Przykład 9.5
Znależć siły przekrojowe dla pręta 1,2,3,4,5 obciążonego jak na rys.1.
Z
1
R
5x
5
3a
R
5y
y
1
2qa R
5z
4a
x
1
z globalny
4
3qa
2
układ
4a
współrzędnych
qa 1 2qa
2
y
x
R
1z
3
2
R
3y
q
R
2z
Rys. 1. – Schemat statyczny pręta
1. Obliczenie reakcji podpór (R
1z
, R
2z
, R
3y
, R
5x
, R
5y
, R
5z
).
Położenia osi względem których wyznaczamy reakcję z warunku momentów winny tak
być dobrane, aby eliminowały możliwie dużą ilość niewiadomych. W rozpatrywanym
przykładzie są to:
a) punkt 5 oraz kierunek z - eliminuje wszystkie niewiadome z wyjątkiem R
3y
b) punkt 5 oraz kierunek y – umożliwia obliczenie R
2z
c) punkt 5 oraz \kierunek x – umożliwia obliczenie reakcję R
1z
d) pozostałe niewiadome wyznaczamy z warunków sum rzutów sił na osie
globalne.
Σ M
z1
= 0
R
3y
· 3a = 0
⇒
R
3y
= 0
Σ M
y1
= 0
-3qa
2
+ 2qa· 3a – 4qa· 3a + R
2z
· 3a = 0
⇒ R
2z
= 3qa
Σ M
x1
= 0
-2qa
2
+ 4qa· 2a – qa· 4a - R
2z
· 4a - R
1z
· 4a = 0
⇒ R
1z
= -2,5qa
Σ X = 0
⇒ R
5x
= 0
Σ Y = 0
R
5y
- qa = 0
⇒
R
5y
= qa
Σ Z = 0
R
1z
+ R
2z
+ R
5z
+ 2qa – 4qa = 0
⇒ R
5z
= 1,5qa
1
qa
2qa 3qa
2
1,5qa
qa 2qa
2
2,5qa
q
3qa
Rys.2
Widok
pręta z obliczonymi reakcjami
2. Wybór znaków sił przekrojowych
Znaki sił przekrojowych określamy przez dobór w poszczególnych przedziałach
charakterystycznych lokalnych osi współrzędnych (na końcu lub początku przedziału,
kierunki na drugim brzegu mają znaki przeciwne do brzegu pierwszego).
W rozpatrywanym przykładzie wybrano osie na końcach przedziałów w następujący
sposób:
- koniec
przedziału 1-2
oś x normalna do części pręta 1-2, oś y równoległa do układu globalnego ze
zwrotem takim, aby rozciągał dolne włókna pręta, oś z tworzy lewoskrętny układ
współrzędnych,
- koniec
przedziału 2-3
poprzedni lokalny układ współrzędnych z przedziału 1-2 obracamy wg osi „z” tak
aby oś „x” była normalna do części pręta 2-3,
- koniec
przedziału 3-4
poprzedni lokalny układ współrzędnych z przedziału 2-3 obracamy wg osi „y” tak
aby oś „x” była normalna do części pręta 3-4,
- koniec
przedziału 4-5
poprzedni lokalny układ współrzędnych z przedziału 3-4 obracamy wg osi „y” tak
aby oś „x” była normalna do części pręta 4-5.
Kierunki i zwroty lokalnych osi pokazano na rys 3.
2
y
5 x
z
4 x
z
y
1
z
y
2
x z 3
x
y
Rys. 3 Kierunki i zwroty lokalnych osi.
Wartości sił przekrojowych na brzegach przedziałów charakterystycznych
Zamieszczono w tabeli nr 1
Tabela nr1
Rodzaj
siły
przekrojowej
Przedział
charakterystyczny
1-2
Przedział
charakterystyczny
2-3
Przedział
charakterystyczny
3-4
Przedział
charakterystyczny
4-5
N [qa]
M
s
[qa
2
]
0
2,0
0
2,0
1,0
4,5
1,0
4,5
2,5
-3,0
2,5
-3,0
0
0
0
0
T
y
[qa]
M
gz
[qa
2
]
2,5
0
2,5
-7,5
-0,5
2,0
3,5
-4,0
-1,0
-4,0
-1,0
0
-1,0
-3,0
-1,0
0
T
z
[qa]
M
gy
[qa
2
]
1,0
0
1,0
-3,0
0
-3,0
0
-3,0
0
7,5
0
7,5
-1,5
4,5
1,5
0
Obliczenie maksymalnego momentu w przedziale 2-3
- miejsce zerowe siły tnącej
0,5qa/x
o
= 4,0qa/4a
⇒ x
o
= 0,5a
- obliczenie momentu maksymalnego
M
max
= 2qa
2
+ 0,5qa · 0,5a - 0,5qa · 0,25a = 2,125qa
2
.
Wykresy sił przekrojowych wyznaczone na podstawie tabeli nr1 pokazano na rys.4
3
4
2,5qa
-3qa
2
N
M
s
+2qa
2
-3qa
2
+qa +2,5qa +2qa
2
qa
+4,5qa
2
+4,5qa
2
Wykres sił normalnych
Wykres momentów skręcających
-qa
-qa
-3qa
2
T
y
M
gz
+2,5qa
-7,5qa
2
-4qa
2
-0,5qa
-qa
+2,5qa
+2qa
2
-4qa
2
+3,5qa
M
max
=2,12qa
2
Wykres sił tnących Wykres momentów gnących
-1,5qa
+7,5qa
2
-1,5qa
+4,5qa
2
+qa
T
z
M
gy +
-3qa
2
-3qa
2
+7,5qa
2
+qa
-3qa
2
Wykres sił tnących
Wykres momentów gnących
Rys4. Wykresy sił przekrojowych