Algebra z teorią liczb
Przykłady zadań testowych
Prawidłowe odpowiedzi należy zaznaczyć w odpowiednich okienkach znakiem
T.
Nieprawidłowe odpowiedzi należy zaznaczyć w odpowiednich okienkach znakiem N.
Za bezbłędne rozwiązanie całego trzypytaniowego zestawu otrzymuje się
5
punktów.
Za każdą trafną odpowiedź w trzypytaniowym zestawie otrzymuje się 1 punkt.
W każym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja odpowiedzi ”tak”, ”nie”.
1. Reszta z dzielenia liczby 3
2010
przez 7 wynosi
4.
2.
1.
2. Wektory [−4, 0, 2], [1, 2, 0], [1, 0, 0]
tworzą bazę przestrzeni R
3
.
tworzą bazę przestrzeni R
2
.
są liniowo zależne.
3. Niech A, B będą dowolnymi macierzami kwadratowymi tego samego stopnia, o
wyrazach rzeczywistych.
Macierz B powstała w wyniku przekształceń elemen-
tarnych na wierszach macierzy A. Wówczas
det A = 0 ⇔ det B = 0.
det A = det B.
det A = λ det B,
dla pewnego λ ∈ R.
4. Niech będzie dany zbiór G = 5Z i działanie ∗ określone wzorem
a ∗ b = a + b − 5,
a, b ∈ G.
(Działania występujące po prawej stronie wzoru są zwykłym dodawaniem i odej-
mowaniem w zbiorze liczb całkowitych.)
Działanie ∗ posiada element neutralny e = 5.
Elementem przeciwnym do elementu a ∈ G jest element b = 6.
Zbiór G wraz z działaniem ∗ stanowi grupę.
1
5. Niech będą dane permutacje
σ =
1
2
3
4
5
6
7
6
3
7
1
2
5
4
oraz
τ =
1
2
3
4
5
6
7
3
6
7
1
2
4
5
.
τ ◦ σ = σ ◦ τ.
τ
−1
=
1
2
3
4
5
6
7
4
5
1
6
2
2
3
.
τ ◦ σ
2
=
1
2
3
4
5
6
7
2
5
1
4
7
6
3
.
6. Dana jest macierz A =
4 2 5
0 0 4
1 2 8
.
Wyznacznik macierzy A jest równy −24.
Kolumny macierzy A są liniowo niezależne.
Rząd macierzy A jest równy 2.
7. Równanie 321x + 843y = λ posiada w liczbach całkowitych rozwiązanie
dla każdej liczby całkowitej λ?
dla λ całkowitych podzielnych przez 3?
tylko dla λ całkowitych ujemnych.
8. Niech T : R
2
→ R
3
i L : R
3
→ R
2
będą przekształceniami liniowymi danymi
wzorami
L (x, y, z) = (x + y + z, x − y) ,
T (x, y) = (x − y, 2x + y, x + y) .
Przekształcenie L ◦ T
odwzorowuje przestrzeń R
3
na siebie.
odwzorowuje przestrzeń R
2
na siebie.
w bazie kanonicznej odpowiedniej przestrzeni ma macierz
4
1
−1 −2
.
2
9.
Dla których z poniższych macierzy A zachodzą równości AB = BA = B, gdzie
B jest dowolną macierzą kwadratową stopnia 3.
A =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
A =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
,
A =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
.
10. Układ równań
x + p
2
y +
z = −p
x +
y − pz =
p
2
y +
z =
1
posiada dokładnie jedno rozwiązanie dla p 6= −1.
posiada nieskończenie wiele rozwiązań dla p = 2.
nie posiada rozwiązań dla p = 1.
11. W przestrzeni R
3
dane sa proste l
1
i l
2
l
1
:
x =
1 +
t
y = −1 + 3t
z =
5t
.
l
2
:
x =
t
y = −2 + 2t
z = −3 + 3t
,
t ∈ R.
Prosta l
1
jest równoległa do płaszczyzny o równaniu 2x + 3y − 5z − 4 = 0.
Prosta l
2
jest prostopadła do płaszczyzny o równaniu 2x + 4y + 6z + 5 = 0.
proste l
1
i l
2
się przecinają.
12. Iloczyn skalarny w przestrzeni R
3
jest odwzorowaniem przyjmującym wartości w
przestrzeni R
3
.
w zbiorze liczb rzeczywistych.
jedynie w zbiorze liczb rzeczywistych dodatnich.
Przykłady zagadnień teoretycznych
1. (5 pkt ) Podać definicję przestrzeni wektorowej (liniowej).
2. (5 pkt ) Zdefiniować funkcję Eulera oraz podać wzór na obliczanie
wartości tej funkcji.
3. (5 pkt ) Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capellego.
4. (5 pkt ) Podać dwa twierdzenia w sformułowaniu których pojawia się
pojęcie liczby pierwszej.
5. (5 pkt ) Pokazać, że relacja przystawanie modulo m dla liczb całkowi-
tych jest przechodnia.
3