Egzamin z MPiS 25.06.2010 godz. 10:00 

Część zadaniowa 

Zadanie 1 (4p) Kanałem łączności nadaje się tylko 3 rodzaje ciągów liter: AAA, BBB, CCC 
odpowiednio  z  prawdopodobieństwami  0.5,  0.25,  0.25.  Litery  te  (sygnały)  podlegają 
niezależnie losowym zakłóceniom (przekłamaniom) w rezultacie czego np. litera B może być 
odebrana  jako  A.  Prawdopodobieństwo  poprawnego  przesłania  albo  przekłamania  liter 
przedstawiono na rys.1 

 

rys.1 

Obliczyć:  a)  (2p)  prawdopodobieństwo  odebrania  na  wyjściu  kanału  ciągu  ABB,  b)  (2p) 
prawdopodobieństwo, że odebrany ciąg ABB został nadany jako AAA. 
 
Zadanie 2 (11p) Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości  

( )

cos   dla  

[

/ 2,

/ 2]

0           dla  

[

/ 2,

/ 2]

C

x

x

p x

x

π

π

π

π

∈ −



=



∉ −



 

Obliczyć: a) (1p) stałą C, b) (2p) wartość przeciętna, c) (2p) medianę, d) (2p) wariancję, e) 
(2p) dystrybuantę, f) (2p) P(X<0) 

Zadanie 3 (5p) Dwuwymiarowy wektor losowy  

X

Z

Y

 

=

 

 

u

r

 ma rozkład prawdopodobieństwa 

łącznego dany tabelą: 

P(X=i,Y=j) 

X=i 

-1 

0 

1 

 
Y=j 

-1 

1/3 

0 

0 

0 

0 

1/3 

0 

1 

0 

0 

1/3 

Oblicz:  a)  (2p)  Dystrybuantę  łączną  WL  Z

u

r

;  b)  (2p)  Współczynnik  korelacji  (unormowany 

współczynnik kowariancji) ZL X i Y, c) (1p) Sprawdź, czy ZL X i Y są zależne statystycznie. 

 

Część teoretyczna (na oddzielnych kartkach!!!) 

 
1.

 

Udowodnij twierdzenie o prawdopodobieństwie zupełnym dla zdarzeń losowych. (5p) 

2.

 

Podaj definicję niezależności dwóch zmiennych losowych. (3p) 

3.

 

Podaj częstościową definicję prawdopodobieństwa. (2p) 

4.

 

Podaj  definicję  i  rozpisz  na  elementy  macierz  korelacji  trójwymiarowego  wektora 

losowego. (5p) 
5.

 

Wymień i opisz właściwości estymatorów. (5p)