Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
Całkowanie numeryczne
materiały do wykładu nr 5
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
2
Całkowanie numeryczne
Zastosowanie w problemach inżynierskich
( )
T
e
L
EA
dL
K
B B
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
3
Całkowanie numeryczne
Cel
– przybliżyć całkę
używając wartości funkcji f w równoodległych punktach
( )
b
a
f x dx
I
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
4
Całkowanie numeryczne
Metody całkowania:
– zamknięte (ustalone wartości na końcach przedziału)
– otwarte (ustalone wartości wewnątrz przedziału)
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
5
Całkowanie numeryczne
Metody obliczania całek
1. Metoda Newtona-Cotesa
Polega na zastąpieniu danej funkcji lub danego zbioru funkcji pewną
funkcją aproksymującą, która jest łatwo całkowalna.
( )
( )
b
b
n
a
a
I
f x dx
f x dx
2
1
0
1
2
1
( )
...
n
n
n
n
n
f x
a
a x
a x
a
x
a x
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
6
Całkowanie numeryczne
a) metoda trapezów
1
( )
( )
b
b
a
a
I
f x dx
f x dx
1
( )
( )
( )
( )
(
)
f b
f a
f x
f a
x a
b a
( )
( )
( )
(
)
b
a
f b
f a
I
f a
x a
dx
b a
( )
( )
2
f a
f b
I
b a
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
7
Całkowanie numeryczne
Przykład
(Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)
2
3
4
5
( )
0.2 25
200
675
900
400
f x
x
x
x
x
x
Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą trapezów.
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
8
Całkowanie numeryczne
Sposobem na poprawę dokładności – podział przedziału całkowania na
podprzedziały i zastosowanie metody trapezów do każdego
z podprzedziałów
b a
h
n
1
2
0
1
1
( )
( )
...
( )
n
n
x
x
x
x
x
x
I
f x dx
f x dx
f x dx
1
0
1
( )
2
( )
(
)
2
n
i
n
i
h
I
f x
f x
f x
1
0
1
( )
2
( )
(
)
2
n
i
n
i
f x
f x
f x
I
b a
n
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
9
Całkowanie numeryczne
Przykład
(Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)
2
3
4
5
( )
0.2 25
200
675
900
400
f x
x
x
x
x
x
Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą trapezów z podziałem na 2, 3, 4, 5
podprzedziałów.
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
10
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
11
Całkowanie numeryczne
b) metoda Simpsona
0
1
2
( )
4 ( )
(
)
3
h
J
f x
f x
f x
0
1
2
3
3
( ) 3 ( ) 3 (
)
( )
8
h
J
f x
f x
f x
f x
0
1
2
( )
4 ( )
(
)
(
)
6
f x
f x
f x
J
b a
0
1
2
3
( ) 3 ( ) 3 (
)
( )
(
)
8
f x
f x
f x
f x
J
b a
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
12
Całkowanie numeryczne
Przykład
(Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)
2
3
4
5
( )
0.2 25
200
675
900
400
f x
x
x
x
x
x
Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą Simpsona z regułą 1/3.
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
13
Całkowanie numeryczne
Przykład
(Chapra S.C., Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Book Company, 1988)
2
3
4
5
( )
0.2 25
200
675
900
400
f x
x
x
x
x
x
Obliczyć całkę funkcji
w przedziale <0; 0.8> metodą Simpsona z regułą 3/8.
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
14
Całkowanie numeryczne
2. Kwadratura Gaussa-Legendre’a
1
( )
( )
n
b
i
i
a
i
I
f x dx
f x w
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
15
Całkowanie numeryczne
Wartości węzłów i wag kwadratury Gaussa-Legendre'a
1
1
1
( )
( )
n
i
i
i
I
f
d
f
w
i
w
i
n
= 1
0
2
n
= 2
– 0.5773502692
1
0.5773502692
1
n
= 3
– 0.7745966692
0.5555555556
0
0.8888888889
0.7745966692
0.5555555556
n
= 4
– 0.8611363116
0.3478548451
– 0.3399810436
0.6521451549
0.3399810436
0.6521451549
0.8611363116
0.3478548451
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
16
Całkowanie numeryczne
Zmiana przedziału całkowania
1
1
1
( )
( )
( )
n
b
i
i
a
i
I
f x dx
f x
Jd
f x
w J
2
2
b a
a b
x
2
b a
dx
d
2
dx
b a
J
d
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
17
Całkowanie numeryczne
Przykład
2
( )
f x
x
Obliczyć całkę funkcji w przedziale <1; 4>.
1
1
( )
I
f x
w J
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
18
Całkowanie numeryczne
Przykład
2
( )
f x
x
Obliczyć całkę funkcji w przedziale <1; 4>.
2
1
1
2
2
1
( )
( )
(
)
i
i
i
I
f x
w J
f x
w J
f x
w J
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
19
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
n =10
I=21
I
MC
=14.457
error = 31.1572 %
Całkowanie numeryczne
3. Metoda Monte-Carlo
podejście probabilistyczne
losujemy n liczb p
i
o rozkładzie jednostajnym na odcinku <0,1>
obliczamy współrzędne
obliczamy całkę
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
n =10
I=21
I
MC
=21.0597
error = 0.28449 %
Metody Obliczeniowe
Katedra Mechaniki Budowli i Mostów, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska, Politechnika Gdańska
B u d o w n i c t w o , s e m e s t r 5 , r o k a k a d e m i c k i 2 0 1 3 / 1 4
Magdalena Rucka
20
Całkowanie numeryczne
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
n =100
I=21
I
MC
=20.9987
error = 0.006062 %
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
n =100
I=21
I
MC
=22.4752
error = 7.0247 %