Algebra z geometrią analityczną
Spis treści
I
Zadania przygotowawcze
2
1
Wyrażenia algebraiczne
2
1.1
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
Liczby zespolone
3
2.1
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
Macierze i wyznaczniki
4
3.1
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4
Układy równań
5
4.1
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
5
Wielomiany i funkcje wymierne
6
5.1
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
5.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6
Geometria analityczna w R
2
7
6.1
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
Geometria analityczna w R
n
, n 3
8
7.1
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
7.2
Odpowiedzi, wskazówki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
II
Sprawdziany
9
8
Drugie kolokwium, zestaw 1, semestr Z 2013/14,
9
8.1
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
8.2
Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
Drugie kolokwium, zestaw 2, semestr Z 2013/14,
10
9.1
Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
9.2
Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1
10 Drugie kolokwium, zestaw 3, semestr Z 2013/14,
11
10.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
10.2 Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11 Drugie kolokwium, zestaw 4, semestr Z 2013/14,
12
11.1 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
11.2 Rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Symbol
◦
oznacza, że z zadaniem warto się zapoznać, ale rozwiązywanie zwykle nie obowią-
zuje.
Część I
Zadania przygotowawcze
1
Wyrażenia algebraiczne
1.1
Zadania
1.1. Uprościć wyrażenie
(a)
a−b
a
2
−2ab+b
2
a
b
− 1
,
(b)
b−a
a
2
−b
2
b
a
+ 1
.
1.2. W rozwinięciu dwumianowym wyrażenia f (x) wyznaczyć współczynnik przy x
k
, jeśli
(a) f (x) =
x
5
+
1
√
x
10
, k = 39,
(b) f (x) =
x
4
−
1
x
2
9
, k = 24.
1.3. Zapisać w prostszej postaci liczbę
(a)
n
P
k=0
n
k
3
k
,
(b)
n
P
k=0
n
k
(−2)
k
.
1.2
Odpowiedzi, wskazówki
1.1. (a)
1
b
,
(b) −
1
a
.
1.2. (a) 45,
(b) 36.
1.3. (a) 4
n
,
(b) (−1)
n
.
2
2
Liczby zespolone
2.1
Zadania
2.1. Zapisać w postaci algebraicznej liczbę zespoloną
(a) z =
(1+
√
3i)
20
(1−i)
40
,
(b) z =
(1+i)
40
(
√
3−i)
20
,
(c) z =
(
√
3−i)
24
(1−
√
3i)
14
(1−i)
20
.
2.2. Opisać za pomocą części rzeczywistej, urojonej lub argumentu oraz zaznaczyć na płasz-
czyżnie zbiór liczb zespolonych z spełniających warunek
(a) Re(iz − 1) = Im((2 − i)z + i),
(b) Re (z
2
) = [Im(iz)]
2
− 4,
(c) 0 ¬ arg(1 + iz) ¬ π/2,
(d) Re(−2iz + 4) 0,
(e) Im (z
4
) < 0.
2.3. Zapisać w postaci algebraicznej wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby
z = −2 + 2i.
2.4. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie z
4
= (−1 + 2z)
4
.
2.5. Wyznaczyć pole figury F = {z ∈ C : Im (z
3
) 0 ∧ −1 ¬ Im(z) ¬ 0}.
2.6.
◦
Obliczyć wyznacznik
i
1 1 1
1
i
1 1
1 1
i
1
1 1 1
i
.
2.7.
◦
Rozwiązać równanie macierzowe
(a) A ×
i
2 2
2
i
2
2 2
i
=
3 3i + 2 3i + 2
,
(b)
i
0 0
i
i
0
0
i
i
× B =
i
2i
3i
3i
2i −i
.
2.2
Odpowiedzi, wskazówki
2.1. (a) −
1
2
+
√
3
2
i,
(b) −
1
2
−
√
3
2
i,
(c)
1
2
−
√
3
2
i.
2.2. (a) Im(z) =
1
3
Re(z) −
2
3
,
(b) Im(z) = 2 lub y = −2,
(c) Re(z) 0 ∧ Im(z) ¬ 1 ∧ z 6= i,
(d) Im(z) −2,
(e) arg(z) ∈
π
4
,
π
2
∪
3π
4
, π
∪
5π
4
,
3π
2
∪
7π
4
, 2π
.
3
2.3. 1 + i, −
1
2
−
√
3
2
+
−
1
2
+
√
3
2
i, −
1
2
+
√
3
2
+
−
1
2
−
√
3
2
i.
2.4. z ∈
n
1,
2
5
−
1
5
i,
1
3
,
2
5
+
1
5
i
o
.
2.5.
√
3
3
.
2.6. 4 + 8i.
2.7. (a) A =
i 1 1
,
(b) B =
1
2
2
1
0 −2
.
3
Macierze i wyznaczniki
3.1
Zadania
3.1. Obliczyć wyznacznik
(a)
1 1 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
,
(b)
2
1
1
−1
1
2 −1
1
−1 1
2
1
1
1
1
2
.
3.2. Dla jakich wartości parametru λ ∈ R macierz
(a) A =
λ 1
1
1
1 λ
1 λ 1
,
(b) B =
λ 1
1
1
1 λ 1
1
1
1
1 λ
1
1 λ 1
jest nieosobliwa?
3.3. Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy
(a) A =
1
1
−1
1
−1
1
−1
1
1
,
(b) B =
1 1 1
1 2 1
1 1 2
.
4
3.2
Odpowiedzi, wskazówki
3.1. (a) 1,
(b) 27.
3.2. (a) λ ∈ R \ {−2, 1},
(b) λ ∈ R \ {−3, 1}.
3.3. (a) A
−1
=
1
2
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
1
2
,
(b) B
−1
=
3
−1 −1
−1 1
0
−1 0
1
.
4
Układy równań
4.1
Zadania
4.1. Metodą macierzy odwrotnej rozwiązać układ równań
x
+ y + z − t = 4
x
+ y − z + t = −4
x
− y + z + t = 2
−x + y + z + t = −2.
4.2. Metodą Gaussa (przekształcając macierz rozszerzoną) rozwiązać układ równań
x + y
+ z
+ t
= 6
x + 2y + z
+ t
= 8
x + y
+ 2z + t
= 9
x + y
+ z
+ 2t = 6.
4.3. Rozwiązać układ równań
(a)
−x − y + z + t = 4
x
− y − z + t = 0
x
− y − z − t = −8,
(b)
x
+ y + z
+ t
+ u
= 2
−x + y + z
+ t
+ u
= 0
x
− y + z
+ t
+ u
= 0
x
+ y
−z + t
+ u
= 0
x
+ y + 3z
+ 3t + 3u = 2.
4.4. Dla jakich wartości parametru λ ∈ R układ równań
x
+ y
+ λz = 1
x
+ λy + z
= λ
λx + y
+ z
= −λ + 1
ma nieskończenie wiele rozwiązań?
4.5. Niech sgn(λ) =
−1 dla x ∈ (−∞, 0)
0
dla x = 0
1
dla x ∈ (0, ∞)
oznacza znak liczby rzeczywistej λ. Wyznaczyć
te wartości λ, dla których układ równań
x
+ 2y + z
= 2
x
+ y
+ 2z = sgn(λ) − 1
2x + y
+ z
= 2
2y + 2z = 0
nie ma rozwiązań.
5
4.6. W zależności od wartości parametru λ ∈ R, wyznaczyć liczbę rozwiązań układu równań
x
+ y + z + t = 2
−x − y + z + t = 0
x
− y − z + t = 0
x
+ y − z − t = 0
−x + y + z − t = λ.
4.2
Odpowiedzi, wskazówki
4.1. x = 1, y = −1, z = 2, t = −2.
4.2. x = 1, y = 2, z = 3, t = 0.
4.3. (a) y = 4, t = 2, z = x + 2, z – dowolne,
(b) x = y = z = 1, t = −u − 1, u – dowolne.
4.4. λ = −2.
4.5. λ ∈ (−∞, 0].
4.6. dla λ ∈ R \ {0} układ sprzeczny (0 rozwiązań), dla λ = 0 nieskończenie wiele rozwiązań.
5
Wielomiany i funkcje wymierne
5.1
Zadania
5.1. Wyznaczyć iloraz i resztę z dzielenia wielomianu P (x) przez Q(x), jeśli
(a) P (x) = x
5
− x
4
+ 3x
3
+ x + 7, Q(x) = x
3
+ x + 1,
(b) P (x) = x
4
+ 2x
3
+ x
2
+ x + 1, Q(x) = x
2
+ x + 3.
5.2. Rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste wielomian W (x) = x
4
+ x
3
− 3x
2
− 4x − 4.
5.3. Nie wykonując dzielenia, wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu W (x) = x
4
+x
3
+x
2
+x+1
przez x
2
− 1.
5.4. Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian zespolony W (z) = z
3
− 2z
2
+ 4z − 8.
5.5. Rozłożyć na sumę rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną właściwą
(a) f (x) =
x
2
+3
x
3
+2x
2
+5x+4
,
(b) f (x) =
x
2
x
3
+3x
2
+4x+4
,
(c) f (x) =
2x
3
+4x
2
+5x+5
x
4
+3x
3
+3x
2
+3x+2
.
5.6. Rozłożyć na sumę wielomianu i rzeczywistych ułamków prostych funkcję wymierną
f (x) =
x
4
− 5x
3
+ 5x
2
− 19x − 1
x
3
− 5x
2
+ 4x − 20
.
5.7.
◦
Rozłożyć na sumę zespolonych ułamków prostych funkcję wymierną
f (z) =
z
2
+ z + 5
z
3
+ z
2
+ 4z + 4
.
6
5.2
Odpowiedzi, wskazówki
5.1. (a) I(x) = x
2
− x + 2, R(x) = 5,
(b) I(x) = x
2
+ x − 3, R(x) = x + 10.
5.2. W (x) = (x + 2)(x − 2) (x
2
+ x + 1) .
5.3. R(x) = 2x + 3.
5.4. W (z) = (z − 2)(z + 2i)(z − 2i).
5.5. (a) f (x) =
−1
x
2
+x+4
+
1
x+1
,
(b) f (x) =
−1
x
2
+x+2
+
1
x+2
,
(c) f (x) =
1
x+1
+
1
x+2
+
1
x
2
+1
.
5.6. f (x) = x +
1
x−5
+
1
x
2
+4
.
5.7. f (z) =
1
z+1
+
1
4
i
z+2i
+
−
1
4
i
z−2i
.
6
Geometria analityczna w R
2
6.1
Zadania
6.1. Wyznaczyć w mierze łukowej kąt pomiędzy wektorami u, v, jeśli
(a) u =
1,
√
3
, v =
−1,
√
3
,
(b) u =
−
√
3, 1
, v =
−1,
√
3
,
(c) u =
√
2,
√
2
, v =
−1, −
√
3
,
(d) u =
−
√
2, −
√
2
, v =
√
3, −1
.
Wskazówka: dla dwóch ostatnich przykładów wyniki można otrzymać jako sumy lub róż-
nice odpowiednich kątów.
6.2. Wyznaczyć kąt przy wierzchołku C w trójkącie o wierzchołkach A = (1, 1), B = (
√
3, 2 +
√
3), C = (1 +
√
3, 2).
6.3. Wyznaczyć równanie takiego okręgu o środku w punkcie S, którego jedną ze stycznych
jest prosta przechodząca przez punkty A, B, jeśli
(a) S = (1, −3), A = (−1, 2), B = (2, 4),
(b) S = (−2, −1), A = (1, 2), B = (4, 1).
6.4. Napisać równania tych stycznych do okręgu o równaniu x
2
+2x+y
2
−3 = 0, które przecinają
się z prostą
√
3 x − y + 1 = 0 pod kątem
π
3
.
6.2
Odpowiedzi, wskazówki
6.1. (a)
π
3
,
(b)
π
6
,
(c)
5
12
π,
(d)
7
12
π.
7
6.2.
π
2
.
6.3. (a) (x − 1)
2
+ (y + 3)
2
=
19
2
13
,
(b) (x + 2)
2
+ (y + 1)
2
=
12
2
10
.
6.4. y = −2, y = 2, y = −
√
3 x +
√
3 +
√
14, y = −
√
3 x +
√
3 −
√
14.
7
Geometria analityczna w R
n
, n 3
7.1
Zadania
7.1. Dla jakich wartości parametru λ ∈ R równoległobok ABCD o środku w punkcie O =
(1 + λ, 1 + λ, 2 + λ) i kolejnych wierzchołkach A = (1, 0, 1), B = (1, 2, 3) jest rombem?
Wskazówka: wykorzystać charakteryzację rombu jako czworokąta o niezerowych przekąt-
nych, przecinających się w połowach i pod kątem prostym.
7.2. Czy równoległobok o kolejnych wierzchołkach A = (3, 0, 3), B = (4, 1, 5), C = (3, 2, 3), jest
rombem?
7.3. Dla jakich wartości parametru λ ∈ R równoległościan o trzech kolejnych wierzchołkach
podstawy A = (−5, 2, 1), B = (2, 1, 2), C = (3, λ
2
, 3) i wierzchołku E = (−λ − 5, 4, −18)
nad A, jest prostopadłościanem?
7.4. Napisać równanie ogólne płaszczyzny
(a) zawierającej proste
l = {(−1, 1, 1) + t(1, 0, 1) : t ∈ R} i m = {(3, 0, 5) + s(−1, 1, −1) : s ∈ R},
(b) prostopadłej do wektorów u = (1, 1, 1), v = (1, 0, 1) × (1, 2, 1) i przechodzącej przez
punkt A = (1, 0, 0).
7.5. Napisać równanie parametryczne prostej prostopadłej do prostych l = {(0, 1, 1)+t(1, 0, 1) :
t ∈ R}, m = {(0, 2, 1) + s(−1, 1, −1) : s ∈ R}, w punkcie ich przecięcia.
7.6. Wyznaczyć kąt pomiędzy płaszczyznami π
1
, π
2
, jeśli π
1
jest określona przez warunki
x = 1 + t + u
y = t − u
z = t + u
dla t, u ∈ R, π
2
równaniem y − z − 1 = 0.
7.7. Wyznaczyć kąt pomiędzy prostą l :
(
x + y + z + 2 = 0
x − y + z + 3 = 0
i płaszczyzną π : x + y + 5 = 0.
7.8. Wyznaczyć pole
(a) równoległoboku o kolejnych wierzchołkach A = (2, 2, 4), B = (0, −2, −2), C = (2, 1, 2),
(b) równoległoboku o środku w punkcie O = (2, 1, 2) i końcach jednego z boków A =
(2, 2, 4), B = (0, −2, −2),
(c) trójkąta o wierzchołkach A = (−2, −2, −4), B = (0, 2, 2), C = (−2, −1, −2).
7.9. Dla jakich wartości parametru p ∈ R kąt pomiędzy wektorami u = (1, 2, p, 4) oraz
v = (2p, −p, p, −4) jest prosty?
8
7.2
Odpowiedzi, wskazówki
7.1. λ =
q
2
3
lub λ = −
q
2
3
.
7.2. Tak.
7.3. λ = −3.
7.4. (a) x − z + 2 = 0,
(b) x − 2y + z − 1 = 0.
7.5. (x, y, z) = (1, 1, 2) + t(1, 0, −1), t ∈ R.
7.6.
π
3
.
7.7.
π
6
.
7.8. (a) 2
√
6,
(b) 4
√
5,
(c)
√
6.
7.9. p = 4 lub p = −4.
Część II
Sprawdziany
8
Drugie kolokwium, zestaw 1, semestr Z 2013/14,
8.1
Zadania
8.1. Zbadać, dla jakich rzeczywistych parametrów p ∈ R istnieje macierz odwrotna A
−1
do
macierzy A, a następnie wyznaczyć A
−1
, jeśli A =
1 1 1
1 2 1
1 1 p
.
8.2. Wyznaczyć odległosc punktu P = (1, 2, 1) od płaszczyzny π zadanej w postaci parame-
trycznej
x = 1 + s + t
y = 2 + s
z = −1 + s − t.
8.3. Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń S ◦ T oraz T ◦ S w bazach standardowych,
jezeli S : R
3
→ R
2
oraz T : R
2
→ R
5
są przekształceniami linowymi, danymi wzorami:
S(x, y, z) = (x − 2y, x + y + 3z), T (u, v) = (u + v, v, u − 2v, 3u, u).
8.2
Rozwiązania
8.1. Wyznacznik det A = p − 1, macierz odwrotna istnieje dla p ∈ R \ {1} i wtedy
A
−1
=
2p−1
p−1
−1
−1
p−1
−1
1
0
−1
p−1
0
1
p−1
.
8.2. Aby otrzymać równanie ogólne płaszczyzny π można wyeliminować parametry z równania
parametrycznego lub wyznaczyć wektor normalny do π. W tym drugim przypadku,
n = (1, 1, 1) × (1, 0, −1) = (−1, 2, −1), a płaszczyzna π ma równanie −(x − 1) + 2(y − 2) −
(z + 1) = 0, czyli −x + 2y − z − 4 = 0. Odległość d(P, π) =
|−1+4−1−4|
√
6
=
q
2
3
.
9
8.3. Złożenie S ◦ T nie istnieje.
Macierz złożenia T ◦ S ma postać
M
T ◦S
= M
T
· M
S
=
1
1
1 −2
3
0
1
0
·
1 −2 0
1
1
3
!
=
2
−1
3
1
1
3
−1 −4 −6
3
−6
0
1
−2
0
.
9
Drugie kolokwium, zestaw 2, semestr Z 2013/14,
9.1
Zadania
9.1. W zależności od rzeczywistego parametru p ∈ R, rozwiazać układ równań
2x + 3y − z = 1
x − py + 2z = 3
2x − py + 3z = 5.
9.2. Udowodnić, że proste l i m, o równaniach l :
x = −1 + t
y = 1
z = 1 + t
oraz m :
x = 3 − s
y = s
z = 5 − s,
przecinają się. Napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej te proste.
9.3. Niech B
2
oznacza bazę standardową w R
3
, a B
1
bazę w R
2
, złożoną z wektorów e
1
+
e
2
, e
1
−e
2
, gdzie e
1
, e
2
tworzą bazę standardową w R
2
. Wyznaczyć w bazach B
1
, B
2
macierz
przekształcenia liniowego T : R
2
→ R
3
, określonego wzorem T (x, y) = (x−2y, x+2y, x−y).
9.2
Rozwiązania
9.1. Możemy rozwiązywać metodą eliminacji Gaussa (z rozbiciem na końcu na przypadki) lub
od razu przez rozważenie przypadku układu Cramera. Tym drugim sposobem,
W =
2
3
−1
1 −p
2
2 −p
3
= −3p + 3. Dla p ∈ R \ {1} układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
które można wyznaczyć ze wzorów Cramera. Otrzymujemy
W
x
=
1
3
−1
3 −p
2
5 −p
3
= −3p + 3, W
y
=
2 1 −1
1 3
2
2 5
3
= 0, W
z
=
2
3
1
1 −p 3
2 −p 5
= −3p + 3
i rozwiązanie x =
W
x
W
= 1, y =
W
y
W
= 0, z =
W
z
W
= 1.
Dla p = 1 postępujemy metodą eliminacji Gaussa:
2
3
−1 1
1 −1
2
3
2 −1
3
5
w
1
− 2w
2
w
3
− 2w
2
w
1
↔ w
2
−→
1 −1
2
3
0
5
−5 −5
0
1
−1 −1
w
1
+ w
3
skreślenie w
2
(= 5w
3
)
−→
1 0
1
2
0 1 −1 −1
!
,
co odczytujemy jako nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x = 2 − z,
y = −1 + z,
z ∈ R.
9.2. Punktem wspólnym prostych jest P = (2, 1, 4) (dla t = 3 i s = 1).
Równanie ogólne płaszczyzny możemy otrzymać przez eliminację parametrów z rownań
prostych lub przez wyznaczenie wektora normalnego. Tym drugim sposobem, n = (1, 0, 1)×
(−1, 1, −1) = (−1, 0, 1), a płaszczyzna π ma równanie −(x − 2) + z − 4 = 0, czyli
−x + z − 2 = 0.
10
9.3. Macierz przekształcenia T w bazach standardowych ma postać M
T
=
1 −2
1
2
1 −1
, a
macierz przejścia A z bazy standardowej do bazy B
1
w R
2
ma postać A =
1
1
1 −1
!
.
Szukana macierz M = M
T
· A =
−1
3
3
−1
0
2
.
10
Drugie kolokwium, zestaw 3, semestr Z 2013/14,
10.1
Zadania
10.1. Zbadać, dla jakich rzeczywistych parametrów p ∈ R istnieje macierz odwrotna A
−1
do
macierzy A, a następnie wyznaczyć A
−1
, jeśli A =
1 1 1
1 2 p
1 1 p
.
10.2. Wyznaczyć odległosc punktu P = (0, 1, 2) od płaszczyzny π zadanej w postaci parame-
trycznej
x = s − t
y = 1 + s
z = −2 + s + t.
10.3. Wyznaczyć, o ile istnieją, macierze złożeń S ◦ T oraz T ◦ S w bazach standardowych,
jezeli S : R
3
→ R
4
oraz T : R
4
→ R
5
są przekształceniami linowymi, danymi wzorami:
S(x, y, z) = (x − 2y, x + y + 3z, x, y), T (s, t, u, v) = (u + v, v, u − 2v, 3s, t).
10.2
Rozwiązania
10.1. Wyznacznik det A = p − 1, macierz odwrotna istnieje dla p ∈ R \ {1} i wtedy
A
−1
=
p
p−1
−1
p−2
p−1
0
1
−1
−1
p−1
0
1
p−1
.
10.2. Aby otrzymać równanie ogólne płaszczyzny π można wyeliminować parametry z równania
parametrycznego lub wyznaczyć wektor normalny do π. W tym drugim przypadku,
n = (1, 1, 1) × (−1, 0, 1) = (1, −2, 1), a płaszczyzna π ma równanie x − 2(y − 1) + z + 2 = 0,
czyli x − 2y + z + 4 = 0. Odległość d(P, π) =
|−2+2+4|
√
6
= 2
q
2
3
.
10.3. Złożenie S ◦ T nie istnieje.
Macierz złożenia T ◦ S ma postać
M
T ◦S
= M
T
· M
S
=
0 0 1
1
0 0 0
1
0 0 1 −2
3 0 0
0
0 1 0
0
·
1 −2 0
1
1
3
1
0
0
0
1
0
=
1
1
0
0
1
0
1 −2 0
3 −6 0
1
1
3
.
11
11
Drugie kolokwium, zestaw 4, semestr Z 2013/14,
11.1
Zadania
11.1. W zależności od rzeczywistego parametru p ∈ R, rozwiazać układ równań
2x + 3y − z = 1
−2x + 5py − 7z = −9
−x + 2py − 3z = −4.
11.2. Napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej proste o równaniach
x = t
y = 2
z = 2 + t
oraz
x = 4 − s
y = 1 + s
z = 6 − s.
11.3. Niech B
2
oznacza bazę standardową w R
3
, a B
1
bazę w R
2
, złożoną z wektorów e
1
+
2e
2
, e
1
−e
2
, gdzie e
1
, e
2
tworzą bazę standardową w R
2
. Wyznaczyć w bazach B
1
, B
2
macierz
przekształcenia liniowego T : R
2
→ R
3
, określonego wzorem T (x, y) = (x+2y, x+y, x−y).
11.2
Rozwiązania
11.1. Możemy rozwiązywać metodą eliminacji Gaussa (z rozbiciem na końcu na przypadki)
lub od razu przez rozważenie przypadku układu Cramera. Tym pierwszym sposobem,
2
3
−1
1
−2 5p −7 −9
−1 2p −3 −4
w
1
+ 2w
3
w
2
− 2w
3
w
1
↔ w
3
−→
−1
2p
−3 −4
0
p
−1 −1
0
3 + 4p −7 −7
−w
1
k
2
↔ k
3
(y ↔ z)
−→
1
3
−2p
4
0 −1
p
−1
0 −7 3 + 4p −7
w
1
+ 3w
2
w
3
− 7w
2
−w
2
−→
1 0
p
1
0 1
−p
1
0 0 3 − 3p 0
.
Dla p = 1 otrzymujemy nieskończenie wiele rozwiązań postaci
x = 1 − y
y ∈ R
z = 1 + y.
Dla p ∈ R \ {1}, kolejno po operacjach
1
3−3p
w
3
, w
2
+ pw
3
, w
1
− pw
3
, otrzymujemy dokładnie
jedno rozwiązanie
x = 1
y = 0
z = 1.
11.2. Punktem wspólnym prostych jest P = (3, 2, 5) (dla t = 3 i s = 1).
Równanie ogólne płaszczyzny możemy otrzymać przez eliminację parametrów z rownań
prostych lub przez wyznaczenie wektora normalnego. Tym drugim sposobem, n = (1, 0, 1)×
(−1, 1, −1) = (−1, 0, 1), a płaszczyzna π ma równanie −(x − 3) + z − 5 = 0, czyli
−x + z − 2 = 0.
11.3. Macierz przekształcenia T w bazach standardowych ma postać M
T
=
1
2
1
1
1 −1
, a
macierz przejścia A z bazy standardowej do bazy B
1
w R
2
ma postać A =
1
1
2 −1
!
.
Szukana macierz M = M
T
· A =
5
−1
3
0
−1
2
.
M. Burnecki
12