1
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
1
Modele optymalizacji liniowej
Studia przypadków
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
5
Proces budowy modelu
1. Zdefiniowanie decyzji (zmiennych
decyzyjnych) x
2. Ustalenie warunków wyznaczających
zbiór decyzji dopuszczalnych D
3. Przyjęcie miernika realizacji celu f
4. Określenie podjęcia decyzji optymalnej
2
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
31
Kopalnia węgla brunatnego 1
• Kopalnia eksploatuje węgiel brunatny na trzech
poziomach wydobywczych: A, B i C.
• Ze względów jakościowych wydobycie węgla z
poziomu A musi być co najmniej dwa razy większe
niż z poziomu B.
• Cena sprzedaży węgla wynosi 60 zł/t.
• Zaplanować wydobycie dobowe z każdego poziomu
wydobywczego
• Zdefiniuj model optymalizacji liniowej
maksymalizujący zysk.
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
32
20
Minimalne wydobycie dobowe
kopalni [tys.t]
22
Maksymalne wydobycie dobowe
kopalni [tys.t]
8
8
12
Maksymalne wydobycie dobowe
[tys.t]
30
35
38
Jednostkowy koszt wydobycia
[zł/t]
wartości
graniczne
C
B
A
Kopalnia węgla brunatnego 1
3
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
33
• Kopalnia odkrywkowa węgla brunatnego prowadzi
eksploatację na 4 poziomach wydobywczych: dwóch
nadkładowych: N1 i N2 oraz dwóch węglowych: W1 i W2.
Maksymalne wydobycie dobowe na każdym poziomie jest
ograniczone wydajnością koparki.
• Urobek z poziomów: N2(nadkładowego) i W1(węglowego)
jest odstawiany jednym taśmociągiem o wydajności dobowej
nie większej niż 20 000 [t].
• Ze względów jakościowych wydobycie węgla z poziomu W1
musi być co najmniej 2 razy większe niż z poziomu W2.
• Ze względu na zachowanie odpowiedniego wyprzedzenia
frontów eksploatacyjnych wydobycie nadkładu* musi być
co najmniej 3 razy większe niż wydobycie węgla.
• Cena sprzedaży węgla wynosi 60 zł/t.
Kopalnia węgla brunatnego 2
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
34
10
minimalne wydobycie dobowe
węgla w kopalni [tys. t]
15
maksymalne wydobycie
dobowe węgla w kopalni
[tys. t]
8
8
18
25
maksymalne wydobycie
dobowe koparki [tys. t]*
18
14
12
10
jednostkowy koszt wydobycia
[zł/t]
wartości
graniczne
W2
W1
N2
N1
Kopalnia węgla brunatnego 2
4
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
35
• Kopalnia podziemna rud eksploatuje aktualnie 4 pola
wydobywcze: północne (N), południowe (S), wschodnie (E) i
zachodnie (W). Ruda miedzi jest wydobywana w polach N i
S zaś ruda srebra w polach W i E.
• Urobek z pól N i E jest transportowany szybem północnym a
urobek z pól S i W szybem południowym.
• Ze względów geotechnicznych nie należy wstrzymywać
wydobycia w żadnym polu – minimalne wydobycie w
każdym polu powinno wynosić co najmniej 15% łącznego
wydobycia rudy
• Zdefiniuj model optymalizacji liniowej maksymalizujący
wydobycie rudy miedzi przy kosztach wydobycia nie
przekraczających 1,9 mln zł
Kopalnia rudy miedzi
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
36
7 000
maksymalna dobowa wydajność
szybu południowego [t]
5 000
maksymalna dobowa wydajność
szybu północnego [t]
9 000
minimalne wydobycie dobowe rudy
w kopalni [t]
11 000
maksymalne wydobycie dobowe
rudy w kopalni [t]
210
180
240
250
jednostkowy koszt wydobycia [zł/t]
wartości
graniczne
W
E
S
N
pola wydobywcze
Kopalnia rudy miedzi
5
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
37
Koparka - Samochody
• Zakład ma dwa samochody A i B o ładowności ŁA ton, ŁB
ton.
• Koparka może załadować co najwyżej K samochodów w
ciągu zmiany, niezależnie od ich ładowności.
• Dzienny limit paliwa dla zakładu wynosi LP litrów.
• Samochód A zużywa na jeden pełny cykl transportowy Za
litrów paliwa, samochód Zb litrów.
• W ciągu zmiany samochód A może wykonać co najwyżej
Ca pełnych cykli transportowych, samochód B - Cb cykli.
• Zdefinuj model optymalizacji liniowej maksymalizujący ilość
przetransportowanego urobku.
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
38
15
Maks. liczba załadowań / zmianę
250
Limit paliwa
8
10
Maksymalna liczba cykli / zmianę
20
15
Zużycie paliwa / cykl
12
10
Ładowność samochodów
B
A
Samochody
Koparka - Samochody
6
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
39
Produkcja – różne wyroby
• Do wykonania dwóch wyrobów A i B
przedsiębiorstwo zużywa stal i blachę
ocynkowaną.
• Przy produkcji wyrobów A i B wykorzystywane
są urządzenia: prościarki, giętarki i nożyce do
cięcia blachy.
• Przyjmując, że znane są Ci zasoby jakimi
dysponuje przedsiębiorstwo (czas dostępności
urządzeń, ilość materiałów), normatywy zużycia
zasobów na jednostkę wyrobu oraz zysk ze
sprzedaży wyrobów, zdefinuj model
optymalizacji liniowej maksymalizujący zysk
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
40
200
Czas dostępności nożyc
150
Czas dostępności giętarki
200
Czas dostępności prościarki
15000
Limit blachy
10000
Limit stali
110
100
Zysk jednostkowy
70
50
Zużycie stali
120
100
Zużycie blachy
4
6
Czas pracy nożyc / jedn. wyrobu
15
10
Czas pracy giętarki / jedn. wyrobu
7
5
Czas pracy prościarki / jedn. wyrobu
B
A
7
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
41
Produkcja – różne technologie
• Do produkcji wyrobu przedsiębiorstwo może
zastosować trzy technologie A, B i C.
• Znane są jednostkowe nakłady zasobów
(energia, surowiec, koszt) ponoszone na
wyprodukowanie jednostki wyrobu w danej
technologii oraz wielkość zasobów, jakimi
dysponuje przedsiębiorstwo.
• Zdefinuj model optymalizacji liniowej
maksymalizujący wielkość produkcji
Badania Operacyjne
Bogumił Dałkowski
42
100000
Budżet do dyspozycji
5000
ilość dostępnego surowca
250
Ilość dostępnej energii
2500
2000
1000
Koszt jedn. wyrobu
150
120
100
Zużycie surowca / jedn. wyrobu
12
10
5
Zużycie energii / jedn. wyrobu
C
B
A
Produkcja – różne technologie