Wytrzymałość
Wytrzymałość
materiałów
materiałów
1
1
materiałów
materiałów
Stany naprężeń i odkształceń
Stany naprężeń i odkształceń
Wytrzymałość
Wytrzymałość
materiałów
materiałów
1
1
materiałów
materiałów
Stany naprężeń i odkształceń
Stany naprężeń i odkształceń
Definicja naprężeń
Definicja naprężeń
Mamy bryłę materialną
Mamy bryłę materialną
obciążoną układem sił (siły
obciążoną układem sił (siły
zewnętrzne, reakcje),
zewnętrzne, reakcje),
będących w równowadze.
będących w równowadze.
P
P
q
α
2
2
będących w równowadze.
będących w równowadze.
Rozetniemy myślowo tę
Rozetniemy myślowo tę
bryłę
bryłę na dwie części
na dwie części
przekrojem
przekrojem
αα
--
αα
..
Jeżeli bryła jest w spoczynku,
Jeżeli bryła jest w spoczynku,
to zewnętrzne oddziaływania
to zewnętrzne oddziaływania
muszą być w stanie
muszą być w stanie
równowagi statycznej.
równowagi statycznej.
P
α
Definicja naprężeń
Definicja naprężeń
Oddziaływanie odciętego fragmentu modeluje
Oddziaływanie odciętego fragmentu modeluje
obciążenie przyłożone
obciążenie przyłożone w sposób ciągły do
w sposób ciągły do
płaszczyzny
płaszczyzny
αα
--
αα
, nazywane
, nazywane naprężeniami
naprężeniami..
3
3
P
P
P
q
q
Definicja naprężeń
Definicja naprężeń
Na powierzchniach fragmentu bryły także zlokalizowane są naprężenia i
Na powierzchniach fragmentu bryły także zlokalizowane są naprężenia i
przedstawiają one oddziaływanie bryły na ten fragment.
przedstawiają one oddziaływanie bryły na ten fragment.
4
4
naprężenia
Oznaczenia naprężeń
Oznaczenia naprężeń
Jeżeli wytniemy prostopadłościan o wymiarach dążących do zera, to
Jeżeli wytniemy prostopadłościan o wymiarach dążących do zera, to
możemy przyjąć, że naprężenia na powierzchniach tego fragmentu są stałe
możemy przyjąć, że naprężenia na powierzchniach tego fragmentu są stałe
i można je przedstawić w formie trzech obciążeń o kierunkach wzajemnie
i można je przedstawić w formie trzech obciążeń o kierunkach wzajemnie
do siebie prostopadłych: kierunek prostopadły do powierzchni i dwa
do siebie prostopadłych: kierunek prostopadły do powierzchni i dwa
kierunki wzajemnie do siebie prostopadłych, ale równoległe do powierzchni.
kierunki wzajemnie do siebie prostopadłych, ale równoległe do powierzchni.
5
5
Oznaczenia naprężeń
Oznaczenia naprężeń
Naprężenia są oznaczane w następujący sposób: naprężenia prostopadłe do
Naprężenia są oznaczane w następujący sposób: naprężenia prostopadłe do
ścian literą
ścian literą
σσ
, naprężenia równoległe
, naprężenia równoległe
σσ
lub
lub
ττ
. Pierwszy indeks oznacza
. Pierwszy indeks oznacza
położenie czyli oznaczenie osi prostopadłej do danej powierzchni, a drugi
położenie czyli oznaczenie osi prostopadłej do danej powierzchni, a drugi
indeks oznacza kierunek wektora naprężenia czyli oznaczenie osi
indeks oznacza kierunek wektora naprężenia czyli oznaczenie osi
równoległej do wektora naprężenia:
równoległej do wektora naprężenia:
6
6
równoległej do wektora naprężenia:
równoległej do wektora naprężenia:
lub częściej
Tensor naprężeń
Tensor naprężeń
Naprężenia, działające na element o nieskończenie małych wymiarach,
Naprężenia, działające na element o nieskończenie małych wymiarach,
zestawia się w macierz, która nosi nazwę tensora stanu naprężeń
zestawia się w macierz, która nosi nazwę tensora stanu naprężeń
σσσσσσσσ
a
a
wygląda w następujący sposób:
wygląda w następujący sposób:
τ
τ
σ
xz
xy
xx
7
7
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
=
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
σ
a naprężenia
a naprężenia
σ
ii
i
τ
ij
są nazywane
są nazywane
składowymi tensora naprężeń. Powyższa
składowymi tensora naprężeń. Powyższa
macierz jest macierzą symetryczną czyli
macierz jest macierzą symetryczną czyli
σσσσ= σσσσ
Τ
oraz
τ
ij
=
τ
ji
Definicje odkształceń
Definicje odkształceń
Pod wpływem zewnętrznych
Pod wpływem zewnętrznych
obciążeń następuje
obciążeń następuje
przesunięcie elementu oraz
przesunięcie elementu oraz
zmiana jego postaci. Prostokąt
zmiana jego postaci. Prostokąt
ABCD zmienia się w
ABCD zmienia się w
równoległobok
równoległobok A’B’C’D
A’B’C’D’.
’.
8
8
równoległobok
równoległobok A’B’C’D
A’B’C’D’.
’.
Punkt A przesuwa się o
Punkt A przesuwa się o
wektor:
wektor:
Natomiast zmiana położenia
Natomiast zmiana położenia
pozostałych punktów jest sumą
pozostałych punktów jest sumą
przesunięcia punktu A,
przesunięcia punktu A,
wydłużenia się elementu oraz
wydłużenia się elementu oraz
obrotu boków elementu.
obrotu boków elementu.
[
]
y
x
u
u ,
AA'
=
Definicje odkształceń
Definicje odkształceń
Zmiana położenia punktu B może być
Zmiana położenia punktu B może być
opisana wektorem
opisana wektorem
gdzie:
gdzie:
∂
∂
+
∂
∂
+
=
dx
x
u
u
dx
x
u
u
y
y
x
x
,
BB'
9
9
gdzie:
gdzie:
średnie odkształcenie elementu
średnie odkształcenie elementu
wydłużenie elementu na
wydłużenie elementu na
długości
długości dx
dx
kąt obrotu boku
kąt obrotu boku
prostokąta
prostokąta
przesunięcie punktu B
przesunięcie punktu B
spowodowane obrotem boku
spowodowane obrotem boku
o długości
o długości dx
dx
x
u
x
∂
∂
dx
x
u
x
∂
∂
( )
α
=
α
=
∂
∂
tg
x
u
y
dx
x
u
y
∂
∂
Definicje odkształceń
Definicje odkształceń
Zmiana położenia punktu B może być
Zmiana położenia punktu B może być
opisana wektorem
opisana wektorem
gdzie:
gdzie:
∂
∂
+
∂
∂
+
=
dy
y
u
u
dy
y
u
u
y
y
x
y
,
CC'
10
10
gdzie:
gdzie:
średnie odkształcenie elementu
średnie odkształcenie elementu
wydłużenie elementu na
wydłużenie elementu na
długości
długości dy
dy
kąt obrotu boku
kąt obrotu boku
prostokąta
prostokąta
przesunięcie punktu C
przesunięcie punktu C
spowodowane obrotem boku
spowodowane obrotem boku
o długości
o długości dy
dy
y
u
y
∂
∂
dy
y
u
y
∂
∂
( )
β
=
β
=
∂
∂
tg
y
u
x
dy
y
u
x
∂
∂
Definicje odkształceń
Definicje odkształceń
Odkształcenia podłużne (względne)
jest to stosunek wydłużenia do
pierwotnej długości czyli:
AB
B'
A'
−
=
ε
xx
11
11
AB
=
ε
xx
dx
=
AB
dx
x
u
dx
u
dx
x
u
u
dx
x
x
x
x
∂
∂
+
=
−
∂
∂
+
+
=
=
−
=
AA'
AB'
B'
A'
x
u
dx
dx
dx
x
u
dx
x
x
xx
∂
∂
=
−
∂
∂
+
=
ε
Definicje odkształceń
Definicje odkształceń
Odkształcenia podłużne (względne)
jest to stosunek wydłużenia do
pierwotnej długości czyli:
AD
D'
A'
−
=
ε
yy
12
12
AD
=
ε
yy
dy
=
AD
dy
y
u
dy
u
dy
y
u
u
dy
y
y
y
y
∂
∂
+
=
−
∂
∂
+
+
=
=
−
=
AD'
AD'
D'
A'
y
u
dy
dy
dy
y
u
dy
y
y
yy
∂
∂
=
−
∂
∂
+
=
ε
Definicje odkształceń
Definicje odkształceń
Odkształcenie postaciowe jest to połowa
kąta o który zmieni się kąt prosty BAD :
(
)
β
+
α
=
γ
2
1
xy
∂
13
13
2
( )
α
=
α
=
∂
∂
tg
x
u
y
( )
β
=
β
=
∂
∂
tg
y
u
x
kąt obrotu boku
kąt obrotu boku
prostokąta AB
prostokąta AB
kąt obrotu boku
kąt obrotu boku
prostokąta AD
prostokąta AD
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
y
u
x
u
x
y
xy
2
1
Tensor odkształceń
Tensor odkształceń
Odkształcenia elementu, wywołane działaniem naprężeń, zestawia się w
Odkształcenia elementu, wywołane działaniem naprężeń, zestawia się w
macierz, która nosi nazwę tensora stanu odkształceń
macierz, która nosi nazwę tensora stanu odkształceń
εεεεεεεε
a wygląda w
a wygląda w
następujący sposób:
następujący sposób:
γ
ε
γ
γ
γ
ε
=
xz
xy
xx
ε
a naprężenia
a naprężenia
ε
ii
i
γ
ij
są nazywane
są nazywane
składowymi tensora odkształceń. Powyższa
składowymi tensora odkształceń. Powyższa
macierz jest macierzą symetryczną czyli
macierz jest macierzą symetryczną czyli
14
14
ε
γ
γ
γ
ε
γ
=
zz
zy
zx
yz
yy
yx
ε
macierz jest macierzą symetryczną czyli
macierz jest macierzą symetryczną czyli
εεεε= εεεε
Τ
oraz
γ
ij
=
γ
ji
Definicje odkształceń w przestrzeni:
Definicje odkształceń w przestrzeni:
odkształcenia podłużne
odkształcenia podłużne
odkształcenia postaciowe
odkształcenia postaciowe
x
u
x
xx
∂
∂
=
ε
y
u
y
yy
∂
∂
=
ε
z
u
z
zz
∂
∂
=
ε
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
y
u
x
u
x
y
xy
2
1
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
y
u
z
u
z
y
yz
2
1
∂
∂
+
∂
∂
=
γ
z
u
x
u
x
z
xz
2
1
yx
xy
γ
=
γ
zy
yz
γ
=
γ
zx
xz
γ
=
γ
Równanie konstytutywne
Równanie konstytutywne
Równania konstytutywne są to równania opisujące
Równania konstytutywne są to równania opisujące
zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami.
zależności pomiędzy naprężeniami i odkształceniami.
γ
γ
ε
τ
τ
σ
15
15
ε
γ
γ
γ
ε
γ
γ
γ
ε
=
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
ε
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
=
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
σ
?
Równania te zależą od rodzaju materiału oraz stadium
Równania te zależą od rodzaju materiału oraz stadium
pracy konstrukcji (sprężysta, plastyczna) i zawierają
pracy konstrukcji (sprężysta, plastyczna) i zawierają
odpowiednie stałe materiałowe.
odpowiednie stałe materiałowe.
Równanie konstytutywne
Równanie konstytutywne
dla sprężystych ciał izotropowych
dla sprężystych ciał izotropowych
Materiały izotropowe to są takie materiały, które mają takie same własności
Materiały izotropowe to są takie materiały, które mają takie same własności
w każdym kierunku, np. stal, beton. Materiałem izotropowym nie jest
w każdym kierunku, np. stal, beton. Materiałem izotropowym nie jest
drewno.
drewno.
Na podstawie badań stwierdzono, że w przypadku niektórych materiałów
Na podstawie badań stwierdzono, że w przypadku niektórych materiałów
można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa
można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa
16
16
można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa
można stwierdzić, że w pewnym zakresie pracy materiału istnieje liniowa
zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami .
zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami .
Wykres próby rozciągania, na którym
zaznaczona jest granica sprężystości R
H
.
ε
σ
E
=
W strefie pracy sprężystej w jednoosiowej
próbie rozciągania zależność pomiędzy
odkształceniami i naprężeniami można
zapisać jako:
Odkształcenia w jednoosiowym
Odkształcenia w jednoosiowym
stanie rozciągania
stanie rozciągania
Jeżeli następuje wydłużenie wzdłuż osi
Jeżeli następuje wydłużenie wzdłuż osi
xx
, to w kierunkach prostopadłych
, to w kierunkach prostopadłych
następuje zwężenie
następuje zwężenie
d
d
−
Odkształcenie
poprzeczne
Odkształcenie
podłużne
l
∆
17
17
d
d
d
−
=
1
'
ε
l
l
∆
=
ε
Współczynnik Poissona
– stosunek odkształcenia poprzecznego
do odkształcenia podłużnego
ε
ε
ν
'
−
=
x
u
x
xx
∂
∂
=
ε
Odkształcenia podłużne przy działaniu naprężeń w jednym kierunku:
xx
yy
νε
−
=
ε
xx
zz
νε
−
=
ε
Zestawienie odkształceń
Zestawienie odkształceń
podłużnych
podłużnych
Zestawienie odkształceń podłużnych w przestrzennym stanie naprężeń
Zestawienie odkształceń podłużnych w przestrzennym stanie naprężeń
E
xx
xx
σ
=
ε
xx
σ
ν
−
=
σ
ν
−
=
νε
−
=
ε
xx
σ
ν
−
=
σ
ν
−
=
νε
−
=
ε
naprężenia działają wzdłuż osi
naprężenia działają wzdłuż osi xx
18
18
xx
xx
xx
yy
E
E
σ
−
=
ν
−
=
νε
−
=
ε
xx
xx
xx
zz
E
E
σ
−
=
ν
−
=
νε
−
=
ε
E
yy
yy
σ
=
ε
naprężenia działają wzdłuż osi
naprężenia działają wzdłuż osi yy
E
zz
zz
σ
=
ε
yy
yy
yy
xx
E
E
σ
ν
−
=
σ
ν
−
=
νε
−
=
ε
yy
yy
yy
zz
E
E
σ
ν
−
=
σ
ν
−
=
νε
−
=
ε
naprężenia działają wzdłuż osi
naprężenia działają wzdłuż osi zz
zz
zz
zz
xx
E
E
σ
ν
−
=
σ
ν
−
=
νε
−
=
ε
zz
zz
zz
yy
E
E
σ
ν
−
=
σ
ν
−
=
νε
−
=
ε
Zestawienie odkształceń
Zestawienie odkształceń
podłużnych
podłużnych
Odkształcenia od działania naprężeń normalnych w trzech kierunkach
Odkształcenia od działania naprężeń normalnych w trzech kierunkach
będzie sumą odkształceń od poszczególnych naprężeń czyli
będzie sumą odkształceń od poszczególnych naprężeń czyli
zz
yy
xx
xx
E
E
E
σ
ν
−
σ
ν
−
σ
=
ε
E
xx
xx
σ
=
ε
yy
xx
E
σ
ν
−
=
ε
zz
xx
E
σ
ν
−
=
ε
19
19
zz
xx
yy
yy
E
E
E
σ
ν
−
σ
ν
−
σ
=
ε
yy
xx
zz
zz
E
E
E
σ
ν
−
σ
ν
−
σ
=
ε
E
E
E
xx
yy
E
σ
ν
−
=
ε
E
yy
yy
σ
=
ε
zz
yy
E
σ
ν
−
=
ε
xx
zz
E
σ
ν
−
=
ε
E
zz
zz
σ
=
ε
yy
zz
E
σ
ν
−
=
ε
(
)
[
]
zz
yy
xx
xx
E
σ
+
σ
ν
−
σ
=
ε
1
lub w formie
lub w formie
(
)
[
]
zz
xx
yy
yy
E
σ
+
σ
ν
−
σ
=
ε
1
(
)
[
]
yy
xx
zz
zz
E
σ
+
σ
ν
−
σ
=
ε
1
Zestawienie odkształceń
Zestawienie odkształceń
postaciowych
postaciowych
Tak jak w przypadku odkształceń podłużnych na podstawie badań
Tak jak w przypadku odkształceń podłużnych na podstawie badań
stwierdzono zakres pracy materiału, który nazywany jest sprężystym i w
stwierdzono zakres pracy materiału, który nazywany jest sprężystym i w
odniesieniu do którego można zapisać:
odniesieniu do którego można zapisać:
xy
xy
τ
=
γ
2
20
20
G
xy
=
γ
2
W przypadku odkształceń postaciowych nie ma sprzężenia pomiędzy
W przypadku odkształceń postaciowych nie ma sprzężenia pomiędzy
odkształceniami w stanie przestrzennym. Odkształcenia postaciowe
odkształceniami w stanie przestrzennym. Odkształcenia postaciowe
ostateczne zależą tylko od naprężeń stycznych, działających w płaszczyźnie
ostateczne zależą tylko od naprężeń stycznych, działających w płaszczyźnie
zmiany kąta odkształcenia postaciowego.
zmiany kąta odkształcenia postaciowego.
G
yz
yz
τ
=
γ
2
G
xz
xz
τ
=
γ
2
Równania konstytutywne
Równania konstytutywne
w formie analitycznej
w formie analitycznej
Zależności
Zależności
Odkształcenia
Odkształcenia--naprężenia
naprężenia
(
)
[
]
zz
yy
xx
xx
E
σ
+
σ
ν
−
σ
=
ε
1
(
)
[
]
1
(
)
ε
+
ε
+
ε
ν
−
ν
+
ε
ν
+
=
σ
zz
yy
xx
xx
xx
E
2
1
1
(
)
ν
E
Zależności
Zależności
naprężenia
naprężenia--odkształcenia
odkształcenia
21
21
G
xy
xy
2
τ
=
γ
G
yz
yz
2
τ
=
γ
G
xz
xz
2
τ
=
γ
(
)
[
]
zz
xx
yy
yy
E
σ
+
σ
ν
−
σ
=
ε
1
(
)
[
]
yy
xx
zz
zz
E
σ
+
σ
ν
−
σ
=
ε
1
xy
xy
G
γ
=
τ
2
(
)
ε
+
ε
+
ε
ν
−
ν
+
ε
ν
+
=
σ
zz
yy
xx
yy
yy
E
2
1
1
(
)
ε
+
ε
+
ε
ν
−
ν
+
ε
ν
+
=
σ
zz
yy
xx
zz
zz
E
2
1
1
yz
yz
G
γ
=
τ
2
xz
xz
G
γ
=
τ
2
Stałe materiałowe
Stałe materiałowe
W równaniach konstytutywnych występują stałe materiałowe:
W równaniach konstytutywnych występują stałe materiałowe:
E
E
–
– moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej
moduł Younga, moduł sprężystości podłużnej
G
G
–
– moduł
moduł Kirchoffa
Kirchoffa, moduł sprężystości postaciowej
, moduł sprężystości postaciowej
νν
–
– współczynnik Poissona
współczynnik Poissona
E
22
22
νν
–
– współczynnik Poissona
współczynnik Poissona
Wszystkie powyższe parametry łączy zależność:
Wszystkie powyższe parametry łączy zależność:
(
)
ν
+
=
1
2
E
G
W przypadku zapisu równań konstytutywnych za pomocą rachunku
W przypadku zapisu równań konstytutywnych za pomocą rachunku
tensorowego dochodzą dwie stałe
tensorowego dochodzą dwie stałe
λλ
i
i
µµ
, nazywane stałymi
, nazywane stałymi Lamego
Lamego.
.
Pomiędzy stałymi
Pomiędzy stałymi Lamego
Lamego a wyżej wymienionymi stałymi istnieją
a wyżej wymienionymi stałymi istnieją
zależności:
zależności:
G
=
µ
ν
−
ν
=
λ
2
1
2 G
Równania konstytutywne
Równania konstytutywne
w formie analitycznej
w formie analitycznej
Składowe tensorów naprężeń i odkształceń można zapisać w formie
Składowe tensorów naprężeń i odkształceń można zapisać w formie
wektorów:
wektorów:
σ
σ
σ
=
zz
yy
xx
σ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
=
yz
yy
yx
xz
xy
xx
σ
23
23
τ
τ
τ
=
yz
xz
xy
zz
σ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
ε
ε
γ
γ
γ
ε
γ
γ
γ
ε
=
zz
zy
zx
yz
yy
yx
xz
xy
xx
ε
σ
τ
τ
τ
σ
τ
=
zz
zy
zx
yz
yy
yx
σ
yx
xy
τ
=
τ
zy
yz
τ
=
τ
zx
xz
τ
=
τ
yx
xy
γ
=
γ
zy
yz
γ
=
γ
zx
xz
γ
=
γ
Równania konstytutywne
Równania konstytutywne
w formie analitycznej
w formie analitycznej
Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w
Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w
formie:
formie:
ε
=
σ
D
24
24
gdzie:
gdzie:
stałe
stałe Lamego
Lamego
τ
τ
τ
σ
σ
σ
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
σ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
ε
+
+
+
=
µ
µ
µ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
D
G
=
µ
ν
−
ν
=
λ
2
1
2 G
Równania konstytutywne
Równania konstytutywne
w formie analitycznej
w formie analitycznej
Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w
Zależność pomiędzy naprężeniami i odkształceniami można zapisać w
formie:
formie:
ε
=
σ
D
25
25
gdzie:
gdzie:
stałe
stałe Lamego
Lamego
τ
τ
τ
σ
σ
σ
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
σ
γ
γ
γ
ε
ε
ε
=
yz
xz
xy
zz
yy
xx
ε
+
+
+
=
µ
µ
µ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
λ
λ
λ
µ
λ
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
2
D
G
=
µ
ν
−
ν
=
λ
2
1
2 G
Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia
Płaski element, którego grubość jest znacznie mniejsza od dwóch
Płaski element, którego grubość jest znacznie mniejsza od dwóch
pozostałych, obciążony tylko w swojej płaszczyźnie nazywany jest tarczą. W
pozostałych, obciążony tylko w swojej płaszczyźnie nazywany jest tarczą. W
takiej sytuacji na powierzchni elementu nie ma obciążeń, a więc nie ma
takiej sytuacji na powierzchni elementu nie ma obciążeń, a więc nie ma
naprężeń czyli naprężenia, które mają jeden z indeksów „z”, są równe zero.
naprężeń czyli naprężenia, które mają jeden z indeksów „z”, są równe zero.
Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim stanem naprężeń (PSN).
Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim stanem naprężeń (PSN).
Tarcza obciążona tylko w
Tarcza obciążona tylko w
swojej płaszczyźnie.
swojej płaszczyźnie.
Płaski stan naprężenia (PSN)
Płaski stan naprężenia (PSN)
W płaskim stanem naprężeń (PSN), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie
W płaskim stanem naprężeń (PSN), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie xy
xy, to
, to
następujące naprężenia są równe zero:
następujące naprężenia są równe zero:
a tensor naprężeń przyjmuje formę
a tensor naprężeń przyjmuje formę
0
=
σ
zz
0
=
τ
=
τ
zy
yz
0
=
τ
=
τ
zx
xz
σ
τ
τ
σ
=
0
0
yy
yx
xy
xx
σ
a tensor naprężeń przyjmuje formę
a tensor naprężeń przyjmuje formę
Naprężenia różne od
Naprężenia różne od
zera w przestrzeni
zera w przestrzeni
Naprężenia różne od zera na
Naprężenia różne od zera na
płaszczyźnie tarczy
płaszczyźnie tarczy
σ
τ
=
0
0
0
0
yy
yx
σ
Płaski stan naprężenia (PSN)
Płaski stan naprężenia (PSN)
Ponieważ następujące naprężenia są równe zero:
Ponieważ następujące naprężenia są równe zero:
to równania konstytutywne przyjmują formę:
to równania konstytutywne przyjmują formę:
0
=
σ
zz
0
=
τ
=
τ
zy
yz
0
=
τ
=
τ
zx
xz
(
)
[
]
0
1
+
σ
ν
−
σ
=
ε
yy
xx
xx
E
[
]
yy
xx
xx
E
νσ
−
σ
=
ε
1
[
]
1
G
xy
xy
2
τ
=
γ
G
yz
2
0
=
γ
G
xz
2
0
=
γ
E
(
)
[
]
0
1
+
σ
ν
−
σ
=
ε
xx
yy
yy
E
(
)
[
]
yy
xx
zz
E
σ
+
σ
ν
−
=
ε
0
1
ε
ε
γ
γ
ε
=
zz
yy
yx
xy
xx
0
0
0
0
ε
czyli tensor odkształceń przyjmuje formę
G
xy
xy
2
τ
=
γ
[
]
xx
yy
yy
E
νσ
−
σ
=
ε
1
(
)
yy
xx
zz
E
σ
+
σ
ν
−
=
ε
Płaski stan odkształcenia
Płaski stan odkształcenia
W przypadku budowli, których wymiary są we wszystkich kierunkach
W przypadku budowli, których wymiary są we wszystkich kierunkach
podobne, można wyciąć płaski element. Na ten płaski element działają
podobne, można wyciąć płaski element. Na ten płaski element działają
pozostałe części bryły, które nie pozwalają na odkształcenia w kierunku
pozostałe części bryły, które nie pozwalają na odkształcenia w kierunku
prostopadłym do tarczy. W takiej sytuacji na powierzchni elementu
prostopadłym do tarczy. W takiej sytuacji na powierzchni elementu
odkształcenia są równe zero. Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim
odkształcenia są równe zero. Taki stan naprężeń nazywany jest płaskim
stanem odkształceń (PSO).
stanem odkształceń (PSO).
stanem odkształceń (PSO).
stanem odkształceń (PSO).
Bryła
Wycięta tarcza
Płaski stan odkształcenia
Płaski stan odkształcenia
(PSO)
(PSO)
W płaskim stanem odkształcenia (PSO), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie
W płaskim stanem odkształcenia (PSO), jeżeli tarcza jest w płaszczyźnie xy
xy,
,
to następujące odkształcenia są równe zero:
to następujące odkształcenia są równe zero:
a tensor odkształceń przyjmuje formę
a tensor odkształceń przyjmuje formę
0
=
ε
zz
0
=
γ
=
γ
zy
yz
0
=
γ
=
γ
zx
xz
ε
γ
γ
ε
=
0
0
yy
yx
xy
xx
ε
a tensor odkształceń przyjmuje formę
a tensor odkształceń przyjmuje formę
ε
γ
=
0
0
0
0
yy
yx
ε
(
)
+
ε
+
ε
ν
−
ν
+
ε
ν
+
=
σ
0
2
1
1
yy
xx
xx
xx
E
(
)
+
ε
+
ε
ν
−
ν
+
ε
ν
+
=
σ
0
2
1
1
yy
xx
yy
yy
E
(
)
+
ε
+
ε
ν
−
ν
+
ν
+
=
σ
0
2
1
0
1
yy
xx
zz
E
Natomiast naprężenia wynoszą:
xy
xy
G
γ
=
τ
2
0
2
⋅
=
τ
G
yz
0
2
⋅
=
τ
G
xz
σ
σ
τ
τ
σ
=
zz
yy
yx
xy
xx
0
0
0
0
σ
Tensor naprężeń:
Porównanie PSO i PSN
Porównanie PSO i PSN
Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia
PSN
PSN
σ
τ
τ
σ
=
xy
xx
0
0
σ
Tensor stanu
σ
τ
τ
σ
=
0
0
xy
xx
σ
Płaski stan naprężenia
Płaski stan naprężenia
PSO
PSO
ε
γ
γ
ε
=
0
0
0
0
0
yy
yx
xy
xx
ε
σ
σ
τ
=
zz
yy
yx
0
0
0
σ
Tensor stanu
naprężeń:
σ
τ
=
0
0
0
0
yy
yx
σ
ε
ε
γ
γ
ε
=
zz
yy
yx
xy
xx
0
0
0
0
ε
Tensor stanu
odkształceń:
Porównanie PSO i PSN
Porównanie PSO i PSN
Przykład obliczeniowy:
Przykład obliczeniowy:
Tarcza obciążona siłami
Tarcza obciążona siłami
skupionymi o wartości
skupionymi o wartości
10kN, zamocowana na
10kN, zamocowana na
10kN, zamocowana na
10kN, zamocowana na
dole.
dole.
Zadanie rozwiązane zostało
Zadanie rozwiązane zostało
metodą elementów
metodą elementów
skończonych w PSN i PSO.
skończonych w PSN i PSO.
Uwaga: w PSO obliczenia wykonuje
Uwaga: w PSO obliczenia wykonuje
się w odniesieniu do grubości o
się w odniesieniu do grubości o
wartości 1 i dlatego nie przyjmuje
wartości 1 i dlatego nie przyjmuje
się grubości.
się grubości.
Porównanie PSO i PSN
Porównanie PSO i PSN
Porównanie PSO i PSN
Porównanie PSO i PSN
Porównanie PSO i PSN
Porównanie PSO i PSN
Jak widać naprężenia mają
Jak widać naprężenia mają
podobny rozkład, ale różnią
podobny rozkład, ale różnią
się wartościami.
się wartościami.
Natomiast
Natomiast
najważniejszą
najważniejszą
różnicą jeżeli chodzi
różnicą jeżeli chodzi
o naprężenia jest, to
o naprężenia jest, to
że:
że:
σσ
zz
zz
=0 dla PSN
=0 dla PSN
a
a
σσ
zz
zz
≠≠
0
0 dla PSO.
dla PSO.
Koniec
Koniec
36
36
Koniec
Koniec