Maciej Sac, Marek Blok 

 

2015-03-25 

Metody probabilistyczne i statystyka  

ćwiczenia 

 

Ćw. 3.  Twierdzenie Bayesa 

 
Zagadnienia: twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym, twierdzenie Bayesa 
 
Tw. o prawdopodobieństwie całkowitym 
Jeżeli zdarzenia 

𝐴

1

, 

𝐴

2

, ..., 

𝐴

𝑁

 tworzą układ zupełny zdarzeń, to dla każdego zdarzenia A 

 

𝑃(𝐴) =  𝑃(𝐴 ∩ 𝐴

1

) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴

2

) + ⋯ + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐴

𝑁

) 

 

 

    

= 𝑃(𝐴|𝐴

1

)𝑃(𝐴

1

) + 𝑃(𝐴|𝐴

2

)𝑃(𝐴

2

) + ⋯ + 𝑃(𝐴|𝐴

𝑁

)𝑃(𝐴

𝑁

) 

 
Tw. Bayesa 
Niech 

𝐻

1

, 

𝐻

2

,  ..., 

𝐻

𝑁

  tworzą  układ  zupełny  zdarzeń  (hipotezy),  których  prawdopodobieństwa  a 

priori 

𝑃(𝐻

𝑛

)  znamy.  Dla  dowolnego  zdarzenia  𝐵  o  prawdopodobieństwie  𝑃(𝐵)  różnym  od  zera, 

znając  prawdopodobieństwa: 

𝑃(𝐵|𝐻

1

),  𝑃(𝐵|𝐻

2

),  ...,  𝑃(𝐵|𝐻

𝑁

),  możemy  obliczyć 

prawdopodobieństwa a posteriori 

𝑃(𝐻

𝑛

|𝐵) =

𝑃(𝐵|𝐻

𝑛

)𝑃(𝐻

𝑛

)

𝑃(𝐵|𝐻

1

)𝑃(𝐻

1

) + 𝑃(𝐵|𝐻

2

)𝑃(𝐻

2

) + ⋯ + 𝑃(𝐵|𝐻

𝑁

)𝑃(𝐻

𝑁

)

 

 
 
Zad. 1. Prawdopodobieństwo awarii serwera w ciągu roku wynosi 1% jeżeli pracuje on w suchym 
pomieszczeniu.  Jeżeli  kiedykolwiek  pracował  on  w  wilgotnym  pomieszczeniu,  to 
prawdopodobieństwo  awarii  wzrasta  do  5%.  Jeżeli  90%  obsługiwanych  przez  firmę  serwisową 
serwerów  pracuje  w  pomieszczeniach  suchych,  a  10%  w  pomieszczeniach,  w  których  występują 
okresy  zwiększonej  wilgotności,  to  jaka  część  serwerów  będzie  wymagała  serwisowania  w 
przeciągu roku? 
 
Odp. 1.4% serwerów prawdopodobnie ulegnie awarii. 
 
Zad.  2.  Dyski  twarde  są  pakowane  przez  dystrybutora  w  małe  i  lekkie  albo  w  duże  i  ciężkie 
opakowania. 3% dysków w małych opakowaniach oraz 1% dysków w dużych opakowaniach ulega 
uszkodzeniu w trakcie transportu. Jaka część wysyłanych dysków ulega uszkodzeniu w transporcie, 
jeżeli 60% dysków jest przesyłane w małych opakowaniach, a 40% w dużych? 
 
Odp. 2.2%. 
 
Zad.  3.  Ułożenie  głowicy  dysku  twardego  względem  ścieżki  zapisu  wpływa  na  jakość  odczytu 
danych.  10%  operacji  odczytu  danych  ma  pogorszoną  jakość  z  powodu  ukośnego  ustawienia 
głowicy,  5%  z  powodu  złego  wyśrodkowania  głowicy,  a  1%  z  obydwu  przyczyn  na  raz.  W 
pozostałych  przypadkach  głowica  jest  ustawiona  prawidłowo.  Prawdopodobieństwo  błędnego 
odczytu  danych  wynosi 0.01 w przypadku ukośnego ustawienia  głowicy,  0.02 w przypadku złego 
wyśrodkowania  głowicy,  0.06  w  przypadku  wystąpienia  obydwu  problemów  jednocześnie  oraz 
0.001  w  przypadku  prawidłowego  ustawienia  głowicy.  Jakie  jest  prawdopodobieństwo  błędnego 
odczytu danych z dysku? 
 
Odp. P(E) = 0.0034. 
 
 
 

Maciej Sac, Marek Blok 

 

2015-03-25 

Zad. 4. W węźle pracują 3 aparaty obsługi, ale 2 z nich uległy uszkodzeniu (to już się stało). Jakie 
jest  prawdopodobieństwo,  że  zepsuł  się  aparat  nr  1  i  2?  Prawdopodobieństwo  uszkodzenia 
poszczególnych aparatów to 

𝑃(𝐴

1

) = 0.1, 𝑃(𝐴

2

) = 0.2, 𝑃(𝐴

3

) = 0.3. 

 

Odp. 0.152 

 

Zad.  5.  Rozpatrzmy  układ  kanałów  transmisyjnych  jak  na  rysunku.  Kanały  działają  niezależnie, 
prawdopodobieństwo poprawnego działania kanału wynosi p. Nadany sygnał nie został przekazany 
(fakt).  
a) Znajdź prawdopodobieństwo, że uszkodzony został 1 kanał. 
b) Znajdź prawdopodobieństwo, że uszkodzone zostały 2 kanały. 

 

k

1

k

3

k

2

k

4

in

out

 

 

Odp. a) 

𝑝

3

(1−𝑝)

1−𝑝(1−(1−𝑝)

3

)

, 

b) 

3𝑝

2

(1−𝑝)

2

1−𝑝(1−(1−𝑝)

3

)

, 

 

Zad.  6.  W  kanale  cyfrowym  przesyłane  są  symbole  binarne.  Nadanie  każdego  symbolu  jest 
równoprawdopodobne.  Zarejestrowano  sygnał  1.  Jakie  jest  prawdopodobieństwo,  że  faktycznie 
nadano 1? Działanie kanału zilustrowano na rysunku. Przyjąć p = 0.1.

 

 

 

 

Odp. 0.9

 

 

Zad. 7.  Wiadomo, że 0.001 %  całej  populacji ludzi  choruje na nowotwory. Pacjent odwiedzający 
lekarza  skarży  się  na  objawy  mogące  wskazać  obecność  nowotworu.  Lekarz  wykonuje  test  krwi, 
który  potwierdza  chorobę  z  prawdopodobieństwem  0.99,  jeśli  pacjent  jest  naprawdę  chory.  Test 
może  także  błędnie  wskazać  obecność  nowotworu  u  osoby  zdrowej  (prawdopodobieństwo  0.2). 
Jeżeli  test  wypadnie  pozytywnie,  to  jakie  jest  prawdopodobieństwo,  że  badana  osoba  ma 
nowotwór?

 

 
Odp. 

4.95 ∙ 10

−5

 

 

Maciej Sac, Marek Blok 

 

2015-03-25 

Zad.  8.  Dwustanowy  łańcuch  Markowa  ma  prawdopodobieństwa  przejścia  stanów 

𝑃(0|0) =

1
4

,

𝑃(0|1) =

3
4

  i  początkowe  prawdopodobieństwo  stanu 

𝑃(0) =

1
2

.  Jakie  jest  prawdopodobieństwo 

sekwencji stanów 0, 1, 0, 1, 0? 

 

 

 

Odp. 81/512

 

 
Zad. 9. Pracownik serwisu komputerowego twierdzi, że jeżeli komputer jest zarażony wirusami A i 
B,  to  potrafi  powiedzieć,  który  z  wirusów  zaatakował  system  pierwszy.  Żeby  zweryfikować  to 
przygotowano 10 zestawów komputerowych, które w losowej kolejności zarażono wirusami A i B. 
Pracownik poprawnie określił kolejność zarażania wirusami w 8 przypadkach. Jaka była szansa na 
uzyskanie takiego wyniku, jeżeli pracownik zgadywał?

 

 
Odp. P(8 z 10 | zgadywał) = 0.0439 
 
 
Materiały źródłowe: 
1.   B. Czaplewski, notatki. 
2.  W. Sobczak, J. Konorski, J. Kozłowska, “Probabilistyka stosowana”, Wydawnictwo PG, 2004. 
3.  D.  C.  Montgomery,  G.  C.  Runger,  “Applied  Statistics  and  Probability  for  Engineers”,  Willey, 

2003. 

4.  M. Kay, “Intuitive Probability and Random Processes Using MATLAB”, Springer, 2006.