1
5. Ocena procesu przetwarzania energii
W poprzednich rozdziałach rozwaŜano przetworniki o dwóch cewkach umieszczonych we
wspólnym obwodzie magnetycznym. Przetworniki takie mogą przetwarzać energię mechaniczną na
elektryczną lub odwrotnie, lecz aby było to uŜyteczne muszą być spełnione pewne warunki. Zostaną
one wyjaśnione na przykładzie najprostszego przetwornika o dwóch cewkach oraz cylindrycznym
obwodzie magnetycznym, przedstawionego schematycznie na Rys. 3.2. Dla jasności tych analiz
załoŜono, Ŝe indukcyjność wzajemna tych cewek zmienia się zgodnie z funkcją
ϕ
⋅
=
ϕ
cos
M
)
(
M
,
która stanowi najprostszą aproksymację właściwości indukcyjności wzajemnej przedstawionej na Rys.
3.4. Równania takiego przetwornika mają postać
(
)
1
1
1
2
1
1
R
cos
M
L
d
d
u
i
i
i
t
=
⋅
+
⋅
ϕ
⋅
+
⋅
(5.1a)
(
)
2
2
2
2
2
1
R
L
cos
M
d
d
u
i
i
i
t
=
⋅
+
⋅
+
⋅
ϕ
⋅
(5.1b)
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
ϕ
+
ϕ
sin
M
d
d
D
d
d
J
2
1
z
2
2
i
i
m
t
t
(5.1c)
Aby objaśnić moŜliwie prosto efekty przetwarzania energii rozpatrzony zostanie najprostszy
przypadek gdy przez cewki ‘1’ oraz ‘2’ płyną prądy stałe w czasie
1
1
I
)
(
=
t
i
oraz
2
2
I
)
(
=
t
i
. Wówczas
przetwornik wytworzy moment elektromagnetyczny stały w czasie
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
sin
I
I
M
2
1
em
m
To spowoduje, Ŝe część obrotowa przetwornika ustawi się w takim połoŜeniu
0
ϕ
, aby spełnić
równanie równowagi statycznej
0
em
z
=
+
m
m
czyli
0
sin
I
I
M
0
2
1
z
=
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
m
(5.2)
tj. aby moment elektromagnetyczny zrównowaŜył zewnętrzny moment mechaniczny. Dla dodatnich
kątów
0
ϕ
moment elektromagnetyczny będzie działał przeciwnie do kąta obrotu i będzie równowaŜył
dodatni moment mechaniczny, a dla kątów ujemnych moment elektromagnetyczny będzie działał
zgodnie z kątem obrotu i równowaŜył ujemny moment mechaniczny. Na Rys. 5.1. przedstawiono
wykres zmian momentu elektromagnetycznego w funkcji kąta
ϕ
, z którego wynika, ze są moŜliwe
dwa połoŜenia równowagi
1
,
0
ϕ
oraz
2
,
0
ϕ
, które zaznaczono na rysunku dla ujemnego momentu
mechanicznego, czyli dla przypadku, gdy przetwornik ma pokonać pewien mechaniczny moment
obrotowy. (Dla przypomnienia, gdy wartość momentu mechanicznego jest dodatnia działa on zgodnie
z kątem obrotu, gdy jego wartość jest ujemna działa przeciwnie do kąta obrotu)
2
em
m
1
,
0
ϕ
2
,
0
ϕ
π
/2
π
/2
−
π
/2
3π
π
2
ϕ
Rys.5.1. ZaleŜność momentu elektromagnetycznego przetwornika od kąta obrotu
ϕ
NaleŜy rozstrzygnąć, które z tych dwóch połoŜeń jest połoŜeniem stabilnym, tj. takim, gdy część
obrotowa z niego wytrącona powróci w to połoŜenie, a które połoŜeniem niestabilnym, tj. takim, gdy
część obrotowa z niego wytrącona nie powróci do tego połoŜenia. W tym celu naleŜy załoŜyć, Ŝe kąt
0
ϕ
moŜe zmienić się o pewną małą wartość
)
(
0
t
ϕ
∆
+
ϕ
. Wówczas równanie ruchu mechanicznego
przyjmuje postać
)
sin(
M
d
d
D
d
d
J
0
2
1
z
2
2
ϕ
∆
+
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
ϕ
∆
+
ϕ
∆
i
i
m
t
t
(5.3)
WyraŜenie
)
sin(
0
ϕ
∆
+
ϕ
moŜna dla małych wartości wahań
)
(t
ϕ
∆
aproksymować następująco
ϕ
∆
⋅
ϕ
+
ϕ
≈
ϕ
∆
⋅
ϕ
+
ϕ
∆
⋅
ϕ
=
ϕ
∆
+
ϕ
0
0
0
0
0
cos
sin
sin
cos
cos
sin
)
sin(
co pozwala rozdzielić równanie ruchu na równanie dla zaburzeń kąta
)
(t
ϕ
∆
0
)
cos
I
I
M
(
d
d
D
d
d
J
0
2
1
2
2
=
ϕ
∆
⋅
ϕ
⋅
⋅
⋅
+
ϕ
∆
+
ϕ
∆
t
t
(5.4a)
oraz na równanie równowagi statycznej określające kąt
0
ϕ
0
sin
I
I
M
0
2
1
z
=
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
m
(5.4b)
Warunkiem zanikania zaburzenia
)
(t
ϕ
∆
jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego
0
)
cos
I
I
M
(
D
J
0
2
1
2
=
ϕ
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
r
r
miały ujemne części rzeczywiste, gdyŜ wówczas zaburzenia kąta
)
(t
ϕ
∆
będą zanikały w czasie
2J
cos
I
I
M
J
4
D
D
0
2
1
2
2
,
1
ϕ
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
±
−
=
r
Pomijając człon
0
D
2
≈
(tłumienie ruchu obrotowego jest przewaŜnie bardzo małe) w wyraŜeniu pod
pierwiastkiem moŜna dość do wniosku, Ŝe warunkiem zanikania zaburzeń kątowych jest aby
0
cos
0
>
ϕ
, gdyŜ wówczas
3
J
cos
I
I
M
j
2J
D
0
2
1
2
,
1
ϕ
⋅
⋅
⋅
±
−
=
r
(5.5)
co oznacza, Ŝe przebiegi przejściowe mają charakter zanikających oscylacji. Zatem, dla
rozpatrywanego przetwornika stabilne połoŜenia równowagi statycznej będą dla kątów z przedziału
2
π
2
π
0
<
ϕ
<
−
Ten prosty przykład pozwolił wyjaśnić pojęcie punktu równowagi statycznej oraz jego stabilności.
Taki sposób realizacji procesu przetwarzania energii nie jest jednak uŜyteczny technicznie, gdyŜ
przetwornik zasilany prądami stałymi obróci się jedynie o stały kąt, lecz nie moŜe zostać
wprowadzony w ruch obrotowy, aby wydawać energię mechaniczną.
↓
*****************************************************************↓
Nieco ogólniejsze rozwaŜania pozwalają określić warunek stabilności połoŜenia równowagi statycznej
dla równania o postaci
)
(
)
(
d
d
D
d
d
J
em
z
2
2
ϕ
+
ϕ
=
ϕ
+
ϕ
m
m
t
t
W tym celu naleŜy aproksymować wyraŜenia na momenty mechaniczny oraz elektromagnetyczny
funkcjami liniowymi
ϕ
∆
⋅
ϕ
∂
ϕ
∂
+
ϕ
=
ϕ
ϕ
=
ϕ
0
)
(
)
(
)
(
z
0
z
z
m
m
m
;
ϕ
∆
⋅
ϕ
∂
ϕ
∂
+
ϕ
=
ϕ
ϕ
=
ϕ
0
)
(
)
(
)
(
em
0
em
em
m
m
m
W efekcie uzyskuje się warunek o postaci
0
)
(
)
(
0
0
em
z
<
ϕ
∂
ϕ
∂
+
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ
=
ϕ
ϕ
=
ϕ
m
m
↑
*****************************************************************↑
Proces uŜytecznego przetwarzania energii elektrycznej na mechaniczną moŜna zrealizować
następująco. Niech cewka ‘1’ będzie zasilana ze źródła prądu przemiennego, a cewka ‘2’ ze źródła
prądu stałego.
)
(
cos
I
e
1
1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
2
2
I
=
i
(5.6)
Wówczas, nie pytając o napięcia na tych cewkach, moŜna określić moment elektromagnetyczny
wytworzony przez przetwornik. Będzie on wyraŜony wzorem
ϕ
⋅
⋅
Ω
⋅
⋅
⋅
−
=
sin
)
(
cos
I
I
M
e
2
1
em
t
m
(5.7)
Aby otrzymać uŜyteczną energię ruchu obrotowego moment elektromagnetyczny musi mieć wartość
stałą w czasie, gdyŜ tylko wówczas przetwornik moŜe wirować ze stałą prędkością kątową. ZaleŜność
powyŜsza zapisana w postaci
4
=
ϕ
⋅
⋅
Ω
⋅
⋅
⋅
−
=
sin
)
(
cos
I
I
M
e
2
1
em
t
m
(
)
)
sin(
)
sin(
2
1
I
I
M
e
e
2
1
t
t
⋅
Ω
−
ϕ
+
⋅
Ω
+
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
pozwala zauwaŜyć, Ŝe warunek ten moŜe zostać spełniony, gdy
0
e
ϕ
+
⋅
Ω
=
ϕ
t
lub
0
e
ϕ
+
⋅
Ω
−
=
ϕ
t
(5.8)
Wówczas moment elektromagnetyczny określają odpowiednio zaleŜności
(
)
0
0
e
2
1
em
sin
)
2
sin(
I
I
M
2
1
ϕ
+
ϕ
+
⋅
Ω
⋅
⋅
⋅
−
=
t
m
(5.9a)
lub
(
)
)
2
sin(
sin
I
I
M
2
1
0
e
0
2
1
em
ϕ
−
⋅
Ω
−
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
t
m
(5.9b)
W kaŜdym z tych dwóch przypadków moment elektromagnetyczny posiada składową stałą w czasie
0
2
1
em,0
sin
I
I
M
2
1
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
m
(5.10)
oraz składową przemienną o amplitudzie
2
1
2
1
I
I
M
⋅
⋅
oraz pulsacji
e
2
Ω
. Przebieg zmienności
momentu elektromagnetycznego w funkcji czasu przedstawiono na Rys. 5.2. RozwaŜany przetwornik
moŜe trwale przetwarzać energię przy dwóch prędkościach kątowych
e
m
Ω
=
Ω
lub
e
m
Ω
−
=
Ω
, gdyŜ
składowa stała momentu elektromagnetycznego moŜe równowaŜyć stały zewnętrzny obrotowy
moment mechaniczny. Wartość średnia momentu elektromagnetycznego za okres jego zmienności
zaleŜy od kąta
0
ϕ
, który określa połoŜenie kątowe części obrotowej przetwornika w chwili, gdy prąd
w pierwszej cewce osiąga wartość maksymalną. Na Rys. 5.3 przedstawiono zmienność wartości
ś
redniej momentu elektromagnetycznego w funkcji kąta
0
ϕ
.
em
m
0
em,
m
t
e
e
2
T
Ω
π
=
e
T
2
/
T
e
Rys. 5.2. Moment elektromagnetyczny przetwornika w funkcji czasu
przy prędkości kątowej
e
m
Ω
=
Ω
5
em
m
1
,
0
ϕ
2
,
0
ϕ
π
/2
π
/2
−
π
/2
3π
π
2
0
ϕ
Rys. 5.3. ZaleŜność średniej wartości moment elektromagnetyczny w funkcji kąta
0
ϕ
Porównując zmienność momentu elektromagnetycznego na Rys. 5.1 oraz Rys. 5.3 moŜna zauwaŜyć,
Ŝ
e są one jakościowo identyczne, zatem rozwaŜania o punktach równowagi statycznej oraz ich
stabilności przeprowadzone dla przetwornika zasilanego prądami stałymi przenoszą się na przypadek
zasilania cewki ‘1’ prądem przemiennym, lecz w tym drugim przypadku równowaga statyczna jest
osiągana przy ruchu obrotowym o stałej prędkości kątowej, a kąt
0
ϕ
wynika z równania
0
2
1
z
m
sin
I
I
M
D
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
Ω
⋅
m
(5.11)
Jednak moment elektromagnetyczny zawiera takŜe składową przemienną, która będzie zaburzać
proces przetwarzania energii, powodując wahania prędkości kątowej. Układy mechaniczne są bardzo
wraŜliwe na obrotowe momenty przemienne i proces przetwarzania energii uwaŜa się za tym lepszy
im mniejsza jest składowa przemienna momentu elektromagnetycznego. Jakość procesu przetwarzania
moŜna określić za pomocą współczynnika wyraŜającego stosunek amplitudy momentu składowej
przemiennej momentu elektromagnetycznego do wartości jego składowej stałej.
ś
rednia
wartośa
j
przemienne
skłkładow
amplituda
K
p
=
(5.12)
który dla idealnego przetwarzania powinien mieć wartość zero. Dla rozpatrywanego procesu
przetwarzania współczynnik ten wynosi
sin
1
sin
I
I
M
2
1
I
I
M
2
1
K
0
0
2
1
2
1
p
ϕ
=
ϕ
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
Jego minimalna wartość wynosi 1.0, co pozwala stwierdzić, Ŝe proces przetwarzania energii przez ten
przetwornik nie naleŜy do efektywnych.
Proces przetwarzania energii mechanicznej ruchu obrotowego na energię elektryczną przez ten
przetwornik moŜna zrealizować w następujący sposób. Niech część obrotowa przetwornika wykonuje
ruch obrotowy ze stała prędkością kątową
m
Ω
, co oznacza, Ŝe kąt obrotu narasta liniowo w czasie
zgodnie z funkcją
α
m
+
⋅
Ω
=
ϕ
t
. Gdy przez cewkę ‘2’ umieszczoną na części nieruchomej popłynie
prąd stały w czasie
2
2
I
=
i
, a cewka ‘1’ umieszczona na części stałej będzie rozwarta, (tj. nie będzie
przez nią płynął prąd, czyli
0
1
≡
i
), wówczas napięcie na cewce ‘1’ moŜna wyliczyć z pierwszego z
trzech równań przedstawionych powyŜej i wynosi ono
(
)
α
)
(
sin
I
M
I
α
)
cos(
M
d
d
m
m
2
2
m
1
+
⋅
Ω
⋅
Ω
⋅
⋅
−
=
⋅
+
⋅
Ω
⋅
=
t
t
t
u
6
Aby osiągnąć taki stan część obrotowa musi być napędzana momentem obrotowym
z
m
D
m
=
Ω
⋅
, a
cewka ‘2’ musi być zasilana napięciem
2
2
2
I
R
⋅
=
u
. W tych warunkach cewka ‘1’ stała się źródłem
napięcia przemiennego o amplitudzie
m
2
I
M
U
Ω
⋅
⋅
=
, zaleŜnej od prądu cewki ’2’ oraz od prędkości
kątowej. W takich warunkach nie następuje jeszcze uŜyteczne przetwarzanie energii, gdyŜ energia
dostarczona do układu mechanicznego pokrywa straty konieczne, aby utrzymać stałą prędkość
obrotową, a energia dostarczona do cewki’2’ pokrywa starty mocy na jej rezystancji. Gdy do cewki ‘1’
przyłączymy odbiornik energii elektrycznej (np. rezystancję) wówczas w cewce ‘1’ zacznie płynąć
prąd
)
cos(
I
(t)
1
1
β
+
⋅
Ω
⋅
=
t
i
m
)
Cewka stanie się źródłem energii elektrycznej. JeŜeli utrzymywać prąd stały w cewce ‘2’ (
2
2
I
=
i
)
wówczas przetwornik wytworzy moment elektromagnetyczny
α
)
sin(
)
cos(
I
I
M
m
2
1
em
+
⋅
Ω
⋅
β
+
⋅
Ω
⋅
⋅
⋅
−
=
t
t
m
m
który w istocie jest taki sam jak dla rozpatrywanego powyŜej przypadku przetwarzania energii
elektrycznej na mechaniczną. Aby utrzymać stałą prędkość obrotową naleŜy zwiększyć moment
obrotowy, który zrównowaŜy ten moment elektromagnetyczny. Ta dodatkowa energia mechaniczna
dostarczona do układu mechanicznego pojawi się jako energia elektryczna wydawana z cewki ’1’.
W rzeczywistości procesy przetwarzania w obydwóch opisanych powyŜej przypadkach są nieco
bardzie skomplikowane, gdyŜ cewki są przewaŜnie zasilane ze źródeł napięciowych, a nie, jak
zakładano, prądowych. W celu analizy procesu przetwarzania energii naleŜy rozwiązać układ równań
zapisanych na początku tego rozdziału, który – niestety – jest nieliniowy i moŜna go rozwiązać
jedynie metodami numerycznymi przy zastosowaniu specjalnych pakietów programowych.
Jak wspomniano powyŜej, proces przetwarzania energii przez w przetworniku o dwóch cewkach
nie jest idealny, gdyŜ generowana jest składowa przemienna momentu elektromagnetycznego, która
zaburza jednostajny ruch obrotowy. Występują takŜe niekorzystne zjawiska elektromagnetyczne
wynikające z magnetycznego sprzęŜenia cewek. PoniŜej pokazano dwa przetworniki, które
umoŜliwiają zrealizować proces przetwarzania energii idealnie. Na Rys. 5.4. przedstawiono
schematycznie przetwornik, który moŜe poprawnie realizować proces przetwarzania energii. Ma on
dwie identyczne cewki na części nieruchomej, oznaczone jako ‘1’ i ‘2’, umieszczone prostopadle oraz
jedną cewkę na części obrotowej, oznaczona jako ’3’.
ϕ
Rys. 5.4. Przetwornik o trzech cewkach
7
Równania takiego przetwornika mają postać
=
⋅
+
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
3
2
1
3
2
1
3
3
2
1
3
3
2
3
1
3
2
3
1
R
0
0
0
R
0
0
0
R
L
)
(
)
(
)
(
L
0
)
(
0
L
d
d
u
u
u
i
i
i
i
i
i
M
M
M
M
t
,
,
,
,
(5.13a)
ϕ
∂
ϕ
∂
⋅
+
ϕ
∂
ϕ
∂
⋅
⋅
+
=
ϕ
+
ϕ
)
(
)
(
d
d
D
d
d
J
3
,
2
2
3
,
1
1
3
z
2
2
M
i
M
i
i
m
t
t
(5.13b)
w których uwzględniono wyróŜnione powyŜej jego cechy. Z identyczności cewek ‘1’ oraz ‘2’ wynika,
Ŝ
e ich indukcyjności oraz rezystancje mają te same wartości
L
L
L
1
1
=
=
oraz
R
R
R
2
1
=
=
, a ich
prostopadłe usytuowanie powoduje, Ŝe nie są one sprzęŜone magnetycznie
0
M
M
2,1
1,2
=
=
. JeŜeli,
analogicznie jak dla przetwornika o dwóch cewkach, załoŜyć, Ŝe indukcyjność wzajemną
)
(
3
1
ϕ
,
M
określa funkcja
ϕ
⋅
=
ϕ
cos
M
)
(
3
1
,
M
(5.14a)
to indukcyjność wzajemna
)
(
3
2
ϕ
,
M
będzie określona funkcją
ϕ
⋅
=
−
ϕ
⋅
=
ϕ
sin
M
)
2
π
cos(
M
)
(
3
2
,
M
(5.14b)
gdyŜ cewka ‘2’ jest przesunięta o kąt π/2 względem cewki ‘1’. Uwzględniając powyŜsze uwagi,
wyraŜenie określające moment elektromagnetyczny przetwornika moŜna zapisać w postaci
(
)
ϕ
⋅
+
ϕ
⋅
−
⋅
⋅
=
cos
sin
M
2
1
3
em
i
i
i
m
(5.15)
JeŜeli w takim przetworniku wymusimy przepływ prądów
)
(
cos
I
e
1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
)
(
sin
I
e
2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
3
3
I
=
i
to wzór na moment elektromagnetyczny przyjmie postać
(
)
=
ϕ
⋅
⋅
Ω
+
ϕ
⋅
⋅
Ω
−
⋅
⋅
⋅
=
cos
)
(
sin
sin
)
(
cos
I
I
M
e
e
3
em
t
t
m
)
sin(
I
I
M
e
3
ϕ
−
⋅
Ω
⋅
⋅
⋅
=
t
Wynika za niego, Ŝe gdy
0
e
ϕ
+
⋅
Ω
=
ϕ
t
, tj. przy prędkości kątowej
e
m
Ω
=
Ω
, moment
elektromagnetyczny będzie miał wartość stałą w czasie
0
3
em
sin
I
I
M
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
m
(5.16)
Interpretację kąta
0
ϕ
podano juŜ poprzednio. Określa on połoŜenie kątowe osi magnetycznej cewki
‘3’ w stosunku do osi magnetycznej cewki ‘1’ w chwili gdy prąd w cewce ‘1’ osiąga wartość
maksymalną. NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe w tych warunkach zasilania moment elektromagnetyczny nie ma
składowej przemiennej, czyli, Ŝe przetwarzanie energii jest poprawne. Warunek stabilności punktów
równowagi statycznej dla tego przypadku jest analogiczny jak dla przetwornika analizowanego
poprzednio, gdyŜ wzór na moment elektromagnetyczny jest z matematycznego punku widzenia
identyczny.
8
JeŜeli zamienimy prądy zasilające cewek ‘1’ oraz ‘2’, tj. gdy
)
sin(
I
e
1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
)
(
cos
I
e
2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
3
3
I
=
i
wówczas wyraŜenie na moment elektromagnetyczny przyjmie postać
(
)
=
ϕ
⋅
⋅
Ω
+
ϕ
⋅
⋅
Ω
−
⋅
⋅
⋅
=
cos
)
(
cos
sin
)
(
sin
I
I
M
e
e
3
em
t
t
m
)
cos(
I
I
M
e
3
ϕ
+
⋅
Ω
⋅
⋅
⋅
=
t
co oznacza, Ŝe moment elektromagnetyczny będzie stały w czasie przy przeciwnej prędkości kątowej
e
m
Ω
−
=
Ω
, tj. gdy
0
e
ϕ
+
⋅
Ω
−
=
ϕ
t
i będzie wynosił
0
3
em
cos
I
I
M
ϕ
⋅
⋅
⋅
=
m
(5.17)
Zamiana prądów w cewkach spowodowała zmianę kierunku obrotów, przy których moŜe się pojawić
moment elektromagnetyczny o wartości średniej róŜnej od zera, lecz przetwarzanie energii będzie
takŜe poprawne, gdyŜ nie wystąpi składowa przemienna momentu elektromagnetycznego.
NaleŜy jednak zauwaŜyć, Ŝe przy wyliczaniu momenty elektromagnetycznego przyjęto, Ŝe
indukcyjności wzajemne cewek na części stałej i cewki na części obrotowej zmieniają się
sinusoidalnie. MoŜna łatwo prześledzić, Ŝe gdyby te indukcyjności nie zmieniały się dokładnie
sinusoidalnie lub prądy cewek nie spełniałyby podanych powyŜej warunków, wówczas na pewno
pojawiłaby się w momencie elektromagnetycznym składowa przemienna i przetwarzanie nie byłoby
idealne. Z tego naleŜy wysnuć bardzo waŜny wniosek, Ŝe w celu idealnego przetwarzania energii
przez ten przetwornik naleŜy spełnić dwie zasdy:
•
cewki przetwornika powinny być rozłoŜone w Ŝłobkach tak, aby ich indukcyjności wzajemne
zmieniały się w funkcji kąta połoŜenia jak w macierzy indukcyjności przyjętej do obliczeń
momentu,
•
prądy cewek powinny spełniać ściśle określone warunki.
Podobne właściwości procesu przetwarzania energii moŜna osiągnąć w przetworniku o czterech
cewkach: dwóch jednakowych na części nieruchomej umieszczonych magnetycznie prostopadle oraz
dwóch jednakowych na części obrotowej, takŜe umieszczonych prostopadle, tj. tak, aby nie sprzęgały
się magnetycznie.
ϕ
1
2'
3
4'
1'
2
3'
4
Rys. 5.5. Przetwornik o czterech cewkach
9
Równania takiego przetwornika mają postać
+
⋅
ϕ
⋅
ϕ
⋅
−
ϕ
⋅
ϕ
⋅
ϕ
⋅
ϕ
⋅
ϕ
⋅
−
ϕ
⋅
r2
r1
s2
s1
r
r
s
s
L
0
cos
M
sin
M
0
L
sin
M
cos
M
cos
M
sin
M
L
0
sin
M
cos
M
0
L
d
d
i
i
i
i
t
=
⋅
r2
r1
s2
s1
r2
r1
s2
s1
r
r
s
s
R
0
0
0
0
R
0
0
0
0
R
0
0
0
0
R
u
u
u
u
i
i
i
i
(5.18a)
[
]
⋅
ϕ
⋅
−
ϕ
⋅
ϕ
⋅
−
ϕ
⋅
−
⋅
+
=
ϕ
+
ϕ
r2
r1
s2
s1
z
2
2
sin
M
cos
M
cos
M
sin
M
d
d
D
d
d
J
i
i
i
i
m
t
t
(5.18b)
ZałoŜono w nich sinusoidalny charakter zmienności pary cewek ‘1’ i ‘3’ oraz uwzględniono relacje
między pozostałymi indukcyjnościami wzajemnymi. Moment elektromagnetyczny tego przetwornika
moŜna przedstawić w postaci
(
)
(
)
(
)
ϕ
⋅
⋅
+
⋅
−
ϕ
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
sin
cos
M
r2
s2
r1
s1
s1
r2
s2
r1
em
i
i
i
i
i
i
i
i
m
(5.19)
JeŜeli w tym przetworniku wymusimy przepływ prądów
)
(
cos
I
s
s
s1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
)
(
sin
I
s
s
s2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
)
(
cos
I
r
r
r1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
)
(
sin
I
r
r
r2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
wówczas wyraŜenie na moment elektromagnetyczny przyjmie postać
(
)
)
)
(
sin
I
I
M
r
s
r
s
em
ϕ
−
⋅
Ω
−
Ω
⋅
⋅
⋅
=
t
m
(5.20)
Z tego wyraŜenia wynika, Ŝe moment elektromagnetyczny będzie miał wartość stałą w czasie, gdy
0
r
s
)
(
ϕ
+
⋅
Ω
−
Ω
=
ϕ
t
, tj. przy prędkości kątowej
r
s
m
Ω
−
Ω
=
Ω
0
r
s
em
sin
I
I
M
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
m
(5.21)
Są to warunki, przy których przetwornik z Rys. 5.4 moŜe idealnie przetwarzać energię.
MoŜna wykazać, Ŝe takŜe dla poniŜszych zbiorów par prądów:
)
(
sin
I
s
s
s1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
)
(
cos
I
s
s
s2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
)
(
sin
I
r
r
r1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
)
(
cos
I
r
r
r2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
)
(
cos
I
s
s
s1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
)
(
sin
I
s
s
s2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
)
(
sin
I
r
r
r1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
)
(
cos
I
r
r
r2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
)
(
sin
I
s
s
s1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
)
(
cos
I
s
s
s2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
)
(
cos
I
r
r
r1
t
i
⋅
Ω
⋅
=
,
)
(
sin
I
r
r
r2
t
i
⋅
Ω
⋅
=
przetwarzanie energii jest idealne przy odpowiednich prędkościach kątowych.
PowyŜsze dwa przykłady ilustrują ideę budowy przetworników oraz tworzenia warunków dla
idealnego przetwarzania energii. Istnieje cała klasa takich przetworników, które są powszechnie
stosowane zarówno do generacji energii elektrycznej jak i jej przetwarzania na energię mechaniczną.
10
Przykłady
P. 5.1/. Dla przetwornika wydatno biegunowego 2-fazowego zapisać formę kwadratową ko-energii.
Podać zaleŜność na moment elektromagnetyczny oraz wyznaczyć wartość średnią momentu
elektromagnetycznego przy zasilaniu prądowym w postaci:
t
I
i
s
m
Ω
=
cos
1
;
t
I
i
s
m
Ω
=
sin
2
;
gdy
0
ϕ
+
Ω
=
ϕ
t
r
. Określić relacje pomiędzy prędkością obrotową
r
Ω
a pulsacją zasilania
s
Ω
, aby mogło zachodzić przetwarzania energii.
Forma kwadratowa ko-energii uzwojeń zapisana zgodnie z wcześniejszymi rozwaŜaniami
[
]
⋅
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
⋅
=
2
1
2
,
2
,1
2
,2
1
,1
1
2
1
ko
)
(
L
)
(
L
)
(
L
)
(
L
2
1
i
i
i
i
E
gdzie indukcyjności
)
cos(2
L
L
)
(
L
0
1,1
ϕ
⋅
∆
+
=
ϕ
;
)
cos(2
L
L
)
(
L
0
2,2
ϕ
⋅
∆
−
=
ϕ
;
)
(2
sin
L
)
(
L
)
(
L
2,1
1,2
ϕ
⋅
∆
=
ϕ
=
ϕ
WyraŜenie przedstawiające moment elektromagnetyczny
[
]
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∂
∂
=
ϕ
∂
∂
=
2
1
2
,
2
,1
2
,2
1
,1
1
2
1
ko
em
)
)
(
L
)
(
L
)
(
L
)
(
L
(
2
1
i
i
i
i
E
m
Po wykonaniu formalnych przekształceń matematycznych
)
2
cos(
L
2
)
2
sin(
L
)
(
)
2
sin(
L
)
(
)
(
L
)
(
)
(
L
)
(
)
(
L
2
1
2
2
2
1
2
1
,2
1
2
2
,2
2
2
1
2
1
,1
1
2
1
em
ϕ
∆
+
ϕ
∆
+
ϕ
∆
−
=
=
ϕ
∂
ϕ
∂
+
ϕ
∂
ϕ
∂
+
ϕ
∂
ϕ
∂
=
i
i
i
i
i
i
i
i
m
Podstawiając załoŜone zaleŜności opisujące wymuszenia prądowe oraz prędkość obrotową oraz
wykorzystując
zaleŜność
trygonometryczną
)]
sin(
)
[sin(
cos
sin
2
1
2
1
2
1
2
1
α
−
α
+
α
−
α
=
α
α
otrzymujemy
11
]
2
)
(
2
sin[
L
)}
2
2
2
sin(
)
2
2
2
sin(
)
2
2
2
sin(
)
2
2
2
sin(
-
{
L
}
)
2
2
cos(
)
2
sin(
)
2
cos(
)
2
2
sin(
L{-
}
)
2
2
cos(
)
cos(
)
sin(
2
]
)
(cos
)
)[(sin
2
2
sin(
L{
)
2
2
cos(
L
)
sin(
)
cos(
2
)
2
2
sin(
L
)
sin
(
)
2
2
sin(
L
)
cos
(
0
2
0
0
0
0
2
1
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
2
em
ϕ
+
Ω
−
Ω
∆
−
=
=
ϕ
+
Ω
+
Ω
+
ϕ
−
Ω
−
Ω
+
+
Ω
+
ϕ
+
Ω
−
Ω
−
ϕ
+
Ω
∆
=
=
ϕ
+
Ω
Ω
+
Ω
ϕ
+
Ω
∆
=
=
ϕ
+
Ω
Ω
Ω
+
+
Ω
−
Ω
ϕ
+
Ω
∆
=
=
ϕ
+
Ω
∆
Ω
Ω
+
+
ϕ
+
Ω
∆
Ω
+
ϕ
+
Ω
∆
Ω
−
=
t
I
t
t
t
t
t
t
t
t
I
t
t
t
t
I
t
t
t
t
t
t
I
t
t
I
t
I
t
t
I
t
t
I
m
s
r
m
r
s
r
s
s
r
s
r
m
r
s
s
r
m
r
s
s
s
s
r
m
r
s
m
s
m
r
s
m
r
s
m
Aby
mogło
dochodzić
do
przetwarzania
energii
wartość
wytwarzanego
momentu
elektromagnetycznego średniego
)
(
sredni
em
m
musi byś róŜna od zera. Sytuacja taka moŜe mieć miejsce
jedynie w przypadku, gdy
s
r
Ω
=
Ω
i wówczas
)
2
sin(
L
0
2
em
ϕ
∆
−
=
m
I
m
P. 5.2/. Zapisać wyraŜenie na moment elektromagnetyczny dla przetwornika z komutatorami przy
zasilaniu prądowym
)
cos(
1
α
+
Ω
=
t
I
i
s
;
t
I
i
r
Ω
=
cos
2
. Określić kąt przesunięcia fazowego
α
, dla którego wartość wytwarzanego momentu elektromagnetycznego średniego
)
(
sredni
em
m
jest maksymalna przy załoŜeniu, Ŝe ustawienie szczotek jest w strefie neutralnej
2
/
π
=
η
.
Moment elektromagnetyczny przetwornika z komutatorem dla ustawienia szczotek w strefie neutralnej
2
/
π
=
η
przy przyjętym zgodnie z powyŜszym rysunkiem zastrzałkowaniu kierunków prądów ma
postać
2
1
M
i
i
m
em
⋅
⋅
=
Po podstawieniu załoŜonych wymuszeń prądowych oraz wykorzystaniu zaleŜność trygonometrycznej
)]
cos(
)
[cos(
cos
cos
2
1
2
1
2
1
2
1
α
−
α
+
α
−
α
=
α
α
otrzymamy
)
2
cos(
M
)
cos(
M
)]
2
cos(
)
[cos(
M
cos
)
cos(
M
2
1
2
1
2
1
α
+
Ω
⋅
⋅
+
α
⋅
⋅
=
=
α
+
Ω
+
α
⋅
⋅
=
Ω
⋅
α
+
Ω
⋅
⋅
=
t
I
I
I
I
t
I
I
t
t
I
I
m
r
s
r
s
r
s
r
s
em
12
PowyŜsze wyraŜenie opisujące moment elektromagnetyczne posiada dwie składowe: stałą oraz
zmienną z tym, Ŝe wartość składowej stałej jest maksymalna dla kąta przesunięcia fazowego pomiędzy
prądami
0
=
α
. Wynika z tego, Ŝe uzwojenia naleŜy połączyć szeregowo i wymusić płynące prądy z
jednego wspólnego źródła. Płynący prąd przez uzwojenia będzie wówczas równy
m
r
s
I
I
I
=
=
a
moment elektromagnetyczny
)
2
cos(
M
M
2
1
2
2
1
t
I
I
I
m
r
s
m
em
Ω
⋅
⋅
+
⋅
=
Wartość średnia momentu elektromagnetycznego wynosi wtedy
2
2
1
)
(
M
m
sredni
em
I
m
⋅
=
.
Zadania
Zad. 5.1/. Dla przetwornika zapisać zaleŜności momentu elektromagnetycznego od kąta
ϕ
, przy
załoŜeniu, Ŝe
I
i
=
= const. Określić stabilne połoŜenia równowagi statycznej dla obciąŜenia
momentem zewnętrznym
z
m
=const. (działającym zgodnie z
ϕ
). Określić strefy stabilnych
połoŜeń równowagi trwałej.
Zad. 5.2/. Dla przetwornika zapisać zaleŜności momentu elektromagnetycznego od kąta
ϕ
, przy
załoŜeniu, Ŝe
s
I
i
=
1
= const.;
r
I
i
=
2
= const. Określić stabilne połoŜenia równowagi
statycznej dla obciąŜenia momentem zewnętrznym
z
m
=const. (działającym zgodnie z
ϕ
).
Określić strefy stabilnych połoŜeń równowagi trwałej.
13
Zad. 5.3/. Wiedząc, Ŝe moment elektromagnetyczny przetwornika o ruchu obrotowym jest dany
wzorem
ϕ
⋅
−
=
2
sin
2
2
L
i
m
em
, wyznaczyć wartość średnią momentu, gdy
t
I
i
Ω
=
cos
, a
prędkość kątowa jest stała (
0
ϕ
+
Ω
=
ϕ
t
). Narysować przekrój takiego przetwornika.
Zad. 5.4/. Dla przetwornika zapisać formę kwadratową ko-energii. Podać zaleŜność na moment
elektromagnetyczny oraz wyznaczyć wartość średnią momentu elektromagnetycznego przy
zasilaniu prądowym w postaci:
t
I
i
s
m
Ω
=
cos
1
;
)
cos(
2
α
+
Ω
=
t
I
i
s
m
;
r
I
i
=
3
= const, gdy
0
ϕ
+
Ω
=
ϕ
t
r
. Określić relacje
pomiędzy prędkością obrotową
r
Ω
a pulsacją zasilania
s
Ω
, aby mogło zachodzić
przetwarzania energii oraz podać wartość kąta przesunięcia fazowego
α
dla którego
)
(sredni
em
m
jest największy.
Zad. 5.5/. Dla przetwornika zapisać formę kwadratową ko-energii. Podać zaleŜność na moment
elektromagnetyczny oraz wyznaczyć wartość średnią momentu elektromagnetycznego przy
zasilaniu prądowym w postaci:
t
I
i
s
m
Ω
=
cos
1
;
t
I
i
s
m
Ω
=
sin
2
; gdy
0
ϕ
+
Ω
=
ϕ
t
r
. Określić relacje pomiędzy prędkością
obrotową
r
Ω
a pulsacją zasilania
s
Ω
, aby mogło zachodzić przetwarzania energii.
Zad. 5.6/. Moment elektromagnetyczny przetwornika jest dany zaleŜnością
ϕ
⋅
⋅
⋅
−
=
2
sin
2
1
i
i
M
m
em
.
Wyznaczyć wartość średnią momentu, gdy
t
I
i
Ω
⋅
=
cos
1
1
,
const
I
i
=
=
2
2
, a prędkość
kątowa jest stała (
0
ϕ
+
Ω
=
ϕ
t
). Narysować przekrój takiego przetwornika.
14
Zad. 5.7/. Wyznaczyć składową stałą oraz zmienną momentu elektromagnetycznego dla przetwornika
z komutatorami przy zasilaniu prądowym
)
cos(
α
+
Ω
=
t
I
i
s
k
. Określić kąty ustawienia
szczotek
η
dla których wartości wytwarzanego momentu elektromagnetycznego średniego
(
)
(sredni
em
m
) są maksymalne.
Zad. 5.8/. Wyznaczyć wartość średnią momentu elektromagnetycznego
)
( sredni
em
m
dla przetwornika z
komutatorem
wzbudzanego
magnesami
trwałymi
przy
zasilaniu
prądowym
)
cos(
α
+
Ω
=
t
I
i
s
k
zakładając, Ŝe ustawienie szczotek
η
jest w strefie neutralnej
2
/
π
=
η
.