Modelowaniu w Projektowaniu Maszyn

Projekt

Temat projektu: Modelowanie układu przenośnika wibracyjnego

metodami analitycznymi oraz przy użyciu
środowiska Matlab.

Dominika Damian

Gr. W-1

2

1.

Cel i zakres projektu.

Celem projektu jest wyznaczenie równań ruchu przenośnika wibracyjnego oraz sporządzenie

do tego wykresów ruchów przy użyciu środowiska Matlab.

Zakres projektu:

schemat modelowanego przenośnika,

wyprowadzenie równań ruchu przenośnika przy pomocy metody Lagrange'a,

schemat i równania napięciowe oraz wzór na moment elektryczny silnika szeregowego,

wyznaczenie parametrów przenośnika,

kod programu Matlab zamodelowanej maszyny w której ujęte zostało: trajektoria ruchu

materiału, prędkości liniowe i kątowe materiału oraz rury, charakterystyka mechaniczna i

elektryczna silnika szeregowego,

2.

Założenia i dane projektu.

Parametry maszyny:



 55,8  ś ę 

  2  ść ś!
16 pakietów sprężyn po 2 sztuki (8 pakietów na stronę) o wymiarach:

"  98  łść,
  16  '!ść,
(  1,2  ść.

Masa rury:



)

 * + ,  -.7,78 + 10

12

6,7 + 10

12

3 + 1,8 + 7850  4,95 !

gdzie:

V-objętość rury,

,-gęstość materiału rury.

Współczynnik sprężystości sprężyn:

! 

1256

"

7

 5 +  + 8

(

" 9

7

 205 + 10

:

+ 0,016 + ;

1,2 + 10

17

0,098 <

7

 6021,98 =

>

?

Całkowity współczynnik sprężystości:

!

@

 16 + !  96350,4 =

>

?

3

Współczynnik tłumienia:

Można go obliczyć wykorzystując znajomość logarytmicznego dekrementu tłumienia.

B  "

C

.DE3

C

.DEFG3





2 + H,

gdzie:

C

.DE3

C

.DEFG3

''! ó( J" !"K( ń

b - współczynnik tłumienia,

m - masa przenośnika,

T - okres drgań.

Odczytanie danych z pliku zawierającego pomiar drgań (przyspieszeń) przenośnika

wibracyjnego:

C

.DE3

 0,2 *,

C

.DEFG3

 0,16 *,

  5 !,
H  1394 + 9,09091 + 10

1M

 0,126 ',

B  ln 8

0,2

0,169  0,22

 

2 + B

H 

2 + 5 + 0,22

0,126

 17,5 =

>'

 ?

Siła w łożysku wibratora:

>  

G

+  + P

Q

 0,3 + 0,03 + 237,43

Q

 507,36 >.

Dane:



G

 0,3 ! ' ,



Q

 5 ! ' ,



7

 5 ! ' 'J ł,

  0,03  łść ś
6



 8,24 + 10

1S

! + 

Q

  łś ! '"!,

  9,81 T



'

Q

U J'J' '!,

!  10

V

=

>

? 'Jół! 'Jęż'ś,

 

-

3  !ą J(" 'Jęż  J,

4

!'  1,5 =

>'

 ? 'Jół! ł ł,

Y  0,2 'Jół!  ł,

!

G

 96350,4 =

>'

 ? ł! 'Jół! 'Jęż'ś 'Jęż,

  51 =

>'

 ? 'Jół! ł,

Z

[

 10 \ 'K ,

Z

D

 1 \ 'K !,

]



 100 * Ję '",

^

[

 0,09 _ !Kś ,

^

D

 0,009 _ !Kś !,

`

[

 0,05 _ !Kś K,





 0,012  ś ł

Y

Q

 0,3 'Jół! . '"!3.

Założenia do projektu:

1)

rurę w ruch wprawia wibrator bezwładnościowy,

2)

rura porusza się ruchem prostoliniowym równolegle do podłoża a prostopadle do resorów,

3)

masa ruchoma wibratora porusza się ruchem płaskim,

4)

model posiada dwa stopnie swobody, gdzie współrzędnymi uogólnionymi są:

'  a.

5)

materiał w przenośniku przemieszcza się warstwowo,

6)

przemieszczanie materiału w "poziomie" odbywa się warstwowo.

3.

Wyprowadzenie równań ruchu przenośnika.

Rys.1. Schemat badanego przenośnika wibracyjnego.

5

Potencjał Lagrange`a:

5 

1

2 

Q

'

Q

b c 81

2 

G

*

dG

Q

c

1

2 6

dG

a

Q

b 9 ,

gdzie:

*

dG

J! Ję!ść ' 

G

,

Do wyznaczenia

*

dG

potrzebne są współrzędne środka masy, po ich zróżniczkowaniu

względem czasu otrzymamy składowe prędkości

*

dG

:

C

dG

 ' .a 3 c ' 'Jółę J  ' 

G

,



dG

 ' a 'Jółę J  ' 

G

.

Różniczkujemy względem czasu:

Cb

dG

 ab ' .a3 c ' '!ł J Ję!ś ' 

G

,

b

dG

 ab cos. a3 '!ł J Ję!ś '

G

.

Energia kinetyczna układu:

5 

1

2 

Q

'b

Q

c

1

2 

G

.'b ab sin.a 33

Q

c

1

2 

G

.ab ' .a3 3

Q

c

1

2 6

dG

ab

Q

gdzie:

a Jłż !ą   ' i.

Energia potencjalna układu

* 

1

2 !'

2

c 

Q

' + '.j3 c 

G

. + ' .a c j3 c ' + ' j 33

Praca układu:

^  5 *

^ 

1

2 

Q

'

Q

b c 1

2 

G

.'b – ab sin .a3

Q

c

1

2 

G

.ab cos. a33

Q

c

1

2 6

dG

ab

Q

c =

1

2 

Q

'

Q

c 

Q

' + ' .j3 c 

G

 l' .a c j3 c ' + ' .j3m?

6

gdzie:

`

n

 "! J(ą  '"!

6



 łś ! '"!

WSPÓŁRZĘDNA UOGÓLNIONA S

WSPÓŁRZĘDNA UOGÓLNIONA

o

Równanie ruchu

p^

p'b  

Q

' c 

G

.'b ab ' .a3 3

p^

pab  

G

q'b – ab sin.a3 l '.a3mr c

1

2 

G

.

Q

ab

Q

cos

Q

. a33

s

c 6'1ab 

 

G



Q

ab – 

G

'b ' .a3 c 6'1ab

Różniczka względem

czasu





p^

p'b  

Q

't c 

G

't 

G

 .at · sin. a3

c ab

Q

cos. a33





p^

pab  

G



Q

at – 

G

't + '.a3 c q'bl'.a3m

s

r c 6

dG

at

 

G



Q

at – 

G

.'t + ' .a3 c 'b '.a3ab 3 c 6

dG

at

Różniczka względem

drogi

p^

p'  !' c 

Q

' .j3 c 

G

'. j3

p^

pa  

G

.'b – ab sin .a3. ab cos.a33 c 

G

abcos.a3l ab '.a3m c

c 

G

l' .a c j 3mv  

G

ab'b cos.a3 – 

G

'.a c j3

Ostateczne

równanie ruchu





p^

p'b

p^

p'  .

G

c 

Q

3't – 

G

 lat sin. a3

c ab

Q

' .a3m c !'  '.j3

G

c 

Q





p^

pab

p^

pa – 

G

't + '.a3 c .

G



Q

c 6



3at c 

G

'.a c j3  `

n

Ostateczny układ

równań

w

.

1

c 

2

3

'

t



1

a

t

'

.

a

3

c 

1

a

b

2

'

.

a

3

c !'   ' .j3 .

1

c 

2

3

– 

1

'

t

' .a3 c .

1



2

c 6



3

a

t

 `

"



1

 ' .a c j3

x

7

4.

Model materiału poruszającego się w przenośniku.

Rys.2. Model przemieszczenia się materiału.

Materiał porusza się warstwowo, równanie ruchu ma postać:



G

· Ct

G

 

G

c y

EG

gdzie:

y

EG

'ł J'ł J !! ł  ą

Funkcja opisująca ruch po dwóch odcinkach histerezy:

y

z{

 .C

z

– C

{

3 ! ;1

|

4 c

|

4 'lC

z

C

{

m 'lC

z

C

{

m<

Zakładając, że układ działa w poślizgu, siła tarcia wynosi:

H  Y · > · '.C

{

C

z

3

Złożenie składowej normalnej ze składową styczną da ruch materiału w rurze.

8

5.

Schemat układu elektrycznego, równanie napięciowe oraz wzór na moment

elektryczny silnika szeregowego.

Rys. 3. Schemat układu szeregowego silnika.

Równanie napięciowe (wykorzystanie II prawa Kirchhoffa):

Z

} + 

c ^

}

·



 c Z



·  c ^

 +



 c ~ · P  ]



gdzie:

Z

[

'K ,

Z

D

'K !,

]



Ję '",

^

[

!Kś ,

^

D

!Kś !,

Miarą

sprzężenia

magnetycznego

pomiędzy

dwoma

obwodami

elektrycznymi

wytwarzającymi wzajemnie przenikające się pola magnetyczne jest indukcyjność wzajemna

cewek.

Zależność między momentem elektrycznym a indukcyjnością wzajemną:

`

n

 `

[

+ 

Q

Moment tarcia:

`



 H +





2 ,

gdzie:

H  Y

Q

+ >

9





ś J,

>  

G

+  + P

Q

'ł '!  łż'!.

Ostateczny moment elektryczny:

`

n

 `

[

+ 

Q

Y

Q



G

+  + P

Q

+





2

Macierz układu:

€













‚



G

c 

Q



G

'.a3

0

0

0

0

0

0

0



G

'.a3



G



Q

c 6



0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0



7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0



7

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

^

[

c ^

D

ƒ

„

„

„

„

„

„

…

+





€













‚

†

P

'

a

†

G

'

G

†

Q

'

Q



ƒ

„

„

„

„

„

„

…



€

















‚

G

P

Q

cos.a3 !

G

' † '.j3.

G

c 

Q

3



G

'.a c j3 c `

[



Q

8





2 9 Y

Q



G

P

Q

†

P



7

 c y

*

G

y

D

*

Q

]



Z

[

 Z

D

 P`

[



ƒ

„

„

„

„

„

„

„

„

…

10

6.

Model przenośnika wibracyjnego w Matlabie oraz wykresy przemieszczeń, sił oraz

współrzędnych uogólnionych.

Rys. 4. Skan z programu Matlab przedstawiający wprowadzone zmienne oraz dane przenośnika
wibracyjnego.

11

Rys. 4. Skan z programu Matlab przedstawiający macierz układu, gdzie M-macierz mas, Q- macierz

sił.

Przy tak zamodelowanym przenośniku wibracyjnym otrzymujemy następujące wykresy:

1)

prędkości oraz przemieszczenia rury w czasie:

12

2)

prędkości oraz przemieszczenia materiału w czasie:

3)

zmianę natężenia w czasie:

13

4)

przemieszczenie środka ciężkości materiału oraz masy w czasie:

5)

trajektoria ruchu materiału:

14

6)

siła nacisku na łożysko w czasie:

7.

Wnioski.

Celem projektu było wyznaczenie amplitudy drgań w stanie ustalonym przenośnika

wibracyjnego. Do wyznaczania równań ruchu metodą analityczną wykorzystano równania

Lagrange`a II rodzaju. Rozwiązanie równań ruchu w postaci graficznej uzyskano przy pomocy

programu Matlab, co pozwala na sprawdzenie czy zamodelowany układ nie uległ awarii lub nie

utknął w rezonansie.

By rynna przenośnika nie wpadła w rezonans, jej częstotliwość drgań

własnych musi być większa od częstotliwości drgań wibratora.