Egzamin
– teoria
rok 2012/2013
Zadanie 1 :
Podać kryterium całkowe zbieżności szeregu. Korzystając z tego kryterium wykazać zbieżność
szeregu
Rozwiązanie:
Kryterium całkowe zbieżności szeregu:
Niech n
0
ЄN. Jeżeli funkcja f, określona w przedziale [n
0
;+
∞), jest nieujemna, ciągła i rosnąca, to całka
oraz szereg
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne.
Udo
wadnianie zbieżności szeregu:
Przyjmuję f(x)=
i dziedzinę xϵ[1,∞]
1. Czy f(x)>0? tak, bo x
≥1
2. czy
f(x) jest ciągła? tak, bo funkcje 1,x
2
są ciągłe
3. czy
f(x) jest nierosnąca? tak, bo f(x)=
│
1
A
=
ЄR
całka jest zbieżna więc szereg też jest zbieżny
Zadanie 2 :
Podać twierdzenie Greena. Korzystając z tego twierdzenia obliczyć
gdzie łuk L jest okręgiem zorientowanym ujemnie o równaniu (x-1)
2
+(y+1)
2
=4.
Rozwiązanie:
Twierdzenie Greena:
Jeżeli:
1. Obszar
domknięty DᴄR
2
jest normalny względem obu osi układu.
2. Brzeg L obszaru D jest
łukiem zorientowanym dodatnio.
3. Pole F
=[P,Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na D.
Wówczas
Obliczanie całki:
1. Czy obszar D jest
domknięty i normalny względem obu osi? Tak, jest to koło o r=2.
2.
Aby brzeg L był dodatnio zorientowany: K=-L
3. P
x
=2x+y
– jest to funkcja ciągła
Q
y=
-x-2y
– jest to funkcja ciągła
P
y
=1
Q
x
=-1
2
= 2*(pole koła o promieniu 2) =
2*
π*2
2
= 8
π.
Zadanie 3 :
Podać definicję punktu wyprostowania krzywej. Czy krzywa, dla której dla dowolnego t:ϰ(t)=
ma punkty wyprostowania?
Rozwiązanie :
Punkt wyprostowania krzywej-jest to punkt krzywej L:
=
, dla których krzywizna krzywej ϰ(t) jest
równa 0, gdzie:
ϰ(t)=
ϰ(t)=0
