Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
1
Zadanie 1
Na rysunku przedstawiono spos
ób obci¹¿enia belki siù¹ skupion¹ P o staùej wartoœci,
kierunku dzia
ùania i zwrocie. Belka wykonana zostaùa ze stali S235 i posiada na caùej
d
ùugoœci staùy przekrój.
P
a
L
B
z
A
y
x
W zadaniu nale
¿y przeprowadziã obliczenia maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych
g
,
maksymalnej strza
ùki ugiêcia f oraz masy belki m dla dziewiêciu najczêœciej stosowanych
przekroi. Ich kszta
ùt i wymiary okreœlono na rysunkach poni¿ej. Analizê wymienionych
parametr
ów nale¿y przeprowadziã dla czterech przypadków belek charakteryzuj¹cych siê:
a)
sta
ù¹ wartoœci¹ jednego z gùównych wymiarów przekroju,
b)
sta
ù¹ wartoœci¹ maksymalnej strzaùki ugiêcia,
c)
sta
ù¹ wartoœci¹ maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych,
d)
sta
ù¹ mas¹.
Dane:
Szukane:
P = 4000 N
g
= ?
a = 500 mm
f = ?
L = 1000 mm
m = ?
E = 2.1
10
5
MPa
= 7.86 kg/dm
3
Rozwi
¹zanie:
1. Reakcje w podporach
R
A
= R
B
= P/2 = 2000 N
2. Moment gn
¹cy
M
g
= R
A
a = 2000 500 =1 000 000 Nmm = 1 000 Nm
0
M
g
M
g
=R
A
a
pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
2
3. Obliczenia napr
ê¿eñ zginaj¹cych
g
, strza
ùki ugiêcia f oraz masy m dla belki
posiadaj
¹cej staù¹ wartoœci¹ jednego z gùównych wymiarów przekroju
a. Kwadratowym (pr
êt kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: H = 60 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
H
4
= 1080000 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
6
H
3
= 36000 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = H
2
= 3600 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
1080000
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 0.367 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
36000
10
1000
W
M
3
x
g
= 27.8
MPa
Masa belki
m = V
= S L = (3600 1000 0,000001) 7.86 = 28.4 kg
b. Kwadratowym (pr
êt kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: H = 60 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
H
4
= 1080000 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
3
H
12
2
= 25455.8 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = H
2
= 3600 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
1080000
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 0.367 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
8
.
25455
10
1000
W
M
3
x
g
= 39.3
MPa
Masa belki
m = V
= S L = (3600 1000 0,000001) 7.86 = 28.4 kg
H
x
x
y
y
H
H
x
x
y
y
H
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
3
c. Prostok
¹tnym (pùaskownik)
Przyj
êto wymiary: H = 60 mm, B = 15 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
H
B
3
= 270000 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
6
H
B
2
= 9000 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = H
2
= 900 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
270000
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 1.470 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
9000
10
1000
W
M
3
x
g
= 111.1 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (900 1000 0,000001) 7.86 = 7.1 kg
d. Prostok
¹tnym (pùaskownik)
Przyj
êto wymiary: H = 60 mm, B = 15 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
y
=
12
B
H
3
= 16875 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
y
=
6
B
H
2
= 2250 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = H
2
= 900 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
16875
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
y
3
= 23.5 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
2250
10
1000
W
M
3
y
g
= 444.4 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (900 1000 0,000001) 7.86 = 7.1 kg
B
x
x
y
y
H
H
y
y
x
x
B
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
4
e. Ko
ùowym (prêt okr¹gùy)
Przyj
êto wymiary: D = 60 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
64
D
4
= 636172.5 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
32
D
3
= 21205.8 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S =
4
D
2
= 2827.4 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
5
.
636172
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 0.624 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
8
.
21205
10
1000
W
M
3
x
g
= 47.2 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (2827.4 1000 0,000001) 7.86 = 22.2 kg
f. Pier
œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)
Przyj
êto wymiary: D = 60 mm, g = 5 mm, d = D – 2g
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
64
d
D
4
4
= 329376.4 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
D
d
D
32
4
4
= 10979.2
mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S =
4
d
D
2
2
= 863.9 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
4
.
329376
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 1.20 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
2
.
10979
10
1000
W
M
3
x
g
= 91.1 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (863.9 1000 0,000001) 7.86 = 6.8 kg
D
x
x
y
y
D
x
x
y
y
g
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
5
g. Kwadratowym
„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: H = 60 mm, g = 5 mm, h = H – 2g
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
h
H
4
4
= 559166.7 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
H
h
H
6
1
4
4
= 18638.9
mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S =
2
2
h
H
= 1100 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
7
.
559166
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 0.71 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
9
.
18638
10
1000
W
M
3
x
g
= 53.7 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (1100 1000 0,000001) 7.86 = 8.6 kg
h. Kwadratowym
„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: H = 60 mm, g = 5 mm, h = H – 2g
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
h
H
4
4
= 559166.7 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
H
h
H
12
2
4
4
= 13179.7
mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S =
2
2
h
H
= 1100 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
7
.
559166
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 0.71 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
7
.
13179
10
1000
W
M
3
x
g
= 75.9 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (1100 1000 0,000001) 7.86 = 8.6 kg
H
x
x
y
y
g
H
H
x
x
y
y
g
H
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
6
i. Prostok
¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny)
Przyj
êto wymiary: H = 60 mm, B = 40 mm, g = 5 mm
h = H
– 2g, b = B – 2g
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
h
b
H
B
3
3
= 407500 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
H
6
h
b
H
B
3
3
= 13583.3 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S =
h
b
H
B
= 900 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
407500
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 0.97 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
3
.
13583
10
1000
W
M
3
x
g
= 73.6 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (900 1000 0,000001) 7.86 = 7.1 kg
x
x
y
y
H
B
g
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
7
4. Obliczenia napr
ê¿eñ zginaj¹cych
g
oraz masy
m dla belki posiadaj¹cej staù¹ wartoœã
maksymalnej strzaùki ugiêcia f
W obliczeniach przyj
êto, i¿ belkê bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã strzaùki ugiêcia
f = 1mm. Po przekszta
ùceniu wzoru na strzaùkê ugiêcia okreœlono wartoœã osiowego
momentu bezw
ùadnoœci I
x
wymaganego dla analizowanych przekroi
1
210000
48
1000
4000
f
E
48
L
P
I
3
3
x
= 396825.4 mm
4
Warto
œã osiowego momentu bezwùadnoœci posùu¿y do wyznaczenia wymiarów belki.
a. Kwadratowym (pr
êt kwadratowy)
Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy moment bezw
ùadnoœci
H =
4
4
x
4
.
396825
12
I
12
= 46.7 mm
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
6
H
3
= 16989.6 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = H
2
= 2182.2 mm
2
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
6
.
16989
10
1000
W
M
3
x
g
= 58.9
MPa
Masa belki
m = V
= S L = (2182.2 1000 0,000001) 7.86 = 17.2 kg
b. Kwadratowym (pr
êt kwadratowy)
Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy moment bezw
ùadnoœci
H =
4
4
x
4
.
396825
12
I
12
= 46.7 mm
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
3
H
12
2
= 12013.5 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = H
2
= 2182.2 mm
2
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
5
.
12013
10
1000
W
M
3
x
g
= 83.2
MPa
Masa belki
m = V
= S L = (2182.2 1000 0,000001) 7.86 = 17.2 kg
H
x
x
y
y
H
H
x
x
y
y
H
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
8
c. Prostok
¹tnym (pùaskownik)
Przyj
êto, ¿e wymiar B =
H
4
1
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy moment bezw
ùadnoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H =
4
4
x
4
.
396825
48
I
48
= 66.1 mm
B =
H
4
1
=16.5 mm
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
6
H
B
2
= 12013.5 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S =
H
B
= 1091.1 mm
2
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
5
.
12013
10
1000
W
M
3
x
g
= 83.2 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (1091.1 1000 0,000001) 7.86 = 8.6 kg
d. Prostok
¹tnym (pùaskownik)
Przyj
êto, ¿e wymiar B =
H
4
1
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy moment bezw
ùadnoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H =
4
4
y
4
.
396825
768
I
768
= 132.1 mm
B =
H
4
1
=33.0 mm
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
y
=
6
B
H
2
= 24027.0 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S =
H
B
= 4364.4 mm
2
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
0
.
24027
10
1000
W
M
3
y
g
= 41.6 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (4364.4 1000 0,000001) 7.86 = 34.3 kg
B
x
x
y
y
H
H
y
y
x
x
B
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
9
e. Ko
ùowym (prêt okr¹gùy)
Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy moment bezw
ùadnoœci
D =
4
4
x
4
.
396825
64
I
64
= 53.3 mm
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
= 14884.1 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 2233.1 mm
2
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 67.2 MPa
Masa belki
m = 17.6 kg
f. Pier
œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)
Przyj
êto wymiary: g =
D
25
2
, d = D
– 2g =
D
25
21
Úrednicê D przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy moment bezw
ùadnoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
D =
4
4
x
12259
4
.
396825
1562500
12259
I
1562500
= 63.3 mm
d =
3
.
63
25
21
D
25
21
= 53.2 mm
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
= 12529.3
mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 927.8 mm
2
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 79.8 MPa
Masa belki
m = 7.3 kg
D
x
x
y
y
D
x
x
y
y
g
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
10
g. Kwadratowym
„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: g =
H
25
2
, h = H
– 2g =
H
25
21
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy moment bezw
ùadnoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H=
4
4
x
49036
4
.
396825
1171875
49036
I
1171875
= 55.5 mm
h =
5
.
55
25
21
H
25
21
= 46.6 mm
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
H
h
H
6
1
4
4
= 14301.7
mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S =
2
2
h
H
= 906.6 mm
2
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
7
.
14301
10
1000
W
M
3
x
g
= 69.9 MPa
Masa belki
m = V
= S L = (906.6 1000 0,000001) 7.86 = 7.1 kg
h. Kwadratowym
„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: g =
H
25
2
, h = H
– 2g =
H
25
21
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy moment bezw
ùadnoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H=
4
4
x
49036
4
.
396825
1171875
49036
I
1171875
= 55.5 mm
h =
5
.
55
25
21
H
25
21
= 46.6 mm
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
= 10112.8
mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 906.6 mm
2
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 98.9 MPa
Masa belki
m = 7.1 kg
H
x
x
y
y
g
H
H
x
x
y
y
g
H
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
11
i. Prostok
¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny)
Przyj
êto wymiary: g =
H
25
2
, h = H
– 2g =
H
25
21
B =
H
3
2
, b = B
– 2g =
H
75
38
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy moment bezw
ùadnoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H =
4
4
x
107333
4
.
396825
3515625
107333
I
3515625
= 60.0 mm
B =
0
.
60
3
2
H
3
2
= 40.0 mm
h =
0
.
60
25
21
H
25
21
= 50.4 mm
b =
0
.
60
75
38
H
75
38
= 30.4 mm
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
= 13217.9 mm
3
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 869.1 mm
2
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 75.7 MPa
Masa belki
m = 6.8 kg
x
x
y
y
H
B
g
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
12
5. Obliczenia strza
ùki ugiêcia f oraz masy m dla belki posiadaj¹cej staù¹ wartoœã
maksymalnych naprê¿eñ zginaj¹cych
g
W obliczeniach przyj
êto, i¿ belkê bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã maksymalnych
napr
ê¿eñ zginaj¹cych
g
= 100 MPa. Na tej podstawie okre
œlono wartoœã osiowego
wska
ênika wytrzymaùoœci W
x
, jakim powinien charakteryzowa
ã przekrój
100
10
1000
M
W
3
g
g
x
= 10 000 mm
3
Warto
œã osiowego wskaênika wytrzymaùoœci posùu¿y do wyznaczenia wymiarów przekroju
belki.
a. Kwadratowym (pr
êt kwadratowy)
Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
H =
3
3
x
10000
6
W
6
= 39.1 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
H
4
= 195743.4 mm
4
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = H
2
= 1532.6 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
4
.
195743
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 2.03 mm
Masa belki
m = V
= S L = (1532.6 1000 0,000001) 7.86 = 12.0 kg
b. Kwadratowym (pr
êt kwadratowy)
Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
H =
3
3
x
2
10000
12
2
W
12
= 43.9 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 310723.3 mm
4
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 1931.0 mm
2
H
x
x
y
y
H
H
x
x
y
y
H
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
13
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 1.28 mm
Masa belki
m = 15.2 kg
c. Prostok
¹tnym (pùaskownik)
Przyj
êto, ¿e wymiar B =
H
4
1
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H = 62.1 mm
B =
H
4
1
=15.5 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 310723.3 mm
4
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 965.5 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 1.28 mm
Masa belki
m = 7.6 kg
d. Prostok
¹tnym (pùaskownik)
Przyj
êto, ¿e wymiar B =
H
4
1
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H = 98.6 mm
B =
H
4
1
=24.7 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
y
= 123310.6 mm
4
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 2432.9 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 3.22 mm
Masa belki
m = 19.1 kg
B
x
x
y
y
H
H
y
y
x
x
B
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
14
e. Ko
ùowym (prêt okr¹gùy)
Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
D = 46.7 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 233508.9 mm
4
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 1713.0 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 1.70 mm
Masa belki
m = 13.5 kg
f. Pier
œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)
Przyj
êto wymiary: g =
D
25
2
, d = D
– 2g =
D
25
21
Úrednicê D przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
D = 58.8 mm
d =
8
.
58
25
21
D
25
21
= 49.4 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 293786.1
mm
4
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 798.3 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 1.35 mm
Masa belki
m = 6.3 kg
g. Kwadratowym
„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: g =
H
25
2
, h = H
– 2g =
H
25
21
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H=
4
3
x
98072
10000
1171875
98072
W
1171875
= 49.3 mm
h =
3
.
49
25
21
H
25
21
= 41.4 mm
H
x
x
y
y
g
H
D
x
x
y
y
D
x
x
y
y
g
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
15
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
h
H
4
4
= 246272.0
mm
4
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S =
2
2
h
H
= 714.2 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
0
.
246272
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 1.60 mm
Masa belki
m = V
= S L = (714.2 1000 0,000001) 7.86 = 5.6 kg
h. Kwadratowym
„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: g =
H
25
2
, h = H
– 2g =
H
25
21
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H = 55.3 mm
h =
3
.
55
25
21
H
25
21
= 46.4 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 390932.4
mm
4
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 899.9 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 1.02 mm
Masa belki
m = 7.1 kg
i. Prostok
¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny)
Przyj
êto wymiary: g =
H
25
2
, h = H
– 2g =
H
25
21
B =
H
3
2
, b = B
– 2g =
H
75
38
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci, który po
podstawieniu i przekszta
ùceniu ma postaã
H = 54.7 mm
B =
7
.
54
3
2
H
3
2
= 36.5 mm
h =
7
.
54
25
21
H
25
21
= 46.0 mm
H
x
x
y
y
g
H
x
x
y
y
H
B
g
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
16
b =
7
.
54
75
38
H
75
38
= 27.7 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 273558.2 mm
4
Pole powierzchni przekroju poprzecznego
S = 721.6 mm
2
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 1.45 mm
Masa belki
m = 5.7 kg
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
17
6. Obliczenia strza
ùki ugiêcia f oraz naprê¿eñ zginaj¹cych
g
dla belki posiadaj
¹cej staù¹
masê m
W obliczeniach przyj
êto, i¿ belkê bêdzie charakteryzowaùa staùa wartoœã masy m = 14
kg. Na tej podstawie mo
¿na okreœliã wartoœã pola powierzchni przekroju poprzecznego S
ze wzoru
000001
.
0
86
.
7
1000
14
L
m
S
= 1781.2 mm
2
Warto
œã pola powierzchni przekroju poprzecznego posùu¿y do wyznaczenia wymiarów
przekroju belki.
a. Kwadratowym (pr
êt kwadratowy)
Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na pola powierzchni
H =
2
.
1781
S
= 42.2 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
H
4
= 264380.7 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
6
H
3
= 12528.7
mm
3
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
7
.
264380
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 1.50 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
7
.
12528
10
1000
W
M
3
x
g
= 79.8 MPa
b. Kwadratowym (pr
êt kwadratowy)
Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na pola powierzchni
H =
2
.
1781
S
= 42.2 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
H
4
= 264380.7 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
12
H
2
3
= 8859.1
mm
3
H
x
x
y
y
H
H
x
x
y
y
H
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
18
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
7
.
264380
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 1.50 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
1
.
8859
10
1000
W
M
3
x
g
= 112.9 MPa
c. Prostok
¹tnym (pùaskownik)
Przyj
êto, ¿e wymiar B =
H
4
1
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na pole powierzchni, kt
óry po podstawieniu
i przekszta
ùceniu ma postaã
H = 84.4 mm
B =
H
4
1
= 21.1 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 1057522.8 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
= 25057.5 mm
3
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 0.38 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 39.9 MPa
d. Prostok
¹tnym (pùaskownik)
Przyj
êto, ¿e wymiar B =
H
4
1
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na pole powierzchni, kt
óry po podstawieniu
i przekszta
ùceniu ma postaã
H = 84.4 mm
B =
H
4
1
= 21.1 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
y
= 66095.2 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
y
= 6264.4 mm
3
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 6.0 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 159.6 MPa
B
x
x
y
y
H
H
y
y
x
x
B
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
19
e. Ko
ùowym (prêt okr¹gùy)
Wymiary przekroju poprzecznego belki obliczamy ze
wzoru na pole przekroju
D = 47.6 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 252465.0 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
= 10602.9 mm
3
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 1.57 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 94.3 MPa
f. Pier
œcieniowym (ksztaùtownik zamkniêty okr¹gùy)
Przyj
êto wymiary: g =
D
25
2
, d = D
– 2g =
D
25
21
Úrednicê D przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na pole powierzchni, kt
óry po podstawieniu
i przekszta
ùceniu ma postaã
D =
46
2
.
1781
625
46
S
625
= 87.8 mm
d =
8
.
87
25
21
D
25
21
= 73.7 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
64
d
D
4
4
= 1462650.3
mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
D
32
d
D
4
4
= 33329.7
mm
3
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 0.27 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 30.0 MPa
D
x
x
y
y
D
x
x
y
y
g
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
20
g. Kwadratowym
„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: g =
H
25
2
, h = H
– 2g =
H
25
21
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na pole powierzchni, kt
óry po podstawieniu
i przekszta
ùceniu ma postaã
H=
184
2
.
1781
625
184
S
625
= 77.8 mm
h =
8
.
77
25
21
H
25
21
= 65.3 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
=
12
h
H
4
4
= 1531683.8
mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
=
H
6
h
H
4
4
= 39383.6
mm
3
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f =
8
.
1531683
210000
48
1000
4000
I
E
48
L
P
3
x
3
= 0.26 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
=
6
.
39383
10
1000
W
M
3
x
g
= 25.4 MPa
h. Kwadratowym
„pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty kwadratowy)
Przyj
êto wymiary: g =
H
25
2
, h = H
– 2g =
H
25
21
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na pole powierzchni, kt
óry po podstawieniu
i przekszta
ùceniu ma postaã
H = 77.8 mm
h = 65.3 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 1531683.8
mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
= 27848.4
mm
3
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 0.26 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 35.9 MPa
H
x
x
y
y
g
H
H
x
x
y
y
g
H
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
21
i. Prostok
¹tnym „pustym” w œrodku (ksztaùtownik zamkniêty prostok¹tny)
Przyj
êto wymiary: g =
H
25
2
, h = H
– 2g =
H
25
21
B =
H
3
2
, b = B
– 2g =
H
75
38
Wysoko
ϋ H przekroju poprzecznego belki obliczamy
ze wzoru na pole powierzchni, kt
óry po podstawieniu
i przekszta
ùceniu ma postaã
H = 86.0 mm
B =
86.0
3
2
H
3
2
= 57.3 mm
h =
86.0
25
21
H
25
21
= 72.2 mm
b =
86.0
75
38
H
75
38
= 43.6 mm
Osiowy moment bezw
ùadnoœci
I
x
= 1666738.2 mm
4
Osiowy wska
ênik wytrzymaùoœci
W
x
= 38780.5 mm
3
Maksymalna warto
œã strzaùki ugiêcia
f = 0.24 mm
Maksymalna warto
œã naprê¿eñ zginaj¹cych
g
= 25.8 MPa
x
x
y
y
H
B
g
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
22
7. Zestawienie wynik
ów obliczeñ
W celu mo
¿liwoœci porównania wartoœci naprê¿eñ zginaj¹cych, strzaùki ugiêcia oraz masy
uzyskanych dla przyj
êtych przekroi belki, wyników obliczeñ zestawiono w postaci
wykres
ów.
23.5
6.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
A
B
C
D
E
F
G
H
I
St
rz
aù
ka
u
gi
êc
ia
, m
m
Sta
ùa wartoœã jednego z gùównych
wymiar
ów
Sta
ùa wartoœã strzaùki ugiêcia
Sta
ùa wartoœã naprê¿eñ zginaj¹cych
Sta
ùa masa
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x
Materiaùy do ãwiczeñ z Podstaw Konstrukcji Maszyn
opracowa
ù: Bogdan LIGAJ
23
444.4 MPa
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
140.0
160.0
180.0
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Na
pr
ê¿
en
ie,
M
Pa
Sta
ùa wartoœã jednego z gùównych wymiarów
Sta
ùa wartoœã strzaùki ugiêcia
Sta
ùa wartoœã naprê¿eñ zginaj¹cych
Sta
ùa masa
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
35.0
A
B
C
D
E
F
G
H
I
M
as
a,
k
g
Sta
ùa wartoœã jednego z gùównych wymiarów
Sta
ùa wartoœã strzaùki ugiêcia
Sta
ùa wartoœã naprê¿eñ zginaj¹cych
Sta
ùa masa
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x