CZAS PRACY: 120 MINUT
LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50
Zadanie 1.
(4 pkt)
Rozwiąż nierówność
.
Zadanie 2.
(6 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
ma dwa
różne pierwiastki rzeczywiste
takie, że
.
Zadanie 3.
(4 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których wykres wielomianu
ma dokładnie dwa punkty wspólne z osią Ox.
Zadanie 4.
(4 pkt)
Wykaż, że dla każdych dodatnich liczb rzeczywistych a
,
b
,
c
,
d
prawdziwa jest nierówność
.
Zadanie 5.
(5 pkt)
Rozwiąż równanie
.
Zadanie 6.
(4 pkt)
Trzy liczby, których suma jest równa 26, są jednocześnie trzema kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego oraz drugim, trzecim i szóstym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Wy-
znacz te liczby.
Zadanie 7.
(5 pkt)
Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje
dokładnie raz cyfra 1, oraz dokładnie dwa razy cyfra 2.
Zadanie 8.
(4 pkt)
W trójkącie prostokątnym
ABC
odcinek
CD
jest wysokością opuszczoną na przeciwprosto-
kątną
AB
. Obwód trójkąta
ADC
jest równy 40, a obwód trójkąta
BDC
jest równy 24. Oblicz ob-
wód trójkąta
ABC
.
Zadanie 9.
(4 pkt)
Długości przekątnych rombu o kącie ostrym 45
o
są równe
e
oraz f
.
Wykaż, że
.
Zadanie 10.
(4 pkt)
Punkty
oraz
leżą na okręgu, którego środek leży na prostej o równaniu
. Wyznacz równanie tego okręgu.
Zadanie 11.
(6pkt)
Dany jest zbiór trójkątów równoramiennych o obwodzie 24. Oblicz długości boków trójkąta
należącego do tego zbioru, który przy obrocie dookoła prostej zawierającej jego podstawę o kąt
360
o
wyznacza bryłę o największej objętości.
ROZWIĄZANIA
Zadanie 1.
(4 pkt)
Wyróżniamy na osi liczbowej parami rozłączne przedziały, których sumą jest zbiór wszystkich
liczb rzeczywistych:
,
,
.
Zapisujemy nierówność w każdym z przedziałów i rozwiązujemy układy nierówności
1.
albo
2.
; brak rozwiązań
albo
3.
Zapisujemy odpowiedź
Odpowiedź:
.
Zadanie 2.
(6 pkt)
Zapisujemy warunki zadania
i kolejno je rozwiązujemy:
1.
,
2.
Korzystając ze wzorów Viete’a otrzymujemy
i nierówność jest postaci
Rozwiązaniem tej nierówności jest
.
Rozwiązaniem zadania jest część wspólna rozwiązań warunku 1. oraz 2. czyli
.
Odpowiedź:
.
Zadanie 3.
(4 pkt)
Zapisujemy wielomian w postaci iloczynowej
Jednym z punktów wspólnych wielomianu W z osią Ox jest
.
Jeżeli
, to innych punktów wspólnych nie ma.
Jeśli
, to punkt
też jest punktem wspólnym.
Jeśli
, to punktami wspólnymi są też
i
. Jednym z nich ma być
.
2, 0
, 0
m
, 0
m
0
m
!
0, 0
0
m
0
m
2, 0
5
4
3
2
2
2
4
2
2
2
4
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
W x
x
x
mx
mx
m x
m
x
x
mx
x
m
x
x
x
mx
m
x
x
m
2;
m
f
2;
m
f
2;1
2;
m
f
3
2
3
4
m
m
m
m
!
3
2
4
4
0
m
m
m
!
2
1
4
1
0
m
m
m
!
2
1
4
0
m
m
!
1
2
2
0
m
m
m
!
3
3
2
3
1
2
3
3
x
x
m m
m
m
3
3
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1 2
2
1
2
1
1 2
2
1 2
2
1
2
1
2
1 2
2
3
3
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
x
x x
0
; 2
2;
m
' !
f
f
2
4
m
'
3
3
2
1
2
1.
0
2.
4
x
x
m
m
' !
®
!
¯
; 4
7, 5 ;
x
f
f
3
2 3
9
23
x
x
x
t
® !
¯
3
4
30
x
x
t
®
!
¯
7, 5
x
!
2
3
2 3
9
23
x
x
x
d
® !
¯
2
3
2
12
x
x
d
® !
¯
2
2 3
9
23
x
x
x
® !
¯
2
4
16
x
x
® !
¯
4
x
3;
f
2;3
; 2
f
3
0
x
y
5,10
B
9,12
A
2 1
e
f
e
f
2
2
cos 2
3 sin 2
cos
7 sin
x
x
x
x
a c b d
ab
cd
t
5
4
3
2
2
2
2
2
4
2
W x
x
x
mx
mx
m x
m
3
3
2
1
2
4
x
x
m
m
!
1
2
,
x
x
2
1
0
x
mx
2
3
9
23
x
x
!
1
Środa 27 kwietnia 2011
1
Gazeta Wyborcza
1
wyborcza.pl
32
Gazeta Edukacja
Sprawdź,
czy zdasz!
Matura
Poziom rozszerzony
Maturzysto!
Już za tydzień egzaminy. A już dziś drukujemy próbną maturę z matematyki na poziomie
rozszerzonym przygotowaną przez naszych ekspertów. Jutro – angielski i niemiecki
Próbna
matura
2011
matematyka
R
E
K
L
A
M
A
Partner
radiowy
Studia w kraju, za granicą, a może rok przerwy? Co planują tegoroczni maturzyści
po egzaminie, słuchaj w Faktach RMF FM.
Jakie stroje na egzamin dojrzałości są modne w tym roku, co powinny ubrać maturzystki,
a co maturzyści? Słuchaj w Faktach RMF MAXXX
30680131
Stąd wynika, że aby były dwa punkty wspólne, to
, czyli
.
Odpowiedź:
,
.
Zadanie 4. (4 pkt)
Obie strony nierówności są dodatnie, po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy
nierówności równoważne:
.
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
.
Podnosząc jeszcze raz obie strony do kwadratu, otrzymujemy
,
czyli
.
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a
, b, c, d
.
Zadanie 5. (5 pkt)
Korzystając ze wzorów na
oraz
, zapisujemy równanie w postaci
,
czyli
nie jest rozwiązaniem tego równania, możemy więc obie strony tego równania po-
dzielić przez
.
Otrzymujemy
czyli
Stąd
albo
.
Odpowiedź:
, gdzie k jest liczbą całkowitą
albo
, gdzie k jest liczbą całkowitą.
Zadanie 6. (4 pkt)
Oznaczmy przez
a
pierwszą z trzech liczb (najmniejszą) oraz przez r różnicę ciągu arytme-
tycznego;
. Liczby możemy zapisać w postaci:
(
a
oznacza drugi wyraz cią-
gu arytmetycznego).
Znając sumę tych liczb oraz własność ciągu geometrycznego, zapisujemy układ równań
Po przekształceniach otrzymujemy układ równań
Z drugiego równania wynika, że
lub
, a to rozwiązanie jest sprzeczne z założeniem.
Stąd
, czyli
,
.
Odpowiedź: Liczby opisane w treści zadania, to 2, 6, 18.
Zadanie 7. (5 pkt)
Stwierdzamy, że są trzy parami rozłączne przypadki. Pierwszą cyfrą tej liczby może być:
1. cyfra 1,
2. cyfra 2,
3. cyfra należąca do zbioru
.
Obliczamy, ile jest liczb w każdym przypadku.
ad. 1.
ad. 2.
ad. 3.
Odpowiedź: Łącznie jest
takich liczb.
Zadanie 8. (4 pkt)
Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy
oznaczenia:
.
Oznaczmy przez
p
obwód trójkąta
ABC.
Trójkąty
ADC
oraz
ABC
są podobne, stąd
.
Trójkąty
BDC
oraz
ABC
są podobne, stąd
.
Zapisujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta
ABC
i przekształcamy tę równość
,
stąd
.
Odpowiedź: Obwód trójkąta
ABC
jest równy
.
Zadanie 9. (4 pkt)
Rysujemy rysunek pomocniczy i wprowadzamy oznaczenia:
,
.
Stosując twierdzenie kosinusów do trójkątów
BAD
oraz
ABC,
otrzymujemy
.
Stąd
, co należało wykazać.
Zadanie 10. (4 pkt)
Środek
S
okręgu to punkt wspólny podanej prostej oraz symetralnej odcinka
AB
. Symetralna
odcinka
AB
ma równanie
. (Punkt
leży na symetralnej odcinka
AB
wte-
dy i tylko wtedy, gdy
).
Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań
Otrzymujemy
.
Obliczamy kwadrat promienia r okręgu:
.
Odpowiedź: Równanie okręgu jest postaci:
.
Zadanie 11. (6 pkt)
Wprowadzamy oznaczenia jak na rysunku
, czyli
.
Bryła powstała z obrotu trójkąta dookoła prostej
AB
to suma dwóch przystających stożków
o promieniu
i wysokości
.
Zapisujemy wzór funkcji
: objętość bryły w zależności od x,
Funkcja V przyjmuje największą wartość dla
.
Odpowiedź: Wymiary trójkąta są następujące: podstawa ma długość 6, ramiona mają długość 9.
3
x
1
2
12 12 2
16
6
3
V x
x
x
x
x
S
S
0; 6
x
V
V x
2
1
2
3
V
r
x
S
2
2
2
12 12 2
r
y
x
y
x
y
x
x
h
x
r
DC
12
x
y
2
2
24
x
y
A
B
C
D
x
x
y
y
.
2
2
28
31
2210
x
y
2
2
2210
r
AS
28, 31
S
3
0
2
25
0
x
y
x
y
®
¯
AP
BP
,
P
x y
2
25
0
x
y
2 1
e
f
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3 2 2
2 1
2
2
2
a
e
f
a
2
2
2
2
2
2
2
cos 45
2
2
2
2
e
a
a
a a
a
a
a
q
2
2
2
2
2
2
2
cos135
2
2
2
2
f
a
a
a a
a
a
a
q
A
B
C
D
a
a
a
45
q
,
BD
e
AC
f
AB
BC
CD
DA
a
8 34
2176
8 34
p
2
2
2
c
a
b
2
2
2
2
2
24
40
2176
1
a
b
c
c
p
p
p
§
·
§
·
§ ·
§ ·
¨
¸
¨
¸
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
©
¹
©
¹
24
a
c
p
40
b
c
p
,
,
BC
a
AC
b
AB
c
A
B
C
D
a
b
c
.
5120 10240 13440
28800
2
5
4
7
8
13440
1
2
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
3
5
4
1
8
10240
1
1
§ · § ·
¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹
3
5
1
8
5120
2
§ ·
¨ ¸
© ¹
^
`
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
4
r
2
a
2
r
a
0
r
2
r
a
3
5
26
2
0
a
r
r r
a
®
¯
2
4
26
4
a
a
r
a
r
a
r
a a
r
°
®
°¯
,
,
4
a
a
r
a
r
0
r
!
5
6
x
k
S
S
x
k
S
3
tg
3
x
tg
0
x
3
tg
tg
0
3
x
x
§
·
¨
¸
¨
¸
©
¹
2
3
tg
tg
0
3
x
x
2
6 cos x
cos
0
x
2
6 sin
2 3 sin cos
0
x
x
x
2
2
2
2
cos
sin
3 2 sin cos
cos
7 sin
x
x
x
x
x
x
sin 2
D
cos 2
D
2
0
ad
bc
t
2
2
2
4
ad
bc
abcd
abcd
t
2
ad
bc
abcd
t
2
a c b d
ab cd
abcd
t
2
4
m
1
0
m
4
m
2
m
1
Próbna matura z matematyki
1
Gazeta Edukacja
33
wyborcza.pl
1
Gazeta Wyborcza
1
Środa 27 kwietnia 2011
O
G
Ł
O
S
Z
E
N
I
E
W
Ł
A
S
N
E
W
Y
D
A
W
C
Y
Od jutra
w kioskach
WIEDZA O KULTURZE
co czwartek kolejny tom
ZAMÓWIENIA PRZYJMUJEMY NA
LUB POD NUMEREM TELEFONU 801 130 000
KOSZT POŁĄCZENIA WYNOSI 0,29 ZŁ W SIECI TP SA
P
O
L
E
C
A
J
Ą
Sprawdzasz i wiesz
n
ponad 1000 zwięzłych haseł,
pojęć i terminów
n
kulturoznawstwo
n
tradycje i nurty teatralne
n
gatunki sztuki filmowej
NOWA SERIA
SŁOWNIKÓW TEMATYCZNYCH
NIEZBĘDNA DLA UCZNIA
30701557