1
MATEMATYKA
ZESTAW – CAŁKI PODWÓJNE
1. Obliczyć całki podwójne:
a.
2
3
2
1
0
dx
x
y x dy
,
c.
3
2
2
0
1
dy
x
y x dx
,
b.
4
12
0
4
dx xydy
,
d.
1
3
0
0
dx xy x
y dy
.
2. Obliczyć całki po prostokącie:
a.
2
3
2
3
D
y
x
dxdy
x
y
,
1, 3
1,
D
e
,
b.
2
2
4
D
xy
x
y dxdy
,
1
,
1
2
,
0
D
,
c.
x y
D
e
dxdy
,
0,1
0,1
D
,
d.
dxdy
y
x
D
2
2
6
, po prostokącie o bokach zawartych na prostych
2
,
1
,
2
,
1
y
x
y
x
,
e.
dxdy
e
y
D
x
2
3
,
1
,
1
2
,
0
D
,
f.
dxdy
y
x
D
2
,
6
,
4
2
,
1
D
.
3. Obliczyć całki podwójne po podanych obszarach całkowania:
a.
2
1
D
x
y
dxdy
, gdzie obszarem całkowania D jest obszar trójkąta
o wierzchołkach
5
,
5
,
3
,
5
,
1
,
1
C
B
A
,
b.
D
dxdy
x 1
2
,
gdzie
obszarem
całkowania
D
jest
obszar
trójkąta
o wierzchołkach
0
,
0
,
1
,
1
,
1
,
1
C
B
A
,
c.
D
dxdy
y
x
2
,
gdzie
obszarem
całkowania
D
jest
obszar
trójkąta
o wierzchołkach
1
,
1
,
2
,
2
,
0
,
0
C
B
A
,
d.
2
3
1
D
x
y
dxdy
, gdzie obszarem całkowania D jest obszar trójkąta
o wierzchołkach
1, 3 ,
1, 1 ,
2, 4
A
B
C
,
e.
D
xydxdy
,
gdzie
obszarem
całkowania
D
jest
obszar
trójkąta
o wierzchołkach
0, 0 ,
3, 0 ,
0, 4
A
B
C
,
2
f.
1
D
x
y
dxdy
, gdzie obszarem całkowania D jest obszar ograniczony
krzywymi
3
1
y
x
oraz
2
1
y
x
,
g.
D
x
y dxdy
, gdzie
2
{( , ) :
2
;
2
1}
D
x y
y
x
y
x
,
h.
D
y lnxdxdy
, gdzie
{( , ) :
1;
2;
2}
D
x y
xy
x
y
,
i.
2
D
x
xy dxdy
, gdzie
2
{( , ) :
;
3
}
D
x y
y
x y
x
x
,
j.
D
xydxdy
, gdzie
{( , ) :
6
;
}
D
x y
y
x y
x
,
k.
D
xydxdy
, gdzie
{( , ) :
0;
0,
1},
D
x y
x
y
x
y
,
l.
2
2
D
x
dxdy
y
, gdzie
1
{( , ) :
2;
;
}
D
x y
x
y
x y
x
,
m.
D
xydxdy
, gdzie
2
{( , ) :
1;
3}
D
x y
y
y
x
,
n.
2
D
xy dxdy
, gdzie
2
{( , ) :
,
2},
D
x y
y
x
x
y
,
o.
1
D
xy
dxdy
, gdzie
2
{( , ) :
2 ;
2}
D
x y
y
x x
,
p.
x
D
e dxdy
, gdzie
{( , ) :
0;
2;
}
x
D
x y
x
y
y
e
.
4. W podanych całkach iterowanych zamienić kolejność całkowania:
a.
2
2
2
6
1
4
,
y
y
f x y dxdy
,
b.
2
0 sin
,
x
f x y dydx
,
c.
2
2
2
2
2
1
,
y
y
f x y dxdy
.
5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a.
2
,
y
x
x y
x
,
c.
2
3,
4 ,
0
x
y
y
x y
,
b.
4,
8,
3
0,
3
5
x
y
x
y
x
y
x
y
.
5. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki:
a.
2
2
D
x
y
dxdy
, gdzie
2
2
:
2
0
D
x
y
y
,
b.
D
xydxdy
, gdzie
2
2
{( , ) :
0; 1
2},
D
x y
x
x
y
c.
2
2
D
x
y
dxdy
, gdzie
2
2
{( , ) :
0;
},
D
x y
y
y
x
y
x
d.
D
xdxdy
, gdzie
2
2
{( , ) :
1
1;
},
D
x y
x
y
y
x
,
e.
D
ydxdy
, gdzie
2
2
2
2
{( , ) :
4;
1;
;
0},
D
x y
x
y
x
y
y
x y
f.
2
2
D
x
y dxdy
, gdzie
2
2
{( , ) :
4;
}
D
x y
x
y
y
x
.