EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
Imi¸
e i nazwisko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Grupa. . . . . .
Zadanie 1.
(1) (1 + i)(1 − 2i) = 3 − 2i
(2) Je´sli z = 1 + 3i, to z ¯
z = 10.
(4)
1
1+4i
=
1
17
−
4
17
i.
Zadanie 2.
(1) z = 1 + i jest pierwiastkiem r´
ownania z
2
− 2z + 2 = 0.
(2) Je´sli z = 2 + i, to |z|
6
= 125.
(4) Je´sli z = −1 − i, to z =
√
2(cos(315
◦
) + i sin(315
◦
)).
Zadanie 3.
(1) Je´sli istnieje liczba b ∈ R, ˙ze dla ka˙zdej liczby a ∈ A, a ≤ 2b, to zbi´
or A ⊂ R jest
ograniczony z g´
ory.
(2) Kres g´
orny zbioru A = {1 −
1
2n
2
: n ∈ N} wynosi
1
2
.
(4) Istnieje najwi¸eksza liczba wymierna, kt´
ora nie przekracza
√
3.
Zadanie 4.
(1) |2x + 1| wyra˙za odleg lo´s´
c liczby x od x − 1.
(2) R´
ownanie |x − 3| + |x − 2| = 7 ma dok ladnie dwa rozwi¸
azania.
(4) max{x, y} + min{x, y} = |y − x|.
Zadanie 5.
(1) 1!1 + 2!2 + . . . + n!n = (n + 1)! − 1 dla ka˙zdej liczby naturalnej n
(2) (1 + x)
3
≥ 1 + 3x + x
3
dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x.
(4) Istnieje liczba naturalna n ≥ 10, dla kt´
orej
n
2
>
n
n−2
.
Zadanie 6.
(1) Je´sli a
n
= n2
n
, dla ka˙zdej liczby naturalnej n, to a
n+1
= 2a
n
+ 2
n+1
.
(2) Liczba 2004 jest warto´sci¸
a ci¸
agu (a
n
) zadanego zale˙zno´sciami: a
1
= 1, a
2
= 1 oraz
a
n+1
= a
n
+ 2a
n−1
, dla n ≥ 2.
(4) Ci¸
ag o wyrazie og´
olnym a
n
= 1 +
(n+2)!
n!
jest zbie˙zny.
Zadanie 7.
(1) Granica ci¸
agu a
n
=
2n
2
+1
3n
2
+3
jest r´
owna 2/3.
(2) Je´sli ci¸
ag a
n
jest nierosn¸
acy i ograniczony z g´
ory, to ma granic¸e.
(4)
lim
n→∞
√
n
3
2 + (
√
n)
3
= 1.
Zadanie 8.
(1) Ci¸
ag a
n
=
(−1)
n
2+(−1)
n
jest zbie˙zny.
(2) lim
n→∞
n
√
n + 2 > lim
n→∞
n
√
n
(4) lim
n→∞
n
√
n
2
= 1.
Zadanie 9.
(1) lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
= e.
(2) lim
n→∞
(1 +
2
n
)
n
=
√
e.
(4) Liczba e le˙zy pomi¸edzy 2, 5 a 5.
Zadanie 10.
(1) lim
n→∞
P
n
k=1
1
2
k
= 2.
(2) lim
n→∞
n sin(1/n) = 1.
(4) Je´sli ci¸
ag (a
n
) ma wyrazy dodatnie, to ci¸
ag (b
n
) o wyrazach b
n
=
P
n
k=1
a
k
ma granic¸e
w la´sciw¸
a b¸
ad´
z nie.
Zadanie 11.
(1) Funkcja y = x − [x] jest okresowa.
(2) Funkcja y = sin(2x) + cos(x) jest okresowa.
(4) Ka˙zda funkcja f : R → R jest sum¸
a funkcji parzystej i nieparzystej.
Zadanie 12.
(1) Funkcja y = |x|
3
+ x jest rosn¸
aca.
(2) Je´sli f (x) = e
2x
i g(x) = 1 + ln x, to f ◦ g(x) = x
2
.
(4) Funkcj¸
a odwrotn¸
a do y = (x + 1)
1/5
− 1 jest y = (x + 1)
5
+ 1.
Zadanie 13.
(1) lim
x→3
x−3
x
2
−9
nie istnieje.
(2) lim
x→0
sin x
x
= 1.
(4) Funkcja f (x) = cos |x
2
+ 1| jest ci¸
ag la.
Zadanie 14.
(1) Funkcja f (x) = x
6
− x + 1 nie ma miejsc zerowych w R.
(2) Funkcja cosinus jest przyk ladem funkcji jednostajnie ci¸
ag lej.
(4) Z twierdzenia Weierstrassa wynika, ˙ze ka˙zda funkcja ci¸
ag la na przedziale [0, 1], ma
ograniczony zbi´
or warto´sci.
Zadanie 15.
(1) (sin x)
0
= − cos x.
(2) (ln(2x))
0
=
1
x
.
(4)
e
x
2
0
= 2x
2
e
x
2
.
Zadanie 16.
(1) Wsp´
o lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f (x) = x
2
w punkcie o
odci¸etej x = 4 wynosi 8.
(2) Prosta y = x + 1 jest styczna do wykresu funkcji f (x) = x
2
− x w punkcie o
wsp´
o lrz¸ednych x = 1, y = 0.
(4) (x arctg(x))
0
=
x
x
2
+1
+ arctg(x).
Zadanie 17.
(1) (x cos x)
0
= sin x + x cos x.
(2)
ln x
x
0
=
1−ln x
x
2
.
(4) ((x
2
+ x)
3
)
0
= (2x + 1)
3
.
Zadanie 18.
(1) Je´sli funkcja r´
o˙zniczkowalna f : R → R ma w x
0
minimum, to f
0
(x
0
) = 0.
(2) Funkcja f (x) = x
2
+ sin(x) ma w x
0
= 0 minimum.
(4) Funkcja f (x) = x + cos(x) jest rosn¸
aca.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Przepraszam, ˙ze wystawiam dopiero 23 stycznia, ale si¸e pochorowa lem i nie mia lem
jak tego zrobi´
c. Przes lawski
A