1. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO
1.1 POJĘCIA WSTĘPNE
Def. 1.1.1 (równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu)
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci:
(R)
)
,
(
'
y
t
f
y
.
Uwaga. Będziemy się również posługiwali tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci
0
)
,
(
)
,
(
dy
y
t
Q
dt
y
t
P
.
Jednak najogólniejszą formą równania różniczkowego rzędu pierwszego jest równanie postaci
0
)
'
,
,
(
y
y
t
F
.
Inaczej mówiąc równanie różniczkowe rzędu pierwszego jest zależnością między funkcją niewiadomą, zmienną niezależną i
pierwszą pochodną funkcji niewiadomej.
Def. 1.1.2 (rozwiązanie równania różniczkowego)
Funkcję y(t) nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (R) na przedziale (a,b), jeżeli jest ona różniczkowalna na tym
przedziale oraz zamienia to równanie w tożsamość
)
(
,
)
(
'
t
y
t
f
t
y
,
prawdziwą dla wszystkich t
(a,b). Wykres (rys. 1) rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.
Rys. 1 Krzywa całkowa
Uwaga. Analogicznie określamy rozwiązania na przedziałach postaci: [a,b), (a,b], [a,b], (-
,b), (-
,b], [a,
), (-
,
). Przy
czym w przypadku, gdy rozwiązanie określone jest na przedziale domkniętym z jednego lub obu końców, przez jego pochodną
na końcu przedziału rozumiemy odpowiednią pochodną jednostronną. Rozwiązanie równania różniczkowego zadane w postaci
uwikłanej
0
)
,
(
y
t
nazywamy całką tego równania. Ponieważ każde rozwiązanie jest całką (niekoniecznie odwrotnie), więc często w odniesieniu
do rozwiązań używa się także terminu całka. Stąd mówimy zwyczajowo scałkować równanie różniczkowe, zamiast rozwiązać
równanie.
Def. 1.1.3 (zagadnienie początkowe)
Równanie różniczkowe (R) oraz warunek
(W)
0
0
)
(
y
t
y
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.
Uwaga. Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali krótko
(RW)
0
0
)
(
),
,
(
'
y
t
y
y
t
f
y
Przy czym liczby t
0
i y
0
nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem początkowym.
Def. 1.1.4 (rozwiązanie zagadnienia początkowego)
Funkcja y(t) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW), jeżeli jest rozwiązaniem równania (R) na pewnym przedziale
zawierającym t
0
i spełnia warunek (W).
Rys. 2
Uwaga. W interpretacji geometrycznej, rozwiązanie zagadnienia początkowego, polega na znalezieniu wśród wszystkich
krzywych całkowych równania (R) tej, która przechodzi przez punkt (t
0
,y
0
) (rys.2). Jednak zagadnienie to niekoniecznie musi
mieć jednoznaczne rozwiązanie. Może istnieć więcej niż jedno rozwiązanie danego zagadnienia początkowego. Istnienie
rozwiązań zagadnienia początkowego oraz ich jednoznaczność jest jednym z głównych problemów teorii równań
różniczkowych zwyczajnych.
Tw. 1.1.5 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (R))
Niech funkcja f(t,y) oraz jej pochodna cząstkowa
y
f
będą określone i ciągłe na obszarze domkniętym D
R
2
. Wtedy dla
każdego punktu (t
0
,y
0
)
D, zagadnienie początkowe (RW) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Uwaga. Inaczej mówiąc przy dowolnych wartościach początkowych wybranych z obszaru D istnieje zawsze rozwiązanie
zagadnienia początkowego (RW). Co więcej, jeżeli dane są dwa rozwiązania o tych samych wartościach początkowych (W),
przy czym każde z rozwiązań określone jest na pewnym przedziale zawierającym punkt t
0
, to rozwiązania te pokrywają się na
wspólnej części rozważanych przedziałów.
Def. 1.1.6 (rozwiązanie ogólne i szczególne równania różniczkowego)
Rodzinę funkcji
)
,
( C
t
y
y
,
zależnych od parametru rzeczywistego C, nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania (R), jeżeli:
1. każda funkcja tej rodziny jest jego rozwiązaniem,
2. dla każdego warunku początkowego
0
0
)
(
y
t
y
, dla którego rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne można dobrać stałą C
tak, aby
0
0
)
,
(
y
C
t
y
.
Każdą funkcję otrzymaną z rozwiązania ogólnego równania (R) przy ustalonej wartości parametru C nazywamy rozwiązaniem
szczególnym tego równania.
Uwaga. Rozwiązanie zagadnienia początkowego, jeżeli istnieje i jest jednoznaczne, jest rozwiązaniem szczególnym. W
praktyce znajomość rozwiązania ogólnego jest bardzo dogodna, gdyż przez odpowiedni dobór parametru C można otrzymać
rozwiązanie zagadnienia początkowego. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, określone w postaci uwikłanej
0
)
,
,
(
C
y
t
,
nazywamy całką ogólną tego równania.
1.2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH
Def. 1.2.1 (równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych)
Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci
(S)
)
(
)
(
'
y
h
t
g
y
.
Uwaga. Zauważmy, że jeżeli h(y
0
) = 0 dla pewnego y
0
, to funkcja y(t)
y
0
jest jednym z rozwiązań powyższego równania. W
formie różniczkowej o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać
dt
t
g
y
h
dy
)
(
)
(
.
Fakt 1.2.2 (całka ogólna równania (S))
Niech funkcje g(t) i h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a,b) i (c,d), przy czym h(y)
0 dla każdego y
(c,d).
Wtedy całka ogólna równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych (S) dana jest wzorem
C
dt
t
g
y
h
dy
)
(
)
(
Uwaga. Całki w powyższym wzorze rozumiane są jako dowolne, lecz ustalone funkcje pierwotne.
Tw. 1.2.3 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (S))
Niech funkcje g(t) i h(y) będą ciągłe odpowiednio na przedziałach (a,b) i (c,d), przy czym h(y)
0 dla każdego y
(c,d).
Wtedy dla każdego punktu (t
0
,y
0
), gdzie t
0
(a,b), y
0
(c,d), zagadnienie początkowe
0
0
)
(
),
(
)
(
'
y
t
y
y
h
t
g
y
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każdy punkt (t
0
,y
0
) prostokąta (a,b)
(c,d) przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys.3)
równania y’ = g(t)h(y).
Rys. 3
1.3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE
Def. 1.3.1 (równanie różniczkowe jednorodne)
Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie postaci
(J)
t
y
f
y'
.
Uwaga. Jeżeli f(u)
u, to równanie jednorodne przyjmuje postać
t
y
y
'
i całkuje się przy pomocy metody rozdzielonych
zmiennych. Jego rozwiązanie ogólne dane jest wtedy wzorem y(t) = Ct, gdzie C
R. jeżeli f(u
0
) = u
0
dla pewnego u
0
, to
jedynym rozwiązaniem równania (J) jest funkcja y(t) = u
0
t.
Fakt 1.3.2 (o zamianie zmiennych w równaniu jednorodnym)
Równanie jednorodne (J) przez zamianę zmiennych
y=ut
sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych postaci
tu’ = f(u) – u
.
Tw. 1.3.3 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (J))
Niech funkcja f(u) będzie ciągła na przedziale (a,b) i niech spełnia na nim warunek f(u)
u. Wtedy dla każdego punktu (t
0
,y
0
)
takiego, że
b
t
y
a
0
0
zagadnienie początkowe
0
0
)
(
,
'
y
t
y
t
y
f
y
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Rys. 4
Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każdy punkt (t
0
,y
0
) obszaru
b
t
y
a
y
t
:
)
,
(
,
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys. 4) równania (J).
1.4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE
Def. 1.4.1 (równanie różniczkowe liniowe)
Równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci
(L)
)
(
)
(
'
t
q
y
t
p
y
.
Jeżeli q(t)
0, to równanie nazywamy niejednorodnym. W przypadku przeciwnym nazywamy je jednorodnym.
Uwaga. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne jest szczególnym przypadkiem równania różniczkowego o zmiennych
rozdzielonych y’=g(t)h(y), w którym przyjęto g(t) = – p(t), h(y) = y.
Tw. 1.4.2 (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równania (L))
Niech funkcje p(t) i q(t) będą ciągłe na przedziale (a,b), gdzie –
a < b
. Wtedy dla każdego punktu (t
0
,y
0
), gdzie t
0
(a,b) oraz y
0
R, zagadnienie początkowe
0
0
)
(
),
(
)
(
'
y
t
y
t
q
y
t
p
y
ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone na przedziale (a,b).
Rys. 5
Uwaga. Inaczej mówiąc, przez każdy punkt pasa (a,b)
R przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa (rys. 5) równania
różniczkowego liniowego.
1.5 RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE BERNOULLIEGO
Def. 1.5.1 (równanie różniczkowe Bernoulliego)
Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie postaci
r
y
t
q
y
t
p
y
)
(
)
(
'
,
gdzie r
R-{0,1}.
Uwaga. Gdyby dopuścić r = 0, to równanie Bernoulliego byłoby równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym.
Natomiast dla r = 1, równanie to byłoby równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym. Zauważmy jeszcze, że dla r > 0
funkcja y(t)
0 jest zawsze jednym z rozwiązań równania Bernoilliego.
Fakt 1.5.2 (sprowadzanie równania Bernoulliego do równania liniowego)
Równanie Bernoulliego
r
y
t
q
y
t
p
y
)
(
)
(
'
,
gdzie r
0, 1, przez zamianę zmiennych
r
y
z
1
sprowadza się do równania liniowego niejednorodnego postaci
)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
'
t
q
r
z
t
p
r
z
.
1. 6 KRZYWE ORTOGONALNE
Def. 1.6.1 (równanie rodziny krzywych)
Jeżeli równanie
0
)
,
,
(
C
y
t
dla każdej wartości parametru C z pewnego przedziału określa krzywą, to nazywamy je równaniem rodziny krzywych (rys. 6).
Def. 1.6.1 (rodzina krzywych ortogonalnych)
Mówimy, że rodziny krzywych
(t,y,C) = 0,
(t,y,C) = 0 są ortogonalne, jeżeli w każdym punkcie przecięcia krzywych z obu
rodzin, krzywe te tworzą między sobą kąt prosty (rys. 7).
Rys. 6
Rys. 7
Fakt 1.6.2 (równanie różniczkowe rodziny krzywych ortogonalnych)
Jeżeli F(t,y,y’) = 0 jest równaniem różniczkowym rodziny krzywych, to równanie różniczkowe rodziny krzywych ortogonal-
nych ma postać
0
'
1
,
,
y
y
t
F
.
1.7 POJĘCIA WSTĘPNE DLA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH WYŻSZYCH RZĘDÓW
Def. 1.7.1 (równanie różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu)
Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie postaci
(R)
)
,...,
'
,
,
(
)
1
(
)
(
n
n
y
y
y
t
f
y
.
Uwaga. Najogólniejszą formą równania różniczkowego rzędu n jest wyrażenie postaci
0
)
,...,
'
,
,
(
)
(
n
y
y
y
t
F
.
Def. 1.7.2 (rozwiązanie równania różniczkowego n-tego rzędu)
Funkcję y(t), różniczkowalną n-krotnie na przedziale otwartym (a,b), nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego (R)
na tym przedziale, jeżeli zamienia to równanie w tożsamość
)
(
),...,
(
'
),
(
,
)
(
)
1
(
)
(
t
y
t
y
t
y
t
f
t
y
n
n
prawdziwą dla wszystkich t należących do przedziału t
(a,b). Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego
krzywą całkową.
Def. 1.7.3 (zagadnienie początkowe)
Równanie różniczkowe (R) oraz warunki
(W)
1
0
)
1
(
1
0
0
0
)
(
,...,
)
(
'
,
)
(
n
n
y
t
y
y
t
y
y
t
y
,
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego.
Uwaga. Zagadnienie początkowe będziemy zapisywali krótko
(RW)
1
0
)
1
(
1
0
0
0
)
1
(
)
(
)
(
,...,
)
(
'
,
)
(
,
,...,
'
,
,
n
n
n
n
y
t
y
y
t
y
y
t
y
y
y
y
t
f
y
,
przy czym liczby t
0
i y
0
, y
1
, ..., y
n-1
nazywamy wartościami początkowymi, a warunek (W) nazywamy warunkiem
początkowym.
Def. 1.7.4 (rozwiązanie zagadnienia początkowego)
Funkcja y(t) jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (RW) jeżeli jest rozwiązaniem równania (R) na przedziale
zawierającym punkt t
0
i jeżeli spełnia warunki (W).
Def. 1.7.5 (rozwiązanie ogólne i szczególne równania różniczkowego)
Rodzinę funkcji
)
,...,
,
,
(
2
1
n
C
C
C
t
y
y
zależnych od n rzeczywistych parametrów C
1
, C
2
, ..., C
n
nazywamy rozwiązaniem ogólnym równania
)
1
(
)
(
,...,
'
,
,
n
n
y
y
y
t
f
y
, jeżeli:
1. każda funkcja tej rodziny jest rozwiązaniem tego równania,
2. dla każdego układu warunków początkowych
0
0
)
(
y
t
y
,
1
0
)
(
'
y
t
y
, ...,
1
0
)
1
(
)
(
n
n
y
t
y
, dla którego rozwiązanie
istnieje i jest jednoznaczne, można dobrać stałe C
1
, C
2
, ..., C
n
tak, aby
1
2
1
0
)
1
(
1
2
1
0
0
2
1
0
)
,...,
,
,
(
,...,
)
,...,
,
,
(
'
,
)
,...,
,
,
(
n
n
n
n
n
y
C
C
C
t
y
y
C
C
C
t
y
y
C
C
C
t
y
.
Każdą funkcję otrzymaną z rozwiązania ogólnego równania (R) przy ustalonych wartościach parametrów C
1
, C
2
, ..., C
n
nazywamy rozwiązaniem szczególnym tego równania.
Uwaga. Rozwiązanie zagadnienia początkowego, jeżeli istnieje i jest jednoznaczne, jest rozwiązaniem szczególnym. W
praktyce znajomość rozwiązania ogólnego jest bardzo dogodna, gdyż przez odpowiedni dobór parametrów C
1
, C
2
, ..., C
n
można otrzymać rozwiązanie zagadnienia początkowego.
1.8 RÓWNANIA RZĘDU DRUGIEGO SPROWADZALNE DO RÓWNAŃ RZĘDU PIERWSZEGO
Fakt 1.8.1 (równanie różniczkowe postaci y’’ = f(t,y’))
Równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci
)
'
,
(
'
'
y
t
f
y
przez podstawienie y’ = u sprowadza się do równania różniczkowego rzędu pierwszego postaci
)
,
(
'
u
t
f
u
.
Fakt 1.8.2 (równanie różniczkowe postaci y’’ = f(y,y’))
Równanie różniczkowe drugiego rzędu postaci
)
'
,
(
'
'
y
y
f
y
przez podstawienie y = q(y) sprowadza się do równania różniczkowego rzędu pierwszego postaci
)
,
(
q
y
f
dy
dq
q
.