Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 23
gdzie A
n
- pole najmniejszego płaskiego lub łamanego przekroju netto
R
m
- wytrzymałość na rozciąganie stali
R
e
- granica plastyczności stali
(5)
A
ψ
A
≤
lecz
A
ψ
A
n
0.8 R
m
⋅
R
e
⋅
=
- dla prętów obciążonych osiowo i osłabionych otworami, w przypadku pojedynczej
ścianki (dla ścianki, blachy, pasa lub środnika belki)
Sprowadzone pole przekroju oblicza się z zależności
gdzie A
ψ
-
sprowadzone pole przekroju
(32)
N
Rt
A
ψ
f
d
⋅
=
W przypadku elementów osłabionych otworami na łączniki lub zamocowanych
mimośrodowo (kątowniki zamocowane jednym ramieniem, ceowniki zamocowane
środnikiem, teowniki półką) nośność przekroju należy wyznaczyć ze wzoru
N - siła osiowa w pręcie
N
Rt
- nośność obliczeniowa przekroju przy rozciąganiu
A - pole przekroju pręta
f
d
- wytrzymałość obliczeniowa stali
gdzie
(31)
N
N
Rt
≤
A f
d
⋅
=
Nośność elementów rozciąganych osiowo należy sprawdzać ze wzoru
Elementy rozciągane osiowo
Wybrane zagadnienia z PN-90/B-03200
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 24
dla cięgien bez wstępnego naciągu
λ 350
≤
dla prętów kratownic
λ 250
≤
Ponadto:
- dla prętów o długości rzutu większej niż 6 m należy uwzględnić zginanie wywołane
ciężarem własnym
- w przypadku obciążeń dynamicznych obowiązuje ograniczenie smukłości:
gdzie A
1
ψ
-
sprowadzone pole przekroju części przylgowej kształtownika
A
1n
-
pole przekroju netto części przylgowej kształtownika
(30)
A
ψ
A
1
ψ
=
A
1n
0.8 R
m
⋅
R
e
⋅
=
- dla prętów zamocowanych mimośrodowo na jeden łącznik
gdzie A
1
- pole przekroju części przylgowej kształtownika, brutto dla połączeń
spawanych, netto dla połączeń śrubowych i nitowych
A
2
- pole przekroju części odstającej kształtownika
(29)
A
ψ
A
1
3 A
1
⋅
3 A
1
⋅
A
2
+
A
2
⋅
+
=
- dla prętów zamocowanych mimośrodowo
A
i
ψ
wg wzoru (5)
(6)
A
ψ
i
A
i
ψ
∑
=
- dla prętów obciążonych osiowo i osłabionych otworami, w przypadku elementu
złożonego z kilku ścianek (dla całego kształtownika)
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 25
k
t
0.6k
=
Dla naprężeń stycznych
Przy projektowaniu należy sprawdzać naprężenia wg obu rodzajów naprężeń (I, II)
(wsp.pewności 1,4)
k
II
1700
kG
cm
2
⋅
=
(wsp. pewności 1,6)
k
I
1500
kG
cm
2
⋅
=
Zgodnie z PN-62/B-03200 przyjmowano dwa rodzaje naprężeń dopuszczalnych:
I rodzaj przy uwzględnianiu tylko zasadniczych obciążeń,
II rodzaj przy uwzględnianiu zasadniczych i dodatkowych obciążeń.
Przykładowo dla stali St3S
Siły wewnętrzne P i M wyznaczone dla obciążeń normowych
σ
M
W
k
≤
=
- zginanie
σ
P
β F
⋅
k
≤
=
- ściskanie
σ
P
F
n
k
≤
=
- rozciąganie
Warunki wytrzymałościowe
n
χ
1
χ
2
⋅ χ
3
⋅ ....
⋅ χ
i
⋅
=
Współczynnik pewności jest iloczynem kilku arbitralnych współczynników składowych
- współczynnik bezpieczeństwa (pewności)
n
- granica plastyczności
R
e
k
R
e
n
=
Metody wymiarowania konstrukcji metalowych
Metoda naprężeń dopuszczalnych
•
metoda deterministyczna, obciążenia i własności materiału przyjmowane są jako wielkości
określone nielosowe; kryterium zniszczenia oparte jest o największe naprężenia w elementach,
które nie może przekroczyć naprężeń dopuszczalnych k;
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 26
Metoda naprężeń granicznych
•
metoda uwzględnia specyfikę różnych rodzajów obciążeń; kryterium wyczerpania nośności
zależy od sposobu obciążenia:
- przy rozciąganiu z chwilą wystąpienia na całym polu przekroju naprężenia na granicy plastyczności,
- przy ściskaniu jak wyżej lub z chwilą utraty stateczności,
- przy zginaniu z chwilą wystąpienia we włóknach skrajnych naprężeń na granicy plastyczności
lub utraty stateczności strefy ściskanej.
Naprężenia graniczne
K
κ R
e
⋅
=
κ 1
<
Warunki wtrzymałościowe
- rozciąganie
σ
i
α
i
P
i
⋅
( )
∑
F
n
K
≤
=
- ściskanie
σ
i
α
i
P
i
⋅
( )
∑
β F
⋅
K
≤
=
- zginanie
σ
i
α
i
M
i
⋅
(
)
∑
W
K
≤
=
α - współczynniki obciążenia
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 27
Kombinacje obciążeń - zestawienie schematów i wartości obciążeń działających na konstrukcję:
F
a
G
d
Q
d
γ
f
G
k
⋅
=
,
γ
f
Q
k
⋅
,
G
k
Q
k
,
Parametry obciążenia
- obciążenia charakterystyczne (stałe i zmienne)
- obciążenia obliczeniowe
- obciążenia wyjątkowe
Współczynniki uzupełniające:
- współczynnik jednoczesności obciążeń
ψ
ο
,
- współczynnik redukcji obciążeń
α,
- współczynnik konsekwencji zniszczenia
γ
n
,
- współczynnik dynamiczny
β,
- współczynnik części długotrwałej obciążenia zmiennego
ψ
d
.
f
d
f
yk
γ
s
=
Parametry wytrzymałościowe:
- wytrzymałość charakterystyczna f
yk
,
- wytrzymalość obliczeniowa f
d
N
d
....
γ
n
,
γ
f
,
(
)
N
Rd
....
γ
s
,
( )
≤
Warunek bezpieczeństwa
- współczynnik materiałowy
γ
s
- współczynnik obciążeń
γ
f
- współczynnik konsekwencji zniszczenia
γ
n
Wprowadzono trzy częściowe współczynniki bezpieczeństwa:
Metoda stanów granicznych
•
Metoda wiąże się z granicą tolerancji dla niekorzystnych losowych odchyleń nośności i wymiarów
elementów od wartości oczekiwanej. Odchyleniem losowym nazywane jest takie odchyleniem,
któremu można przypisać określone prawdopodobieństwo. Metoda korzysta więc z metod
probabilistycznych.
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 28
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 29
Stany graniczne
I stan graniczny: nośności (zniszczenia)
•
- utrata stateczności sprężystej lub sprężysto-plastycznej,
- narastanie odkształceń trwałych i przekształcenie konstrukcji w mechanizm
- uszkodzenie (pęknięcia) uniemożliwiające normalną eksploatację,
- utrata równowagi ogólnej lub częściowej konstrukcji.
Kombinacje obciążeń:
- podstawowa
i
G
k
i
γ
f
i
⋅
( )
∑
i
Q
k
i
γ
f
i
⋅ Ψ
o
i
⋅
(
)
∑
+
- wyjątkowa
i
G
k
i
γ
f
i
⋅
( )
∑
0.8
i
Q
k
i
γ
f
i
⋅
( )
∑
⋅
+
F
a
+
II stan graniczny: użytkowania
•
- odkształcenia konstrukcji utrudniające jej użytkowanie lub niedopuszczalne
ze względów estetycznych,
- nadmierne drgania pogarszjące komfort użytkowania obiektów
- miejscowe uszkodzenia (pęknięcia, wybrzuszenia) pogarszające estetykę
Kombinacje obciążeń:
- podstawowa
i
G
k
i
∑
Q
k
+
- długotrwała
i
G
k
i
∑
i
Q
k
i
Ψ
d
i
⋅
(
)
∑
+
Metoda stanów granicznych jest tzw. metodą półprobabilistyczną. Rozróżnia się 3 poziomy
obliczeń probabilistycznych:
- poziom 1, (półprobabilistyczny) niezależna kalibracja współczynników
γ
m
i
γ
f
,
- poziom 2, łączne kryterium niezawodności dla obciążeń i nośności,
- poziom 3, kryterium niezawodności całej konstrukcji.
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 30
Wybrane zagadnienia z PN-90/B-03200
Klasyfikacja przekrojów
Klasa przekroju - stopień odporności elementu na miejscową utratę stateczności
Klasa 1. Przekroje klasy 1 mogą osiągać nośność uogólnionego przegubu plastycznego,
•
a w stanie pełnego uplastycznienia przy zginaniu wykazują zdolność do obrotu, niezbędną
do plastycznej redystrybucji momentów zginających.
Klasa 2. Przekroje klasy 2 mogą osiągać nośność uogólnionego przegubu plastycznego,
•
lecz wskutek miejscowej niestateczności plastycznej wykazują ograniczoną zdolność do
obrotu, uniemożliwiającą redystrybucję momentów zginających
Klasa 3. Przekroje klasy 3 charakteryzują się tym, że ich nośność jest uwarunkowana
•
początkiem uplastycznienia strefy ściskanej
Klasa 4. Przekroje klasy 4 tracą nośność przy największych naprężeniach ściskających
•
(lub średnich ścinających) mniejszych niż granica plastyczności
Klasyfikacja przekrojów odbywa się wg tablic 6 i 7 PN-90/B-03200
Ścieżki równowagi statycznej elementów zginanych o przekrojach 1,2,3,4 [11]
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 31
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 32
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 33
Przykład wg [13]
Ustalić klasę mimośrodowo ściskanego przekroju teowego z blach
[mm]
Dane:
- stal 18G2A o wytrzymałości
f
d
305MPa
=
30.5
kN
cm
2
=
- mimośród obciążenia N
e
y
10cm
=
Rozwiązanie:
Warunki smukłości pasa (jak dla elementu równomiernie ściskanego)
b
t
0.5 200
8
−
(
)
⋅
12
=
8
9
ε
⋅
>
=
9
215
305
⋅
=
7.56
=
b
t
0.5 200
8
−
(
)
⋅
12
=
8
10
ε
⋅
<
=
10
215
305
⋅
=
8.4
=
Środnik jest zginany, posiada strefę naprężeń ściskających i rozciągających. W celu
dokonania klasyfikacji należy określić współczynnik rozkładu naprężeń
α wyznaczający
zasięg strefy ściskanej. W przypadku klasy 1 lub 2 należy dokonać tego w stanie pełnego
uplastycznienia. W przypadku klasy 3 lub 4 należy rozpatrywać liniowo-sprężysty rozkład
naprężeń w przekroju. Osie obojętne stanu sprężytego i pełnego uplastycznienia (x oraz x')
przy zginaniu (ściskaniu mimośrodowym) przekrojów monosymetrycznych nie pokrywają się.
Położenie osi obojętnej w stanie sprężytym jest znane (y
o
=163.6mm). Położenie osi
obojętnej w stanie pełnego uplstycznienia należy obliczyć z warunków równowagi.
(uwaga dalej przyjęto wymiary w cm oraz naprężenia w kN/cm
2
)
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha
Konstrukcje metalowe
______________________________________________________________________________________________ 34
Pas spełniał warunki klasy 2, więc cały przekrój należy zaliczyć do klasy 2.
klasa 1
b
t
20
0.8
=
25
1
α α
⋅
9
⋅ ε
<
=
9
0.38
0.38
⋅
215
305
⋅
=
32.3
=
Warunek smukłości środnika
α
20
c
y
−
20
=
20
12.4
−
20
=
0.38
=
Można teraz obliczyć współczynnik
α
(drugi pierwiastek o wartości 40.3 cm odrzucamy)
c
y
12.4cm
=
skąd wyliczamy
24.4
−
c
y
2
⋅
1286.368 c
y
⋅
12200
−
+
oraz uporządkowaniu otrzymujemy zależność
10 1220
48.8c
y
−
(
)
⋅
24.4
−
c
y
2
798.368c
y
+
=
Po podstawieniu z równania (a) siły N
(b)
10 N
⋅
12.2
−
c
y
2
399.184c
y
+
12.2c
y
2
−
399.184c
y
+
=
24.4
−
c
y
2
798.368c
y
+
=
30.5 c
y
⋅ 0.8
⋅
16.36
0.5 c
y
⋅
−
(
)
⋅
12.2
−
c
y
2
⋅
399.184 c
y
⋅
+
=
wypadkowa naprężeń strefy rozciąganej
30.5
20 1.2
⋅
20
0.6
+
16.36
−
(
)
⋅
20
c
y
−
(
)
0.8
⋅
20
20
c
y
−
2
−
16.36
−
⋅
+
⋅
12.2
−
c
y
2
399.184c
y
+
=
wypadkowa naprężeń strefy ściskanej
- równanie momentów (względem osi środka ciężkości przekroju x-x)
(a)
N
1220
24.4c
y
−
24.4c
y
−
=
1220
48.8c
y
−
=
30.5 0.8
⋅
c
y
⋅
24.4c
y
=
wypadkowa naprężeń strefy rozciąganej
30.5 20 1.2
⋅
20 0.8
⋅
+
c
y
0.8
⋅
−
(
)
⋅
1220
24.4 c
y
⋅
−
=
wypadkowa naprężeń strefy ściskanej
- równanie sił
2005-03-07
______________________________________________________________________________________________
Politechnika Częstochowska Katedra Mechaniki Technicznej
Dr inż.S.Labocha