OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Kurs powtórkowy
Kurs powtórkowy
Sierpie
ń
2011
Sierpie
ń
2011
w3
w3
OBWODY ELEKTRYCZNE
i
Teoria Obwodów 1
Kurs powtórkowy
Kurs powtórkowy
Sierpie
ń
2011
Sierpie
ń
2011
w3
w3
Metoda symboliczna
Domena czasowa
Domena zespolona
( )
sin(
)
m
X
x t
X
t
ω
=
+Ψ
X
j
X
Xe
Ψ
=
( )
d
x t
dt
j X
ω
( )
x t dt
∫
1
1
X
j
X
j
ω
ω
=−
( ) 0
k
k
i t
±
=
∑
0
k
k
I
± =
∑
( ) 0
k
k
u t
±
=
∑
( )
( ) 0
k
k
k
u t
e t
±
±
=
∑
0
k
k
U
± =
∑
0
k
k
k
U
E
± ± =
∑
Metoda symboliczna
U
( )
u t
( )
i t
I
( )
Ri t
RI
( )
d
L
i t
dt
j LI
ω
1
( )
i t dt
C
∫
1
j
I
C
ω
−
Impedancja
U
I
Z
1
1
RI
j I
j
I
U
C
Z
R
j
j
I
I
C
ω
ω
ω
ω
+
−
=
=
= +
−
Wprowadzamy dla gał
ę
zi iloraz i oznaczamy liter
ą
Wielko
ść
niezale
Ŝ
na od amplitudy ani od fazy pocz
ą
tkowej pr
ą
du nazywa si
ę
impedancj
ą
zespolon
ą
( oporem pozornym )
Z
Impedancja
1
(
)
L
C
L
C
Z
R
j
j
R
jX
jX
C
Z
R
j X
X
Z
R
jX
ω
ω
= +
−
= +
−
= +
−
= +
Z
Z
R – rezystancja lub opór czynny - Re{ }
X – reaktancja lub opór bierny Im{ }
Impedancja
X=X
L
-X
C
X
L
>X
C
→
X>0
→
charakter indukcyjny gał
ę
zi
X
L
<X
C
→
X<0
→
charakter pojemno
ś
ciowy gał
ę
zi
X
L
=X
C
→
X=0
→
charakter rezystancyjny gał
ę
zi
Prawo Ohma
U
Z I
=
prawo Ohma w zapisie zespolonym
cos
sin
j
Z
R
jX
Ze
Z
jZ
ϕ
ϕ
ϕ
= +
=
=
+
Z
Z
=
→
2
2
2
2
1
(
)
Z
R
X
R
L
C
ω
ω
=
+
=
+
−
1
L
X
C
tg
R
R
ω
ω
ϕ
−
=
=
moduł impedancji [Z]=1
Ω
φ
– argument impedancji
Impedancja
1
L
X
C
arctg
arctg
R
R
ω
ω
ϕ
−
=
=
1
arctg
tg
ϕ
ϕ
−
→
0
2
ϕ
Π
< ≤
0
2
ϕ
Π
− < ≤
0
ϕ
=
gdy X
L
>X
C
- charakter indukcyjny gał
ę
zi
gdy X
L
<X
C
- charakter pojemno
ś
ciowy gał
ę
zi
gdy X
L
=X
C
- charakter rezystancyjny gał
ę
zi
Trójk
ą
t impedancji
(
)
L
C
Z
R
j X
X
= +
−
}
ϕ
R
Z
jX
L
jX
C
jX
−
}
ϕ
R
Z
jX
−
L
jX
C
jX
−
gdy
φ
>0 charakter indukcyjny gał
ę
zi
φ
<0 charakter pojemno
ś
ciowy gał
ę
zi
Impedancja
(
)
U
U
I
j
j
j
j
U
Ue
U
I
e
Ie
Z
Ze
Z
ϕ
ϕ
Ψ
Ψ −
Ψ
=
=
=
=
U
I
Z
=
I
U
ϕ
Ψ = Ψ −
( )
2
sin(
)
U
U
i t
t
Z
ω
ϕ
=
+ Ψ −
U
I
ϕ
= Ψ − Ψ
z prawa Ohma
st
ą
d
oraz
- k
ą
t przesuni
ę
cia fazowego
Impedancja
Ψ
U
>
Ψ
I
gdy
φ
>0 - charakter indukcyjny – napi
ę
cie
wyprzedza pr
ą
d lub pr
ą
d opó
ź
nia si
ę
wzgl
ę
dem
napi
ę
cia
Ψ
U
<
Ψ
I
gdy
φ
<0 - charakter pojemno
ś
ciowy –
napi
ę
cie opó
ź
nia si
ę
wzgl
ę
dem pr
ą
du lub pr
ą
d
wyprzedza napi
ę
cie
Ψ
U
=
Ψ
I
gdy
φ
=0 - charakter rezystancyjny – napi
ę
cie
i pr
ą
d s
ą
ze sob
ą
w fazie
Trójk
ą
t napi
ęć
I
I
Ψ
ϕ
U
Ψ
U
L
U
C
U
R
U
0
ϕ
>
I
I
Ψ
ϕ
U
Ψ
U
L
U
C
U
R
U
0
ϕ
<
Admitancja
Z
Y
1
Y
G
jB
Z
=
= +
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
R
jX
R
jX
R
X
R
X
Y
j
G
a
B
Z
R
jX
R
jX
R
jX
R
X
Z
Z
Z
Z
−
−
=
=
=
=
=
−
⇒
=
= −
+
+
−
+
Odwrotno
ść
nazywa si
ę
admitancj
ą
i oznacza jako
( przewodno
ść
pozorna, zespolona).
G – kondunktancja ( przewodno
ść
czynna )
B – susceptancja ( przewodno
ść
bierna )
Admitancja
1
1
1
1
j
j
j
Y
e
Ye
Y
Y
Z
Ze
Z
Z
ϕ
ϕ
ϕ
−
−
=
=
=
=
⇒
=
=
Y
?
Z
=
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
1
1
G
jB
G
jB
G
B
G
B
Z
j
R
a
X
Y
G
jB
G
jB G
jB
G
B
Y
Y
Y
Y
−
−
= =
=
=
=
−
⇒
=
= −
+
+
−
+
1
1
1
1
j
j
j
Z
e
Ze
Z
Z
Y
Ye
Y
Y
ϕ
ϕ
ϕ
−
= =
=
=
⇒
=
=
Odwrotnie , dane obliczy
ć
Moc czynna , bierna i pozorna
( )
( ) ( )
p t
u t i t
=
( )
i t
( )
u t
U I
U I
cos
UI
ϕ
Moc chwilowa na dowolnym dwójniku
p > 0 energia dopływa do odbiornika
P < 0 energia odpływa z odbiornika
Moc czynna , bierna i pozorna
2
2
2
2
2
2
sin (
)
1
1
1
cos(2
2
)
(1 cos(2
2
))
2
2
2
R
m
I
m
m
I
m
I
p
u i
Ri
RI
t
RI
RI
t
RI
t
ω
ω
ω
=
=
=
+ Ψ =
=
−
+ Ψ =
−
+ Ψ
2
2
sin(
)
sin(
)
2
1
sin(
) cos(
)
sin(2
2
)
2
L
m
I
m
I
m
I
I
m
I
p
u i
LI
t
I
t
LI
t
t
LI
t
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Π
=
=
+ Ψ +
+ Ψ =
=
+ Ψ
+ Ψ =
+ Ψ
Rezystancja
Indukcyjno
ść
pojemno
ść
2
2
1
sin(
)
sin(
)
2
1
1
sin(
) cos(
)
sin(2
2
)
2
C
m
I
m
I
m
I
I
m
I
p
u i
I
t
I
t
C
I
t
t
I
t
C
C
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
Π
=
= −
+ Ψ +
+ Ψ =
= −
+ Ψ
+ Ψ = −
+ Ψ
Moc czynna , bierna i pozorna
Praktyczne znaczenie posiada energia
w okresie T wielkość energii wynosi
0
0
T
T
T
W
pdt
uidt
=
=
∫
∫
dla prądu stałego ( DC )
0
0
0
T
T
T
T
W
uidt
Pdt P dt PT
=
=
=
=
∫
∫
∫
Analogicznie wprowadzamy pojęcie mocy średniej zwanej mocą czynną
0
1
T
P
uidt
T
=
∫
Odpowiada ona energii jaka wydziela się w jednostce czasu na elemencie rezystancyjnym
Moc czynna , bierna i pozorna
Rezystancja
Indukcyjność
pojemność
2
2
1
2
m
P
RI
RI
=
=
0
P
=
0
P
=
sin(
) sin(
)
1
cos(
) cos(2
)
2
cos( ) cos(2
)
m m
U
I
m m
U
I
U
I
U
I
ui
U I
t
t
U I
t
UI
t
ω
ω
ω
ϕ
ω
=
+ Ψ
+ Ψ =
=
Ψ − Ψ −
+ Ψ + Ψ
=
=
−
+ Ψ + Ψ
Przypadek ogólny
Moc czynna , bierna i pozorna
moc czynna
0
1
cos
cos(
)
T
U
I
P
uidt
UI
UI
T
ϕ
=
=
=
Ψ − Ψ
∫
Moc czynna równa się iloczynowi wartości skutecznych
napięcia i prądu oraz cosinusa kąta między nimi
Rezystancja
Indukcyjność
pojemność
φ
=0
φ
=Π/2
φ
=-Π/2
2
R
P
U I
RI
=
=
0
P
=
0
P
=
W celu policzenia energii pobranej w czasie t[s]
wystarczy pomnoŜyć
t
W
Pt
=
Moc czynna , bierna i pozorna
(
)
(
)
*
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
( )
sin(
)
2
2
2
2
U
U
U
U
j
t
j
t
m
U
m
j
j
j
t
j
t
j
t
j
t
m
u t
U
t
U
e
e
j
U
e
e
e
e
Ue
U e
j
j
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+Ψ
−
+Ψ
Ψ
− Ψ
−
−
=
+ Ψ =
−
=
=
−
=
−
(
)
(
)
*
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
( )
sin(
)
2
2
2
2
I
I
I
I
j
t
j
t
m
I
m
j
j
j
t
j
t
j
t
j
t
m
i t
I
t
I
e
e
j
I
e
e
e
e
Ie
I e
j
j
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
+Ψ
−
+Ψ
Ψ
− Ψ
−
−
=
+ Ψ =
−
=
=
−
=
−
Moc czynna jest warto
ś
ci
ą
ś
redni
ą
mocy chwilowej.
Przebieg chwilowy napi
ę
cia mo
Ŝ
na zapisa
ć
w postaci
analogicznie dla pr
ą
du
Moc czynna , bierna i pozorna
*
*
(
)
(
)
(
)
(
)
*
*
*
*
(2
)
(2
)
2
2
2
2
1
2
j
t
j
t
j
t
j
t
j
t
j
t
p
ui
Ue
U e
Ie
I e
j
j
U Ie
U I
U I
U I e
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
−
= =
−
−
=
= −
−
−
+
(
) (
)
{ } { }
*
*
*
*
*
*
*
0
1
1
1
1
(
)
2 Re
Re
2
2
2
T
P
uidt
U I
U I
U I
U I
U I
U I
T
=
=
+
=
+
=
=
∫
{ }
*
Re
P
U I
=
st
ą
d
st
ą
d moc czynna
a wi
ę
c
Moc czynna , bierna i pozorna
oznaczamy
*
S
U I
=
więc
{ }
Re
P
S
=
Wielkość
*
S
U I
=
nazywa się mocą pozorną w postaci
zespolonej.
Jej część rzeczywista jest mocą czynną.
Moduł
S
UI
=
- moc pozorna S , [S]=VA
Część urojona mocy pozornej zespolonej
{ }
{ }
*
Im
Im
S
U I
Q
=
=
nazywa się mocą bierną
[Q]=VAr
[P]= W
Moc czynna , bierna i pozorna
Rozpiszmy
*
(
)
U
U
I
I
j
j
j
S
U I
Ue
Ie
UIe
UIe
ϕ
Ψ
Ψ −Ψ
− Ψ
=
=
=
=
czyli
(cos
sin )
S
UI
j
P
jQ
ϕ
ϕ
=
+
= +
stąd
cos
cos
sin
sin
P UI
S
Q UI
S
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
=
2
2
S
P
Q
Q
tg
P
ϕ
=
+
=
Moc czynna , bierna i pozorna
dalej
*
*
2
2
2
2
(
)
S
U I
Z I I
ZI
R
jX I
RI
jXI
=
=
=
=
+
=
+
zatem
2
2
2
P
RI
Q
XI
S
ZI
=
=
=
Moc czynna , bierna i pozorna
•
Analogicznie
*
*
*
2
2
2
2
(
)
(
)
S
U I
U YU
Y U
G
jB U
GU
jBU
=
=
=
=
−
=
−
zatem
2
2
2
P
GU
Q
BU
S
YU
=
= −
=
Trójk
ą
t mocy
S
P
Q
ϕ
z definicji moc bierna rezystora Q
R
=0
z definicji moc bierna cewki Q
L
>0
z definicji moc bierna kondensatora Q
C
<0
cos
,
P
Q
tg
S
P
ϕ
ϕ
=
=
Trójk
ą
t mocy
0
ϕ
>
S
P
Q
ϕ
R
Z
X
ϕ
Y
G
B
ϕ
S
P
Q
ϕ
Z
R
X
ϕ
Y
G
B
ϕ
0
ϕ
<
Pomiar mocy dwójnika
W
u
i
A
B
{ }
*
cos[ ( , )]
cos
Re
W
P
UI
U I
UI
U I
ϕ
=
=
=
∢
Watomierz wskazuje warto
ść
ś
redni
ą
iloczynu ui czyli moc czynn
ą
.
Pomiar mocy dwójnika
W
u
i
A
B
A
V
2
2
2
2
,
cos
,
cos
,
U
Z
R
Z
X
Z
R
I
S
UI
Q
S
P
P
UI
ϕ
ϕ
=
=
=
−
=
=
−
=
Cz
ę
sto zał
ą
czamy jeszcze amperomierz i woltomierz – metoda
techniczna pomiaru parametrów dwójnika
z pomiaru mamy P, U, I
st
ą
d
Składowe czynne i bierne napi
ę
cia i pr
ą
du
cos
;
cos ;
sin
;
sin ;
cz
cz
cz
b
b
b
P
P
UI
IU
U
U
U
RI
I
Q
Q
UI
IU
U
U
U
XI
I
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
= =
=
=
=
=
=
{ }
Re
cz
U
U
≠
U
cz
; U
b
– składowe czynne i bierne napi
ę
cia
Składowa czynna – rzut wskazu napi
ę
cia na kierunek wyznaczony przez
wskaz pr
ą
du.
Składowa bierna – rzut wskazu napi
ę
cia na kierunek prostopadły do
kierunku wyznaczonego przez wskaz pr
ą
du.
Ogólnie
Składowe czynne i bierne napi
ę
cia i pr
ą
du
cz
U
b
U
U
I
ϕ
Składowe czynne i bierne napi
ę
cia i pr
ą
du
cz
U
0
b
U
>
U
I
ϕ
0
ϕ
>
cz
U
0
b
U
<
U
I
ϕ
0
ϕ
<
Składowe czynne i bierne napi
ę
cia i pr
ą
du
b
cz
L
U
L
U
R
ω
=
Np. cewka rzeczywista
I
U
L
R
L
X
I
RI
ϕ
U
L
jX I
2
2
cos
cos
sin
sin
L
cz
b
cz
L
R
b
L
L
U
ZI
U
U
U
U
IZ
IR
U
U
U
IZ
IX
U
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
Dobro
ć
cewki
Składowe czynne i bierne napi
ę
cia i pr
ą
du
cz
I
0
b
I
<
U
I
ϕ
0
ϕ
>
cos ;
;
sin ;
cz
cz
cz
b
b
b
P
I
I
I
I
GU
U
Q
I
I
I
I
BU
U
ϕ
ϕ
=
=
=
−
= −
=
=
Analogicznie dla pr
ą
du
Składowe czynne i bierne napi
ę
cia i pr
ą
du
C
X
C
R
I
b
I
cz
I
ϕ
δ
I
U
cz
I
b
I
2
2
1
cos
cos
sin
sin
C
cz
b
cz
C
R
b
C
C
I
YU
I
I
I
I
UY
UG
U
I
R
I
I
UY
UB
U C
I
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ω
=
=
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
b
C
cz
I
R C
I
ω
=
1
cz
R
b
C
C
I
I
tg
I
I
R C
δ
ω
=
=
=
np. rzeczywisty kondensator
Dobro
ć
kondensatora
współczynnik stratno
ś
ci
Składowe czynne i bierne napi
ę
cia i pr
ą
du
I
1
I
2
I
3
I
1
cos
ϕ
2
cos
ϕ
3
cos
ϕ
1
I
2
I
3
I
U
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
(
) (
)
2
2
2
2
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2
2
cos
cos
cos
sin
sin
sin
cos
sin
cz
b
k
k
k
k
k
k
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
+
=
+
+
+
+
+
=
=
+
∑
∑
b
cz
I
tg
I
ϕ
=
Zastosowanie składowych