1
Wyznaczanie stałej tensometru
Tensometry służą głównie do pomiaru naprężeń, które poprzez moduł Younga mogą zostać
przeliczone na odkształcenia, a następnie na szukaną wartość nieznanej wielkości
oddziałującej na badany obiekt w oparciu o jego dane geometryczne.
W budowie tensometrów wykorzystywane jest zjawisko zmiany rezystancji przewodnika.
Rys. 1 Tensometr foliowy
Mostki tensometryczne
Rys. 2 Pełny i pół mostek tensometryczny
Dla uproszczenia załóżmy, że tensometry w układzie pełnego mostka są zasilane ze źródła
in
U
o zerowej rezystancji wewnętrznej a wyjście
out
U
jest nieobciążone dzięki połączeniu
ze wzmacniaczem o nieskończenie wielkiej rezystancji. Mamy wtedy
)
)(
(
4
3
2
1
3
2
4
1
T
T
T
T
T
T
T
T
in
out
R
R
R
R
R
R
R
R
U
U
+
+
−
=
W wyniku pojawienia się odkształcenia występuje przyrost temperatury
4
...,
,
1
,
=
Δ
+
⇒
i
R
R
R
Ti
Ti
Ti
Stąd
)
)(
(
)
)(
(
...
)
)(
(
...
...
)
)(
(
)
)(
(
...
)
)((
(
4
4
2
2
4
4
1
1
3
3
2
2
3
3
2
2
3
3
1
1
4
4
1
1
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
in
iout
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
U
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
2
Po łatwych przekształceniach otrzymujemy
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ
+
Δ
+
Δ
+
Δ
+
−
−
+
=
Δ
4
4
2
2
3
3
1
1
3
2
4
1
2
4
)
(
T
T
T
T
T
T
T
T
R
R
R
R
in
out
R
R
R
R
R
R
R
R
U
U
ε
ε
ε
ε
Przyjmuje się, że
2
4
4
2
2
3
3
1
1
<<
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Δ
+
Δ
+
Δ
+
Δ
T
T
T
T
T
T
T
T
R
R
R
R
R
R
R
R
skąd otrzymjemy
)
(
4
1
3
2
4
1
R
R
R
R
in
out
U
U
ε
ε
ε
ε
−
−
+
=
Δ
Wyznaczenie stałej tensometru
l
R
k
ε
ε
=
Musimy wyznaczyć względne odkształcenia:
l
l
l
Δ
ε
=
oraz
R
R
R
Δ
=
ε
Odkształcenie
l
l
l
Δ
ε
=
wyznaczamy używając wzorcowanej belki stalowej o danych jak na
poniższym rysunku.
3
Z zależności geometrycznych możemy napisać:
L
l
b
b
l
=
0
więc
L
l
b
b
l
0
=
Odkształcenie
ε
jest ilorazem, w zakresie odkształceń sprężystych, naprężenia
σ
i modułu
Young’a E (tzw. moduł sprężystości liniowej)
E
l
σ
ε
=
naprężenie
σ jest ilorazem momentu
g
M
gnącego i wskaźnika wytrzymałości
g
W
g
g
W
M
=
δ
g
W
oraz
g
M
dla belki z rysunku wynoszą
6
2
h
b
W
l
g
=
,
Fl
M
g
=
a więc
2
0
2
2
6
6
6
h
Eb
FL
h
Eb
Fl
h
b
E
Fl
l
l
l
=
⋅
=
=
ε
gdzie
2
2
5
2
11
2
7
21
10
1
.
2
10
1
.
2
10
1
.
2
mm
ton
mm
N
m
N
mm
G
E
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
Odkształcenie
l
ε
przenosi się na tensometry
1
T
R
i
2
T
R
, które są naklejone na belkę za
pomocą specjalnego kleju tensometrycznego np. X60 albo Z70 firmy HBM Hottinger
Baldwin Messtechnik, przenoszącego odkształcenie belki (bazy) na tensometry.
Metoda zerowa
Odkształcenie
R
R
R
Δ
=
ε
metodą zerową wyznaczamy korzystając z mostka prądu stałego
wraz z belką z powyższego rysunku z naklejonymi na nią dwoma tensometrami. Układ
pomiarowy obrazuje rysunek
4
Układ do wyznaczenia
R
ε
tensometrów
Wstępnie zrównoważony za pomocą rezystorów
1
b
R i
2
b
R mostek rozrównoważamy po
zadziałaniu na belkę znaną siłą F, występującą w uprzednio wyznaczonej zależności na
l
ε
i równoważymy ponownie regulując np. rezystancję
2
b
R
na
'
2
b
R
. Zadziałanie siły F
spowoduje, że tensometr naklejony na górnej powierzchni belki wzrośnie o
Δ a naklejony na
dolnej zmaleje o
Δ .
Dla ponownie zrównoważonego mostka mamy:
)
(
)
(
'
2
'
2
1
1
Δ
Δ
+
+
=
−
+
T
p
b
p
b
T
p
b
p
b
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
i
Δ
Δ
−
+
=
+
+
T
T
p
b
p
b
p
b
p
b
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
)
(
)
(
1
'
2
'
2
1
a po uproszczeniu
p
R
Δ
Δ
−
+
=
+
+
T
T
p
b
b
p
b
b
R
R
R
R
R
R
R
R
)
(
)
(
1
'
2
'
2
1
Po wymnożeniu stronami otrzymujemy
)
2
(
)
(
1
'
2
'
2
1
'
2
1
p
b
p
b
b
b
p
b
p
b
T
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
+
=
−
Δ
i szukaną wartość
T
R
R
Δ
ε
=
w postaci
5
)
(
2
'
2
1
'
2
1
'
2
1
b
b
p
b
b
b
b
p
T
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
−
+
−
=
=
Δ
ε
Dzieląc wyznaczone
R
ε przez
l
ε
otrzymujemy szukaną stałą tensometru.
Metoda wychyłowa
Oznaczmy przez:
g
R
- rezystancję galwanometru
1
R
- wypadkową rezystancję w 1 gałęzi mostka
p
b
p
b
R
R
R
R
R
+
=
1
1
1
2
R
- wypadkową rezystancję w 2 gałęzi mostka
p
b
p
b
R
R
R
R
R
+
=
2
2
2
oraz załóżmy zerową rezystancję źródła zasilania mostka.
Niech, dla tych oznaczeń, gdy
0
≠
Δ
zachodzi
Δ
+
=
T
R
R
3
Δ
−
=
T
R
R
4
i wtedy przez galwanometr popłynie prąd
g
I , który z zasady Thevenina wynosi
z
g
g
R
R
U
I
+
=
0
gdzie
)
(
4
3
3
2
1
1
0
R
R
R
R
R
R
U
U
+
−
+
=
4
3
4
3
2
1
2
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
z
+
+
+
=
Wstawiając powyższe do wzoru na prąd
g
I
oraz uwzględniają, że
T
R
R
R
2
4
3
=
+
2
2
4
3
Δ
−
=
T
R
R
R
otrzymujemy
6
)
2
)(
(
2
)
)(
(
2
[
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
T
T
g
T
T
T
g
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
I
Δ
Δ
−
+
+
+
+
+
+
−
=
czyli
)
)(
(
2
)
(
2
)
(
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Δ
Δ
−
+
+
+
+
+
−
−
=
T
T
g
T
T
T
g
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
I
Zakładając w ostatnim równaniu
2
2
T
R
<<
Δ
oraz mnożąc go przez
T
T
R
R otrzymujemy
ostatecznie
)
(
2
)
(
2
)
(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
I
T
g
T
g
+
+
+
+
+
−
−
=
Δ
Wyznaczenia
R
ε
dokonujemy w dwóch krokach.
1. Wstępnie rozrównoważamy mostek oporem
b
R
2
na
'
2b
R
uzyskując opór wypadkowy tej
gałęzi wynoszący
'
2
R
Dla
0
=
F
i
0
=
Δ
prąd galwanometru i jego wychylenie wynosi teraz
)
(
2
)
(
2
'
2
1
'
2
1
'
2
1
'
2
1
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
I
T
g
g
g
+
+
+
+
−
=
=
α
2. Dla ustalonej wartości
'
2
R zadajemy znaną siłę
F co powoduje powstanie
0
>
Δ
i nowy
prąd równy
)
(
2
)
(
2
)
(
'
2
1
'
2
1
'
2
1
'
2
1
'
2
1
2
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
I
T
g
T
g
g
+
+
+
+
+
−
−
=
=
Δ
α
Dzieląc przez siebie ostatnie dwa równania otrzymujemy
)
(
'
2
1
'
2
1
'
2
1
2
1
R
R
R
R
R
R
R
T
g
g
+
−
−
−
=
Δ
α
α
7
skąd
)
1
(
1
2
'
2
1
'
2
1
g
g
T
R
R
R
R
R
R
α
α
Δ
ε
−
+
−
=
=
Uwzględniając poprzednie założenia na
1
R
i
'
2
R mamy
)
(
2
'
2
1
'
2
1
'
2
1
'
2
'
2
1
1
'
2
'
2
1
1
'
2
1
'
2
1
b
b
p
b
b
b
b
p
b
p
b
p
b
p
b
p
b
p
b
p
b
p
b
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
+
−
=
+
+
+
+
−
+
=
+
−
więc ostatecznie
)
1
(
)
(
2
1
2
'
2
1
'
2
1
'
2
1
g
g
b
b
p
b
b
b
b
R
R
R
R
R
R
R
R
α
α
ε
−
+
+
−
=