Funkcja jednej zmiennej - przykładowe zadania na kolokwium
1. Zbadać ciągłość funkcji
( )
î
í
ì
-
<
+
+
-
³
+
=
1
1
5
1
2
5
2
x
dla
x
x
x
dla
x
x
f
2. Wyznaczyć równania asymptot funkcji
a.
( )
1
3
2
2
+
+
+
=
x
x
x
x
f
,
b.
( )
9
1
2
2
-
-
=
x
x
x
f
.
3. Obliczyć granicę
a.
1
2
4
lim
-
+¥
®
÷
ø
ö
ç
è
æ +
n
x
n
n
,
b.
1
3
8
lim
1
-
-
+
®
x
x
x
,
c.
2
0
1
lim
2
x
e
x
x
-
®
,
d.
(
)
1
2
ln
3
lim
0
+
®
x
x
x
.
4. Obliczyć granice jednostronne
a.
x
x
e
1
0
lim
-
®
,
b.
2
1
lim
2
+
-
-
®
x
x
x
.
5. Obliczyć pochodną funkcji
a.
( )
( )
x
x
f
ln
=
,
b.
( )
(
)
1
2
2
+
=
x
tg
x
f
,
c.
( )
( )
x
x
x
f
sin
=
.
6. Oblicz drugą pochodną funkcji
a.
( )
(
)
( )
x
x
x
x
f
cos
1
2
+
+
=
,
b.
( )
( )
x
e
x
f
cos
=
.
7. Wyznaczyć równanie prostej stycznej do wykresu funkcji
( )
3
3
+
+
=
x
x
x
f
w punkcie
1
0
=
x
. Wskazówka:
( )
( )(
)
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y
-
¢
=
-
.
8. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji
( )
1
4
4
2
+
+
-
=
x
x
x
x
f
9. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji
( )
x
x
x
x
f
12
3
2
2
3
-
-
=
w przedziale
[
]
1
,
2
-
Î
x
.
10. Określić przedziały wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji
( )
x
x
x
x
f
6
6
2
4
-
-
=
11. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżoną wartość
a.
3
63 ,
b.
)
005
.
1
(
arctg
.
12. Wyznaczyć pochodną funkcji danej w postaci parametrycznej
a.
( )
( )
( )
( )
î
í
ì
=
=
t
e
t
y
t
e
t
x
t
t
sin
cos
b.
( )
( )
( )
( )
ïî
ï
í
ì
=
×
=
t
t
t
y
t
t
t
x
ln
ln