Układ równań liniowych
Definicje
a) Równaniem liniowym o niewiadomych x
1
, x
2
, …, x
n
nazywamy równanie
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ … + a
12
x
n
= b
1
, gdzie a
11
, a
12
, …, a
12
, b
1
są danymi liczbami
rzeczywistymi.
b) Rozwiązaniem tego równania nazywamy ciąg liczb (r
1
, r
2
, …, r
n
) rzeczywistych
spełniających to równanie.
Definicja
Układ równań postaci:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
.
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych .
Zapis macierzowy
Układ taki zapisuje się w postaci macierzowej następująco:
A
m x n
⋅
X
n
= B
m
, gdzie
A
m x n
=
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
.
.
.
.
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
nazywa się macierzą współczynników,
X
n
=
n
x
x
x
.
.
2
1
nazywa się wektorem niewiadomych,
B
m
=
m
b
b
b
.
.
2
1
macierzą (wektorem) wyrazów wolnych.
Zatem układ wyjściowy zapiszemy w postaci macierzowej
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
.
.
.
.
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11
⋅
n
x
x
x
.
.
2
1
=
m
b
b
b
.
.
2
1
Wprowadza się równieŜ pojęcie macierzy rozszerzonej lub uzupełnionej – macierz
współczynników poszerza się o macierz wyrazów wolnych, pisze się U = [A|B], czyli
U =
m
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
.
Gdy B = [0] jest wektorem zerowym mówimy, Ŝe układ jest jednorodny.
Mogą zachodzić róŜne przypadki , moŜe być tyle równań co niewiadomych ( m = n),
moŜe być więcej równań niŜ niewiadomych ( m > n) bądź mniej równań niŜ
niewiadomych (m < n).
Twierdzenie
Przekształcenie L : V
n
→
V
m
, które wektorowi X
n
przestrzeni V
n
przyporządkowuje
wektor Y
m
przestrzeni V
m
taki, Ŝe A
m x n
⋅
X
n
= Y
m
jest przekształceniem liniowym
przestrzeni V
n
w przestrzeń V
m
, gdzie A
m x n
jest macierzą nieosobliwą.
Macierz A
m x n
nazywamy macierzą przekształcenia L.
2. Rozwiązywanie układów równań liniowych
Definicja
Rozwiązać układ równań liniowych, to znaczy wyznaczyć zbiór jego rozwiązań, a więc
podać zbiór ciągów spełniających układ lub uzasadnić, Ŝe ten zbiór jest pusty (nie
istnieje Ŝadne jego rozwiązanie).
2.1. Istnienie rozwiązań
Istnienie i ilość rozwiązań takiego układu rozstrzyga twierdzenie pochodzące od
Kroneckera i Capellego, które moŜemy sformułować następująco:
Twierdzenie
Układ m równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie jedynie wtedy, gdy
rząd macierzy A układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej [A\B], czyli:
R(A) = R([A|B]) = r
Twierdzenie to rozstrzyga problem istnienia rozwiązań.
Stąd wynika, Ŝe jeśli te rzędy nie są równe, to układ nie ma rozwiązań.
Przykład 1.
Układ
=
+
=
+
8
6
4
5
3
2
y
x
y
x
nie ma rozwiązań, bo
a)
macierz współczynników A =
6
4
3
2
moŜna przekształcić (operacje elementarne –
od wiersza 2 odejmujemy wiersz 1 pomnoŜony przez 2 ) do postaci
0
0
3
2
, co
oznacza, Ŝe jej rząd jest 1 – jest to liczba niezerowych wierszy;
b)
macierz rozszerzoną A|B =
8
6
4
5
3
2
moŜna przekształcić (operacje elementarne –
od wiersza 2 odejmujemy wiersz 1 pomnoŜony przez 2 ) do postaci
8
0
0
5
3
2
, co
oznacza, Ŝe jej rząd jest 2 – jest to liczba niezerowych wierszy.
Przykład 2.
Natomiast układ
=
+
=
+
10
6
4
5
3
2
y
x
y
x
ma rozwiązanie, bo
a)
macierz współczynników A =
6
4
3
2
moŜna przekształcić (operacje elementarne –
od wiersza 2 odejmujemy wiersz 1 pomnoŜony przez 2 ) do postaci
0
0
3
2
, co
oznacza, Ŝe jej rząd jest 1 – jest to liczba niezerowych wierszy;
b)
macierz rozszerzoną A|B =
10
6
4
5
3
2
moŜna przekształcić (operacje elementarne –
od wiersza 2 odejmujemy wiersz 1 pomnoŜony przez 2 ) do postaci
0
0
0
5
3
2
, co
oznacza, Ŝe jej rząd jest 1 – jest to liczba niezerowych wierszy.
Przykład 3.
Układ równań liniowych
−
=
−
=
+
=
−
=
+
2
3
4
3
1
2
3
2
y
x
y
x
y
x
y
x
ma rozwiązanie, bo macierz
współczynników
−
−
3
1
1
3
1
2
2
1
doprowadzimy do postaci
−
0
0
0
0
1
2
0
5
oraz macierz rozszerzoną
−
−
−
2
3
1
4
1
3
1
1
2
3
2
1
doprowadzimy do postaci
−
0
0
0
0
0
0
1
1
2
5
0
5
i dalej
−
0
0
0
0
0
0
0
1
2
5
0
0
.
Obie macierze mają rząd równy 2.
2.2 Wyznaczanie rozwiązań układu równań
Zakładamy, Ŝe układ ma rozwiązania, czyli rząd macierzy współczynników jest równy
rzędowi macierzy rozszerzonej. Przyjmijmy, Ŝe układ ma n niewiadomych (równań moŜe być
więcej niŜ n lub mniej niŜ n); oznaczmy ten wspólny rząd obu macierzy literą r.
Mogą więc zachodzić dwa przypadki:
1° r = n, czyli liczba równań jest równa liczbie niewiadomych (bo rząd wynosi n, tyle ile
równań – to będą wiersze macierzy i tyle ile niewiadomych – bo to będą kolumn
macierzy współczynników); wtedy układ równań ma dokładnie jedno
rozwiązanie; jak je otrzymywać pokazuje przykład 1.
2° jeśli r < n, czyli liczba równań jest róŜna od liczby niewiadomych; wtedy układ ma
nieskończenie wiele rozwiązań zaleŜnych od n - r parametrów, czyli zmiennych,
którym moŜna nadawać dowolne wartości liczbowe.
Formalnie biorąc, rozwiązywanie układów równań liniowych, w tym równieŜ badanie
istnienia i jednoznaczności rozwiązań ( w obu przypadkach) sprowadza się do przeprowadzania
macierzy rozszerzonej układu [A | B] do postaci [ I | X ] i umiejętnego przeczytania tego
rezultatu, gdzie I oznacza macierz jednostkową, X macierz, z której odczytujemy rozwiązania.
Ten sposób u nas nazywa się metodą eliminacji Gaussa i wymaga wykonywania przekształceń
elementarnych na wierszach macierzy.
Przykład 4. (typ 1
o
) – liczba równań równa liczbie niewiadomych, rząd macierzy
współczynników równy liczbie równań.
RozwiąŜ układ równań:
=
+
−
=
+
15
6
3
2
5
z
x
y
x
Zapisujemy ten układ następująco:
−
6
3
5
1
y
x
=
15
2
.
Przekształcamy macierz uzupełnioną
−
15
6
3
2
5
1
;
21
21
0
2
5
1
;
1
1
0
2
5
1
;
−
1
1
0
3
0
1
.
Ostatni zapis oznacza, Ŝe
=
⋅
+
⋅
−
=
⋅
+
⋅
1
1
0
3
0
1
z
x
y
x
Stąd odczytujemy, Ŝe x = -3, y = 1 .
To samo moŜna odczytać z ostatniej macierzy.
Przykład 5. (typ 1
o
) - liczba równań równa liczbie niewiadomych, rząd macierzy
współczynników równy liczbie równań.
RozwiąŜ układ równań:
=
+
+
=
+
+
−
=
+
−
18
5
2
5
4
3
7
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Przekształcamy macierz rozszerzoną
−
−
18
1
5
2
5
4
1
3
7
3
2
1
;
−
−
−
−
32
5
9
0
26
5
7
0
7
3
2
1
;
−
−
−
−
32
5
9
0
7
26
7
5
1
0
7
3
2
1
;
−
−
−
−
7
10
7
10
0
0
7
26
7
5
1
0
7
3
2
1
;
i dalej
−
−
−
−
1
1
0
0
7
26
7
5
1
0
7
3
2
1
;
−
1
1
0
0
3
0
1
0
2
0
0
1
.
Doprowadziliśmy macierz rozszerzoną do postaci [I | X].
Z niej odczytujemy x = 2, y = 3, z = -1.
Warto wiedzieć, Ŝe układy typu 1
o
rozwiązuje się równieŜ stosując wzory Cramera (zob.
twierdzenie poniŜej).
Przykład 6. (typ 2
o
) – liczba niewiadomych większa niŜ liczba równań
RozwiąŜ układ równań:
=
−
+
+
=
−
+
=
+
−
+
1
1
3
3
1
2
t
z
y
x
t
z
y
t
z
y
x
Przekształcamy macierz rozszerzoną układu
−
−
−
1
1
1
1
1
1
3
3
1
0
1
1
1
1
2
;
−
−
−
1
1
1
1
2
1
3
3
1
0
1
1
1
1
1
;
−
−
−
−
−
1
3
3
1
0
1
3
3
1
0
1
1
1
1
1
;
−
−
0
0
0
0
0
1
3
3
1
0
1
1
1
1
1
.
Opuszczamy wiersz 3, bo nie wpływa on na rozwiązania układu. Mamy
−
−
1
3
3
1
0
1
1
1
1
1
;
−
−
1
3
3
1
0
0
2
2
0
1
.
Macierz rozszerzoną doprowadziliśmy do postaci
−
−
1
3
3
1
0
0
2
2
0
1
, czyli [I | X].
Po tych przekształceniach otrzymaliśmy układ równowaŜny wyjściowemu
=
−
+
+
=
+
−
−
1
3
3
0
0
2
2
0
t
z
y
x
t
z
y
x
.
Mieliśmy 4 niewiadome a rząd wynosi 2 więc będą 2 parametry.
Przyjmując z i t za parametry (są to współczynniki występujące przy niewiadomych poza
macierzą
1
0
0
1
) otrzymujemy układ
+
+
−
=
+
−
=
−
1
3
3
0
2
2
0
t
z
y
x
t
z
y
x
, czyli
+
+
−
=
−
=
1
3
3
2
2
t
z
y
t
z
x
.
Macierz X rozwiązań będzie następująca: X =
+
−
−
t
z
t
z
t
z
3
3
1
2
2
, gdzie z, t mogą być dowolnymi
liczbami rzeczywistymi.
Jest to tzw. rozwiązanie ogólne; rozwiązania szczegółowe otrzymamy przyjmując za
parametry z, t konkretne liczby. Na przykład dla z = 3, t = -5 otrzymujemy takie rozwiązanie
X =
−
−
+
⋅
−
−
−
⋅
5
3
)
5
(
3
3
3
1
)
5
(
2
3
2
=
−
−
5
3
23
16
.
Przykład 7. (typ 2
o
) – liczba równań większa od liczby niewiadomych
RozwiąŜ układ równań:
=
−
−
=
−
−
=
+
+
−
=
+
+
0
1
3
2
2
3
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Przekształcamy macierz rozszerzoną tego układu
−
−
−
−
−
−
0
1
1
1
1
1
3
2
2
3
2
1
2
1
1
1
;
po kolejnych przekształceniach doprowadzimy do macierzy
2
2
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
i dalej
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
Pomijamy czwarty wiersz, bo równanie mu odpowiadające (0x + 0y+0z=0) nie wnosi nowych
informacji o niewiadomych. Otrzymujemy
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
Z tej macierzy odczytujemy rozwiązanie x = 1, y = 0, z = 1, jest to jedyne rozwiązanie.
__________________________________________________
Ujęcie ogólne
Układy Cramera
Definicja
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX = B, w którym A
jest macierzą kwadratową nieosobliwą (n równań o n niewiadomych oraz det A
≠
0).
Twierdzenie
Układ Cramera A
⋅
X = B ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem X = A
-1
⋅
B .
Uzasadnienie
ZałóŜmy, Ŝe układ równań liniowych AX = B jest układem Cramera. To znaczy, Ŝe det A
≠
0.
Istnieje zatem macierz A
-1
odwrotna do A.
Rozumujemy: A
⋅
X = B,
mnoŜymy to równanie przez A
-1
i otrzymujemy kolejno:
A
-1
( A
⋅
X) = A
-1
⋅
B
(A
-1
⋅
A)X = A
-1
⋅
B
I
⋅
X = A
-1
⋅
B , poniewaŜ A
-1
⋅
A = I jest macierzą jednostkową.
Stąd X = A
-1
⋅
B.
Twierdzenie to pozwala rozwiązać układ Cramera wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej.
Przykład 8. Zastosowanie powyŜszego twierdzenia.
RozwiąŜ układ równań:
=
+
−
=
+
15
4
3
2
2
z
x
y
x
Zapisujemy ten układ następująco:
−
4
3
2
1
⋅
y
x
=
15
2
.
Macierz A
-1
=
−
1
,
0
3
,
0
2
,
0
4
,
0
jest macierzą odwrotną do macierzy A =
−
4
3
2
1
.
Zatem
y
x
=
−
1
,
0
3
,
0
2
,
0
4
,
0
.
15
2
=
−
1
,
2
2
,
2
Rozwiązaniem danego układu równań jest wektor [-2,2; 2,1].
Twierdzenie
Rozwiązanie r = [r
1
, r
2
,… , r
n
] układu Cramera określają wzory: r
i
=
A
A
i
det
det
,
gdzie 1
≤
i
≤
n oraz A
i
jest macierzą powstałą z macierzy A, w której kolumnę o
numerze i zastąpiono kolumną wyrazów wolnych.
Twierdzenie to pozwala wyznaczyć wprost składowe wektora rozwiązań układu Cramera.
Przykład 9. Zastosowanie powyŜszego twierdzenia.
RozwiąŜ układ równań:
=
+
=
+
7
5
3
8
2
z
x
y
x
.
Niech A =
5
3
2
1
, det A = -1.
A
1
=
5
7
2
8
; det A
1
= 26.
A
2
=
7
3
8
1
; det A
1
= -17.
Zatem x
1
=
1
26
−
= - 26 , x
2
=
1
17
−
−
= 17.
Rozwiązaniem danego układu równań jest wektor [-26; 17].
Dowolne układy równań
Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Niech AX = B będzie układem równań liniowych o n niewiadomych. Wtedy:
a)
jeŜeli rz (A)
≠
rz(A| B), to układ nie ma rozwiązania,
b)
jeŜeli rz (A) = rz(A| B) = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
c)
jeŜeli rz (A) = rz(A| B) = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zaleŜnych
od n – r parametrów.
Algorytm rozwiązywania układów równań:
AX = B, gdy rz(A) = rz(A|B) = r < n.
1.
Wyznaczamy minor rzędu r macierzy A .
2.
Pomijamy wszystkie równania układu, których współczynniki nie weszły do
wyróŜnionego minora.
3.
Tworzymy układ o r niewiadomych oraz n – r parametrach.
4.
Rozwiązujemy otrzymany układ Cramera.
5.
Podajemy ogólne rozwiązanie układu AX = B.
Ćwiczenia
Zad. 1.
Zapisz układ równań w następujący sposób:
(1): A
⋅
X = B; (2): [A| B] ; (3): x
1
1
k
+x
2
2
k
+x
3
3
k + … +x
n
n
k = b .
a)
=
−
−
=
−
1
3
5
2
y
x
y
x
, b)
=
−
+
=
+
+
−
−
=
+
−
1
3
2
0
2
1
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, c)
−
=
+
+
+
−
=
+
−
=
+
−
+
=
−
−
1
4
3
2
2
1
7
5
3
4
3
2
t
z
y
x
t
z
x
t
z
y
x
z
y
x
.
Zad. 2.
Wyznacz takie wartości parametru p, aby układ był układem Cramera.
a)
=
−
=
−
7
2
3
3
6
2
y
x
p
y
x
p
, b)
=
−
+
+
=
+
−
+
=
+
+
−
0
)
1
(
3
3
0
3
)
1
(
3
0
3
3
)
1
(
z
p
y
x
z
y
p
x
z
y
x
p
.
Zad. 3.
RozwiąŜ układ równań wykorzystując wzory Cramera.
a)
=
+
+
=
+
+
−
=
+
−
18
5
2
5
4
3
7
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, b)
=
+
+
=
+
−
−
=
+
−
3
3
3
2
12
4
1
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, c)
=
+
+
+
−
=
+
−
+
=
+
−
+
=
−
+
0
6
4
1
2
1
7
8
4
0
3
2
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
z
y
x
.
Zad. 4.
RozwiąŜ układ równań wykorzystując pojęcie macierzy odwrotnej.
a)
=
+
=
−
5
3
2
2
7
y
x
y
x
, b)
=
+
+
=
+
=
+
12
6
10
2
6
4
2
5
z
y
x
y
x
y
x
, c)
=
−
+
=
−
+
=
+
−
−
=
+
+
+
1
2
13
2
0
10
p
v
t
p
z
v
p
z
v
t
p
z
v
t
.
Zad. 5.
RozwiąŜ układ równań.
a) [x y z]
−
9
0
8
0
4
8
1
1
1
= [4 0 -5] , b)
−
1
1
0
2
1
1
1
4
1
⋅
z
y
x
=
−
1
4
2
,
c)
−
−
1
1
1
1
1
1
3
2
0
1
1
2
, d)
−
−
−
−
0
3
0
1
1
1
1
1
2
1
1
1
.
Zad. 6.
Określ istnienie i liczbę rozwiązań układu równań.
a)
=
−
+
−
=
+
−
=
+
+
5
2
5
3
2
2
3
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
, b)
−
=
−
−
−
=
−
−
=
+
+
7
3
5
4
3
2
0
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
, c)
=
−
+
−
−
=
+
−
+
+
−
=
+
+
+
−
3
6
4
2
2
2
3
2
0
3
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
,
d)
−
=
−
+
−
=
−
=
−
+
=
+
+
1
4
2
3
5
1
3
2
2
2
3
2
1
3
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
, e)
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
−
+
3
5
3
2
1
4
0
1
3
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
, f)
−
=
−
−
=
−
=
−
=
−
1
4
3
5
1
4
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
.
Zad. 7.
Odczytaj wprost rozwiązania układu równań liniowych z niewiadomymi x, y, z, s, t.
a)
−
−
3
2
5
1
0
2
0
3
0
0
1
1
1
0
1
1
0
2
, b)
−
0
1
2
3
0
0
1
2
0
0
0
0
1
1
0
1
0
6
0
1
0
0
1
0
.
Zad. 8.
RozwiąŜ układ równań.
a)
=
+
−
+
=
+
−
−
−
=
−
+
−
−
=
+
−
−
1
2
3
3
5
4
2
2
2
3
2
2
2
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
, b)
−
=
−
+
+
=
+
+
+
−
=
−
+
+
1
3
2
5
7
6
3
6
4
7
4
2
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
,
c)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
4
6
4
1
1
3
2
1
1
1
3
2
2
1
1
3
3
2
1
1
, d)
0
0
0
0
4
3
1
1
2
3
1
2
2
5
1
1
5
11
3
2
,
e)
−
−
−
−
−
−
−
−
11
7
7
14
2
7
5
5
10
4
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
4
3
2
1
x
x
x
x
=
−
1
1
1
1
, f)
T
z
y
x
−
−
−
1
3
3
1
12
4
1
1
2
1
1
1
=
3
2
1
.