I
2
"!
#
$%%&
15:35 — 18:35
Rozwia
zania r´
o˙znych zada´
n maja
znale´
z´
c sie
na r´
o˙znych kartkach.
Ka˙zda kartka musi by´
c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pi-
sza
cego oraz jego nr. indeksu.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
dze´
n
elektronicznych; je´
sli kto´
s ma, musza
by´
c schowane i wy la
czone! Nie dotyczy rozrusz-
nik´
ow serca.
Nie wolno korzysta´
c z ksia
˙zek, tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
na twierdzenia, kt´
ore
zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
'
)(*,+
-
./+
-01
#
32.
45%65 -7.89:(;1
=<
1. (a) Wykaza´c, ˙ze szereg
∞
X
n=0
1
2
n
−
1+e
x
jest zbie˙zny dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x .
(b) Niech f (x) =
∞
X
n=0
1
2
n
−
1+e
x
dla x ∈
>
.
(c) Znale´z´c zbi´
or wszystkich punkt´
ow cia
g lo´sci funkcji f .
(d) Znale´z´c zbi´
or wszystkich punkt´
ow r´
o˙zniczkowalno´sci funkcji f .
(e) Obliczy´c f
0
(0) .
2. (a) Znale´z´c promie´
n zbie˙zno´sci R szeregu pote
gowego
∞
X
n=0
(−1)
n
·
x
2n+1
(2n + 1) · 4
n
.
(b) Czy ten szereg jest zbie˙zny dla x = R ?
Czy ten szereg jest zbie˙zny dla x = −R ?
(c) Niech A be
dzie zbiorem wszystkich x ∈
>
, dla kt´
orych rozwa˙zany szereg jest zbie˙zny.
Czy jest on jednostajnie zbie˙zny na zbiorze A ?
(d) Czy jest on niemal jednostajnie zbie˙zny na zbiorze A ?
(e) Znale´z´c sume
badanego szeregu dla dowolnego x ∈ A .
3. Niech f (x) =
1
2+sin x
dla x ∈
>
.
(a) Obliczy´c:
R
π/2
0
f
(x)dx .
(b) Obliczy´c:
R
2π
0
f
(x)dx .
4. (a) Rozwina
´c w szereg Taylora wok´
o l punktu p = 0 funkcje
f
(x) = x
2
ln(4 − x
2
) .
(b) Obliczy´c f
(2008)
(0) .
5. Niech f : [0, ∞) −→
>
be
dzie ograniczona
funkcja
wypuk la
, dwukrotnie r´
o˙zniczkowalna
.
Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby x ≥ 0 zachodzi nier´
owno´s´c f
0
(x) ≤ 0 .