Metody numeryczne - opracowanie 

 

Wyznacznik macierzy trójkątnej = iloczyn elementów na przekątnej 

Układ oznaczony – jedno rozwiązanie 

Układ nieoznaczony – wiele rozwiązao 

Układ sprzeczny – brak rozwiązao 

Błąd wejściowy – niedokładne wartości wsp. 

Błąd zaokrągleo – błąd podczas działao 

Błąd metody – błąd wyboru metody (charakterystyczny dla danej metody) 

Własności normy: 

||x||>0 

||λx||=||λ||||x|| 

||x+y||<=||x||+||y|| 

Normy w R

n

: 

||x||

1

=Σ|x

n

| 

||x||

2

=(Σx

n

2

)

0.5

 

||x||

inf

=max{ Σ|x

n

|} 

||x||

inf

<=||x||

2

<=||x||

1

 

Normy wykorzystywane są do analizy błędów oraz określenia współczynnika uwarunkowania 
macierzy cond(A)=||A||*||A

-1

|| 

 

Układy liniowe: 

Dokładne metody rozwiązywania układów równao liniowych: 

 

Metoda podstawiania 

 

Przeciwnych współczynników 

 

Wzory Cramera 

 

Eliminacja Gaussa 

 

Metody wykorz. Rozkład mac. A 

Metody przybliżone: 

 

Iteracji prostej 

 

Gaussa-seidela 

 

Nadrelaksacji 

 

Czebyszewa 

 

Richardsona 

Iteracja prosta: 

X

(k+1)

=W*X

k

+Z //W-glowne wartości w równaniu, Z po znaku = 

Gaussa-Seidela: 

X

(k+1)

=W

u

*X

k

+W

l

*X

(k+1)

+Z 

- jeśli macierz jest dominująca przekątniowo to ciąg zbieżny do rozwiązania, jeśli nie to niekoniecznie 
(obie powyższe metody). 

 

Metody dokładne: 

 

Skooczona liczba działao 

 

Mało obliczeo 

 

Dużo pamięci 

 

Brak błędu metody, za to zaokrągleo 

 

Eliminacja Gaussa: 

Element podstawowy – element którym eliminujemy zmienną z innych równao (modyfikacja – 
element ktej macierzy w katej kolumnie o największym module) 

 

Rozkład LU – rozkład na macierz dolna i górą A=L*U rozkład LU jeśli minory główne są nieosobliwe 

 

Metody przybliżone: 

 

Ciąg rozwiązao zbieżny 

 

Obliczenia przerywamy gdy któryś warunek 

 

Dla dużych układów szybsze niż dokładne 

 

Efektywne dla układów rzadkich 

 

Stabilne – im więcej iteracji tym mniejsze błędy 

Jeśli A jest dominująca przekątniowo to metodami iteracji prostej i Gaussa-seidela otrzymujemy ciąg 
zbieżny, jeśli nie to niekoniecznie. 

 

Równania nieliniowe: 

Metody rozwiązywania: 

 

Połowienia 

 

Regula falsi 

 

Siecznych 

 

Stycznych 

 

Iteracyjne 

f(a)*f(b)<0 – to wiemy że jest rozwiązanie 

zatrzymanie algorytmów: 

 

f(x) < cos 

 

x1-x2 < cos 

 

liczba iteracji > cos 

regula falsi: 

lecimy do punktu stałego prostą i miejsce przecięcia z osia X sprawdzamy, jak==0 to ok. jak nie to 
sprawdzamy f(x) i od tego nowa linia 

 

 

siecznych: 

na początku lecimy od f(a) do f(b) później od nowo wyznaczonych xow (nowe xy są z przecięcia z osią 
X), pierwszy krok jak falsi 

założenia do metod siecznych i regula falsi: 

 

ma tylko 1 pierwiastek 

 

f(a)f(b)<0 

 

ciągła 

 

f’ i f’’ mają stały znak na przedziale 

metoda stycznych: 

zaczynamy od f(b) i dajemy styczną, nowy punkt wyznaczany na podstawie przecięcia z osią X i znów 
styczna 

 

założenia do metody stycznych: 

 

3 jak wcześniej 

 

f’ !=0 

 

f’’ stały znak 

 

rozwiązanie istnieje: 

jeśli f jest ciągła w prostokącie α x β to rozwiązanie jest x(t): 

 

 

Jeśli f i iloraz różniczek są ciągłe to zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie (zamiast <= to <) 

Jeśli: 

|f(x,y1) – f(x,y2)| <=L|y1 – y2| 

To zagadnienie  =f(x,y) y(a)=α 

Ma w przedziale jednoznaczne rozwiązanie. 

 

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego: rozwiązanie zawierające n stałych, na które można dad 
n warunków początkowych (metody analityczne). 

Rozwiązanie szczególne: jeśli dla n stałych ustalimy ich wartości (metody analityczne, numeryczne i 
eksperymentalne). 

Wzór Taylora: 

 

Metody Eulera 

 

rzędu pierwszego 

 

nie trzeba różniczkowad 

 

małe h 

 

Ψ(x,y)=f(x,y)=Δy/Δx 

 

 

Metody Rungego-Kutty: 

 

a,b,w – stałe 

 

Metody wielokrokowe: 

Całkujemy obie strony równania. 

Metoda jawna (ekstrapolacyjna) jeśli b

0

=0, w przeciwnym wypadku niejawna 

(uwikłana/interpolacyjna). 

Obliczanie pochodnych: 

Wzór dwupunktowy: 

 

Wzór trójpunktowy (centralna): 

 

Wzór pięciopunktowy: *** 

Wzór trójpunktowy: 

 

 

Całkowanie numeryczne: 

h=b-a/n  

Metoda prostokątów: 

 

Metoda trapezów: 

 

Metoda parabol (Simpsona): 

 

 

Aproksymacja: ustalenie funkcji która najlepiej przybliża funkcję rzeczywistą. 

Funkcja aproksymowana musi spełniad warunki, np: 

 

||f(x)-F(x)|| 

Aproksymacja: 

 

Punktowa (punkty) 

 

Integralna (przedział) 

Rodzaje aproksymacji: 

 

Wielomianowa 

 

Za pomocą szeregów 

 

Wielomianów ortogonalnych 

 

Trygonometryczna 

 

Funkcji sklejanych 

 

Funkcjami wymiernymi 

 

c

k

=Σ(y*P) 

s

k

=Σ(P^2) 

b

k

=c

k

/s

k

 

 

ekstrapolacja – przybliżenie poza przedziałem (dla jednego punktu): 

 

Interpolacja: 

Funkcja wyznaczona, która przyjmuje określone wartości w węzłach (przechodzi przez podane punkty 
x,y) 

Funkcje interpolujące: 

 

Wielomiany algebraiczne 

 

Wielomiany trygonometryczne 

 

Wielomiany ortogonalne 

 

Funkcje sklejające 

Macierz Vandermonde’a: 

1 

x0 

x0^2 

… 

x0^n 

1  

x1 

x1^2 

… 

x1^n 

… 

… 

… 

… 

… 

1  

xn 

xn^2 

… 

xn^n 

 

V- macierz Vandermonde’a 

A-  Wektor współczynników 

Y- wektor wartości funkcji 

V*A=Y 

Jeśli det(V)!=0 to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie 

Iloraz różnicowy: 

f[x0,x1]=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0) 

 

 

 

Dla funkcji sklejanej k-1 pochodna musi byd ciągła. 

Naturalna funkcja sklejana: funkcja sklejana stopnia 2k-1 jeśli w przedziałach poza węzłami jest 
dana wielomianem stopnia k-1. 

Jeśli węzły są różnowartościowe to istnieje dokładnie jedna funkcja sklejana interpolująca.