Algebra z geometrią
Wyznacznik macierzy
3.01.2011
Wyznacznik macierzy 2
× 2
A
=
"
a
b
c
d
#
A
−
1
=
1
ad
− bc
"
d
−b
−c
a
#
Liczbę ad
− bc nazywamy wyznacznikiem macierzy.
det A
=
a
b
c
d
= ad − bc
Właściwości wyznacznika
1
Wyznacznik macierzy identycznościowej o wymiarach n
× n
jest równy 1.
2
Wyznacznik zmienia znak po zamianie dwóch wierszy.
3
Wyznacznik jest liniową funkcją każdego wiersza oddzielnie.
4
Jeśli dwa wiersze macierzy A są sobie równe wtedy det A
= 0.
5
Odjęcie wielokrotności jednego wiersza od innego nie zmienia
wartości wyznacznika.
6
Macierz, która posiada wiersz zawierający same zera ma
wyznacznik 0.
7
Jeśli A jest macierzą trójkątną wtedy det A
= a
11
a
22
. . .
a
nn
wyznacznik jest iloczynem elementów diagonalnych.
8
Jeśli macierz A jest osobiliwa wtedy det A
= 0. Jeśli jest
odwracalna wtedy det A
6= 0.
9
Wyznacznikiem macierzy AB jest
|AB| = |A||B|.
10
Macierz A
T
ma taki sam wyznacznik jak A.
Zadanie 1
Macierz o wymiarach 4
× 4 ma wyznacznik det A =
1
2
. Znajdź
det
(2A), det(−A), det(A
2
) oraz det(A
−
1
).
Zadanie 2
Zredukuj A do U i znajdź det A - iloczyn elementów osiowych:
A
=
1 1 1
1 2 2
1 2 3
A
=
1 2 3
2 2 3
3 3 3
Obliczanie wyznacznika na podstawie elementów osiowych
Po eliminacji na przekątnej macierzy górnotrójkątnej U są elementy
osiowe d
1
,
d
2
, . . . ,
d
n
. Jeśli w trakcie eliminacji nie były
wykonywane zamiany wierszy to wyznacznik można wyliczyć
wymnażając te elementy:
det A
= (det L)(det U) = (1)(d
1
d
2
. . .
d
n
)
Macierz permutacji ma wyznacznik 1 lub
−1 więc:
(det P)(det A) = (det L)(det U)
daje:
det A
= ±(d
1
d
2
. . .
d
n
)
Przykład
2
−1
−1
2
−1
−1
2
. ..
. .. ... −1
−1
2
=
1
−
1
2
1
−
2
3
1
. ..
. ..
−
n−1
n
1
2
−1
3
2
−1
4
3
−1
. ..
. ..
n+1
n
Pierwsze k elementów osiowych pochodzi z macierzy A
k
o
wymiarach k
× k, która stanowi lewy górny narożnik oryginalnej
macierzy A. Wyznacznikiem tej podmacierzy narożnikowej jest
d
1
d
2
. . .
d
k
.
Obliczanie elementów osiowych z wyznaczników
k-ty element osiowy jest równy:
d
k
=
d
1
d
2
. . .
d
k
d
1
d
2
. . .
d
k−1
=
det A
k
det A
k−1
Jeśli wszystkie podmacierze A
k
mają wyznacznik det A
k
6= 0 wtedy
nie są konieczne zamiany wierszy podczas eliminacji.
Wzór na wyznacznik
a
b
c
d
=
a
0
c
d
+
0
b
c
d
=
a
0
c
0
+
a
0
0 d
+
0 b
c
0
+
0
b
0 d
Po usunięciu zerowych wyznaczników:
a
0
0 d
+
0 b
c
0
= ad
1 0
0 1
+ bc
0 1
1 0
= ad − bc
Wzór na wyznacznik
W przypadku obliczania wyznacznika macierzy o wymiarach 3
× 3
uzyskuje sie 3
3
= 27 składników, z czego niezerowe są tylko te, w
których niezerowe elementy leżą w różnych kolumnach. To daje
3
! = 6 składników. Ogólny wzór:
det A
=
X
(det P)a
1
α
a
2
β
, . . . ,
a
3
ω
Suma po wszystkich n
! permutacjach P = (α, β, . . . , ω).
Zadanie
Oblicz wyznaczniki następujących macierzy:
A
=
1 2 3
3 1 2
3 2 1
B
=
1 2 3
4 4 4
5 6 7
A
=
1 1 1
1 1 0
1 0 0
Czy wiersze tych macierzy są niezależne?
Wyznacznik z wykorzystaniem minorów macierzy
det A
= a
11
(a
22
a
33
−a23a
32
)+a
12
(a
23
a
31
−a
21
a
33
)+a
13
(a
21
a
32
−a
22
a
31
)
det A
= a
i 1
C
i 1
+ a
i 2
C
i 2
+ . . . + a
in
C
in
C
ij
= (−1)
i +j
det M
ij
Zadanie
Znajdź wszystkie współczynniki C
ij
= (−1)
i +j
det M
ij
i umieść je w
macierzach C i D. Oblicz AC oraz B
−
1
.
A
=
"
a
b
c
d
#
A
=
1 2 3
4 5 6
7 0 0
Wzór Cramera
A
x
1
0 0
x
2
1 0
x
3
0 1
=
b
1
a
12
a
13
b
2
a
22
a
23
b
3
a
32
a
33
= B
1
Stosując właściwość mnożenia wyznaczników:
(det A)(x
1
) = det B
1
x
1
=
det B
1
det A
Wzór Cramera: Jeśli det A
6= 0, Ax = b może być rozwiązane z
wykorzystaniem wyznaczników:
x
1
=
det B
1
det A
x
2
=
det B
2
det A
. . .
x
n
=
det B
n
det A
Gdzie macierz B
j
jest otrzymywana przez zastąpienie j-tej kolumny
macierzy A przez wektor b.
Zadanie
Rozwiąż układy równań z wykorzystaniem wzoru Cramera:
2x
1
+ 5x
2
= 1
x
1
+ 4x
2
= 2
2x
1
+
x
2
= 1
x
1
+ 2x
2
+
x
3
= 0
x
2
+ 2x
3
= 0
Pole trójkąta a wyznacznik
Trójkąt o wierzchołkach
(x
1
,
y
1
), (x
2
,
y
2
) i (x
3
,
y
3
) ma pole równe
połowie wartości wyznacznika:
1
2
x
1
y
1
1
x
2
y
2
1
x
3
y
3
1
Jeśli
(x
3
,
y
3
) = (0, 0) wtedy pole jest równe:
1
2
x
1
y
1
x
2
y
2
Pole równoległoboku ma takie same właściwości jak wyznacznik
macierzy.
Wartość bezwzględna wyznacznika macierzy jest równa objętości
równoległościanu “rozpiętego” na wektorach tworzących macierz.
Iloczyn wektorowy
Iloczynem wektorowym u i v nazywamy wektor:
u
×v =
i
j
k
u
1
u
2
u
3
v
1
v
2
v
3
= (u
2
v
3
−u
3
v
2
)i+(u
3
v
1
−u
1
v
3
)j+(u
1
v
2
−u
2
v
1
)k
Ten wektor jest prostopadły do u i do v . Iloczyn wektorowy v
× u
to
−(u × v ).