MBiK_GiK_wykład7i8s

SIŁY WEWN

TRZNE W UKŁADACH PR

TOWYCH PŁASKICH

Przez pr

t, w dowolnym jego miejscu na jego długo

ci, mo

na poprowadzi

przekrój

∝−∝.

eli pr

t przetniemy przekrojem

∝−∝

na dwie cz

ęś

ci, to w celu zapewnienia równowagi obu

ęś

ci wzajemne ich oddziaływanie trzeba zast

odpowiednimi siłami zaczepionymi w tym

przekroju, zwanymi siłami wewn

trznymi.

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

SIŁY WEWN

TRZNE W UKŁADACH PR

TOWYCH PŁASKICH

W dowolnym przekroju pr

ta, którego o

y w płaszczy

nie oraz obci

ąż

enia działaj

w tej

płaszczy

nie, wyst

puj

trzy rodzaje sił wewn

trznych:

•

siła podłu

∝

•

siła poprzeczna

∝

(

∝

•

moment zginaj

∝

da z wydzielonych cz

ęś

ci znajduje si

w równowadze pod działaniem sił zewn

trznych

działaj

cych na dan

ęść

i sił wewn

trznych w przekroju

∝−∝

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

SIŁY WEWN

TRZNE W UKŁADACH PR

TOWYCH PŁASKICH

Siła podłu

na w my

lowym przekroju

∝−∝

równa si

sumie algebraicznej rzutów wszystkich sił

działaj

cych po jednej stronie przekroju na kierunek stycznej do osi pr

ta w tym przekroju.

∑

= 0

∝

(lewa strona przekroju)

Siła poprzeczna w my

lowym przekroju

∝−∝

równa si

sumie algebraicznej rzutów wszystkich sił

działaj

cych po jednej stronie przekroju na kierunek prostopadły do osi pr

ta w tym przekroju.

∑

= 0

−

∝

(lewa strona przekroju)

Moment zginaj

cy w my

lowym przekroju

∝−∝

równa si

sumie algebraicznej momentów

statycznych wszystkich sił poło

onych po jednej stronie przekroju wzgl

dem

rodka ci

ęż

ci tego

przekroju.

∑

= 0

−

∝

= 0

(lewa strona przekroju)

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

ZALE

CI RÓ

NICZKOWE MI

DZY SIŁMI WEWNETRZNYMI

I OBCI

ĄŻ

ENIEM

Belka obci

ąż

ona jest obci

ąż

eniem rozło

onym

liniowo q [kN/m].

Z belki tej mo

na wyci

ąć

elementarny odcinek

o długo

∆

x le

żą

cy mi

dzy przekrojami a i b.

W przekroju a wyst

: moment zginaj

cy M, siła

poprzeczna V i siła podłu

na N.

przekroju

wyst

natomiast:

moment

zginaj

cy M+

∆

M, siła poprzeczna V+

∆

i siła

podłu

na N+

∆

Wypadkowa obci

ąż

eniem znajduje si

w połowie

odcinka

∆

x i ma warto

ść

∆

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

ZALE

CI RÓ

NICZKOWE MI

DZY SIŁMI WEWNETRZNYMI

I OBCI

ĄŻ

ENIEM

Wszystkie

siły:

zewn

trzne

(obci

ąż

enia)

i wewn

trzne, działaj

ce na wyci

tej cz

ęś

ci belki

musz

spełnia

warunki równowagi.

•

Z warunków rzutów na o

pionow

wynika:

V - (V+

∆

V) - q

∆

x = 0

∆

V = - q

∆

gdy

∆

x d

ąż

y do zera (

∆

→

0), to otrzymuje si

zale

ść

= - q .

Jest

zale

ść

ró

niczkowa

dzy

sił

poprzeczn

a obci

ąż

eniem. Zale

ść

ta oznacza,

e pierwsza pochodna siły poprzecznej równa si

obci

ąż

eniu

jednostkowemu

tym

przekroju

wzi

tym z odwrotnym znakiem.

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

ZALE

CI RÓ

NICZKOWE MI

DZY SIŁMI WEWNETRZNYMI

I OBCI

ĄŻ

ENIEM

•

Warunek

równowagi

momentów

wzgl

dem

przekroju b:

M - (M+

∆

M) +V

∆

x - q

∆

∙

∆

= 0

∆

M = V

∆

x -

(∆

)

(

(∆

)

- mała warto

ść

, dlatego jest pomijana)

gdy

∆

x d

ąż

y do zera (

∆

→

0), to otrzymuje si

zale

ść

= V .

Jest to zale

ść

ró

niczkowa mi

dzy momentem

zginaj

cym

sił

poprzeczn

Zale

ść

oznacza,

siła

poprzeczna

jest

pochodn

momentu zginaj

cego.

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

GRAFICZNE PRZEDSTAWIENIE SIŁ WEWN

TRZNYCH

Siły wewn

trzne przedstawia si

w sposób

graficzny – za pomoc

wykresów.

Zgodnie

przyj

konwencj

warto

dodatnie momentów zginaj

cych umieszcza

u spodu pr

ta, a ujemne po stronie

przeciwnej.

Wykresy

sił

poprzecznych

(równie

sił

podłu

nych)

warto

ciach

dodatnich

zaznacza

góry

ta,

natomiast

warto

ci ujemne u spodu pr

ta.

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

GRAFICZNA INTERPRETACJA ZALE

CI RÓ

NICZKOWYCH

•

Obci

ąż

enie sił

skupion

eli wykres sił poprzecznych jest prost

poziom

to wykres momentów zginaj

cych jest opisany

równaniem prostej nachylonej.

W przypadku obci

ąż

enia sił

skupion

P w miejscu

jej przyło

enia wyst

pi nieci

gło

ść

w wykresie sił

poprzecznych.

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

GRAFICZNA INTERPRETACJA ZALE

CI RÓ

NICZKOWYCH

•

Obci

ąż

enie rozło

one liniowo q

eli

wykres

sił

poprzecznych

jest

prost

współczynniku

kierunkowym,

wykres

momentów zginaj

cych jest opisany parabol

W celu znalezienia ekstremum dowolnej funkcji,

przyrównuje si

pochodn

do zera, a wi

c ekstrema

momentu zginaj

cego znajduj

w miejscach

zerowania siły poprzecznej.

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

•

Wyznaczamy warto

ci reakcji podporowych

∑

= 0

= 0 [kN]

∑

= 0

- P = 0

→ ' ()* +ó'-.-/0 1ą 3'/4 -/4'/.35*4

∑

∙

- P

∙

= 0

∙ l =

∙

/:l

[kN]

powracamy do równania nr2

∑

= 0

→ %

= -

+ P

= -

+ P

[kN]

5. sprawdzenie

∑

=0 -

∙

+ P

∙

= 0

→

[kN]

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

•

Wyznaczamy warto

ci sił wewn

trznych (sił podłu

nych, sił poprzecznych i momentów

zginaj

cych) w poszczególnych przedziałach belki.

Przedział AC

, x

∈

(0,

)

siły podłu

;

= 0

→

;

< = −

= 0 [kN]

siły poprzeczne

−

;

= 0

;

[kN]

momenty zginaj

−

;

∙ x

= 0

;

∙ x

dla x=0

;

∙

0 = 0 [kN

∙

dla x=

;

∙

9∙7

[kN

∙

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

•

Wyznaczamy warto

ci sił wewn

trznych (sił podłu

nych, sił poprzecznych i momentów

zginaj

cych) w poszczególnych przedziałach belki.

Przedział CB

, x

∈

(

,l)

siły podłu

= 0

→

< = −

= 0 [kN]

siły poprzeczne

−

- P = 0

- P =

[kN]

momenty zginaj

−

∙ x

- P

∙

(x -

) = 0

∙ x

- P

∙

(x -

)

dla x=

∙

- P

∙

(

) =

∙

9∙7

[kN

∙

dla x=l

∙

l - P

∙

(l -

) =

∙

l - P

∙

= 0 [kN

∙

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

•

Wyznaczamy warto

ci reakcji podporowych

∑

= 0

= 0 [kN]

∑

= 0

- q

∙

l = 0

→ ' ()* +ó'-.-/0 1ą 3'/4 -/4'/.35*4

∑

∙

- q

∙ ∙

= 0

∙ l = q ∙

/:l

D∙7

[kN]

powracamy do równania nr2

∑

= 0

→ %

= -

+ q

∙

= -

D∙7

+ q

∙

D∙7

[kN]

5. sprawdzenie

∑

=0 -

∙

+ q

∙ ∙

= 0

→

D∙7

[kN]

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

•

Wyznaczamy warto

ci sił wewn

trznych (sił podłu

nych, sił poprzecznych i momentów

zginaj

cych) w poszczególnych przedziałach belki.

Przedział AB

, x

∈

(0,l)

siły podłu

= 0

→

< = −

= 0 [kN]

siły poprzeczne

−

- q

∙ x

= 0

- q

∙ x

dla x=0

- 0 =

D∙7

[kN]

dla x=l

- q

∙

l =

D∙7

- q

∙

l= -

D∙7

[kN]

momenty zginaj

−

∙ x

- q

∙ x ∙

= 0

∙ x

- q

∙

dla x=0

∙

0 - q

∙

= 0 [kN

∙

dla x=l

∙

l - q

∙

D∙7

∙

l - q

∙

D∙7

= 0 [kN

∙

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

•

sporz

dzamy

wykresy sił wewn

trznych

ekstremum w przedziale AB

= 0

- q

∙

- q

∙

x = 0

∙

x =

∙

x =

D∙7

/:q

x =

[m]

∙ x

F ∙

dla x =

[m]

*.G

∙

F ∙

D∙7

∙

– q

∙

(

)

D∙7

- q

∙

D∙7

∙D∙7

D∙7

[kN

∙

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

•

Wyznaczamy warto

ci reakcji podporowych

∑

= 0

= 0 [kN]

∑

= 0

- q

∙ 4

– P = 0

→ ' ()* +ó'-.-/0 1ą 3'/4 -/4'/.35*4

∑

∙ 5

- q

∙ 4 ∙ 3

- P

∙

1 + M = 0

∙ 5 =

∙ 4 ∙ 3

+ P

∙

1 – M

∙ 5

= 5

∙ 4 ∙ 3

+ 12

∙

1 – 10

∙ 5

= 62

12,4 [kN]

powracamy do równania nr2

∑

= 0

→ %

= -

+ q

∙ 4

+ P

= - 12,4 + 5

∙ 4

+ 12

= 19,6 [kN]

5. sprawdzenie

∑

=0 -

∙ 5

+ q

∙ 4 ∙ 2

+ P

∙ 4

+ M = 0

→

= 19,6 [kN]

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

•

Wyznaczamy warto

ci sił wewn

trznych (sił podłu

nych, sił poprzecznych i momentów

zginaj

cych) w poszczególnych przedziałach belki.

Przedział AC

, x

∈

(0,4)

siły podłu

;

= 0

→

;

< = −

= 0 [kN]

siły poprzeczne

−

;

- q

∙

x = 0

;

- q

∙

dla x=0

;

- q

∙

x = 12,4 - 5

∙

0 = 0 [kN]

dla x=

;

- q

∙

x = 12,4 - 5

∙

4 = -7,6 [kN]

momenty zginaj

−

;

∙ x

- q

∙

= 0

;

∙ x

F ∙

dla x=0

;

∙ x

F ∙

= 12,4

∙ 0

- 5

∙

= 0 [kN

∙

dla x=4

;

∙ x

F ∙

= 12,4

∙ 4

- 5

∙

= 9,6 [kN

∙

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

Przedział CB

, x

∈

(4,5)

siły podłu

= 0

→

< = −

= 0 [kN]

siły poprzeczne

−

- q

∙ 4

- P = 0

- q

∙ 4

- P

dla x=4

- q

∙ 4

- P = 12,4 - 5

∙

4 - 12 = -19,6 [kN]

dla x=

- q

∙ 4

- P = 12,4 - 5

∙

4 - 12 = -19,6 [kN]

momenty zginaj

−

∙ x

- q

∙ 4 ∙

(x-2) - P

∙

(x-4) = 0

∙ x

- q

∙ 4 ∙

(x-2) - P

∙

(x-4)

dla x=4

∙ x

F ∙

∙

(x-2)-P

∙

(x-4) = 12,4

∙

4 - 5

∙

(4-2) -12

∙

(4-4) = 9,6 [kN

∙

dla x=5

∙ x

F ∙

∙

(x-2)-P

∙

(x-4) = 12,4

∙

5 - 5

∙

(5-2) -12

∙

(5-4) = -10 [kN

∙

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

Przedział BD

, x

∈

(5,7)

siły podłu

= 0

→

< = −

= 0 [kN]

siły poprzeczne

−

- q

∙ 4

- P +

= 0

- q

∙ 4

- P +

dla x=5

- q

∙ 4

- P = 12,4 - 5

∙

4 - 12 + 19,6 = 0 [kN]

dla x=

- q

∙ 4

- P = 12,4 - 5

∙

4 - 12 + 19,6 = 0 [kN]

momenty zginaj

−

∙ x

- q

∙ 4 ∙

(x-2) - P

∙

(x-4) +

∙

(x-5) = 0

∙ x

- q

∙ 4 ∙

(x-2) - P

∙

(x-4) +

∙

(x-5)

dla x=5

∙ x

F ∙

∙

(x-2)-P

∙

(x-4) +

∙

(x-5) = 12,4

∙

5 - 5

∙

(5-2) -12

∙

(5-4) +

+ 19,6

∙

(5-5)= -10 [kN

∙

dla x=7

∙ x

F ∙

∙

(x-2)-P

∙

(x-4) +

∙

(x-5) = 12,4

∙

7 - 5

∙

(7-2) -12

∙

(7-4) +

+ 19,6

∙

(7-5)= -10 [kN

∙

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8

WYZNACZANIE SIŁ WEWN

TRZNYCH I SPORZ

DZANIE ICH WYKRESÓW

Zadanie cd

•

sporz

dzamy

wykresy sił wewn

trznych

ekstremum w przedziale AB

;

= 0

;

- q

∙

- q

∙

x = 0

∙

x =

∙

x = 12,4 /:5

x = 2,48m

;

∙ x

F ∙

dla x = 2,48m

;

*.G

∙ 2,48

F ∙

,@J

= 12,4

∙

2,48 – 5

∙

,@J

= 15,4 [kN

∙

M e c h a n i k a B u d o w l i i K o n s t r u k c j i Wykład nr7 i 8