Opr. Adam Kadziński
NIEZAWODNOŚĆ
OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
O D N A W I A N E
OBIEKTY TECHNICZNE
NIEZAWODNOŚĆ ?
Opr. Adam Kadziński
NIEZAWODNOŚĆ
OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
O D N A W I A N E
OBIEKTY TECHNICZNE
NIEZAWODNOŚĆ ?
Opr. Adam Kadziński
ARKUAZ PODRĘCZNIKÓW
1. Bobrowski D.: Modele i metody matematyczne teorii niezawodności
w przykładach i zadaniach. WNT, Warszawa, 1985.
2. Inżynieria niezawodności, Por. pod red. J. Migdalskiego, Wyd. ATR
Bydgoszcz i Ośr. Badań Jakości Wyr. "ZETOM", Warszawa 1992.
3. Jaźwiński J.,
Ważyńska-Fiok K.:
Niezawodność
NyNtemów
technicznych. Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1990.
4. Kadziński A.: Niezawodność pojazdów Nzynowych. Ćwiczenia
laboratoryjne, Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań 1992.
5. Karpiński J., Korczak E.: Metody
oceny
niezawodności
dwu-
Ntanowych NyNtemów technicznych. Wyd. Omnitech Press, Instytut
Badań Systemowych, Warszawa, 1990.
6. Lesiński S.: Projektowanie elementów urządzeń elektrotechnicznych
ze względu na ich niezawodność. Wydawnictwo Uczelniane
Akademii Techniczno-Rolniczej w Bydgoszczy. Bydgoszcz 1996.
7. Migdalski J.: PodNtawy Ntrukturalnej teorii niezawodności. Skrypt
Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce, 1978.
8. Niezawodność
autobuNów.
Pod
redakcją
Anieli
Gołąbek.
Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1993.
9. Niezawodność i ekNploatacja NyNtemów. Pod redakcją Wojciecha
Zamojskiego. Wyd. Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1981.
10. Poradnik niezawodności. Podstawy matematyczne. Wydawnictwa
Przemysłu Maszynowego „WEMA”, Warszawa 1982.
11. Radkowski S., PodNtawy bezpiecznej techniki. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2003.
12. Słowiński B.: PodNtawy badań i oceny niezawodności obiektów
technicznych. Wyd. Uczelniane Wyższej Szkoły Inżynierskiej
w Koszalinie, Koszalin 1992.
13. Żółtowski J.: PodNtawy niezawodności maNzyn. Wydawnictwa
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1985.
14. Żółtowski J.:
Wybrane
zagadnienia
z
podNtaw
konNtrukcji
i niezawodności
maNzyn.
Oficyna
Wydawnicza
Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2004.
Opr. Adam Kadziński
NIEZAWODNOŚĆ OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
NIEZAWODNOŚĆ ODNAWIANYCH OBIEKTÓW TECHNICZNYCH
(4)
CHARAKTERYCTYKI NIEZAWODNOŚCIOWE
OBIEKTÓW ODNAWIANYCH
NA PRZYKŁADZIE POJAZDÓW
Wprowadzenie
Dwustanowy matematyczny niezawodnościowy
model pojazdu
Graf stanów pojazdu jako obiektu dwustanowego
Algorytmy pozyskiwania formuł matematycznych
niezawodnościowego dwustanowego modelu
pojazdu
Formuły finalne matematycznego
niezawodnościowego modelu pojazdu
i ich interpretacja
Matematyczny niezawodnościowy
model autobusu
Proces eksploatacji autobusu
Graf stanów autobusu
Algorytmy pozyskiwania formuł matematycznych
niezawodnościowego modelu autobusu
Formuły finalne matematycznego
niezawodnościowego modelu autobusów
Cymulator komputerowy niezawodnościowego
modelu autobusu
Ogólny opis symulatora komputerowego
Przykładowe problemy badawcze
Konfigurowanie symulatora i wyniki badań
Matematyczne i komputerowe niezawodnościowe
modele innych obiektów technicznych
Podsumowanie
adam.kadzinski@put.poznan.pl
Opr. Adam Kadziński
ODNAWIANE OBIEKTY TECHNICZNE
W OCENACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH
OBIEKTY TECHNICZNE
Odnawiane
Nieodnawiane
Opr. Adam Kadziński
DWUCTANOWY MATEMATYCZNY
NIEZAWODNOŚCIOWY MODEL POJAZDU
(1)
ALGORYTMY POZYCKIWANIA FORMUŁ MATEMATYCZNYCH
NIEZAWODNOŚCIOWEGO DWUCTANOWEGO MODELU POJAZDU
(
) ( )
P
t
P
t
t
P
∆
⋅
=
∆
+
( )
t
P
– wektor prawdopodobieństw stanów
pojazdu w chwili
t
,
(
)
t
t
P
∆
+
– wektor prawdopodobieństw stanów
pojazdu w chwili
t+∆t
,
P
∆
– macierz prawdopodobieństw przejść
między stanami,
gdzie:
=
∆P
∆
⋅
−
∆
⋅
∆
⋅
∆
⋅
−
t
t
t
t
µ
µ
λ
λ
1
1
A zatem
(
) ( )
P
t
P
t
t
P
∆
⋅
=
∆
+
(
) (
)
[
]
( ) ( )
[
]
∆
⋅
−
∆
⋅
∆
⋅
∆
⋅
−
⋅
=
∆
+
∆
+
t
t
t
t
t
P
t
P
t
t
P
t
t
P
µ
µ
λ
λ
1
1
;
;
2
1
2
1
1
2
t
∆
⋅
µ
t
∆
⋅
λ
t
∆
⋅
− λ
1
t
∆
⋅
− µ
1
Opr. Adam Kadziński
(2)
ALGORYTMY POZYCKIWANIA FORMUŁ MATEMATYCZNYCH
NIEZAWODNOŚCIOWEGO DWUCTANOWEGO MODELU POJAZDU
(
) (
)
[
]
( ) ( )
[
]
∆
⋅
−
∆
⋅
∆
⋅
∆
⋅
−
⋅
=
∆
+
∆
+
t
t
t
t
t
P
t
P
t
t
P
t
t
P
µ
µ
λ
λ
1
1
;
;
2
1
2
1
(
)
( )
[
]
( )
(
)
( )
( )
[
]
∆
⋅
−
⋅
+
∆
⋅
⋅
=
∆
+
∆
⋅
⋅
+
∆
⋅
−
⋅
=
∆
+
t
t
P
t
t
P
t
t
P
t
t
P
t
t
P
t
t
P
µ
λ
µ
λ
1
1
2
1
2
2
1
1
Dodatkowo wiadomo, że
( ) ( )
1
2
1
=
+ t
P
t
P
a
stąd
( )
( )
t
P
t
P
1
2
1
−
=
(
) ( ) ( )
( )
t
t
P
t
t
P
t
P
t
t
P
∆
⋅
⋅
+
∆
⋅
⋅
−
=
∆
+
µ
λ
2
1
1
1
(
) ( )
( )
( )
t
t
P
t
t
P
t
P
t
t
P
∆
⋅
⋅
+
∆
⋅
⋅
−
=
−
∆
+
2
1
1
1
µ
λ
Jeżeli obie strony tego równania podzieli się przez
t
∆
i sprowadzi się do
granicy przy
0
→
∆t
,
to:
(
) ( )
( )
( )
t
P
t
P
t
t
P
t
t
P
t
2
1
1
1
0
lim
⋅
+
⋅
−
=
∆
−
∆
+
→
∆
µ
λ
,
a jeżeli wiadomo, że:
(
) ( )
t
t
P
t
t
P
t
P
dt
d
t
∆
−
∆
+
=
→
∆
1
1
0
1
lim
)
(
to
( )
( )
t
P
t
P
t
P
dt
d
2
1
1
)
(
⋅
+
⋅
−
=
µ
λ
,
a stąd
( )
( )
[
]
t
P
P
dt
t
dP
1
1
1
1
−
⋅
+
⋅
−
=
µ
λ
( ) ( ) ( )
µ
µ
λ
=
⋅
+
+
t
P
dt
t
dP
1
1
Równanie różniczkowe
liniowe pierwszego rzędu
o stałych współczynnikach
Opr. Adam Kadziński
(3)
ALGORYTMY POZYCKIWANIA FORMUŁ MATEMATYCZNYCH
NIEZAWODNOŚCIOWEGO DWUCTANOWEGO MODELU POJAZDU
( ) ( ) ( )
µ
µ
λ
=
⋅
+
+
t
P
dt
t
dP
1
1
Dla uproszczenia zapisu dokonajmy podstawień:
µ
=
b
µ
λ +
=
a
Na tej podstawie:
( )
( )
b
t
P
a
dt
t
dP
=
⋅
+
1
1
,
gdzie:
a, b
- stałe
Równanie różniczkowe rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych.
A zatem kolejno mamy
( )
( )
b
t
P
a
dt
t
dP
+
⋅
−
=
1
1
( )
( )
dt
b
t
P
a
t
dP
=
+
⋅
−
1
1
( )
( )
dt
t
dP
b
t
P
a
−
=
−
⋅
1
1
1
Po obustronnym scałkowaniu otrzymujemy
( )
(
)
t
c
b
t
P
a
a
−
=
+
−
⋅
1
1
ln
1
( )
(
)
1
1
ln
1
c
t
b
t
P
a
a
−
−
=
−
⋅
( )
(
)
*
1
ln
c
at
b
t
P
a
−
−
=
−
⋅
,
gdzie
1
*
c
a
c
⋅
=
Opr. Adam Kadziński
(4)
ALGORYTMY POZYCKIWANIA FORMUŁ MATEMATYCZNYCH
NIEZAWODNOŚCIOWEGO DWUCTANOWEGO MODELU POJAZDU
( )
(
)
*
1
ln
c
at
b
t
P
a
−
−
=
−
⋅
a stąd mamy kolejno
( )
*
)
(
1
c
at
e
b
t
P
a
+
−
=
−
⋅
( )
b
e
t
P
a
c
at
+
=
⋅
+
−
*
)
(
1
( )
( )
a
b
e
a
t
P
c
at
+
=
+
−
*
1
1
( )
a
b
e
e
a
t
P
at
c
+
⋅
=
−
−
*
1
1
( )
a
b
e
c
t
P
at
+
⋅
=
−
1
,
gdzie:
*
1
c
e
a
c
−
=
Po podstawieniu
a
i
b
otrzymuje się:
( )
(
)
µ
λ
µ
µ
λ
+
+
⋅
=
⋅
+
−
t
e
c
t
P
1
?
Opr. Adam Kadziński
(5)
ALGORYTMY POZYCKIWANIA FORMUŁ MATEMATYCZNYCH
NIEZAWODNOŚCIOWEGO DWUCTANOWEGO MODELU POJAZDU
( )
(
)
µ
λ
µ
µ
λ
+
+
⋅
=
⋅
+
−
t
e
c
t
P
1
Stałą całkowania
c
obliczamy przy warunku początkowym:
dla
( )
1
0
0
1
=
→
=
P
t
stąd
(
)
µ
λ
µ
µ
λ
+
+
⋅
=
⋅
+
−
0
1
e
c
i kolejno
µ
λ
µ
+
+
⋅
= 1
1
c
µ
λ
µ
+
−
=1
c
µ
λ
µ
µ
λ
+
−
+
=
c
µ
λ
λ
+
=
c
Końcową postać zależności na prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy
pojazdu przedstawia się następująco:
( )
(
)
µ
λ
µ
µ
λ
λ
µ
λ
+
+
⋅
+
=
+
−
t
e
t
P
1
Opr. Adam Kadziński
(1)
FORMUŁY FINALNE MATEMATYCZNEGO
NIEZAWODNOŚCIOWEGO MODELU POJAZDU I ICH
INTERPRETACJA
( )
(
)
µ
λ
µ
µ
λ
λ
µ
λ
+
+
⋅
+
=
+
−
t
e
t
P
1
( )
)
(
1
1
2
t
P
t
P
−
=
( )
(
)
+
+
⋅
+
−
=
+
−
µ
λ
µ
µ
λ
λ
µ
λ
t
e
t
P
1
2
( )
(
)
µ
λ
µ
µ
λ
λ
µ
λ
+
−
⋅
+
−
=
+
−
t
e
t
P
1
2
( )
(
)
t
e
t
P
µ
λ
µ
λ
λ
µ
λ
µ
+
−
⋅
+
−
+
−
= 1
2
( )
(
)
t
e
t
P
µ
λ
µ
λ
λ
µ
λ
µ
µ
λ
+
−
⋅
+
−
+
−
+
=
2
( )
(
)
t
e
t
P
µ
λ
µ
λ
λ
µ
λ
λ
+
−
⋅
+
−
+
=
2
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
Opr. Adam Kadziński
(2)
FORMUŁY FINALNE MATEMATYCZNEGO
NIEZAWODNOŚCIOWEGO MODELU POJAZDU I ICH
INTERPRETACJA
Funkcja gotowości
Współczynnik gotowości
( )
)
(
1
t
P
t
K
g
=
)
(
lim
1
t
P
K
t
g
∞
→
=
Funkcja niegotowości
Współczynnik niegotowości
( )
)
(
2
t
P
t
K
ng
=
)
(
lim
2
t
P
K
t
ng
∞
→
=
A zatem
(
)
+
+
⋅
+
=
+
−
∞
→
µ
λ
µ
µ
λ
λ
µ
λ
t
t
g
e
K
lim
(
)
t
t
g
e
K
⋅
+
−
∞
→
⋅
⋅
+
+
+
=
µ
λ
µ
λ
λ
µ
λ
µ
lim
0
⋅
+
+
+
=
µ
λ
λ
µ
λ
µ
g
K
a stąd
µ
λ
µ
+
=
g
K
i
g
ng
K
K
−
= 1
µ
λ
λ
+
=
ng
K
Opr. Adam Kadziński
NOTATKI
Opr. Adam Kadziński
Matematyczny niezawodnościowy
model autobusu
Proces eksploatacji autobusu
Graf stanów autobusu
Algorytmy pozyskiwania formuł matematycznych
niezawodnościowego modelu autobusu
Formuły finalne matematycznego
niezawodnościowego modelu autobusów
Cymulator komputerowy niezawodnościowego
modelu autobusu
Ogólny opis symulatora komputerowego
Przykładowe problemy badawcze
Konfigurowanie symulatora i wyniki badań
Patrz plik:
Autobus_Analiza_Gotowości
Opr. Adam Kadziński
Matematyczne i komputerowe niezawodnościowe
modele innych obiektów technicznych
Patrz plik:
Pojazd_Operator_Transportu_Paliw