Zasada minimum energii Menabrea-Castigliano
Siły czynne (P
i
) powodują powstanie w podporach reakcji. Jeżeli podparcie jest niepodatne to
odpowiadające reakcji przemieszczenie wynosi zero. korzystając z twierdzenia Castigliano:
0
i
R
V
Zależność ta wyraża twierdzenie Menabrea-Castigliano.
W układzie liniowosprężystym, sztywnie podpartym, pochodna cząstkowa energii sprężystej
całego układu względem wielkości podporowej - statycznie niewyznaczalnej jest równa zeru.
Układy wewnętrznie statycznie niewyznaczalne
Układem takim jest np. rama zamknięta
lub kratownica z prętem nadliczbowym
W celu wyznaczenia sił wewnętrznych
należy dokonać przecięcia układu.
Energia całkowita całego układu V = V
1
+ V
2
Przemieszczenie punktu przyłożenia siły
wewnętrznej P
W
części pierwszej zgodnie z
twierdzeniem Castigliano:
i
W
u
P
V
1
i podobnie
2
2
u
P
V
W
Z warunku nierozdzielczości przemieszczeń:
0
0
2
1
2
1
W
W
W
W
P
V
P
V
P
V
P
V
i
u
u
Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem statycznie
niewyznaczalnej wielkości wewnętrznej jest równe zeru.
Podparcie sprężyste
Jeżeli jedna z podpór układu liniowo-sprężystego
dostarczająca wielkości statycznie niewyznaczalnej
jest podatna (sprężyście).
Przemieszczenie sprężyny przy obciążeniu jej siłą R wynosi cR.
0
2
1
2
1
A
A
A
B
A
R
V
R
V
R
V
V
V
V
R
R
R
czyli
A
A
A
A
cR
R
V
cR
u
R
V
ale
R
V
R
V
2
1
2
2
2
2
1
P
P
P
V
2
V
1
u
1
u
2
P
W
P
W
1
2
1
V
1
V
s
R
2
A
V
B
Zastosowanie tw. Menabre’a prześledźmy na przykładach:
1)
H
– reakcja hiperstatyczna
x
H
x
M
M
x
H
x
M
)
(
)
(
l
xdx
M
Hx
EJ
0
0
1
l
M
H
Ml
Hl
2
3
0
2
3
2
3
2) K
ratownica wewnętrznie niewyznaczalna
Reakcje
X = A
h
– D
h
= 0
A
h
= D
h
Y = D
V
– P = 0
D
V
= P
M
D
= A
h
a
– Pa=0
A
h
= P
w
– 3 = p
2 · 4 – 3 = 6
5 ≠ 6
Kratownica jest jednokrotnie wewnętrznie niewyzn.
Przyjmujemy S
5
jako wielkość hiperstatyczną,
wyznaczamy siły w prętach jako funkcje P i S
5
.
2
0
2
1
5
3
3
5
S
S
S
S
X
C
2
0
2
1
5
2
2
5
S
S
S
S
Y
P
S
S
P
S
S
X
A
2
0
2
1
5
1
1
5
2
0
2
1
5
4
4
5
S
S
S
S
Y
1
6
1
6
2
0
2
1
S
S
S
S
X
B
Energia sprężysta kratownicy
i
n
i
i
i
i
n
i
l
S
EF
EF
l
S
V
1
2
2
1
2
1
2
1
Wg twierdzenia Menabrea
0
1
0
5
6
1
5
S
S
S
l
EF
S
V
i
i
i
i
Suma wyrazów ostatniej kolumny:
4
2
2
3
0
2
1
2
2
2
2
5
5
5
6
1
P
S
P
S
a
S
S
S
l
i
i
i
i
Pręt 5 jest ściskany
i
l
i
S
i
S
i
/
S
5
l
i
S
i
S
i
/
S
5
1
a
-S
5
/
2 -P
-1/
2
a(S
5
/2 + P/
2)
2
a
-S
5
/
2
-1/
2
aS
5
/2
3
a
-S
5
/
2
-1/
2
aS
5
/2
4
a
-S
5
/
2
-1/
2
aS
5
/2
5
a
2
S
5
1
aS
5
2
6
a
2
S
5
+P
2
1
a(S
5
2 + 2P)
H
M
l
a
a
1
2
5
6
4
3
D
h
D
v
A
h
A
D
P
B
C
P
P
P
S
4
D
P
B
S
5
S
3
S
2
S
6
S
2
S
1
S
1
S
5
S
6
S
3
S
4
A
C
Przykład Określić przemieszczenie pionowe i kąt obrotu swobodnego końca belki
a) metodą Castigliano, b) metoda Mohra, c) sposobem Wereszczagina.
A. Metoda Castigliano.
Przykładamy siłę P
y
= 0
x
P
M
x
P
M
M
x
P
M
y
II
y
I
y
I
0
1
1
0
0
0
M
M
M
M
Px
M
a
P
M
II
I
y
II
a
h
y
II
II
y
I
I
y
Ay
dx
P
M
M
dx
P
M
M
EJ
P
V
f
0
0
1
2
2
1
1
0
2
0
0
0
0
0
ah
P
ah
M
a
M
EJ
dx
a
Px
M
a
P
dx
x
M
x
P
EJ
a
h
y
y
2
1
...
..........
1
1
2
0
0
0
0
0
h
P
h
a
M
EJ
EJ
dx
M
M
M
dx
M
M
M
EJ
a
h
II
II
I
I
A
B. Metoda Maxwella-Mohra
M
I
= - M
0
M
II
= - M
0
– Px
M’
I
= - x
M’
II
= - 1a= - a
2
2
1
)
)(
(
)
)(
(
1
1
0
2
0
0
0
0
0
0
0
'
'
ah
P
ah
M
a
M
EJ
dx
a
Px
M
x
M
EJ
dx
M
M
dx
M
M
EJ
f
a
h
a
h
II
II
I
I
Ay
M’
I
= - 1
M’
II
= - 1
2
)
(
1
)
1
)(
(
)
1
)(
(
1
1
2
0
0
0
0
0
0
0
'
'
h
P
h
a
M
EJ
dx
Px
M
M
EJ
dx
M
M
dx
M
M
EJ
a
h
a
h
II
II
I
I
A
C.
Całkując wykreślnie
EJ
f
Ay
1
EJ
A
1
h
I
P
II
P
y
M
0
a
h
I
P
II
M
0
a
h
I
II
1
a
h
I
II
1
a
h
P
M
0
a
a
h
M
0
M
0
+Ph
h
P
M
0
a
h
1
a
h
1
a
a
1
Przykład Wykorzystując zasadę minimum energii Menabrea-Castigliano wyznaczyć reakcje.
1. Reakcje:
R
A
, R
B
, M
A
2. Warunki równowagi:
- R
A
+ ql - R
B
= 0
M
A
– R
A
l + ½ql
2
=0
3. Układ jest 1-krotnie statycznie niewyznaczalny
przyjmujemy M
A
jako reakcję hiperstatyczną
4. Moment gnący M
g
= - M
A
+ R
A
x -
½qx
2
(
funkcją tylko sił czynnych i hiperstatycznych)
2
2
2
2
x
q
x
l
q
l
x
M
M
M
l
q
l
M
R
A
A
g
A
A
5.
1
0
1
0
l
x
M
M
dx
M
M
M
EJ
M
V
A
g
A
g
l
g
A
2
0
2
8
1
0
1
2
2
ql
M
dx
l
x
x
q
x
l
q
l
x
M
M
A
l
A
A
Z drug
iej strony pisząc M
g
= R
B
x -
½qx
2
, i przyjmując R
B
za reakcję hiperstatyczną mamy:
l
B
l
B
B
g
l
g
B
B
g
dx
x
q
x
R
EJ
dx
x
x
q
x
R
EJ
dx
R
M
M
EJ
R
V
x
R
M
0
3
2
0
2
0
0
)
2
(
1
)
2
(
1
1
ql
R
l
q
l
R
B
B
8
3
0
8
3
4
3
Przykład Reakcje – metodą Maxwella-Mohra – całkowanie graficzne
dx
M
M
dx
M
M
a
a
a
'
2
3
2
2
'
1
2
0
1
0
dx
M
M
dx
M
M
y
a
a
a
"
2
3
2
2
"
1
2
0
1
0
A
1
= -
½·3Ra·3a x
1
= 2a
’
1
= 1
”
1
= -2a
A
2
= M·3a
x
2
= 1½a
’
2
= 1
”
2
= -
1½ a
A
3
= K·a
x
3
= 2½a
’
3
= 1
”
3
= -
2½
a
-9/2 Ra
2
+ 2Ma + Ka = 0
/ ·4
-9/2 Ra
2
(-2a)-3Ma3/2 a
– Ka5/2a = 0
/ ·2/a
- 18Ra
2
+ 12Ma + 4Ka = 0
18Ra
2
– 9Ma – 5Ka = 0
3Ma
– Ka = 0
-9/2Ra
2
- 3
⅓K + Ka = 0
M = ⅓K
R = 4/9 K/a
R
B
M
A
l
R
A
q
2a
2a
a
a
R
M
K
K
1
1
3a
′
″
K
M
3Ra
M
g
Równania kanoniczne metody sił.
Stosujemy je najczęściej dla układów wielokrotnie statycznie niewyznaczalnych.
Omówimy ją tu na przykładzie tzw. belki ciągłej.
Belka pierwotna
stan „0”
Belka wtórna
stan „1”
stan „2”
Dla określenia reakcji X
1
, X
2
, X
3
rozpatrujemy
ugięcia belki równoważnej
1
,
2
,
3
w punktach
działania sił X. Ugięcia te są funkcjami znanych
obciążeń (P
1
i P
2
)
i nie znanych sił X i muszą być
równe zero.
stan „3”
Rozdzielamy belkę równoważną na stany
składowe
„0” „1” „2” i „3”.
Przy jednoczesnym działaniu wszystkich obciążeń przemieszczenie np.
1
wyniesie:
1
=
11
X
1
+
12
X
2
+
13
X
3
+
10
= 0
otrzymamy więc układ równań:
11
X
1
+
12
X
2
+
13
X
3
+
10
= 0
21
X
1
+
22
X
2
+
23
X
3
+
20
= 0
31
X
1
+
32
X
2
+
33
X
3
+
30
= 0
jest to układ równań kanonicznych metody sił
Przemieszczenia jednostkowe (liczby wpływowe)
ij
( uogólnione przemieszczenie dla
uogólnionej siły X
i
wywołane przez jednostkową siłę X
j
=1),
w ogólnym przypadku wyznaczamy
ze wzoru:
ji
ij
i
j
i
j
z
gi
gj
ij
dx
GA
t
t
dx
EA
n
n
dx
EJ
m
m
dx
GA
t
T
dx
EA
n
N
dx
EJ
m
M
i
i
z
gi
g
i
0
0
0
0
Najczęściej wyznaczamy je sposobem graficznym (Wereszczagina). Zwykle przy zginaniu
zachowujemy tylko pierwszy składnik tych wyrażeń (pomijamy N i T).
B
P
2
P
1
A
1
2
3
B
P
2
P
1
A
1
2
3
X
1
X
2
X
3
1
2
3
B
A
10
20
30
2
P
1
P
2
3
1
B
A
1
2
X
1
11
21
31
3
B
A
X
2
12
22
32
3
1
2
B
A
X
3
13
23
33
3
1
2
Przykład Rozwiązać poniższą ramę metodą sił.
Równanie kanoniczne
11
X
1
+
10
= 0
EJ
1
11
=
EJ
l
lll
l
l
EJ
3
7
2
3
2
2
1
1
3
2
EJ
1
10
=
EJ
ql
l
ql
EJ
3
4
)
3
4
(
1
3
3
Pole
3
3
2
0
3
2
0
2
3
4
6
8
6
2
ql
l
q
x
q
dx
x
q
l
l
ql
l
ql
X
7
4
3
7
3
4
3
4
11
10
1
Reakcje
A
x
= 4/7 ql
A
y
= 2ql
M
u
= -B
x
l + 2ql
2
= 10/7 ql
2
q
B
x
A
y
M
u
A
x
l
2l
q
2l
l
X
1
q
2ql
2
„0”
l
2l
l
2l
l
X
1
=1
„1”
Przykład Rozwiązać belkę z podwieszeniem gibkim metodą sił.
statycznie wyznaczalny układ zastępczy
Równanie kanoniczne
11
X
1
+
10
= 0
Wyznaczanie współczynników
a) metoda Maxwella-Mohra
b
b
l
l
b
b
b
b
J
E
ql
dx
x
qx
qlx
J
E
dx
MM
J
E
4
0
2
10
24
5
)
2
)(
2
(
2
'
1
p
p
b
b
p
p
l
b
b
p
p
l
b
b
F
E
l
J
E
l
F
E
l
dx
x
J
E
F
E
l
dx
MM
J
E
6
)
2
(
2
'
1
2
11
b) metoda Wereszczagina
3
)
2
(
1
3
0
2
10
ql
dx
qx
qlx
F
J
E
y
F
l
b
b
c
l
l
l
l
M
l
x
y
l
ql
ql
F
xdx
qx
qlx
F
Mxdx
x
C
l
l
16
5
)
2
(
8
5
,
8
5
3
1
24
5
)
2
(
1
0
3
4
0
2
0
0
b
b
b
b
b
b
C
J
E
ql
l
ql
J
E
J
E
Fy
4
3
10
24
5
)
16
5
(
3
2
2
p
p
b
b
C
p
p
b
b
C
F
E
l
J
E
l
l
y
l
F
F
E
l
J
E
y
F
6
3
4
2
3
11
1
2
1
1
1
11
p
p
b
b
b
b
F
E
l
J
E
l
J
E
ql
X
6
24
5
3
4
11
10
1
ql
X
F
E
to
F
gdy
p
p
p
4
5
0
1
1
0
1
0
1
X
F
E
to
F
gdy
p
p
p
q
B
A
E
b
J
b
E
p
F
p
C
D
2l
l
q
X
1
„1”
X
1
=1
X
1
=1
E
p
F
p
l
X
1
=1
l/2
q
„0”
x
0
=5/8l
ql
2
/2
F=ql
3
/3
Przykład Wyznaczyć reakcje metodą sił.
Układ równań kanonicznych
11
X
1
+
12
X
2
+
13
X
3
+
10
= 0
21
X
1
+
22
X
2
+
23
X
3
+
20
= 0
31
X
1
+
32
X
2
+
33
X
3
+
30
= 0
Liczby wpływowe:
2
2
30
2
2
2
32
23
33
3
2
20
2
2
2
31
13
3
3
2
22
3
2
10
3
2
21
12
3
3
11
2
1
1
2
1
2
3
1
1
2
1
3
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
3
4
3
2
2
1
6
1
3
1
2
1
2
1
2
3
5
3
2
2
1
2
Pa
Pa
a
a
a
a
Pa
a
Pa
a
a
a
a
a
a
a
Pa
a
Pa
a
a
a
a
a
a
aa
po wstawieniu:
0
2
1
3
2
3
2
0
2
1
2
3
3
4
0
6
1
2
3
5
3
2
2
1
2
3
3
2
2
3
1
3
3
3
2
2
3
1
3
Pa
aX
X
a
X
a
Pa
X
a
X
a
X
a
Pa
X
a
X
a
X
a
Rozwiązując w/w układ równań otrzymamy:
P
X
P
X
P
X
7
2
7
3
2
1
3
2
1
a
a
a
X
1
X
2
X
3
=
+
+
+
=
„0
”
P
P
P
X
3
=1
X
2
=1
„2
”
„3
”
Pa
a
+
X
1
=1
„1
”
a
a
1
układ
równoważny