 cm
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Como a caixa tem 46 cm de comprimento, podemos colocar no máximo 5 bolas uma ao
lado da outra (pois 9x5=45). Teremos, portanto, 2 camadas de 5 bolas, totalizando 10
bolas.
Como a altura da caixa é de 20 cm, ficam “sobrando” 2 cm na altura. Como o
comprimento é de 46 cm, fica “sobrando” 1 cm no comprimento.
Letra D
Cilindro
Chamamos de cilindro reto ou de revolução o cilindro cujas geratrizes são perpendiculares às
bases.
A distância entre as duas bases é chamada de altura (h).
Quando a altura do cilindro é igual ao diâmetro da base, o cilindro é chamado de equilátero.
9.+.)>
C.+á,
→ ℎ = 2
A base do cilindro é um círculo. Portanto, a área da base do cilindro é igual a
j².
A área da superfície lateral do cilindro é igual a
2jℎ.
E o volume do cilindro é o produto da área da base pela altura:
= j² ∙ ℎ.
Cilindro Reto
Área da base
7
= j²
Área da superfície lateral (área lateral)
7
v
= 2 ∙ j ∙ ∙ ℎ
Volume
= j² ∙ ℎ
Cilindro equilátero
= mn
Base (círculo)
Geratriz
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55. (PROMINP 2006/CESGRANRIO)
Uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero de volume
16j ³, como representado na
figura acima. O volume da esfera, em cm³, vale:
(A)
16j/3
(B)
32j/3
(C)
64j/3
(D)
74j/3
(E)
92 j/3
Resolução
O problema informa que o cilindro é equilátero. Concluímos que
ℎ = 2.
O volume do cilindro é
16j ³.
= j² ∙ ℎ
Como
ℎ = 2, então:
= j² ∙ 2
= 2j³
2j³ = 16j
Podemos cortar
j.
2³ = 16
³ = 8
= 2
Observe que o raio da esfera é igual ao raio do cilindro.
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O problema pede o volume da esfera. Basta aplicar a fórmula dada anteriormente.
=
4
3 ∙ j ∙ ³
=
4
3 ∙ j ∙ 2³
=
4
3 ∙ j ∙ 8
=
32j
3
Letra B
56. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Um cilindro equilátero feito de cartolina foi recortado e
desenrolado, de modo a formar um retângulo, como mostra a figura abaixo. Observe que as bases
do cilindro foram retiradas.
Se, quando montado, o volume do cilindro é
2.000j ³, qual é, em cm², a área aproximada do
retângulo?
(A) 314
(B) 628
(C) 742
(D) 980
(E) 1.256
Resolução
Novamente o problema nos informa que o cilindro é equilátero. Portanto,
ℎ = 2.
= j² ∙ ℎ
Como
ℎ = 2, então:
= j² ∙ 2
= 2j³
Como o volume do cilindro é
2.000j ³, então:
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2j³ = 2.000j
Podemos cortar
j.
2³ = 2.000
³ = 1.000
= 10
O cilindro é equilátero, portanto
ℎ = 2 = 20.
Observe que a área do retângulo é justamente a área lateral do cilindro.
Vamos aplicar a fórmula que eu coloquei no resuminho...
7
v
= 2 ∙ j ∙ ∙ ℎ
7
v
= 2 ∙ j ∙ 10 ∙ 20
7
v
= 400j
O problema pede um valor aproximado para a área lateral. Vamos utilizar a seguinte aproximação:
j ≅ 3,14.
7
v
≅ 400 ∙ 3,14
7
v
≅ 1.256
Letra E
57. (CITEPE 2009/CESGRANRIO) Uma jarra contém 1,2 L de água. Parte da água será
despejada em um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 8 cm de altura. Considerando
j = 3,
quantos mililitros de água sobrarão dentro dessa jarra?
(A) 1.184
(B) 1.084
(C) 912
(D) 816
(E) 784
Resolução
Para resolver este problema, precisamos saber que 1 mililitro é igual a 1 cm³.
Vamos calcular o volume total do cilindro que possui raio igual a 4 cm e altura igual a 8 cm
(observe que este cilindro também é equilátero, já que
ℎ = 2).
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95
= j ∙ 4² ∙ 8
= 3 ∙ 16 ∙ 8
= 384 ³ = 384 +
Como a jarra possui
1,2 + = 1.200 + de água, então sobrarão:
1.200 + − 384 + = 816 +
Letra D
58. (PROMINP 2010/CESGRANRIO)
Acima, estão representados dois copos cilíndricos, A e B, de diâmetros respectivamente
iguais a 6 cm e 8 cm. O copo A contém água até a metade, e o copo B está
completamente vazio. Transferindo-se a água contida no copo A para o copo B, esta
ocupará 37,5% de sua capacidade total. Se o copo B tem 9 cm de altura, qual é, em cm, a
altura do copo A?
(A) 10
(B) 12
(C) 15
(D) 16
(E) 18
Resolução
O problema forneceu os diâmetros. Lembre-se que diâmetro é o mesmo que duas vezes
o raio. Portanto, o raio do cilindro A é igual a 3 cm e o raio do cilindro B é igual a 4 cm.
O copo A contém água até a metade, e o copo B está completamente vazio. Transferindo-
se a água contida no copo A para o copo B, esta ocupará 37,5% de sua capacidade total.
Isto significa que metade do volume do cilindro A é igual a 37,5% do volume do cilindro B.
I
2 = 37,5% ∙
J
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96
O número 2 que está dividindo o primeiro membro, passa multiplicando o segundo
membro.
r
= 2 ∙ 37,5% ∙
J
r
= 75% ∙
J
r
=
3
4 ∙
J
Vamos aplicar a fórmula do volume do cilindro.
j
I
² ∙ ℎ
I
=
3
4 ∙
j ∙
J
² ∙ ℎ
J
Sabemos que
I
= 3,
J
= 4 e ℎ
J
= 9 (o enunciado informou que a altura do cilindro B é de 9 cm).
Aproveite e corte logo o
j.
I
² ∙ ℎ
I
=
3
4
∙
J
² ∙ ℎ
J
3² ∙ ℎ
I
=
3
4
∙ 4² ∙ 9
9 ∙ ℎ
I
=
3
4
∙ 16 ∙ 9
Cortando o 9...
ℎ
I
=
3
4
∙ 16
ℎ
I
= 12
Letra B
59. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Uma caixa de água tem o formato de um cilindro circular reto,
altura de 5 m e raio da base igual a 2 m. Se a água em seu interior ocupa 30% de seu volume, o
número de litros de água que faltam para enchê-lo é
Dado:
j = 3,1
(A) 43,4
(B) 4.150
(C) 4.340
(D) 41.500
(E)
)
43.400
Resolução
Uma questão que mistura sistema de medidas com volume de sólidos.
Sempre que um problema pedir o volume em litros, devemos trabalhar as medidas lineares em
DECÍMETROS. Isto porque
1> ³ = 1 +.
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97
Ou seja, se você transformar todas as medidas para decímetros, o volume calculado já será
expresso em litros.
Há um cilindro reto com altura 5 metros e raio da base igual a 2 metros. Vamos transformar tais
unidades para decímetros.
km hm dam m dm cm mm
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada
passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10
a cada passagem.
ℎ = 5 = 50 >
= 2 = 20 >
A base de um cilindro é um círculo. A área de um círculo de raio
é igual a j
<
. Pois bem, o
volume do cilindro é o produto da área da base pela sua altura. Ou seja:
= j
<
∙ ℎ
= 3,1 ∙ 20² ∙ 50
= 62.000 +.,
A água no interior do cilindro ocupa 30% de seu volume. Queremos calcular o número de litros de
água
que
faltam
para
enchê-lo.
Para
tanto,
basta
calcular
70%
(100% - 30%) do volume do cilindro.
70% >
=
70
100 ∙ 62.000 = 43.400 +.,
Letra E
60. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Um recipiente cilíndrico de 12 cm de raio e 20 cm de
altura está cheio de água até a metade. Doze esferas maciças são colocadas dentro do
recipiente, ficando totalmente imersas e, assim, o nível (altura) da água em seu interior
passa a ser 13 cm. Qual é, em cm, o diâmetro de cada esfera?
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 12
Resolução
Há um cilindro de 12 cm de raio e 20 cm de altura com água até a metade.
10 cm
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98
Colocamos as 12 esferas na água e a altura do líquido passa a ser 13 cm (subiu 3 cm).
Isto significa que a soma dos volumes das 12 esferas é igual ao cilindro em azul.
Vamos considerar que o raio de cada esfera seja igual a
} e que o volume de cada esfera
seja igual a
.
Sabemos que o raio do cilindro é
= 12 e a sua altura é ℎ = 3. Portanto:
12 ∙
=
j
2
∙ ℎ
12 ∙
4
3 ∙ j ∙ }³ =
j ∙ 12
2
∙ 3
Vamos cortar o
j.
16 ∙ }³ =
144 ∙ 3
16 ∙ }³ = 432
}³ = 27
} = 3
Como o raio de cada esfera é igual a 3, então o diâmetro é igual a 6.
Letra C
3 cm
10 cm
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99
Cone
Vamos mostrar os elementos de um cone numa única figura.
Estamos interessados em calcular o seu volume e nas suas áreas.
Como a base é um círculo, então a área da base é
j².
A área lateral é dada pela fórmula
j*, onde * é o comprimento da geratriz do cone.
O volume de um cone é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. Como a base
de um cone é um círculo (a área de um círculo é
7 = j
<
), então o volume do cone é
dado por:
=
j
<
ℎ
3
Cone Reto
Área da base
7
= j²
Área da superfície lateral (área lateral)
7
v
= j ∙ ∙ *
Volume
=
j
<
ℎ
3
Cone equilátero
= mn
61. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Suponha que você possui um funil cônico, cujo
raio mede 10 cm e a altura é de 15 cm. Assinale a alternativa correta quanto ao volume
de líquido, em litros, que esse funil pode conter, no máximo.
(A) 2,7
(B) 3,2
(C) 1,57
(D) 4,83
(E) 1,66
Resolução
Altura
Geratriz
Base
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100
O volume de um cone é igual a 1/3 do produto da área da base pela altura. Como a base
de um cone é um círculo (a área de um círculo é
7 = j
<
), então o volume do cone é
dado por:
=
j
<
ℎ
3
Queremos calcular o volume em litros. Sempre que quisermos calcular algum
volume em litros é interessante colocar todas os comprimentos em decímetros (isto
porque 1 dm
3
= 1 litro). Assim, o raio que mede 10 cm, diremos que mede 1 dm (pois 10
cm = 1 dm) e a altura que mede 15 cm diremos que mede 1,5 dm.
Dessa forma, o volume é dado por:
=
j ∙ 1
<
∙ 1,5
3
Fazendo uma aproximação de
j ≅ 3,14,
=
3,14 ∙ 1
<
∙ 1,5
3
≅ 1,57 +.,
.
Letra C
62. (ISS-RJ 2010/ESAF) Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V,
então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é:
a) 2V.
b) 4V.
c) πV.
d) 2V
2
.
e) V
3
.
Resolução
O problema pergunta o que acontece com o volume de um cone quando mantemos a
altura e dobramos o diâmetro da base. Obviamente, se estamos dobrando o diâmetro da
base, estamos também dobrando o raio da sua base, já que o diâmetro é o dobro do raio.
Vamos então considerar um cone de altura
ℎ e raio . Seu volume é
.
=
j
<
ℎ
3
Queremos calcular o volume de um cone de raio
2.
j(2)
<
ℎ
3
=
j ∙ 4² ∙ ℎ
3
= 4 ∙
j
<
ℎ
3 = 4
Letra B
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101
Paralelepípedo reto-retângulo e cubo
Estes são outros dois sólidos importantes em matéria de concursos públicos.
Na realidade, o cubo é apenas um caso particular do paralelepípedo reto-retângulo. Basta
fazer
/ = K = .
Pois bem o volume de um paralelepípedo reto-retângulo é o produto das suas três
dimensões.
= /K
No caso do cubo, o volume fica:
= / ∙ / ∙ /
= /³
As faces do paralelepípedo são retangulares, enquanto as faces do cubo são todas
quadradas.
63. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Uma embalagem de suco tem a forma de um
paralelepípedo reto retângulo de base quadrada, com 8 cm de aresta. Se a embalagem
comporta 1,28 L de suco, qual é, em cm, a altura dessa embalagem?
(A) 12
(B) 16
(C) 20
(D) 22
(E) 24
a
b
c
a
a
a
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102
Resolução
Sempre que um problema pedir o volume em litros, devemos trabalhar as medidas lineares em
DECÍMETROS. Isto porque
1> ³ = 1 +.
Ou seja, se você transformar todas as medidas para decímetros, o volume calculado já será
expresso em litros.
km hm dam m dm cm mm
A aresta da base é de 8 cm.
= ,
Como a base é um quadrado, então temos duas dimensões iguais a 0,8 dm.
/ = K = 0,8 >
Vamos calcular a altura
, sabendo que o volume é de 1,28 L.
/ ∙ K ∙ = 1,28
0,8 ∙ 0,8 ∙ = 1,28
0,64 ∙ = 1,28
= 2 > = 20
Letra C
64. (Assistente Administrativo CRP 4ª 2006/CETRO)
A área de uma face de um cubo é 50
cm
2
. Quanto mede a diagonal de sua face?
(A) 25 cm
(B) 20 cm
(C) 15 cm
(D) 12 cm
(E) 10 cm
Resolução
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103
Um cubo possui 6 faces quadradas.
A área de um quadrado é igual ao quadrado do seu lado.
Assim, um quadrado de lado ℓ tem área ℓ
<
.
A diagonal de um quadrado de lado ℓ é ℓ
√2.
Como a área do quadrado é
50 cm
2
,
ℓ
<
= 50
ℓ
= √50
A diagonal é dada por
= = ℓ√2.
= = √50 ∙ √2 = √100 = 10
Letra E
Podemos calcular a diagonal de um quadrado utilizando o Teorema de Pitágoras.
=
<
= ℓ
<
+ ℓ
<
=
<
= 50 + 50
=
<
= 100
= = 10
65. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um
cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm
3
, quantos
gramas de madeira foram usados na confecção desse peso de papel?
(A) 494,18
(B)
)
476,16
(C) 458,18
(D) 49,418
(E) 47,616
Resolução
Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.
Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).
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104
Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
km hm dam m dm cm mm
Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada
passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10
a cada passagem.
A aresta do cubo é de 0,8 dm. Para transformar esta medida para centímetros, devemos
multiplicar por 10.
0,8 > = 8
Sendo
/ aresta de um cubo, o seu volume é igual a /³. Portanto, o volume do cubo dado é igual a:
= /³ = 8³ = 512 ³
A densidade de um corpo é a razão entre a massa e o volume do corpo.
>).>/> =
//
+
Portanto:
// = >).>/> h
+
// = 0,93 h 512 = 476,16 *
Letra B
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105
11.
Relação das questões comentadas
01.
(Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Se dois ângulos são
suplementares e a medida do maior é 35º inferior ao quádruplo do menor, assinale a
alternativa que indica a medida do menor desses dois ângulos:
a) 25º
b) 36º
c) 43º
d) 65º
e) 137º
02.
(Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Na figura abaixo, as duas
aberturas angulares apresentadas são suplementares. Qual o valor da medida do ângulo
X?
(A) 100º 45’
(B) 106º 37’
(C) 98º 99’
(D) 360º
(E) 111º 11’
03.
(Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas.
Se o ângulo a mede 44°30’ e o ângulo q mede 55°30’, então a medida do ângulo b é:
a) 100°.
b) 55°30’.
c) 60°.
d) 44°30”.
e) 80°.
04.
(CGU 2003-2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O
ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:
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106
a) 40°
b) 70°
c) 75°
d) 80°
e) 90°
05.
(Assistente de Chancelaria – MRE 2002/ESAF) Num triângulo ABC, o ângulo interno de
vértice A mede 60º. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B
e C mede:
a) 45º
b) 60º
c) 90º
d) 120º
e) 150º
06.
(Prefeitura Municipal de Cruzeiro 2006/CETRO) Calcule o perímetro de um terreno
retangular de medida 94 m e 36 m.
(A) 320 m
(B) 280 m
(C) 260 m
(D) 270 m
(E) 300 m
07.
(Agente de Trânsito – Pref. de Mairinque 2006/CETRO) Um pedreiro construiu um muro ao
redor de um terreno retangular que tinha um perímetro de 96 metros. O comprimento desse
terreno equivale ao triplo de sua largura. As dimensões desse terreno valem
(A) 12 m por 36 m.
(B) 25 m por 50 m.
(C) 1 km por 12 km.
(D) 15 m por 32 m.
(E) 18 m por 36 m.
08.
(Prefeitura Municipal de Eldorado do Sul 2008/CONESUL) Assinale a alternativa que
corresponde ao número de diagonais de um icoságono.
a) 340
b) 190.
c) 170.
d) 380.
e) 95.
09.
(AFT 2006/ESAF) Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a
partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é
igual a:
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
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107
10.
(Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Um
joalheiro recebe uma encomenda para uma jóia poligonal. O comprador exige que o número de
lados seja igual ao número de diagonais. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma jóia
(A) triangular.
(B) quadrangular.
(C) pentagonal.
(D) hexagonal.
(E) decagonal.
11.
(SUSEP 2010/ESAF) A soma S
1
dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados,
com n ≥ 3, é dada por S
i
=(n-2).180
0
. O número de lados de três polígonos convexos, P
1
, P
2
, e
P
3
, são representados, respectivamente, por (x-3), x e (x+3). Sabendo-se que a soma de todos os
ângulos internos dos três polígonos é igual a 3240
0
, então o número de lados do polígono P
2
e o
total de diagonais do polígono P
3
são, respectivamente, iguais a:
a) 5 e 5
b) 5 e 44
c) 11 e 44
d) 5 e 11
e) 11 e 5
12.
(APO-MPOG 2008/ESAF) Dois polígonos regulares, X e Y, possuem, respectivamente,
(n+1) lados e n lados. Sabe-se que o ângulo interno do polígono A excede o ângulo interno do
polígono B em 5º (cinco graus). Desse modo, o número de lados dos polígonos X e Y são,
respectivamente, iguais a:
a) 9 e 8
b) 8 e 9
c) 9 e 10
d) 10 e 11
e) 10 e 12
13.
(Pref. de São Gonçalo 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra dois pentágonos regulares
colados.
O valor do ângulo ABC é:
A) 18
o
B) 20
o
C) 22
o
D) 24
o
E) 26
o
14.
(Prefeitura de São José 2009/FEPESE) Relacione as colunas 1 e 2. Cada número pode
ser usado apenas uma vez.
Coluna 1
1.
Triângulo retângulo
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108
2.
Triângulo acutângulo
3.
Triângulo obtusângulo
Coluna 2
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 5, 12 e 13
( ) Triângulo cujos lados medem 6, 10 e 12
Assinale a alternativa que indica a sequência correta, assinalada de cima para baixo.
a) 1, 2, 3
b) 3, 2, 1
c) 2, 3, 1
d) 3, 1, 2
e) 2, 1, 3
15.
(Pref. Municipal de Serra Negra 2006/CETRO) Um triângulo equilátero possui
(A) os três lados com medidas diferentes.
(B) dois lados com medidas iguais.
(C) os três lados com medidas iguais.
(D) um ângulo reto.
(E) dois ângulos obtusos.
16.
(Assistente Administrativo IMBEL 2004/CETRO) Um triângulo que possui os três lados com
a mesma medida, é chamado de triângulo
(A) isósceles
(B) retângulo
(C) equilátero
(D) normal
(E) escaleno
17.
(EPPGG – MPOG 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,
respectivamente,
/ + e / + O, onde /, O, são números reais. Sabendo que o ângulo oposto
ao cateto que mede
/ + é igual a 45º, segue-se que:
a)
O = −2
b)
O = S3
T
U
V 2
c)
O = 3
T
U
d)
O =
e)
O = 2
18.
(Pref. de Taquarivaí 2006/CETRO)
Na figura abaixo, as retas R, S e T são paralelas. Então
o valor de X será de:
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109
(A) 6
(B) 5
(C) 3
(D) 4
(E) 2
19.
(Prefeitura Municipal de São José – FEPESE/2007) Tales de Mileto foi um grande
matemático grego que conseguia calcular a altura de pirâmides. O famoso Teorema de Tales
poderá ajudar você a encontrar as medidas indicadas na figura, sendo que as retas r, s e t são
paralelas e a distância entre os pontos A e B é igual a 21.
Assinale a alternativa que represente o produto dos valores x e y.
a) 36.
b) 42.
c) 49.
d) 96.
e) 98.
20.
(AFC 2005/ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal, A,
segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas
paralelas determina sobre uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o
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110
segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm.
Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
b) 6, 34 e 50
c) 10, 30 e 50
d) 14, 26 e 50
e) 14, 20 e 56
21.
(EPPGG – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Os catetos de um triângulo retângulo
medem 9 cm e 12 cm. O perímetro desse triângulo é igual a:
a) 36 cm
b) 38 cm
c) 40 cm
d) 42 cm
e) 44 cm
22.
(ATRFB 2009/ESAF) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo de 90º uma com
a outra. Qual é o valor mais próximo da distância cartesiana entre um carro que se encontra na
primeira estrada, a 3 km do cruzamento, com outro que se encontra na segunda estrada, a 4 km
do cruzamento?
a) 5 km
b) 4 km
c)
2
4
km
d) 3 km
e)
2
5
km
23.
(Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Durante
um vendaval, um poste de iluminação de 18 metros de altura quebrou-se em um ponto a certa
altura do solo. A parte do poste acima da fratura, inclinou-se, e sua extremidade superior encostou
no solo a uma distância de 12 metros da base dele. Calcule a quantos metros de altura do solo
quebrou-se o poste.
(A) 6
(B) 5
(C) 4
(D) 3
(E) 2
24.
(ENAP 2006/ESAF) A base de um triângulo isósceles é 2 metros menor do que a altura
relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 36 metros, então a altura e a
base medem, respectivamente
a) 8 m e 10 m.
b) 12 m e 10 m.
c) 6 m e 8 m.
d) 14 m e 12 m.
e) 16 m e 14 m.
25.
(RIOPREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Na figura abaixo, os ângulos de vértices B e C são
retos, AB = 9m, BC = 11m e CD = 4m.
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111
Então, entre as alternativas abaixo, a que mais se aproxima da distância entre os pontos A e D é:
a)
15m
b)
16m
c)
17m
d)
19m
e)
21m
26.
(SEE-RJ 2010/CEPERJ) O terreno de uma grande fazenda é muito plano. Certo dia, o
fazendeiro saiu de casa com seu jipe e andou 11 km para o norte. Em seguida, andou 6 km para o
leste, 3 km para o sul e 2 km para oeste. Neste ponto, a distância do fazendeiro à sua casa é de,
aproximadamente:
a) 7 km
b) 8 km
c) 9 km
d) 10 km
e) 11 km
27.
(Agente Administrativo Municipal- Prefeitura Municipal de Pinheiral 2006/CETRO) Em um
terreno plano, a sombra de um prédio, em determinada hora do dia, mede 15m. Próximo ao
prédio, e no mesmo instante, um poste de 5m. de altura, produz uma sombra que mede 3m. A
altura do prédio, em metros, é:
(A) 75
(B) 45
(C) 30
(D) 29
(E) 25
28.
(Prefeitura Municipal de Mairinque 2009/CETRO) Uma criança está ao lado de um poste.
Sabe-se que ela mede 80cm e que a medida da sombra do poste é de 5,4 metros. Se a sombra
da criança mede 60cm, então, a altura do poste é de
(A) 6,2 metros.
(B) 6,6 metros.
(C) 6,8 metros.
(D) 7,0 metros.
(E) 7,2 metros.
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112
29.
(APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um poste de 8m de altura tem no alto uma
forte lâmpada. Certa noite, uma criança de 1,60m de altura ficou parada a uma distância
de 6m do poste. O comprimento da sombra dessa criança no chão era de:
a) 1,5m
b) 1,6m
c) 1,75m
d) 1,92m
e) 2,00m
30.
(ENAP 2006/ESAF) A razão de semelhança entre dois triângulos, T
1
, e T
2
, é igual a 8.
Sabe-se que a área do triângulo T
1
é igual a 128 m
2
. Assim, a área do triângulo T
2
é igual a
a) 4 m
2
.
b) 16 m
2
.
c) 32 m
2
.
d) 64 m
2
.
e) 2 m
2
.
31. (SEE-RJ 2010/CEPERJ) O triângulo retângulo ABC da figura abaixo tem catetos AB = 8 e AC
= 6. Pelo ponto M, médio da hipotenusa, traçou-se o segmento MN perpendicular a BC. O
segmento AN mede:
a) 7/4
b) 2
c) 9/4
d) 5/2
e) 11/4
32.
(Assistente Administrativo EBDA 2006/CETRO) Para construir um jardim, um jardineiro
recebeu as seguintes recomendações da dona da casa: o jardim tem que ocupar uma área de
36m
2
, perímetro de 26m e formato retangular. As dimensões desse jardim são de:
(A) 2m e 18m
(B) 20m e 6m
(C) 4m e 9m
(D) 3m e 12m
(E) 10m e 16m
33. (Assistente de Informática – Pref. de Itapeva 2006/CETRO) A soma das áreas de dois
quadrados é de 25 m
2
e a soma dos seus perímetros é igual a 28m. Portanto, as medidas dos
lados x e y desses quadrados são, respectivamente:
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113
Obs.:Figuras fora de escala.
(A) 3m e 4m
(B) 3,5m e 3,5m
(C) 5m e 2m
(D) 7m e 7m
(E) 20m e 8m
34. (Analista de Sistemas – UDESC – FEPESE/2010) Seja ABCD o paralelogramo abaixo, e seja
E um ponto no segmento AD, conforme descrito na figura abaixo:
Sabendo que AB = 5, AE = 3 e AD = 8, a área do paralelogramo
ABCD é:
a) 15.
b) 24.
c) 30.
d) 32.
e) 40.
35. (Pref. Municipal de Arujá 2006/CETRO) Em um trapézio, os lados paralelos medem 16m e
44m, e os lados não paralelos, 17m e 25m. A área do trapézio, em m
2
, é:
(A) 600.
(B) 550.
(C) 500.
(D) 450.
(E) 400
36. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) A figura a seguir mostra três circunferências
com centros em A,B e C, tangentes entre si duas a duas.
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114
As distâncias entre os centros são conhecidas: AB = 34, BC = 18 e CA = 30. O raio da
circunferência de centro A é:
a) 24
b) 23
c) 22
d) 21
e) 20
37. (TRT-SC 2005/FEPESE) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O perímetro
do quadrado é igual a:
a) 32
b) 28
c) 24
d) 20
e) 16
38. (LIQUIGÁS 2008/CETRO) A figura abaixo é formada por um quadrado de lado 6m “cortado”
por um arco de circunferência.
Considerando
j=3,14, a área da região pintada de preto é
de
(A) 7,74m²
(B) 7,98m²
(C) 8,42m²
(D) 8,86m²
(E) 9,12m²
39. (APO – SEPLAG/RJ 2009 – CEPERJ) Um ladrilho branco quadrado com 8 cm de lado
tem no seu interior um círculo cinza de 2 cm de raio.
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A porcentagem da superfície do ladrilho que está pintada de cinza é, aproximadamente:
a) 11%
b) 14%
c) 17%
d) 20%
e) 24%
40. (BADESC 2010/FGV) Uma circunferência de centro em O está inscrita em um
quadrado de vértices A, B, C e D, como ilustrado. P, Q e R são pontos em que a
circunferência toca o quadrado.
Com relação à figura, analise as afirmativas a seguir:
I. A área interior ao quadrado e exterior à circunferência é menor do que a metade da
área total do quadrado.
II. A distância de A até O é menor do que a metade da medida do lado do quadrado.
III. O percurso PRQ, quando feito por cima da circunferência, é mais curto do que o feito
por sobre os lados do quadrado. Assinale:
(A) se somente a afirmativa I estiver correta.
(B) se somente a afirmativa II estiver correta.
(C) se somente a afirmativa III estiver correta.
(D) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas.
(E) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas.
41. (SEE-RJ 2007/CEPERJ) A figura abaixo mostra duas semicircunferências de diâmetros AB e
AC.
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Se AB = 2 e BC = 1, a razão R/S entre as áreas das regiões R e S mostradas na figura é:
A) 0,5
B) 0,6
C) 0,8
D) 1
E) 1,2
42. (ATRFB 2009/ESAF) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está
encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De
quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na
superfície?
a) 5
b) 7,5
c) 5 +
2
/
2
5
d)
2
5
e) 10.
43. (MPOG 2005/ESAF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a
uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os
respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um
triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu
perímetro será igual a:
a) 40 cm
b) 35 cm
c) 23 cm
d) 42 cm
e) 45 cm
44. (Enap 2006/ESAF) Considere um triângulo ABC cujos lados, AB, AC e BC medem, em metros,
c, b e a, respectivamente. Uma circunferência inscrita neste triângulo é tangenciada pelos
lados BC, AC e AB nos pontos P, Q e R, respectivamente. Sabe-se que os segmentos AR ,
BP e CQ medem x, y e z metros, respectivamente. Sabe-se, também, que o perímetro do
triângulo ABC é igual a 36 metros. Assim, a medida do segmento CQ, em metros, é igual a
a) 18 - c.
b) 18 - x.
c) 36 - a.
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117
d) 36 - c.
e) 36 - x.
45. (CGU 2008/ESAF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados
a, b, c e d, medindo (4 x - 9), (3 x + 3), 3 x e 2 x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a
e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a:
a) 25
b) 30
c) 35
d) 40
e) 50
46. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Na circunferência abaixo:
Determine a medida x indicada.
a) 3
b) 6
c) 7
d) 10
e) 12
47.
(Secretaria de Administração – Balneário Camboriú – FEPESE/2007) Um terreno tem a
forma triangular, e seus lados medem 40 m, 90 m e 110 m. A área desse terreno, em metros
quadrados, é:
a) 1800
√2
b) 2200
c) 1950
d) 1200
√2
e) 240
48. (Prefeitura de Ituporanga 2009/FEPESE) Se em um triângulo os lados medem 12 cm, 16 cm e
20 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
a) 10,3 cm.
b) 6,0 cm.
c) 7,2 cm.
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d) 5,6 cm.
e) 9,6 cm.
49. (SUSEP 2010/ESAF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4.
Calcule o raio desse círculo.
a) 1,50
b) 1,25
c) 1,00
d) 1,75
e) 2,00
50. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A figura abaixo mostra um
triângulo ABC e o ponto D sobre o lado AC.
Sabendo que
78 = 89 = 9= e que =837 =
18°, então o ângulo 983= mede:
a) 58º
b) 60º
c) 62º
d) 64º
e) 66º
51. (Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) A órbita da Terra em torno do Sol
é quase circular com raio aproximado de 150 milhões de quilômetros. A velocidade do nosso
planeta em seu eterno percurso em volta do Sol é cerca de:
(A) 2.000km/h.
(B) 10.000km/h.
(C) 50.000km/h.
(D) 100.000km/h.
(E) 200.000km/h.
52. Professor de Matemática – Pref. de Campinas 2008/FGV) Em um jardim há um gramado com
a forma de um quadrilátero OABC. Esse gramado será ampliado tomando a forma do quadrilátero
OA'B’C’, semelhante ao anterior, como mostra a figura abaixo.
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119
Sabendo que a área do quadrilátero OABC é de 108 m², que OA =15 m e que AA’ = 5m, a área de
grama nova (parte sombreada da figura que será plantada) é de:
a) 36 m²
b) 48 m²
c) 58 m²
d) 76 m²
e) 84 m²
53. (Petrobras 2005/CESGRANRIO) Um reservatório esférico com 12 m de diâmetro foi
construído com chapas soldadas de aço. A área da superfície esférica, em m², é de:
(A)
144 j
(B)
216 j
(C)
288 j
(D)
432 j
(E)
576 j
54. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Uma caixa retangular tem 46 cm de comprimento, 9 cm de
largura e 20 cm de altura. Considere a maior bola que caiba inteiramente nessa caixa. A
máxima quantidade de bolas iguais a essa que podem ser colocadas nessa caixa, de
forma que ela possa ser tampada, é
(A) 6
(B) 8
(C) 9
(D) 10
(E) 12
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120
55. (PROMINP 2006/CESGRANRIO)
Uma esfera está inscrita em um cilindro equilátero de volume
16j ³, como representado na
figura acima. O volume da esfera, em cm³, vale:
(A)
16j/3
(B)
32j/3
(C)
64j/3
(D)
74j/
3
(E)
92 j/3
56. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Um cilindro equilátero feito de cartolina foi recortado e
desenrolado, de modo a formar um retângulo, como mostra a figura abaixo. Observe que as bases
do cilindro foram retiradas.
Se, quando montado, o volume do cilindro é
2.000j ³, qual é, em cm², a área aproximada do
retângulo?
(A) 314
(B) 628
(C) 742
(D) 980
(E) 1.256
57. (CITEPE 2009/CESGRANRIO) Uma jarra contém 1,2 L de água. Parte da água será
despejada em um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 8 cm de altura. Considerando
j 3,
quantos mililitros de água sobrarão dentro dessa jarra?
(A) 1.184
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(B) 1.084
(C) 912
(D) 816
(E) 784
58. (PROMINP 2010/CESGRANRIO)
Acima, estão representados dois copos cilíndricos, A e B, de diâmetros respectivamente
iguais a 6 cm e 8 cm. O copo A contém água até a metade, e o copo B está
completamente vazio. Transferindo-se a água contida no copo A para o copo B, esta
ocupará 37,5% de sua capacidade total. Se o copo B tem 9 cm de altura, qual é, em cm, a
altura do copo A?
(A) 10
(B) 12
(C) 15
(D) 16
(E) 18
59. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Uma caixa de água tem o formato de um cilindro circular reto,
altura de 5 m e raio da base igual a 2 m. Se a água em seu interior ocupa 30% de seu volume, o
número de litros de água que faltam para enchê-lo é
Dado:
j 3,1
(A) 43,4
(B) 4.150
(C) 4.340
(D) 41.500
(E)
)
43.400
60. (PROMINP 2010/CESGRANRIO) Um recipiente cilíndrico de 12 cm de raio e 20 cm de
altura está cheio de água até a metade. Doze esferas maciças são colocadas dentro do
recipiente, ficando totalmente imersas e, assim, o nível (altura) da água em seu interior
passa a ser 13 cm. Qual é, em cm, o diâmetro de cada esfera?
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 12
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61. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Suponha que você possui um funil cônico, cujo
raio mede 10 cm e a altura é de 15 cm. Assinale a alternativa correta quanto ao volume
de líquido, em litros, que esse funil pode conter, no máximo.
(A) 2,7
(B) 3,2
(C) 1,57
(D) 4,83
(E) 1,66
62. (ISS-RJ 2010/ESAF) Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V,
então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é:
a) 2V.
b) 4V.
c) πV.
d) 2V
2
.
e) V
3
.
63. (PROMINP 2009/CESGRANRIO) Uma embalagem de suco tem a forma de um
paralelepípedo reto retângulo de base quadrada, com 8 cm de aresta. Se a embalagem
comporta 1,28 L de suco, qual é, em cm, a altura dessa embalagem?
(A) 12
(B) 16
(C) 20
(D) 22
(E) 24
64. (Assistente Administrativo CRP 4ª 2006/CETRO)
A área de uma face de um cubo é 50
cm
2
. Quanto mede a diagonal de sua face?
(A) 25 cm
(B) 20 cm
(C) 15 cm
(D) 12 cm
(E) 10 cm
65. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma
de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93
g/cm
3
, quantos gramas de madeira foram usados na confecção desse peso de papel?
(A) 494,18
(B)
)
476,16
(C) 458,18
(D) 49,418
(E) 47,616
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12.
Gabaritos
01.
C
02.
B
03.
A
04.
D
05.
D
06.
C
07.
A
08.
C
09.
B
10.
C
11.
ANULADA
12.
ANULADA
13.
A
14.
E
15.
C
16.
C
17.
D
18.
B
19.
B
20.
A
21.
A
22.
A
23.
B
24.
B
25.
C
26.
C
27.
E
28.
E
29.
A
30.
E
31.
A
32.
C
33.
A
34.
D
35.
D
36.
B
37.
A
38.
A
39.
D
40.
D
41.
C
42.
D
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43.
D
44.
A
45.
B
46.
D
47.
D
48.
E
49.
A
50.
E
51.
D
52.
E
53.
A
54.
D
55.
B
56.
E
57.
D
58.
B
59.
E
60.
C
61.
C
62.
B
63.
C
64.
E
65.
B