FUNKCJE ZESPOLONE CWICZENIA 4 – Szeregi liczbowe o wyrazach zespolonych
ZAD.1
Zbadać zbieŜność szeregów ( odpowiedź uzasadnić) :
1.
∑
∑
∞
=
∞
=
+
1
1
2
,
2
1
,
n
n
n
i
n
i
n
e
π
∑
∑
∞
=
∞
=
+
−
+
1
1
4
1
)
5
(
!
)
2
3
(
,
n
n
n
i
i
n
i
n
e
,
2.
∑
∑
∞
=
∞
=
+
+
+
0
1
2
2
,
1
1
,
1
n
n
i
n
i
n
n
e
απ
ZAD.2
Zbadać zbieŜność bezwzględną szeregów ( odpowiedź uzasadnić) :
a)
∑
∑
∞
=
∞
=
+
1
1
5
3
)
2
(
,
n
n
n
n
i
i
n
e
π
,
∑
∑
∞
=
∞
=
1
1
,
2
n
n
n
i
i
n
e
π
,
∑
∞
=
−
+
1
2
3
)
1
(
1
n
n
n
i
n
,
b)
∑
∑
∞
=
∞
=
+
1
1
3
3
10
)
3
1
(
,
6
n
n
n
ni
n
i
e
,
∑
∑
∞
=
∞
=
+
1
1
!
)
1
(
,
)!
2
(
n
n
n
i
n
i
n
e
π
,
∑
∑
∞
=
∞
=
+
0
0
1
2
,
2
n
n
in
n
ni
e
n
in
e
α
π
,
c)
∑
∑
∞
=
∞
=
−
1
1
2
)
3
(
,
n
n
n
i
i
ni
n
e
,
∑
∑
∞
=
∞
=
+
+
1
1
2
)
1
(
sin
,
)
6
(
n
n
n
n
i
n
n
i
e
π
,
∑
∑
∞
=
∞
=
1
1
)
(
,
2
2
n
n
n
n
in
ni
n
e
,
ZAD.3
Zbadać zbieŜność bezwzględną szeregu oraz obliczyć jego sumę ( odpowiedź uzasadnić) :
a)
∑
∞
=
+
1
2
1
n
n
i
,
∑
∞
=
+
1
)
6
(
n
n
i
e
π
b)
∑
∞
=
0
3
6
n
n
ni
e
,
∑
∞
=
+
0
2
1
n
n
i
c)
∑
∞
=
1
cos
n
n
nt
r
,
∑
∞
=
1
sin
n
n
nt
r
d)
∑
∞
=
+
1
3
2
cos
2
4
sin
n
n
n
n
i
n
π
π
ZAD.4
Znaleźć sumę częściową i zbadać zbieŜność szeregu
∑
∞
=
+
+
+
1
)
1
)(
(
1
n
i
n
i
n
.
ZAD.5
Wykazać, Ŝe jeŜeli szereg o wyrazach zespolonych jest bezwzględnie zbieŜny, to jest zbieŜny.
ZAD.6
Pokazać, Ŝe szereg geometryczny
∑
∞
=
1
n
n
z jest bezwzględnie zbieŜny dla
1
<
z
, wyznaczyć sumę tego szeregu.