-1-
ALGEBRA WEKTORÓW I TENSORÓW.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów.
]
,
,
[
3
2
1
a
a
a
a
=
r
]
,
,
[
3
2
1
b
b
b
b
=
r
3
3
2
2
1
1
cos
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
⋅
+
⋅
+
⋅
=
θ
⋅
⋅
=
⋅
r
r
r
r
a
b
b
a
r
r
r
r
⋅
=
⋅
0
=
⋅ b
a
r
r
jeżeli
b
a
r
r⊥
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów.
]
,
,
[
1
2
2
1
3
1
1
3
2
3
3
2
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
c
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
=
×
=
r
r
r
=
θ
⋅
⋅
=
sin
b
a
c
r
r
r
pole powierzchni równoległoboku utworzonego przez ar i b
r
cr jest prostopadły do płaszczyzny
utworzonej przez ar i b
r
ar , b
r
i cr tworzą układ prawoskrętny
0
r
r
r
=
× b
a
jeżeli ar ║ b
r
a
b
b
a
r
r
r
r
×
−
=
×
Iloczyn mieszany trzech wektorów.
(
)
(
)
φ
⋅
⋅
θ
⋅
⋅
=
⋅
×
cos
sin
)
(
c
b
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
3
2
1
3
2
1
3
2
1
det
c
c
c
b
b
b
a
a
a
=
pole podstawy · wysokość
Iloczyn mieszany jest równy objętości
równoległościanu utworzonego przez ar ,
b
r
i cr wziętej ze znakiem ‘+’ , jeżeli
wektory te tworzą układ prawoskrętny lub
ze znakiem ‘
−’ , jeżeli wektory te tworzą
układ lewoskrętny
0
)
(
=
⋅
×
c
b
a
r
r
r
jeżeli dowolne dwa wektory są do siebie równoległe
a
b
c
c
a
b
b
c
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
×
−
=
⋅
×
−
=
⋅
×
−
=
⋅
×
=
⋅
×
=
⋅
×
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
-2-
tensor transponowany powstaje przez zamianę
i-tego wiersza i j-tej kolumny
Podwójny iloczyn wektorowy trzech wektrów.
c
b
a
b
c
a
c
b
a
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
−
⋅
⋅
=
×
×
)
(
)
(
)
(
Tensory.
A =
A A A
A A A
A A A
11
12
13
21
22
23
31
32
33
= [ A
ij
]
3
×3
tensor (macierz kwadratowa 3
×3)
A
T
=
A A A
A A A
A A A
11
21
31
12
22
32
13
23
33
= [ A
ji
]
3
×3
Jeżeli A = A
T
( A
ij
= A
ji
), to tensor A jest symetryczny
Jeżeli A =
− A
T
( A
ij
=
− A
ji
), to tensor A jest antysymetryczny
Każdy tensor można przedstawić jako sumę tensora symetrycznego i antysymetrycznego
A = A
s
+ A
a
A
s
=
1
2
( A + A
T
) =
1
2
[ A
ij
+ A
ji
]
3
×3
A
a
=
1
2
( A
− A
T
) =
1
2
[ A
ij
− A
ji
]
3
×3
Tensor jednostkowy i delta Kroneckera
I =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
δ
=
I
,
δ
ij
=
1 i = j
0 i
j
≠
Ślad tensora tr A =
A
ii
i=1
3
∑
Iloczyn skalarny wektora i tensora.
c
→
= A · a
→
c
i
=
∑
⋅
3
1
=
j
j
ij
a
A
każdy wiersz A mnożony jest skalarnie przez wektor a
→
d
→
= a
→
· A d
i
=
∑
⋅
3
1
=
j
ji
j
A
a
wektor a
→
jest mnożony skalarnie przez kolejne kolumny A
Jeżeli A jest symetryczny to mnożenie jest przemienne A · a
→
= a
→
· A
-3-
α
ij
– kąt między i-tą osią starego układu współrzędnych
(
3
2
1
,
,
x
x
x
) a j-tą osią nowego układu współrzędnych
(
3
2
1
,
,
x
x
x
′
′
′
)
Pojedynczy iloczyn skalarny tensorów.
C = A · B C
ij
=
∑
⋅
3
1
=
k
j
k
k
i
B
A
każdy wiersz A mnożony jest skalarnie przez kolejne kolumny B
C
T
= B
T
· A
T
Podwójny iloczyn wewnętrzny dwóch tensorów .
A : B =
∑∑
⋅
3
1
=
i
3
1
j=
ji
ij
B
A
suma iloczynów elementów obu tensorów
Diada (iloczyn zewnętrzny) dwóch wektorów.
C = a
→
b
→
j
i
ij
b
a
C
⋅
=
Macierz transformacji do obróconego układu współrzędnych.
R =
α
α
α
α
α
α
α
α
α
33
32
31
23
22
21
13
12
11
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
= [cos
α
ij
]
3
×3
I
R
R
T
=
⋅
Transformacja wektora i tensora do obróconego układu współrzędnych.
transformacja prosta
a
R
a
T
r
r
⋅
=
′
R
A
R
A
T
⋅
⋅
=
′
transformacja odwrotna
a
R
a
′
⋅
=
r
r
T
R
A
R
A
⋅
′
⋅
=
Jeżeli tensor A jest symetryczny, to obrót układu współrzędnych nie wpływa na:
1) ślad tensora A
tr ,
2) podwójny iloczyn wewnętrzny tensora
A
A : ,
3) wyznacznik tensora
)
det( A .
Ponadto zawsze można znaleźć taki obrót starego układu współrzędnych, że 0
=
′
ij
A
dla
j
i
≠ w
nowym obróconym układzie współrzędnych.
-4-
OPERATORY RÓŻNICZKOWE I TEORIA POLA
Operator Hamiltona (nabla).
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇
z
y
x
,
,
∂
∂
∂θ
∂
∂
∂
=
∇
z
r
r
,
1
,
współrzędne prostokątne
współrzędne cylindryczne
Operator Laplace’a (laplasjan).
2
2
2
2
2
2
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
2
2
2
2
2
1
1
z
r
r
r
r
r
∂
∂
+
∂θ
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∆
współrzędne prostokątne
współrzędne cylindryczne
Pole skalarne.
Jeżeli każdemu punktowi P pewnego zbioru X przyporządkujemy skalar
ϕ to mówimy, że na
zbiorze X zostało określone pole skalarne
)
(P
ϕ
=
ϕ
. Jeżeli P=(x,y,z) to
)
,
,
(
z
y
x
ϕ
=
ϕ
.
Przykłady pól skalarnych: ciśnienie, gęstość, temperatura itp.
Równanie
ϕ(x,y,z)=const określa powierzchnię ekwiskalarną.
Pole wektorowe.
Jeżeli każdemu punktowi P pewnego zbioru X przyporządkujemy wektor ra to mówimy, że
na zbiorze X zostało określone pole wektorowe
)
(P
a
a
r
r =
. Jeżeli P=(x,y,z) to
)
,
,
(
z
y
x
a
a
v
r =
.
Przykłady pól wektorowych: prędkość płynu, pole sił masowych.
Gradient pola skalarnego.
Gradient pola skalarnego
)
,
,
(
z
y
x
ϕ
=
ϕ
wyznacza pole wektorowe o postaci
ϕ
∇
=
ϕ
grad
.
Jeżeli wektor o długości jednostkowej
]
cos
,
cos
,
[cos
ˆ
γ
β
α
=
s
wyznacza pewien kierunek w
przestrzeni (
γ
β
α ,
,
to kąty zawarte między tym kierunkiem a osiami układu współrzędnych)
to, wówczas pochodna pola skalarnego w tym kierunku dana jest wzorem
z
y
x
s
s
∂
∂ϕ
γ
+
∂
∂ϕ
β
+
∂
∂ϕ
α
=
ϕ
⋅
=
∂
∂ϕ
cos
cos
cos
grad
ˆ
.
Pochodna pola skalarnego osiąga maksimum równe
ϕ
grad , jeżeli wektory sˆ i
ϕ
grad są
zgodne co do kierunku i zwrotu.
Interpretacja całkowa gradientu pola skalarnego.
∫∫
ϕ
=
ϕ
→
S
P
V
dS
n
V
P
ˆ
1
lim
)
(
grad
Przejście graniczne dokonuje się tak, że objętość kontrolna V, której brzegiem jest
powierzchnia zamknięta S, zbiega do punktu P. Wektor jednostkowy $n jest prostopadły do
-5-
różniczkowej powierzchni dS. Skalar
ϕ ma pod znakiem całki sens funkcji wagowej, dzięki
czemu wektor
ϕ
grad zawsze wskaże kierunek najszybszego wzrosty
ϕ w punkcie P.
Niezerowy wektor
)
(
grad
P
ϕ
jest prostopadły do powierzchni
const
=
ϕ
, która przechodzi
przez punkt P.
Rotacja pola wektorowego.
Rotacja pola wektorowego
)]
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
[
)
,
,
(
z
y
x
a
z
y
x
a
z
y
x
a
z
y
x
a
a
z
y
x
=
= r
r
wyznacza pole
wektorowe o postaci
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
∂
−
∂
∂
=
×
∇
=
y
a
x
a
x
a
z
a
z
a
y
a
a
a
x
y
z
x
y
z
,
,
rot
r
r
.
Interpretacja całkowa rotacji.
∫
⋅
=
⋅
→
L
P
S
dL
t
a
S
P
a
n
ˆ
1
lim
)
(
rot
ˆ
r
r
Przejście graniczne dokonuje się tak, że powierzchnia S, której brzegiem jest krzywa
zamknięta L, zbiega do punktu P. Wektor jednostkowy $n jest prostopadły do S w punkcie P,
zaś wektor jednostkowy $t jest styczny do różniczkowego odcinka dL.
Jeżeli 0
rot
r
v =
a
w każdym punkcie pola wektorowego ra to takie pole wektorowe nazywa się
polem potencjalnym (bezwirowym) i istnieje takie pole skalarne
ϕ, że
ϕ
= grad
av
, zaś całka
wzdłuż krzywej łączącej dwa punkty A i B nie zależy od kształtu tej krzywej i jest równa
różnicy potencjału
ϕ w punktach A i B.
)
(
)
(
ˆ
grad
ˆ
A
B
dL
t
dL
t
a
AB
AB
ϕ
−
ϕ
=
⋅
ϕ
=
⋅
∫
∫
r
Całka
∫
⋅
AB
dL
t
a ˆ
r
wyraża pracę wykonaną w polu sił ra wzdłuż drogi od A do B.
Dywergencja pola wektorowego.
Dywergencja pola wektorowego
)
,
,
(
z
y
x
a
a
v
r =
wyznacza pole skalarne dane wzorem
z
a
y
a
x
a
a
a
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
⋅
∇
=
v
v
div
Interpretacja całkowa dywergencji
∫∫
⋅
=
→
S
P
V
dS
n
a
V
P
a
ˆ
1
lim
)
(
div
r
r
Przejście graniczne dokonuje się w ten sposób, że objętość kontrolna V, której brzegiem jest
powierzchnia zamknięta S, zbiega do punktu P. Wektor jednostkowy $n jest prostopadły do
różniczkowej powierzchni dS.
-6-
Całka
∫∫
⋅
S
dS
n
a ˆ
v
określa wypadkowy strumień pola wektorowego va przepływający przez
powierzchnię S.
Jeżeli 0
div
=
av
w każdym punkcie pola wektorowego va , to takie pole wektorowe nazywa się
polem bezźródłowym (selenoidalnym).
Pochodna substancjalna (materiałowa).
z
u
y
u
x
u
t
u
t
Dt
D
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
⋅
+
∂
∂
=
r
]
,
,
[
)
,
,
,
(
z
y
x
u
u
u
t
z
y
x
u
u
=
= r
r
to wektor prędkości płynu.
Duży gradient wektora prędkości płynu.
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
z
u
z
u
z
u
y
u
y
u
y
u
x
u
x
u
x
u
u
z
y
x
z
y
x
z
y
x
r
Grad
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.
∫∫∫
∫∫
=
⋅
V
S
dV
a
dS
n
a
r
r
div
ˆ
Powierzchnia S jest brzegiem objętości kontrolnej V, va jest polem wektorowym klasy C
1
określonym w obszarze V, $n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni
różniczkowej dS i skierowanym na zewnątrz obszaru V.
Twierdzenie Stokesa.
∫∫
∫
⋅
=
⋅
S
L
dS
n
a
dL
t
a
ˆ
rot
ˆ
v
r
Krzywa L jest brzegiem powierzchni S, ra jest polem wektorowym klasy C
1
określonym w
obszarze V zawierającym powierzchnię S, $n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do
dS, $t jest wektorem jednostkowym równoległym do różniczkowego odcinka dL.
Niektóre zależności rachunku operatorów różniczkowych.
)
(
)
(
a
a
a
r
r
r
⋅
∇
ϕ
+
⋅
ϕ
∇
=
ϕ
⋅
∇
a
a
a
r
r
r
×
ϕ
∇
+
×
∇
ϕ
=
ϕ
×
∇
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
a
a
a
a
a
a
r
r
r
r
r
r
×
∇
×
−
⋅
∇
=
∇
⋅
0
)
rot
(
div
)
(
=
=
×
∇
⋅
∇
a
a
r
r
0
)
grad
(
rot
)
(
=
ϕ
=
ϕ
∇
×
∇
)
(
)
(
a
a
a
r
r
r
×
∇
×
∇
−
⋅
∇
∇
=
∆