METODY OBLICZENIOWE 

 

Równania różniczkowe zwyczajne 

 
 
 
 

Ścisłe rozwiązywanie równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych 

 
dsolve

 (równania_ warunki, funkcje) 

 
 
 

Przybliżone rozwiązywanie równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych 

 
dsolve

 (równania_ warunki, funkcje, opcje) 

 
 
 
Oznaczenia: 

 

równania

_ warunki – zbiór lub lista równań i warunków początkowych lub brzegowych. 

                 Uwaga: Warunki na pochodne podaje się za pomocą operatora D np. D(y)(0)=1. 

funkcje

 – zbiór lub lista funkcji, ze względu na które rozwiązujemy równania, np. 

{y(x),z(x)}

. 

 
opcje

: series – przybliżone rozwiązanie zagadnienia początkowego w formie szeregu 

potęgowego. 

           numeric – numeryczne rozwiązanie zagadnienia początkowego lub brzegowego. 
             

Uwaga: W przypadku użycia opcji numeric jest możliwość wyboru metody rozwią-

zania poprzez podanie kolejnego parametru: method = nazwa_metody. 
Inaczej do rozwiązywania zastaną użyte metody domyślne np. dla zagadnienia 
początkowego metoda Rungego-Kutty-Fehlberga 4 rzędu. 

W przypadku opcji numeric komenda dsolve zwraca procedurę.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

 
 

Zadania  

 

1.  

a)  Rozwiązać równanie różniczkowe 

( )

( )

( )

sin( )

a y x

b y x

c y x

x

′′

′

⋅

+ ⋅

+ ⋅

=

, gdzie symbole 

a

, b, c, oznaczają pewne stałe. Przyjąć następujące warunki początkowe: 

(0)

0,

(0) 1

y

y

′

=

= .  

b)  Przyjmując wartości stałych 

1,

2,

100

a

b

c

=

=

=

 wyznaczyć rozwiązanie w punkcie   

x

 = 1. 

c)  Wykreślić rozwiązanie równania w przedziale 

[0,15]

x

∈

 dla stałych przyjętych jak w 

punkcie b). 

 
2.  

a)  Znaleźć ścisłe rozwiązanie równania różniczkowego 

( )

( )

( )

0

y x

y x

y x

′′

′

+

+

=  z 

warunkami brzegowymi  (0) 1,

(5)

0

y

y

′

=

= . 

b)  Sprawdzić czy otrzymane rozwiązanie spełnia warunki brzegowe. 

c)  Wykreślić otrzymane rozwiązanie w przedziale 

[0, 5]

x

∈

. 

 
3.  

a)   Znaleźć przybliżone rozwiązanie poniższego układu równań różniczkowych w formie 

szeregu potęgowego 

 

( )

( )

( )

,

(1)

1, (1)

2

( ) ( )

( )

y x

y x

u x

y

u

u x y x

u x

x

′

= −

+





= −

=



′

= −



 

b)  Wykorzystując rozwiązanie uzyskane w punkcie a) wyznaczyć y(2) i u(2).  

c)  Rozwiązać ponownie zadanie z punktu a) zwiększając dokładność poprzez zmianę 

wartości zmiennej systemowej Order na 15 (Order:=15).  

 
4.   Znaleźć numeryczne rozwiązanie zadania z punktu 3a) dla x = 2. Użyć domyślnej metody 

stosowanej przez program oraz metody szeregów Taylora (method=taylorseries).  

 
5. Wykreślić rozwiązania otrzymane za pomocą wybranej z metod z zadania 4 w 

przedziale

[1, 7]

x

∈

. Wykorzystać komendę odeplot z pakietu plots.