1
ŚRODEK MASY
•
Położenie środka masy
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
i
i
m
r
m
R
1
1
dla dwóch mas
2
1
2
2
1
1
m
m
m
r
r
m
R
+
+
=
•
Prędkość środka masy
dt
R
d
V
=
•
Pęd środka masy
∑
=
=
=
n
i
i
p
V
M
P
1
:
1
ŚRODEK MASY
•
Położenie środka masy
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
i
i
m
r
m
R
1
1
dla dwóch mas
2
1
2
2
1
1
m
m
m
r
r
m
R
+
+
=
•
Prędkość środka masy
dt
R
d
V
=
•
Pęd środka masy
∑
=
=
=
n
i
i
p
V
M
P
1
:
2
RUCH ŚRODKA MASY
∑
=
i
z
i
F
dt
P
d
)
(
Środek masy porusza się w taki sposób, jak
gdyby w nim była skupiona masa całego układu i
do niego była przyłożona suma wszystkich sił
działających na układ.
0
)
(
=
∑
z
i
F
⇒
.
st
n
co
P
=
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
Jeżeli suma sił zewnętrznych działających na układ
jest równa zeru to pęd układu nie ulega zmianie.
Ś
rodek masy porusza się wówczas ruchem
jednostajnym prostoliniowym.
3
MOMENT PĘDU i MOMENT SIŁY
Moment pędu
J
r
p
= ×
[ ]
J
kg m
s
=
⋅
2
Moment siły
F
r
M
×
=
2
2
s
m
kg
]
M
[
⋅
=
Względem punktu
O
O
O
4
ZMIANA MOMENTU PĘDU UKŁADU
∑
=
=
n
i
z
i
M
dt
J
d
1
)
(
Wszystkie momenty sił muszą być liczone
względem tego samego punktu !
ZASADA ZACHOWANIA
MOMENTU PĘDU
Jeżeli całkowity moment sił zewnętrznych
działających na układ jest równy zeru to moment
pędu układu nie ulega zmianie.
Dotyczy to układów, w których spełniona jest III zasada
dynamiki Newtona
5
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
Istnieje pewna wielkość, zwana energią, nie
ulegająca
zmianie
podczas
różnorodnych
przemian, które zachodzą w przyrodzie.
Energia może występować w różnych postaciach. Mamy
energie grawitacyjną, kinetyczną, sprężystą, cieplną,
elektryczną, chemiczną, promienistą, jądrową i energię
masy.
POLE SIŁ
Polem nazywa się obszar przestrzeni, w którym
każdemu
punktowi
P
jest
jednoznacznie
przyporządkowana pewna wielkość A(P).
Pole sił - obszar przestrzeni, w którym każdemu
punktowi przyporządkowany jest pewien wektor
określający, jaka siła działałaby na dane ciało gdyby
umieszczono je w tym punkcie.
Stacjonarne pole sił nie zmienia się w czasie
6
PRACA
Praca elementarna dW wykonana przez siłę
F
przy przesunięciu ciała o element przyrostu drogi
s
d
na tyle mały, że
F
= const.
( )
dW
F r
dr
=
⋅
[1J =1Nm]
Całkowita praca
i
n
i
i
i
n
r
AB
r
r
F
W
i
∆
⋅
=
∑
=
∞
→
→
∆
1
0
)
(
lim
∫
=
B
A
AB
r
d
r
F
W
)
(
Praca w ruchu jednowymiarowym (1D)
dW = F(x) dx
∫
=
B
A
AB
dx
x
F
W
)
(
7
POLE ZACHOWAWCZE
W ogólnym przypadku praca wykonana przy
przesunięciu z punktu A do B zależy od drogi
W
s1
≠
W
s2
≠
W
s3
Siły, albo pola sił mające tę własność, że praca
zależy tylko od położenia punktu początkowego i
końcowego, a nie zależy od drogi po jakiej została
wykonana nazywamy zachowawczymi.
W zachowawczym polu sił praca po drodze
zamkniętej jest równa zeru.
Przykładem sił zachowawczych są siły grawitacyjne
lub elektrostatyczne.
( )
0
F r ds
=
∫
8
ENERGIA POTENCJALNA
Ponieważ praca jest wielkością skalarną, zależną tylko
od wartości całki w punktach A i B
( )
B
AB
A
W
F r ds
=
∫
to możemy określić funkcję skalarną V taką, że
( )
( )
AB
A
B
W
V r
V r
=
−
( )
B
A
B
A
V
V
F r ds
−
=
∫
gdzie
)
(
,
)
(
B
B
A
A
r
V
V
r
V
V
≡
≡
( )
V r
jest określone z dokładnością do stałej:
V’ = V + A
spełnia równanie
'( )
'( )
A
B
AB
V r
V r
W
−
=
Ż
eby V było określone jednoznacznie trzeba ustalić
jego wartość w którymś punkcie, np. V(
∞
) = 0
∫
∞
=
A
A
s
d
r
F
V
)
(
9
GRADIENT *
Dla punktów bardzo blisko położonych
W
AB
= dW
czyli
dW =
−
dV
dV
Fds
= −
podstawiając
z
y
x
F
z
F
y
F
x
F
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
dz
z
dy
y
dx
x
s
d
ˆ
ˆ
ˆ
+
+
=
otrzymuje się
dV = - ( F
x
dx + F
y
dy + F
z
dz )
równanie to dzielimy stronami przez
dx
x
z
y
x
F
dx
dz
F
dx
dy
F
dx
dx
F
dx
dV
−
=
+
+
−
=
ponieważ
dy/dx = 0
oraz
dz/dx = 0
x
dV
F
dx
= −
10
GRADIENT *
dzieląc równanie
dV = - ( F
x
dx + F
y
dy + F
z
dz )
przez dy i przez dz otrzymuje się
y
dV
F
dy
= −
z
dV
F
dz
= −
a wprowadzając pochodne cząstkowe
.
.
const
z
const
y
dx
dV
x
V
=
=
≡
∂
∂
x
V
F
x
∂
= −
∂
,
y
V
F
y
∂
= −
∂
,
z
V
F
z
∂
= −
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
→
z
V
z
y
V
y
x
V
x
F
ˆ
ˆ
ˆ
V
z
z
y
y
x
x
F
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
→
ˆ
ˆ
ˆ
operator gradient
ˆ
ˆ
ˆ
x
y
z
x
y
z
∂
∂
∂
∇ ≡
+
+
∂
∂
∂
11
SIŁA POTENCJALNA
Znając rozkład energii potencjalnej można znaleźć
siłę działającą na ciało umieszczone w danym
punkcie
( )
( )
F r
V r
= −∇
)
(r
V
energia potencjalna
( )
F r
siła potencjalna
- operator gradient
∇
ˆ
ˆ
ˆ
grad
x
y
z
x
y
z
∂
∂
∂
∇ ≡
=
+
+
∂
∂
∂
,
,
pochodne cząstkowe
V
V
V
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
.
const
z
const
y
dx
dV
x
V
=
=
≡
∂
∂
12
ENERGIA KINETYCZNA *
Praca wykonana nad układem ciał przy przejściu od stanu A
do stanu B
B
i
AB
i
i
i
A
dv
W
m
v dt
dt
=
∑ ∫
dla
const.
i
i
i
i
dv
m
F
m
dt
=
=
i
i
ds
v dt
=
dt
x
d
x
dt
x
d
x
x
dt
x
d
x
x
dt
d
x
dt
d
2
)
(
)
(
2
=
+
=
⋅
=
2
2
1
1
2
2
(
)
(
)
B
B
AB
i
i
i
i
i
i
A
A
d
W
m
v
dt
m d v
dt
=
=
∑
∑
∫
∫
(
)
2
2
1
2
( )
( )
AB
i
i
i
i
W
m v B
v A
=
−
∑
∑
∑
−
=
i
i
i
i
i
i
AB
A
v
m
B
v
m
W
2
2
1
2
2
1
)
(
)
(
W
AB
= T
B
- T
A
13
ENERGIA KINETYCZNA
1. Praca wykonana nad układem ciał przy przejściu od stanu
A do stanu B
W
AB
= T
B
- T
A
∑
=
i
i
i
A
A
v
m
T
)
(
2
1
2
energia kinetyczna układu w stanie A
2
2
1
i
i
i
v
m
T
=
energia kinetyczna i-tego punktu
2.
Praca wykonana nad układem ciał przy przejściu od stanu
A do stanu B równa się różnicy energii potencjalnych
W
AB
= V
A
- V
B
T
B
- T
A
= V
A
- V
B
T
A
+ V
A
= T
B
+ V
B
= E
14
ZACHOWANIE ENERGII MECHANICZNEJ
Dla dwóch dowolnych stanów układu, A i B,
T
A
+ V
A
= T
B
+ V
B
= E
T
A
i T
B
energia kinetyczna układu w stanie A
i w stanie B
∑
=
i
i
i
A
A
v
m
T
)
(
2
1
2
V
A
i V
B
energia potencjalna układu w stanie A
i
w stanie B
( )
A
A
V
F r ds
∞
=
∫
Jeżeli siły działające na
każdy
z
punktów
materialnych układu odizolowanego są siłami
zachowawczymi, to całkowita energia mechaniczna
układu nie ulega zmianie.
ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU
W układzie zamkniętym całkowity ładunek pozostaje
stały niezależnie od przebiegających procesów
15
ZASADA ZACHOWANIA
LICZBY LEPTONOWEJ I LICZBY BARIONOWEJ
W układzie zamkniętym suma liczb leptonowych i liczb
barionowych pozostaje stała niezależnie od przebiegających
procesów
Λ
0
→
p
+
+
π
−
µ
−
→
e
−
+
ν
µ
+ ν
e
16
ZASADY ZACHOWANIA A SYMETRIA
W PRZYRODZIE
•
Zasada zachowania pędu wynika z niezmienniczości
względem przesunięcia przestrzennego będącej
konsekwencją jednorodności przestrzeni
•
Zasada zachowania momentu pędu z niezmienniczości
względem obrotu przestrzennego – izotropowości
przestrzeni
•
Zasada zachowania energii z niezmienniczości względem
przesunięcia w czasie – jednorodności czasu.
Twierdzenie Noether
Każdemu rodzajowi symetrii w przyrodzie
odpowiada określona zasada zachowania.
Jest to jedno z najważniejszych twierdzeń fizyki współczesnej.
(Emma Noether 1918 r. )
Najgłębszym poziomem poznania fizycznego są ogólne
zasady wyjawiające związki między prawami fizyki.