1. Pùaszczyzna
Wektor
0
,
,
C
B
A
n
,kt
óry jest
wektorem prostopad
ùym do pùaszczyzny
,
nazywamy
wektorem normalnym pùaszczyzny
.
Niech
0
0
0
z
,
y
,
x
M
ustalony punkt na p
ùaszczyênie.
Obieramy dowolny punkt
z
,
y
,
x
P
nale
¿¹cy do pùaszczyzny, wtedy wektor
0
0
0
,
,
z
z
y
y
x
x
MP
jest prostopad
ùy do wektora
n
(symbolicznie:
n
MP
)
mamy zatem:
0
n
MP
czyli
0
0
0
0
C
,
B
,
A
z
z
,
y
y
,
x
x
0
0
0
0
z
z
C
y
y
B
x
x
A
0
0
0
0
Cz
By
Ax
Cz
By
Ax
oznaczaj
¹c
0
0
0
Cz
By
Ax
D
otrzymujemy
równanie ogólne pùaszczyzny
0
D
Cz
By
Ax
K¹t
miêdzy pùaszczyznami
o wektorach normalnych
1
n
,
2
n
obliczamy ze wzoru
|
||
|
|
|
cos
2
1
2
1
n
n
n
n
wektor normalny
p
ùaszczyzny
r
ównanie ogólne
p
ùaszczyzny
k
¹t pomiêdzy
p
ùaszczyznami
C
B
A
n
,
,
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
M
)
,
,
(
z
y
x
P
id3838093 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
2. Prosta
Wektor
0
,
,
c
b
a
u
, kt
óry
jest wektorem r
ównolegùym do prostej
, nazywamy
wektorem kierunkowym prostej
.
Niech
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
M
ustalony punkt na prostej.
Obieramy dowolny punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy
do
prostej,
wtedy
wekt
or
0
0
0
,
,
z
z
y
y
x
x
MP
jest r
ównolegùy do wektora
u
(symbolicznie:
MP
u
)
zatem wektor
MP
mo
¿na przedstawiã w postaci:
MP
u
t
gdzie
t
jest pewn
¹ liczb¹ rzeczywist¹ czyli
c
b
a
t
z
z
y
y
x
x
,
,
,
,
0
0
0
st
¹d
c
t
z
z
b
t
y
y
a
t
x
x
0
0
0
st
¹d otrzymujemy
równania prostej w postaci parametrycznej
c
t
z
z
b
t
y
y
a
t
x
x
0
0
0
,
t
- parametr
Wyliczaj
¹c
parametr
t
z ka
¿dego
r
ównania powy¿szego ukùadu mamy
c
z
z
t
b
y
y
t
a
x
x
t
0
0
0
wektor
kierunkowy
prostej
r
ównania
parametryczne
prostej
c
b
a
u
,
,
)
,
,
(
0
0
0
z
y
x
M
)
,
,
(
z
y
x
P
po przyr
ównaniu prawych stron równañ otrzymujemy
równania kanoniczne prostej
c
z
z
b
y
y
a
x
x
0
0
0
Dwie nier
ównolegùe
p
ùaszczyzny
0
1
1
1
1
D
z
C
y
B
x
A
,
0
2
2
2
2
D
z
C
y
B
x
A
przecinaj
¹ siê wzdùu¿ prostej, której równania mo¿na zapiaã w postaci:
0
0
2
2
2
2
1
1
1
1
D
z
C
y
B
x
A
D
z
C
y
B
x
A
s
¹ to tzw.
równania krawêdziowe prostej
.
K¹t
miêdzy prostymi
o wektorach kierunkowych
1
u
,
2
u
obliczamy ze wzoru:
|
||
|
|
|
cos
2
1
2
1
u
u
u
u
r
ównania
kanoniczne
prostej
r
ównania
kraw
êdziowe
prostej
k
¹t pomiêdzy
prostymi
..........................................................................................
PRZYK£AD 1
Dane s
¹ punkty A
(3,-2,0) i
B
(-5,3,7). Znale
êã równanie pùaszczyzny przechodz¹cej przez punkt
A
i prostopad
ùej do wektora AB
.
Rozwi
¹zanie
Wektor
]
7
,
5
,
8
[
AB
jest wektorem normalnym p
ùaszczyzny, a p
unkt
A
(3,-2,0) nale
¿y do
p
ùaszczyzny.
Obieramy dowolny punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy do pùaszczyzny,
wtedy wektor
7
,
5
,
8
z
y
x
AP
jest prostopad
ùy do wektora AB
mamy zatem:
0
AB
AP
czyli
0
7
,
5
,
8
7
,
5
,
8
z
y
x
0
)
7
(
7
)
5
(
5
)
8
(
8
z
y
x
0
34
7
5
8
z
y
x
Odpowied
ê
R
ównanie pùaszczyzny ma postaã:
0
34
7
5
8
z
y
x
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 2
Znale
êã
równanie
pùaszczyzny
przechodz¹cej
przez
punkt
)
7
,
1
,
4
(
M
i r
ównolegùej do pùaszczyzny
0
1
5
2
3
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
Punkt
)
7
,
1
,
4
(
M
jest ustalonym punktem szukanej p
ùaszczyzny. Poszukujemy wektora
normalnego tej p
ùaszczyzny. Wektor normalny
]
5
,
2
,
3
[
n
podanej w tre
œci zadania pùaszczyzny
jest jednocze
œnie wektorem normalnym szukanej pùaszczyzny.
Obieramy dowolny punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy do szukanej pùaszczyzny, wtedy wektor
7
,
1
,
4
z
y
x
MP
jest prostopad
ùy do wektora
n
mamy zatem:
0
n
MP
czyli
0
5
,
2
,
3
7
,
1
,
4
z
y
x
0
)
7
(
5
)
1
(
2
)
4
(
3
z
y
x
0
49
5
2
3
z
y
x
R
ównanie pùaszczyzny ma postaã:
0
49
5
2
3
z
y
x
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 3
Znale
êã równanie pùaszczyzny przechodz¹cej przez punkt
)
2
,
1
,
3
(
M
i r
ównolegùej do dwóch
wektor
ów:
]
5
,
4
,
2
[
u
,
]
3
,
2
,
1
[
v
.
Rozwi
¹zanie
Punkt
)
2
,
1
,
3
(
M
jest ustalonym punktem p
ùaszczyzny. Szukamy wektora normalnego tej
p
ùaszczyzny. Wektor
]
8
,
11
,
2
[
v
u
jest prostopad
ùy jednoczeœnie do wektora
u
i do wektora
v
,
a wi
êc jest prostopadùy do pùaszczyzny.
Jest wi
êc jej wektorem normalnym.
Obieramy dowolny punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy do pùaszczyzny,
wtedy wektor
2
,
1
,
3
z
y
x
MP
jest prostopad
ùy do wektora
v
u
st
¹d
mamy
0
)
(
v
u
MP
czyli
0
8
,
11
,
2
2
,
1
,
3
z
y
x
0
)
2
(
8
)
1
(
11
)
3
(
2
z
y
x
0
11
8
11
2
z
y
x
R
ównanie pùaszczyzny ma postaã:
0
11
8
11
2
z
y
x
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 4
Znale
êã równanie pùaszczyzny przechodz¹cej przez dwa punkty
)
1
,
3
,
0
(
A
,
)
5
,
2
,
3
(
B
i r
ównolegùej
do wektora:
]
1
,
3
,
2
[
u
.
Rozwi
¹zanie
Ustalonym punktem p
ùaszczyzny jest np. punkt
)
1
,
3
,
0
(
A
. Szukamy wektora normalnego tej
p
ùaszczyzny. Wektor
]
19
,
5
,
17
[
AB
u
jest prostopad
ùy jednoczeœnie do wektora
u
i do wektora
]
4
,
5
,
3
[
AB
, a wi
êc jest prostopadùy do pùaszczyzny. Jest wiêc jej wektorem normalnym.
Obieramy dowolny punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy do pùaszczyzny, wtedy wektor
1
,
3
,
z
y
x
AP
jest
prostopad
ùy do wektora
AB
u
st
¹d mamy
0
)
(
AB
u
AP
czyli
0
19
,
5
,
17
1
,
3
,
z
y
x
0
)
1
(
19
)
3
(
5
17
z
y
x
0
34
19
5
17
z
y
x
R
ównanie pùaszczyzny ma postaã:
0
34
19
5
17
z
y
x
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 5
Znale
êã równanie pùaszczyzny przechodz¹cej przez punkt
)
3
,
1
,
2
(
M
i prostopad
ùej do pùaszczyzn
0
2
3
4
z
y
x
,
0
4
2
3
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
Punkt
)
3
,
1
,
2
(
M
jest ustalonym punktem p
ùaszczyzny. Poszukujemy wektora
normalnego tej
p
ùaszczyzny. Wektory normalne danych pùaszczyzn to:
]
3
,
1
,
4
[
1
n
,
]
1
,
2
,
3
[
2
n
. Szukamy
p
ùaszczyzny prostopadùej do danych pùaszczyzn
, a wi
êc równolegùej do ich wektorów normalnych.
Zadanie sprowadza si
ê wiêc do
problemu rozwi
¹zanego w Przykùadzie 3.
Wektor
]
11
,
13
,
5
[
2
1
n
n
jest prostopad
ùy jednoczeœnie do wektora
1
n
i do wektora
2
n
a wi
êc
jest prostopad
ùy do szukanej pùaszczyzny. Jest wiêc jej wektorem normalnym. Obiera
my dowolny
punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy do szukanej pùaszczyzny,
wtedy wektor
3
,
1
,
2
z
y
x
MP
jest
prostopad
ùy do wektora
2
1
n
n
st
¹d mamy
0
)
(
2
1
n
n
MP
czyli
0
11
,
13
,
5
3
,
1
,
2
z
y
x
0
)
3
(
11
)
1
(
13
)
2
(
5
z
y
x
0
10
11
13
5
z
y
x
R
ównanie szukanej pùaszczyzny ma postaã:
0
10
11
13
5
z
y
x
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 6
Znale
êã równanie pùaszczyzny przechodz¹cej przez trzy punkty
)
2
,
3
,
1
(
A
,
)
1
,
2
,
5
(
B
,
)
2
,
1
,
4
(
C
.
Rozwi
¹zanie
Ustalonym punktem p
ùaszczyzny jest np. punkt
)
2
,
3
,
1
(
A
. Maj
¹c trzy punkty na pùaszczyênie
mo
¿emy utworzyã dwa wektory AB
,
AC
le
¿¹ce na pùaszczyênie a wiêc równolegùe do niej.
Zadanie sprowadza si
ê wiêc do problemu rozwi¹zanego w Przykùadzie 3.
Szukamy wektora normalnego p
ùaszczyzny. Wektor
]
27
,
3
,
4
[
AC
AB
jest prostopad
ùy
jednocze
œnie do wektora AB
i do wektora
AC
a wi
êc jest prostopadùy do pùaszczyzny. Jest wiêc
jej wektorem normalnym. Obieramy dowolny punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy do pùaszczyzny, wtedy
wektor
2
,
3
,
1
z
y
x
AP
jest prostopad
ùy do wektora
AC
AB
st
¹d mamy
0
)
(
AC
AB
AP
czyli
0
]
27
,
3
,
4
[
2
,
3
,
1
z
y
x
0
)
2
(
27
)
3
(
3
)
1
(
4
z
y
x
0
41
27
3
4
z
y
x
R
ównanie pùaszczyzny ma postaã:
0
41
27
3
4
z
y
x
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 7
Obliczy
ã k¹t pomiêdzy pùaszczyznami
0
11
3
4
z
y
x
,
0
4
2
3
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
Wektor normalny pierwszej p
ùaszczyzny
to
]
1
,
3
,
4
[
1
n
, wektor normalny drugiej p
ùaszczyzny
to
]
2
,
3
,
1
[
2
n
. St
¹d
11
2
1
n
n
26
|
|
1
n
14
|
|
2
n
Oznaczmy k
¹t pomiêdzy pùaszczyznami przez
wtedy
91
2
11
14
26
|
11
|
cos
Zatem
91
2
11
cos
,
gdzie
to k
¹t pomiêdzy pùaszczyznami.
..........................................................................................
PRZYK£AD 8
Poda
ã równania kanoniczne i parametryczne prostej przechodz¹cej przez punkt
)
2
,
1
,
3
(
M
i r
ównolegù
ej do wektora
]
2
,
5
,
4
[
u
.
Rozwi
¹zanie
R
ównania kanoniczne prostej:
2
2
5
1
4
3
z
y
x
.
R
ównania parametryczne prostej:
t
z
t
y
t
x
2
2
5
1
4
3
,
t
- parametr.
..........................................................................................
PRZYK£AD 9
Znale
êã równania kanoniczne i parametryczne prostej przechodz¹cej przez dwa punkty
)
3
,
2
,
6
(
A
,
)
1
,
2
,
3
(
B
.
Rozwi
¹zanie
Wektor
]
4
,
0
,
3
[
AB
jest wektorem le
¿¹cym na prostej (jes
t wi
êc równolegùy do niej). Jest zatem
jej wektorem kierunkowym. Ustalonym punktem prostej niech b
êdzie punkt
)
3
,
2
,
6
(
A
.
R
ównania kanoniczne prostej
4
3
0
2
3
6
z
y
x
.
UWAGA.
W r
ównaniach kanonicznych prostej mo¿na umieœciã zero w mian
owniku. Nie oznacza to
dzielenia przez zero, informuje jedynie o tym,
¿e drug¹ skùadow¹ wektora kierunkowego jest zero.
R
ównania parametryczne prostej:
t
z
y
t
x
4
3
2
3
6
,
t
- parametr.
..........................................................................................
PRZYK£AD 10
Prost
¹ w
postaci
krawêdziowej
0
2
2
3
0
3
5
3
z
y
x
z
y
x
przedstawi
ã
w postaci kanonicznej
i parametrycznej.
Rozwi
¹zanie
Sposób I
Rozwi
¹¿emy ukùad równañ
2
2
3
3
5
3
z
y
x
z
y
x
.
Skoro te p
ùaszczyzn
y maj
¹ przecinaã siê wzdùu¿ prostej, to w rozwi¹zaniu powinien wyst¹piã
jeden parametr zgodnie z og
óln¹ postaci¹ równañ parametrycznych prostej.
Macierz rozszerzona
uk
ùadu ma postaã
2
2
1
3
3
5
3
1
.
1
2
3w
w
7
13
8
0
3
5
3
1
7
13
8
3
5
3
z
y
z
y
x
8
7
8
13
3
5
3
z
y
z
y
x
8
7
8
13
3
5
)
8
7
8
13
(
3
z
y
z
z
x
8
7
8
13
3
5
8
21
8
39
z
y
z
z
x
8
7
8
13
8
21
3
8
39
5
z
y
z
z
x
8
7
8
13
8
3
8
1
z
y
z
x
z jest parametrem. Oznaczmy
t
z
.
Mamy r
ównania parametryczne prostej
t
z
t
y
t
x
8
7
8
13
8
3
8
1
gdzie
t
- parametr.
Z r
ównañ parametrycznych odczytujemy wektor kierunkowy
]
1
,
8
13
,
8
1
[
u
prostej oraz ustalony
punkt
)
0
,
8
7
,
8
3
(
M
tej prostej.
Podajemy r
ównania kanoniczne
prostej:
1
8
13
8
7
8
1
8
3
z
y
x
.
Mo
¿na
podaã
równania
kanoniczne
i
parametryczne
prostej
bez
u
ùamków.
Z postaci parametrycznej wyznaczmy inny punkt prostej. Gdy
3
t
otrzymujemy
3
4
0
z
y
x
Mamy zatem punkt o wsp
óùrzêdnych
)
3
,
4
,
0
(
nale
¿¹cy do prostej.
Wektorem kierunkowym tej prostej jest ka
¿dy niezerowy wektor równolegùy do wektora
]
1
,
8
13
,
8
1
[
u
, a wi
êc np.
]
8
,
13
,
1
[
.
Podajemy r
ównania parametryczne
t
z
t
y
t
x
8
3
13
4
,
t
- parametr.
Podajemy r
ównania kanoniczne prostej:
8
3
13
4
1
z
y
x
.
Wida
ã, ¿e równania te ró¿ni¹ siê od wczeœniej podanych ale mimo to opisuj¹ t¹ sam¹ prost¹.
Sposób II
Maj
¹c równania pùaszczyzn
0
3
5
3
z
y
x
i
0
2
2
3
z
y
x
znamy wektory normalne tych
p
ùaszczyzn
5
3
1
1
,
,
n
(wektor normalny pierwszej p
ùaszczyzny) i
2
1
3
2
,
,
n
(wektor normalny
drugiej p
ùaszczyzny)
, do kt
órych jest prostopadùy wektor kierunkowy szukanej prostej, tj.
8
13
1
2
1
3
5
3
1
2
1
,
,
k
j
i
n
n
u
Z wcze
œniejszych obliczeñ wiemy, ¿e punkt
)
3
,
4
,
0
(
nale
¿y do prostej. St¹d mamy
r
ównania
parametryczne szukanej prostej :
t
z
t
y
t
x
8
3
13
4
, (
t
- parametr) oraz r
ównania kanoniczne
8
3
13
4
1
z
y
x
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 11
Poda
ã 5 punktów nale¿¹cych do prostej
2
1
1
3
4
2
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
Z r
ównañ
parametrycznych
prostej
wynika,
¿e
ka¿dy
punkt
prostej
ma
postaã:
)
2
1
,
3
,
4
2
(
t
t
t
gdzie
R
t
:
dla
0
t
otrzymujemy punkt prostej
)
1
,
3
,
2
(
,
dla
1
t
otrzymujemy punkt prostej
)
1
,
2
,
6
(
,
dla
2
t
otrzymujemy punkt prostej
)
3
,
1
,
10
(
,
dla
1
t
otrzymujemy punkt prostej
)
3
,
4
,
2
(
,
dla
2
t
otrzymujemy punkt prostej
)
5
,
5
,
6
(
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 12
Znale
êã punkt przebicia pùaszczyzny
0
4
4
3
z
y
x
prost
¹
4
2
2
3
3
1
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
Dla u
ùatwienia rachunków prost¹ przedstawiamy w postaci parametrycznej
t
z
t
y
t
x
4
2
2
3
3
1
,
t
- parametr
i rozwi
¹
zujemy uk
ùad równañ:
t
z
t
y
t
x
z
y
x
4
2
2
3
3
1
0
4
4
3
t
z
t
y
t
x
t
t
t
4
2
2
3
3
1
0
4
4
2
)
2
3
(
4
)
3
1
(
3
t
z
t
y
t
x
t
4
2
2
3
3
1
1
2
1
2
1
z
y
x
t
.
St
¹d p
unkt
)
2
,
1
,
2
(
jest punktem wsp
ólnym prostej i pùaszczyzny (punktem przebicia
p
ùaszczyzny prost¹)
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 13
Znale
êã rzut
prostok
¹tny
punktu
)
4
,
0
,
7
(
M
na prost
¹
2
5
3
1
2
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
W podanym zadaniu chodzi o rzut prostok
¹tny
dlatego pomocniczo wyznaczymy r
ównanie
p
ùaszczyzny
prostopad
ùej
do danej prostej przechodz
¹cej przez punkt
M
. Punkt wsp
ólny
pomocniczej p
ùaszczyzny i danej prostej jest szukanym rzutem punktu
M
na dan
¹
prost
¹.
Wektor
kierunkowy prostej
]
2
,
3
,
1
[
u
b
êdzie wektorem normalnym pomocniczej pùaszczyzny
, a punkt
)
4
,
0
,
7
(
M
nale
¿y do pomocniczej pùaszczyzny.
Obieramy dowolny punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy do pomocniczej pùaszczyzny,
wtedy wektor
4
,
,
7
z
y
x
MP
jest prostopad
ùy do wektora normalnego
]
2
,
3
,
1
[
u
p
ùaszczyzny.
Mamy
zatem
0
u
MP
czyli
0
2
,
3
,
1
4
,
,
7
z
y
x
0
)
4
(
2
3
7
z
y
x
0
1
2
3
z
y
x
- r
ównanie p
omocniczej
p
ùaszczyzny
Punkt wsp
ólny
pomocniczej p
ùaszczyzny i danej prostej
wyznaczymy podobnie jak w Przyk
ùadzie
12.
Prost
¹ przedstawiamy w postaci parametrycznej:
t
z
t
y
t
x
2
5
3
1
2
,
t
- parametr
i rozwi
¹zujemy ukùad równañ:
t
z
t
y
t
x
z
y
x
2
5
3
1
2
0
1
2
3
3
2
1
1
z
y
x
t
.
Stad punkt
)
3
,
2
,
1
(
jest rzutem punktu
M
na prost
¹
2
5
3
1
2
z
y
x
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 14
Znale
êã odlegùoœã punktu
)
1
,
2
,
4
(
M
od prostej
3
3
2
4
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
Wyznaczymy rzut punktu
)
1
,
2
,
4
(
M
na prost
¹
3
3
2
4
z
y
x
. Otrzymany punkt oznaczmy
przez
A
. Obliczymy d
ùugoœã odcinka AM
. Otrzymana liczba jest odleg
ùoœci¹ punktu
)
1
,
2
,
4
(
M
od
prostej
3
3
2
4
z
y
x
.
Punkt
A
czyli rzut punktu
M
na prost
¹ wyznaczymy w taki sam sposób jak w przykùadzie 13.
Pomocniczo wyznaczymy r
ównanie pùaszczyzny prostopadùej do danej prostej przechodz¹cej
przez punkt
M
.
Wektor kierunkowy prostej
]
1
,
3
,
2
[
u
b
êdzie wektorem nor
malnym pomocniczej p
ùaszczyzny, a
punkt
)
1
,
2
,
4
(
M
nale
¿y do pomocniczej pùaszczyzny.
Obieramy dowolny punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy do pomocniczej pùaszczyzny,
wtedy wektor
1
,
2
,
4
z
y
x
MP
jest prostopad
ùy do wektora normalnego
]
1
,
3
,
2
[
u
p
ùaszczyzny.
Mamy
zatem
0
u
MP
czyli
0
]
1
,
3
,
2
[
1
,
2
,
4
z
y
x
0
1
)
2
(
3
)
4
(
2
z
y
x
0
3
3
2
z
y
x
- r
ównanie pomocniczej
p
ùaszczyzny
Punkt wsp
ólny pomocniczej pùaszczyzny i danej prostej jest szukanym punktem
A
czyli rzutem
punktu
M
na prost
¹
3
3
2
4
z
y
x
. Punkt wsp
ólny wyznaczymy podobnie jak w przykùadzie
12. Prost
¹ przedstawiamy w postaci parametrycznej:
t
z
t
y
t
x
3
3
2
4
,
t
- parametr
i rozwi
¹zujemy ukùad równañ:
t
z
t
y
t
x
z
y
x
3
3
2
4
0
3
3
2
2
3
2
1
z
y
x
t
St
¹d
)
2
,
3
,
2
(
A
jest rzutem punktu
M
na prost
¹.
Obliczamy d
ùugoœã odcinka
AM
70
9
25
36
)
2
1
(
)
3
2
(
)
2
4
(
|
|
2
2
2
AM
Ostatecznie odleg
ùoœã punktu
M
od prostej wynosi
70
.
..........................................................................................
RZYK£AD 15
Znale
êã
punkt
symetryczny
do
punktu
)
0
,
1
,
2
(
M
wzgl
êdem
prostej
2
1
2
2
3
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
Aby wyznaczy
ã punkt symetryczny do punktu
M
wzgl
êdem prostej najpierw
wyznaczymy rzut punktu
M
na prost
¹. Otrzymany punkt oznaczymy
przez
A
.
Nast
êpnie punkt A
przesuniemy o wektor
MA
. Otrzymany punkt b
êdzie
symetryczny
do punktu
)
0
,
1
,
2
(
M
wzgl
êdem danej prostej.
Aby wyznaczy
ã p
unkt
A
czyli rzut
punktu
M
na prost
¹ postêpujemy tak jak w przykùadzie 13.
Pomocniczo
wyznaczamy r
ównanie pùaszczyzny
prostopad
ùej do danej prostej przechodz¹cej
przez punkt
M
. Po prostych obliczeniach otrzymujemy r
ównanie pomocniczej
p
ùaszczyzny w postaci:
0
3
2
2
z
y
x
. Punkt wsp
ólny pomocniczej pùaszczyzny
i danej prostej, czyli rzut punktu
M
na prost
¹
, ma wsp
óùrzêdne
)
1
,
3
,
1
(
A
.Punkt
A
przesuwamy o wektor
]
1
,
4
,
3
[
MA
i otrzymujemy punkt o wsp
óùrzêdnych
)
2
,
7
,
4
(
jest to punkt symetryczny do punktu
M
wzgl
êdem prostej.
Ostatecznie punkt symetryczny do punktu
M
wzgl
êdem prostej to punkt
)
2
,
7
,
4
(
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 16
Znale
êã
rzut prostok
¹tny
punktu
)
2
,
3
,
6
(
M
na p
ùaszczyznê
0
6
3
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
Pomocniczo wyznaczymy r
ównanie prostej
prostopad
ùej
do danej p
ùaszczyzny
przechodz
¹cej przez punkt
M
. Punkt wsp
ólny pomocniczej
prostej i danej
p
ùaszczyzny jest szukanym rzutem punktu
M
na dan
¹
p
ùaszczyznê.
Wektor
normalny
p
ùaszczyzny
]
1
,
3
,
1
[
n
b
êdzie
wektorem
kierunkowym
pomocniczej prostej, a punkt
)
2
,
3
,
6
(
M
nale
¿y do pomocniczej
prostej.
Mamy zatem r
ównania parametryczn
e pomocniczej prostej w postaci
t
z
t
y
t
x
2
3
3
6
,
t
- parametr.
Aby wyznaczy
ã punkt wspólny pomocniczej prostej i danej pùas
zczyzny rozwi
¹¿emy
uk
ùad równañ
t
z
t
y
t
x
z
y
x
2
3
3
6
0
6
3
zatem
1
0
7
1
z
y
x
t
.
Ostatecznie rzutem punktu
M
na p
ùaszczyznê jest punkt
)
1
,
0
,
7
(
.
..........................................................................................
PRZYK£AD 17
Znale
êã
rzut
prostok
¹tn
y
prostej
2
3
1
4
2
z
y
x
na
p
ùaszczyznê
0
3
2
7
z
y
x
.
Rozwi
¹zanie
Rzutem prostej na p
ùaszczyznê jest prosta, któr¹ podamy w postaci krawêdziowej
jako przeci
êcie danej pùaszczyzny oraz pomocniczej pùaszczyzny prostopadùej do
danej p
ùasz
czyzny i zawieraj
¹cej dan¹ prost¹.
Punkt prostej
)
0
,
1
,
2
(
nale
¿y równie¿
do pomocniczej p
ùaszczyzny.
Aby wyznaczy
ã równanie pomocniczej pùaszczyzny
potrzebujemy jeszcze jej wektora normalnego.
Mamy wektor kierunkowy prostej
]
2
,
3
,
4
[
u
oraz wektor normalny p
ùaszczyzny
]
3
,
2
,
1
,
7
[
n
. Wektor
]
17
,
6
,
4
[
n
u
jest wektorem normalnym pomocniczej
p
ùaszczyzny.
Obieramy
dowolny
punkt
)
,
,
(
z
y
x
P
nale
¿¹cy
do
pomocniczej
p
ùaszczyzny,
wtedy wektor
z
y
x
MP
,
1
,
2
jest prostopad
ùy do wektora
normalnego
]
17
,
6
,
4
[
n
u
pomocniczej p
ùaszczyzny.
Mamy zatem:
0
)
(
n
u
MP
czyli
0
]
17
,
6
,
4
[
,
1
,
2
z
y
x
0
17
)
1
(
6
)
2
(
4
z
y
x
0
2
17
6
4
z
y
x
0
2
17
6
4
z
y
x
- r
ównanie pomocniczej
p
ùaszczyzny
Otrzymujemy prost
¹ w postaci krawêdziowej
0
2
17
6
4
0
3
2
7
z
y
x
z
y
x
, kt
óra jest
szukanym rzutem prostej na p
ùaszczyznê.
..........................................................................................