CAŁKA NIEOZNACZONA - ZADANIA cz.2
zastosowanie metody całkowania przez podstawianie
Przykłady
1.
R
2x sin x
2
dx =
(
t
=
x
2
(t)
0
dt
=
(x
2
)
0
dx
dt
=
2xdx
)
=
R
sin tdt = − cos t + c =
=
wracamy do zmiennej x
= − cos x
2
+ c
2.
R
x
3
√
x
4
+ 3dx =
R
√
x
4
+ 3 · x
3
dx =
t
=
x
4
+ 3
(t)
0
dt
=
(x
4
+ 3)
0
dx
dt
=
4x
3
dx/ : 4
1
4
dt
=
x
3
dx
=
=
R
√
t ·
1
4
dt =
1
4
R
t
1
2
dt =
1
4
·
1
1
2
+1
t
1
2
+1
+ c =
1
4
·
2
3
t
3
2
+ c =
1
6
t
3
2
+ c =
=
wracamy do zmiennej x
=
1
6
(x
4
+ 3)
3
2
+ c
Sprawdzenie: (
1
6
(x
4
+ 3)
3
2
+ c)
0
=
1
6
·
3
2
(x
4
+ 3)
3
2
−1
· (x
4
+ 3)
0
=
1
4
(x
4
+ 3)
1
2
· 4x
3
= x
3
√
x
4
+ 3
3.
R
dx
(arcsin x)
4
√
1−x
2
=
t
=
arcsin x
dt
=
1
√
1−x
2
dx
=
R
1
t
4
dt =
R
t
−4
dt =
1
−4+1
t
−4+1
+ c =
= −
1
3
(arcsin x)
−3
+ c
Zadania
Stosując metodę całkowania przez podstawienie znaleźć całki nieoznaczone:
1.
R
2x(x
2
− 5)
20
dx =
2.
R
x
2
√
2x
3
+ 3dx =
3.
R
xe
x
2
dx =
4.
R
x cos x
2
dx =
5.
R
x
2
sin
2
x
3
dx =
6.
R
ln x
x
dx =
7.
R
sin
5
x cos xdx =
8.
R
x
2
e
1−x
3
dx =
9.
R
2x
3
3
√
5 − x
4
dx =
10.
R
x
√
2x
2
−3
dx =
11.
R
sin
√
x
√
x
dx =
12.
R
xdx
(3−x
2
)
4
=
13.
R
e
√
2x
√
x
dx =
14.
R
cos x
√
2 sin x + 3dx =
15.
R
e
sin x
cos xdx =
16.
R
(arccos x)
3
√
1−x
2
dx =
17.
R
dx
(1+x
2
)arctg x
=
18.
R
dx
x(2+3 ln x)
=
19.
R
e
x
√
2e
x
− 1dx =
20.
R
cos(lnx)dx
x
=
21.
R
e
arcctg 3x
dx
1+9x
2
=
22.
R
sin 8xdx =
23.
R
e
2
3
x
dx =
24.
R
1
cos
2
4x
dx =
25.
R
cos(6 − 4x)dx =
26.
R
sin
2x+1
3
dx =
27.
R
1
1+(
1−2x
4
)
2
dx =
28.
R
2x
(x−1)
8
dx =
29.
R
2x
3
x
8
+1
dx =
30.
R
x
5
3
√
x
2
− 1dx =
31.
R
x−1
√
x+1
dx =
32.
R
cos(lnx
2
)dx
x
=
33.
R
2x
5
dx
√
2x
3
−4
=
34.
R
e
3x
e
2x
+1
dx =
35.
R
sin xdx
4
√
3 cos x+1
=
36.
R
e
3x
√
2e
x
− 1dx =
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG