Ć
wiczenie 3: Całkowanie numeryczne
1
Metody numeryczne - laboratorium
Ć
wiczenie 3: Całkowanie numeryczne
Wprowadzenie
Zagadnienie: wyznaczyć numerycznie przybliżoną wartość następującej całki oznaczonej:
∫
b
a
dx
x
f
)
(
,
gdzie
)
(x
f
- funkcja podcałkowa,
]
,
[ b
a
- przedział całkowania.
W praktyce wartość szukanej całki przybliża się przy użyciu następującego wyrażenia:
∫
∑
=
+
≈
b
a
n
i
n
i
i
f
R
f
A
dx
x
f
0
)
(
)
(
.
W zależności tej branych jest pod uwagę n+1 punktów z przedziału całkowania, dla których oblicza się
wartość całkowanej funkcji ze współczynnikami
i
A
. Różnica pomiędzy wartością rzeczywistą, a
przybliżoną jest określona przez
n
R
- błąd oszacowania, który może zależeć od wartości pochodnych
funkcji
f
, liczby punktów i szerokości przedziału.
Najczęściej korzysta się ze wzorów Newtona-Cotesa (zwanych kwadraturami Newtona), w których
zakłada się równomierne rozmieszczenie w odstępach h wszystkich uwzględnianych węzłów. Postać
ogólna całki określona jest jako:
∫
∑
=
+
−
=
b
a
n
i
i
i
f
R
x
f
H
a
b
dx
x
f
0
),
(
)
(
)
(
)
(
gdzie
(
)
∫
−
+
−
−
=
n
n
i
n
i
dq
q
q
i
n
ni
H
0
1
1
!
!
)
1
(
.
Wzór trapezów stopnia pierwszego:
(
)
∫
+
≈
1
0
)
(
)
(
2
)
(
1
0
x
x
x
f
x
f
h
dx
x
f
Wzór parabol (Simpsona) dla trzech węzłów:
(
)
∫
+
+
≈
1
0
)
(
)
(
4
)
(
3
)
(
2
1
0
x
x
x
f
x
f
x
f
h
dx
x
f
Ogólna postać wzoru prostokątów dla n+1 węzłów:
∫
∑
=
≈
n
x
x
n
i
i
x
f
h
dx
x
f
0
1
)
(
)
(
Ogólna postać wzoru trapezów dla n+1 węzłów:
(
)
(
)
+
+
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
+
≈
∑
∫
∑
−
=
−
−
−
=
+
n
n
i
i
x
x
n
n
n
n
i
i
i
f
f
f
h
f
f
f
f
f
f
f
f
h
x
f
x
f
h
dx
x
f
n
1
1
0
1
1
2
2
1
1
0
1
0
1
2
2
...
2
)
(
)
(
2
)
(
0
