Analiza matematyczna 

MB 

Granice, asymptoty funkcji 

 
Twierdzenie 1 (de l’Hospitala) 

Jeżeli: 

 Funkcje    i   są określone na pewnym sąsiedztwie 

, 

 

 

 

 

Uwaga: 

1)  twierdzenie  de  l’Hospitala  jest  również  prawdziwe  dla  granic  jednostronnych  i  granic  przy 

 

2)  twierdzenie  de  l’Hospitala  stosujemy  bezpośrednio  tylko  w  przypadku  symboli 

nieoznaczonych typu: 

0

0

, 

. 

3)  Inne symbole nieoznaczone przekształcamy wg następujących reguł: 

a.  Symbol typu 

 sprowadzamy do symbolu 

0

0

stosując przekształcenie: 

x

g

x

f

x

f

x

g

x

g

x

f

1

1

1

 

b.  Symbol typu 0 sprowadzamy do symbolu 

0

0

lub 

stosując przekształcenie: 

x

f

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

1

1

 

c.  Symbole typu 

 

sprowadzamy do symbolu 

 stosując przekształcenie: 

x

f

x

g

x

g

e

x

f

ln

 

 

 

 

 

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 

 

MB 

2 

Definicja 1 

Jeżeli  funkcja    jest  określona  w  pewnym  sąsiedztwie 

,  to  prostą 

  nazywamy 

asymptotą pionową wykresu funkcji   wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z granic:   

 

jest niewłaściwa. 

Uwaga: 

1)  Jeżeli  obie  wymienione  granice  są  niewłaściwe,  to  prostą 

  nazywamy  asymptotą 

pionową obustronną. 

2)  Jeżeli  tylko  jedna  z  wymienionych  granic  jest  niewłaściwa,  to  prostą 

  nazywamy 

odpowiednio  do  kolejności  wymienionych  w  definicji  granic  asymptotą  pionową 

lewostronną lub prawostronną. 

 

Definicja 2 

Jeżeli  funkcja    jest  określona  w  przedziale  niewłaściwym,  to  prostą 

  nazywamy 

asymptotą ukośną (poziomą, gdy 

) wykresu funkcji   wtedy i tylko wtedy, gdy: 

 

Uwaga: 

1)  Jeżeli  dla  tej  samej  prostej 

  obie  granice  spełniają  definicję  to  prosta  jest 

asymptotą obustronną. 

2)  Jeżeli dla prostej 

 tylko jedna z wymienionych w definicji granic jest równa 0, to 

prosta ta jest odpowiedni asymptotą lewostronną lub prawostronną). 

3)  Możliwy  jest  przypadek  posiadania  przez  funkcję  dwóch  różnych  asymptot  ukośnych  (innej 

lewostronnej i innej prawostronnej). 

 

Twierdzenie 2 

Warunkiem  koniecznym  i  wystarczającym  na  to,  by  prosta 

  była  asymptotą  ukośną 

wykresu funkcji   jest istnienie dwóch (właściwych) granic: 

 

Uwaga: 

Jeżeli chociaż jedna z granic w każdej z dwóch wymienionych par nie istnieje lub jest niewłaściwa, to 

nie istnieje odpowiednia asymptota ukośna.