AM2 2011/ 12 w10
9.05.2012
P
OCHODNE
K
IERUNKOWA
(
UO GÓLNIENIE PO CHODNEJ CZASTKOWEJ
)
Niech
f będzie funkcją określoną w otoczeniu U punktu
)
,
,
,
,
,
,
,
(
0
0
1
0
0
1
0
2
0
1
0
n
i
i
i
x
x
x
x
x
x
x
,
v będzie wektorem jednostkowym
1
2
2
2
2
1
n
v
v
v
v
takim, że punkt
U
tv
x
0
.
D
EF
.
Jeżeli istnieje skończona granica
t
x
f
tv
x
f
t
)
(
)
(
lim
0
0
0
to nazywamy ją pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x
0
w kierunku wektora v.
Oznaczamy ją symbolem
)
(
0
x
v
f
lub
)
(
0
x
f
v
.
Przykład
3
n
,
)
1
,
0
,
0
(
3
e
v
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
)
1
,
0
,
0
(
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
z
y
x
f
t
z
y
x
f
t
z
y
x
f
t
z
y
x
f
t
z
y
x
f
z
y
x
e
f
z
t
t
W
NIOS EK
Pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie x
0
w kierunku wektora
i
e jest równa pochodnej cząstkowej
funkcji f w punkcie x
0
względem i-tej zmiennej
)
(
)
(
0
0
x
f
x
f
i
i
x
e
.
Przykład
Obliczyć z definicji pochodną kierunkową funkcji
y
x
z
z
y
x
f
2
)
,
,
(
w punkcie
)
1
,
2
,
4
(
w
kierunku wektora
)
0
,
4
,
3
(
v
5
0
4
)
3
(
2
2
2
v
,
0
,
5
4
,
5
3
v
v
i
v
3
)
1
,
2
,
4
(
f
t
t
t
t
f
t
t
f
4
10
5
3
5
4
2
5
3
4
)
1
(
)
1
,
2
,
4
(
0
1
,
5
4
2
,
5
3
4
2
2
1
4
10
5
lim
0
t
t
odp.
2
1
)
1
,
2
,
4
(
f
v
i
T
WIERDZENIE
(
WZÓR DO OBLICZANIA POCHODNEJ KIERUNKOWEJ
,
UZASADNIENIE DLA N
=2)
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
0
x
,
n
R
v
jest
dowolnym wektorem jednostkowym, to pochodna kierunkowa
)
(
0
x
v
f
jest iloczynem
skalarnym wektora gradientu i wektora v
AM2 2011/ 12 w10
9.05.2012
v
x
gradf
x
v
f
)
(
)
(
0
0
.
P
RZYKŁAD
Obliczyć pochodną kierunkową funkcji
2
cos
)
,
,
(
yz
e
x
z
y
x
f
w punkcie
)
1
,
0
,
(
w kierunku
wektora
1
,
0
,
1
.
2
v
,
2
2
,
0
,
2
2
2
1
v
v
v
i
v
yz
xe
z
xe
xe
z
y
x
gradf
yz
yz
yz
2
2
2
cos
2
,
cos
,
sin
)
,
,
(
2
0
,
1
,
0
)
1
,
0
,
(
gradf
0
2
2
,
0
,
2
2
)
0
,
1
,
0
(
)
1
,
0
,
(
f
v
i
WNIOSKI
Jeżeli
0
)
(
0
x
gradf
, to
- pochodna kierunkowa przyjmuje największą wartość, gdy jest obliczana w kierunku
gradientu
- gradient wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji f w punkcie
0
x
- gradient jest wektorem, którego moduł jest równy maksymalnej wartości pochodnej
kierunkowej w danym punkcie.
P
ŁASZCZYZNA STYCZNA
Jeżeli funkcja f jest klasy
1
C
w punkcie
)
,
(
0
0
y
x
, to równanie
)
,
(
)
)(
,
(
)
)(
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
y
x
f
y
y
y
x
f
x
x
y
x
f
z
y
x
jest równaniem płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f w punkcie
)
,
(
,
,
0
0
0
0
y
x
f
y
x
.
C
AŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
Rozważmy prostokąt P
d
y
c
b
x
a
R
y
x
P
,
:
)
,
(
2
oraz funkcję dwóch zmiennych f określoną i ograniczoną w tym prostokącie.
Prostokąt P dzielimy na n prostokątów
k
P
o polach
k
s
n
k
,
2
,
1
. Prostokąty
k
P
n
k
,
2
,
1
mają rozłączne wnętrza i całkowicie wypełniają prostokąt P. Podział ten oznaczmy
n
.
Niech
k
d
oznacza długość przekątnej prostokąta
k
P
.
Liczbę
k
n
k
n
d
1
max
(długość najdłuższej z przekątnych) nazywamy średnicą podziału
n
.
Rozważmy ciąg podziałów
n
prostokąta P.
Ciąg podziałów
n
nazywamy ciągiem normalnym podziałów jeżeli odpowiadający mu ciąg
średnic dąży do zera tzn.
0
lim
n
n
.
W każdym z prostokątów wybieramy dowolnie punkt
)
,
(
k
k
k
y
x
A
, obliczamy
)
,
(
k
k
y
x
f
i
tworzymy sumę
n
k
k
k
k
n
s
y
x
f
S
1
)
,
(
.
AM2 2011/ 12 w10
9.05.2012
Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f w prostokącie P.
D
EF
.
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostokąta P ciąg sum całkowych
n
S
jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów, to tę granicę
nazywamy całką podwójną funkcji f w prostokącie P i oznaczamy symbolem
P
dxdy
y
x
f
)
,
(
.
Definicję tę można zapisać krótko
n
k
k
k
k
def
P
s
y
x
f
dxdy
y
x
f
n
1
0
)
,
(
lim
)
,
(
.
PRZYPADEK SZCZEGÓLNY
Jeżeli
1
)
,
(
y
x
f
, to
P
s
s
y
x
f
S
n
k
k
n
k
k
k
k
n
prostokata
pole
1
)
,
(
1
1
(ciąg sum całkowych jest stały)
zatem
P
dxdy
P
prostokata
pole
1
.
TW:
W
ARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA CAŁKI PODWÓJNEJ W PROSTOKĄCIE
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie P, to jest w nim całkowalna.
I
NTERPRETACJA
G
EOMETRYCZNA
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie P i przyjmuje wartości nieujemne
P
x,y
y
x
f
)
(
dla
0
)
,
(
,
to całka podwójna
P
dxdy
y
x
f
)
,
(
jest równa objętości bryły ograniczonej płaszczyznami
0
,
,
,
,
z
d
y
c
y
b
x
a
x
oraz powierzchnią o równaniu
)
,
(
y
x
f
z
.
TW:
LINIOWOŚĆ CAŁKI
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na prostokącie P, to
1. funkcja
g
f
jest całkowalna na prostokącie P oraz
P
P
P
dxdy
y
x
g
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
g
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2. funkcja
cf
dla
R
c
jest całkowalna na P oraz
P
P
dxdy
y
x
f
c
dxdy
y
x
cf
)
,
(
)
,
(
.
T
W
:
O
BLICZANIE CAŁKI PODWÓJNEJ NA PROSTOKĄCIE
P
ZA POMOCĄ CAŁKI ITEROWANEJ
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostokącie P,
d
y
c
b
x
a
R
y
x
P
,
:
)
,
(
2
,
to
b
a
d
c
b
a
d
c
P
dy
y
x
f
dx
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
oraz
AM2 2011/ 12 w10
9.05.2012
d
c
b
a
d
c
b
a
P
dx
y
x
f
dy
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
(
.
Przykład
Obliczyć całkę podwójną na podanym prostokącie
a)
P
dxdy
x
y
2
1
gdzie
3
,
2
2
,
1
P
odp:
3
b)
P
dxdy
x
y
x
2
gdzie
3
,
0
2
,
1
P
Uwaga
Jeżeli funkcja f ma postać
)
(
)
(
)
,
(
y
h
x
g
y
x
f
gdzie g, h są ciągłe na przedziałach odpowiednio
b
a,
,
d
c,
, to
d
c
d
c
b
a
P
b
a
dy
y
h
dx
x
g
dxdy
y
h
x
g
)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
.
c)
P
x
dxdy
e
y
gdzie
4
,
1
1
,
0
P
odp:
e
3
3
5
C
AŁKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM
Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną na zbiorze ograniczonym D,
2
R
D
.
Całkę podwójną funkcji f na zbiorze D definiujemy wzorem
D
P
dxdy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
,
(
)
,
(
gdzie P jest dowolnym prostokątem zawierającym zbiór D, zaś funkcja
f
jest określona
wzorem
D
P
y
x
D
y
x
y
x
f
y
x
f
\
)
,
(
dla
0
)
,
(
dla
)
,
(
)
,
(
.
PRZYPADEK SZCZEGÓLNY
Jeżeli
1
)
,
(
y
x
f
, to
D
bioru
dxdy
D
z
pole
1
D
EF
.
Obszarem normalnym względem osi 0x nazywamy obszar
)
(
)
(
,
:
)
,
(
2
x
h
y
x
g
b
x
a
R
y
x
D
gdzie g, h są funkcjami ciągłymi w przedziale
b
a,
.
Obszarem normalnym względem osi 0y nazywamy obszar
)
(
)
(
,
:
)
,
(
2
y
q
x
y
p
d
y
c
R
y
x
D
gdzie p, q są funkcjami ciągłymi w przedziale
d
c,
.
D
EF
.
Obszar regularny
Obszarem regularnym na płaszczyźnie nazywamy sumę skończonej liczby obszarów normalnych
(względem osi 0x lub 0y) o parami rozłącznych wnętrzach.
Przykład
Naszkicować obszary ograniczone podanymi krzywymi. Który z nich jest normalny względem osi 0x,
a który względem osi 0y.
AM2 2011/ 12 w10
9.05.2012
a)
4
,
2
,
x
x
y
x
y
b)
4
,
2
,
y
x
y
x
y
c)
0
,
6
,
2
y
x
y
x
y
d)
4
2
2
y
x
TW:
ZAMIANA CAŁKI PODWÓJNEJ PO OBS ZARZE NORMALNYM NA CAŁKI ITEROWANE
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
)
(
)
(
,
:
)
,
(
2
x
h
y
x
g
b
x
a
R
y
x
D
normalnym względem osi 0x , to
b
a
b
a
x
h
x
g
x
h
x
g
D
dy
y
x
f
dx
dx
dy
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
)
(
)
(
,
:
)
,
(
2
y
q
x
y
p
d
y
c
R
y
x
D
normalnym względem osi 0y , to
d
c
y
q
y
p
d
c
y
q
y
p
D
dx
y
x
f
dy
dy
dx
y
x
f
dxdy
y
x
f
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
.
I
NTERPRETACJA
G
EOMETRYCZNA
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym D
2
R
D
i przyjmuje wartości nieujemne, to całka
podwójna jest równa objętości bryły o podstawie D ograniczonej powierzchnią o równaniu
)
,
(
y
x
f
z
oraz powierzchnią walcową utworzoną z prostych równoległych do osi 0z i
przechodzących przez brzeg obszaru D.
Przykład
Obliczyć całkę podwójną
;
)
4
2
24
(
D
dxdy
y
x
po obszarze ograniczonym przez krzywe o
podanych równaniach:
2
,
2
,
1
x
y
xy
odp:
4
ln
24
58
2
1
Podać interpretację geometryczną.
TW (o wartości średniej dla całki podwójnej)
Jeżeli funkcji f jest ciągła na obszarze normalnym D, to istnieje punkt
D
y
x
)
,
(
, taki,że
D
y
x
f
dxdy
y
x
f
D
)
,
(
)
,
(
.
Liczbę
D
dxdy
y
x
f
D
)
,
(
1
nazywamy wartością średnią funkcji f na obszarze D.
TW:
Jeżeli obszar regularny D jest sumą obszarów normalnych D
1
, D
2
o rozłącznych wnętrzach,
2
1
D
D
D
, funkcja f jest ciągła na D, to
AM2 2011/ 12 w10
9.05.2012
C
AŁKA POTRÓJNA W PROSTOPADŁOŚCIANIE
Rozważmy prostopadłościan P
q
z
p
d
y
c
b
x
a
R
z
y
x
P
,
,
:
)
,
,
(
3
oraz funkcję trzech zmiennych f określoną i ograniczoną w tym prostopadłościanie.
Oznaczmy przez V objętość prostopadłościanu P.
Prostopadłościan P dzielimy na n prostopadłościanów
k
P
o objętościach
k
V
n
k
,
2
,
1
.
Prostopadłościany
k
P
n
k
,
2
,
1
mają rozłączne wnętrza i całkowicie wypełniają
prostopadłościan P. Podział ten oznaczmy
n
.
Niech
k
d
oznacza długość przekątnej prostopadłościanu
k
P
o wymiarach
k
k
k
z
y
x
,
,
2
2
2
k
k
k
k
z
y
x
d
.
Liczbę
k
n
k
n
d
1
max
(długość najdłuższej z przekątnych) nazywamy średnicą podziału
n
.
Rozważmy ciąg podziałów
n
prostopadłościanu P.
Ciąg podziałów
n
nazywamy ciągiem normalnym podziałów jeżeli odpowiadający mu ciąg
średnic dąży do zera tzn.
0
lim
n
n
.
W każdym prostopadłościanie wybieramy dowolnie punkt
)
,
,
(
k
k
k
k
z
y
x
A
, obliczamy
wartość funkcji f w tym punkcie
)
,
,
(
k
k
k
z
y
x
f
i tworzymy sumę
n
k
k
k
k
k
n
V
z
y
x
f
S
1
)
,
,
(
.
Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f w prostopadłościanie P.
D
EF
.
Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów prostopadłościanu P ciąg sum całkowych
n
S
jest zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów, to tę
granicę nazywamy całką potrójną funkcji f w prostopadłościanie P i oznaczamy symbolem
P
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
.
Definicję tę można zapisać krótko
n
k
k
k
k
k
def
P
V
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
n
1
0
)
,
,
(
lim
)
,
,
(
.
PRZYPADEK SZCZEGÓLNY
Jeżeli
1
)
,
,
(
z
y
x
f
, to
V
V
V
z
y
x
f
S
n
k
k
n
k
k
k
k
k
n
1
1
1
)
,
,
(
,
Ciąg sum całkowych jest w tym przypadku ciągiem stałym o wyrazach
V
S
n
.
V
V
V
dxdydz
n
n
n
k
k
def
P
0
1
0
lim
lim
1
.
V
- objętość prostopadłościanu P.
TW:
W
ARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA CAŁKI POTRÓJNEJ W PROSTOPADŁOŚCIANIE
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie P, to jest w nim całkowalna.
AM2 2011/ 12 w10
9.05.2012
I
NTERPRETACJA
F
IZYCZNA
Jeżeli funkcja
jest gęstością objętościową masy prostopadłościanu P, to całka potrójna
V
dxdydz
z
y
x
)
,
,
(
jest równa masie prostopadłościanu.
TW:
LINIOWOŚĆ CAŁKI
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w prostopadłościanie P, to
1. funkcja
g
f
jest całkowalna w prostopadłościanie P oraz
P
P
P
dxdydz
z
y
x
g
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
g
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
2. funkcja
cf
dla
R
c
jest całkowalna na P oraz
P
P
dxdydz
z
y
x
f
c
dxdydz
z
y
x
cf
)
,
,
(
)
,
,
(
T
W
:
O
BLICZANIE CAŁKI POTRÓJNEJ W PROSTOPADŁOŚCIANIE
P
ZA POMOCĄ CAŁKI
ITEROWANEJ
Jeżeli funkcja f jest ciągła w prostopadłościanie P,
q
z
p
d
y
c
b
x
a
R
z
y
x
P
,
,
:
)
,
,
(
3
,
to
b
a
d
c
q
p
b
a
d
c
q
p
P
dz
z
y
x
f
dy
dx
dx
dy
dz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
Uwaga
Kolejność iteracji po prawej stronie wzoru może być dowolna. Istnieje sześć możliwych
ustaleń kolejności całkowania.
Przykład
Obliczyć całkę potrójną w podanym prostopadłościanie
a)
P
dxdydz
z
y
x
)
(
2
3
gdzie
3
,
1
2
,
0
2
,
1
P
b)
P
dxdydz
z
y
x
3
gdzie
e
P
,
1
2
,
1
1
,
0
Uwaga
Jeżeli funkcja f ma postać
)
(
)
(
)
(
)
,
,
(
z
k
y
h
x
g
z
y
x
f
gdzie g, h, k są ciągłe na przedziałach
odpowiednio
b
a,
,
d
c,
,
q
p,
, to
q
p
d
c
q
p
d
c
b
a
b
a
dz
z
k
dy
y
h
dx
x
g
dxdydz
z
k
y
h
x
g
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
,
,
.
C
AŁKA POTRÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM
Niech f będzie funkcją określoną i ograniczoną na zbiorze ograniczonym D,
3
R
D
.
Całkę podwójną funkcji f na zbiorze D definiujemy wzorem
D
P
dxdydz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
,
(
)
,
,
(
gdzie P jest dowolnym prostopadłościanem zawierającym zbiór D, zaś funkcja
f
jest
określona wzorem
AM2 2011/ 12 w10
9.05.2012
D
P
z
y
x
D
z
y
x
z
y
x
f
y
x
f
\
)
,
,
(
dla
0
)
,
,
(
dla
)
,
,
(
)
,
(
.
PRZYPADEK SZCZEGÓLNY
Jeżeli
1
)
,
,
(
z
y
x
f
, to
V
dxdydz
D
1
gdzie jest objętością zbioru D.
D
EF
.
Obszarem normalnym względem płaszczyzny 0xy nazywamy obszar
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
:
)
,
,
(
3
y
x
h
z
y
x
g
D
y
x
R
z
y
x
D
xy
gdzie
xy
D
jest obszarem regularnym na płaszczyźnie 0xy zaś funkcje g, h są w nim ciągłe.
Analogicznie definujemy obszary normalne względem płaszczyzn 0yz, 0xz.
Obszarem normalnym względem płaszczyzny 0yz nazywamy obszar
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
:
)
,
,
(
3
z
y
x
z
y
D
z
y
R
z
y
x
D
yz
gdzie
,
p, są funkcjami ciągłymi w zbiorze
.
yz
D
Przykład
Naszkicować i opisać obszar ograniczony podanymi powierzchniami.
0
12
3
4
6
,
0
,
0
,
0
z
y
x
z
y
x
TW:
ZAMIANA CAŁKI POTRÓJNEJ PO OBSZARZE NORMALNYM NA CAŁKI ITEROWANE
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
:
)
,
,
(
3
y
x
h
z
y
x
g
D
y
x
R
z
y
x
D
xy
normalnym względem płaszczyzny 0xy , to
D
D
y
x
h
y
x
g
xy
dxdy
dz
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
.
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
:
)
,
,
(
3
z
y
x
z
y
D
z
y
R
z
y
x
D
yz
normalnym względem płaszczyzny 0yz , to
D
D
z
y
z
y
yz
dydz
dx
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze
)
,
(
)
,
(
,
)
,
(
:
)
,
,
(
3
z
x
y
z
x
D
z
x
R
z
y
x
D
xz
normalnym względem płaszczyzny 0xz , to
D
D
z
x
z
x
xz
dxdz
dy
z
y
x
f
dxdydz
z
y
x
f
)
,
(
)
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
Przykład
Obliczyć objętość obszaru ograniczonego powierzchniami
6
3
2
,
0
,
0
,
4
,
0
z
y
z
y
x
x
.