Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu 
 
Laboratorium

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ANALIZA KORELACYJNA I 
REGRESYJNA  

 

 

Instrukcja do ćwiczenia nr 5 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery 

Wrocław, listopad 2010 r.

 

 

2 

 

x 

x 

x 

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu                                                             Ćwiczenie laboratoryjne nr 5  
 
                                                                        

ANALIZA KORELACYJNA I REGRESYJNA 

 
 

1. 

CEL ĆWICZENIA 
Celem  ćwiczenia  jest wyznaczenie  współczynnika  korelacji  serii  pomiarów  napięcia 
termoelektrycznego w funkcji temperatury dla termoelementu typu K, oraz obliczenie funkcji 
regresji. 
Dodatkowym celem jest wyznaczenie charakterystyki przetwornika  temperatur  z 

termoelementu typu K oraz błędów systematycznych przetwornika. 

 

2. 

WSTĘP [1,2] 

Rysunek 1 przedstawia wg [1] wyniki pomiarów dwóch zmiennych (x

1

,y

1

),    (x

N

,y

N

) np. 

napięcia  termoelektrycznego  od  temperatury, oporu od temperatury dla termometrów 
rezystancyjnych metalowych, 

zależność  napięcia  od  natężenia  przepływającego  prądu  czy 

strumienia objętości przepływającej cieczy od ciśnienia różnicowego na zwężce. 
  

a)                                      b)                                           c) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rys.1. 

Zależności miedzy punktami pomiarowymi [1]: a) liniowe, b) krzywoliniowe, c) brak 

zależności 
 

Widać, z niego, że zależność między wielkościami y i x rysunku 1a jest liniowa, na rysunku 
1b  krzywoliniowa, a na rysunku 1c 

występuję  brak  zależności  miedzy  nimi. Analiza 

korelacyjna pozwala 

określić  zależności  funkcyjne  między  zmiennymi.  W  praktyce 

pomiarowej często ta zależność jest liniowa, a o liniowej zależności informuje współczynnik 
korelacji liniowej  oznaczany przez r [2

] i wyrażany tożsamymi równaniami: 

 

r =

∑(x

i

−x�)(y

i

−y�)

�∑(x

i

−x�)

2

∑(y

i

−y�)

2

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) 

r =

∑ x

i

y

i

−Nx �y�

��∑ x

i

2

−Nx�

2

��∑ y

i

2

−Ny�

2

�

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) 

Liczba r 

określa stopień zgodności punktów (x

i

, y

i

) z linią prostą i przyjmuje ona wartości z 

przedziału <-1,1>. Jeżeli r jest bliskie ±1 to punkty rozłożone są wzdłuż pewnej prostej, jeżeli 

r jest bliskie 0 to punkty są nieskorelowane i nie wyznaczają prostej [2]. 

Jeżeli  współczynnik  korelacji  jest  mniejszy  niż  1  to  z  tabeli  1  [2]  można  obliczyć 

prawdopodobieństwo  uzyskania  współczynnika  korelacji  r  większego  od  r

0

  dla 

nieskorelowanych zmiennych x i y w 

zależności  od liczby  danych pomiarowych N, tzn. 

𝑃

𝑁

(|𝑟| ≥ 𝑟

0

) . 

y 

y 

y 

3 

 

Tabela 1. Prawdopodobieństwo 𝑃

𝑁

(|𝑟| ≥ 𝑟

0

) , że wyniki N pomiarów dwu nieskorelowanych 

zmiennych  x  i  y  dałybby  wspólczynnik  korelacji  |𝑟| ≥ 𝑟

0

.  Podane  wartości  wyrażają 

prawdopodobieństwo procentowe , puste miejsca oznaczają wartości mniejsze niż 0,005 % [2] 

 

 

Dla  przykładu: dla 6 pomiarów (N=6) otrzymaliśmy  r

0

= 0,9; z tabeli  1 

wynika  ,że  jeżeli 

zmienne  są  nieskorelowane  to  prawdopodobieństwo  uzyskania  współczynnika  korelacji 

większego od 0,9 wynosi 1%. Innymi słowy, jest bardzo mało prawdopodobne, że zmienne są 

nieskorelowane,  a  więc  jest  bardzo  prawdopodobne  że  są  skorelowane.  Dla r

0

= 0,5 

prawdopodobieństwo, że zmienne są nieskorelowane wynosi już 31%. 

Jeżeli  uzyskana  wartość  współczynnika  korelacji  potwierdza  liniową  zależność  między 
danymi pomiarowymi d

wóch  wielkości  fizycznych  x  i  y  to  można  poprowadzić  między 

punktami x

i

  i y

i 

 

prostą najlepiej do nich dopasowaną. Metoda analityczna znajdowania linii 

prostej,  która  najlepiej  pasuje  do  szeregu  punktów  doświadczalnych  nazywa  się  metodą 
regresji liniowej  

lub metodą najmniejszych kwadratów. 

Zasadę tę ilustruje rysunek 2. 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Rys.2. 

Prosta regresji                  i między punktami pomiarowymi [1] 

 

Linię regresji prowadzi się tak, aby suma kwadratów różnic  między (y

1

 a y

’

1

) ….(y

4

 a y

’

4

)…. 

(y

N

 a y

’

N

) 

była minimalna, tzn. szuka się minimum funkcji [1]: 

 

e = ∑ (y

i

− y

i

′

)

2

=

N

i=1

∑ (y

i

− a − bx

i

)

2

= min

N

i=1

   

 

 

 

 

(3) 

Wartości a i b otrzymane przez rozwiązanie układu równań 

𝜕𝑒
𝜕𝑎

= 0  𝑖 

𝜕𝑒
𝜕𝑏

= 0 wynoszą: 

 

b = 

∑

x

i

y

i

−

1

N  

∑

x

i

∑

y

i

N

i=1

N

i=1

N

i=1

∑

x

i

2

N

i=1

−

1

N

�∑

x

i

N

i=1

�

2

   

 

 

 

 

 

 

 

(4) 

a =

∑

y

i

N

i=1

−b ∑

x

i

n

i=1

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5) 

y 

x 

y

’

=a+bx

i 

(x

1

,y

1

) 

(x

1

,y

’

1

) 

(x

4

,y

4

) 

(x

4

,y

’

4

) 

y

’

=a+bx

i 

4 

 

Można wykazać, że średnie arytmetyczne [1]  

x� =

1

N � x

i

N

i=1

  i     y� =

1

N � y

i

N

i=1

 

spełniają równanie: 𝑦� = 𝑎 + 𝑏𝑥̅, wtedy stałe  a i b wyrażaja się równaniami: 

 

b =

∑

(x

i

−x�)(y

i

−y�)

N

i=1

∑

(x

i

−x�)

2

N

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6) 

a = y� − bx�   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7) 

Niepewności standardowe współczynników a i b oraz y

’

 

wyrażają się równaniami: 

 

u

b

= �

∑

(y

i

−y

′

)

2

N

i=1

N−2

 

1

�∑

(x

i

−x�)

2

N

i=1

 

 

 

 

 

 

 

 

(8) 

u

a

= �

∑

(y

i

−y

′

)

2

N

i=1

N−2

 �

1

N

+

x�

2

∑

(x

i

−x�)

2

N

i=1

   

 

 

 

 

 

 

(9) 

u

y

′

= �

∑

(y

i

−y

′

)

2

N

i=1

N−2

 �

1

N

+

(x

0

−x�)

2

∑

(x

i

−x�)

2

N

i=1

   

 

 

 

 

 

 

(10) 

Gdzie:  x

0 

 - 

wartość pomiaru dla którego wyznacza się niepewność np. x

0

 = x

1, 

x

0

 = x

2

 itd.. 

 

3. 

Sposób realizacji ćwiczenia 

Ćwiczenie  wykonuje  się  na  stanowisku  przedstawionymi  na rysunku 2  (zasadę 

pomiaru temperatur za pomocą termoelementów przedstawiono w instrukcji do ćw. 4). Dla 
nastawionych temperatur w piecyku równych odpowiednio: 50

°

C, 100

°

C, 150

°

C, 200

°

C, 

250

°

C, 300

°

C i 350

°

C  odczytać  na  multimetrze  wartość  napięcia  termoelektrycznego  E/mV 

dla spoin odniesienia  umieszonych  w lodzie t

0

=0

°

C i t

0

  równym temperaturze otoczenia,  . 

Zmianę  wartości  temperatur  spoin  odniesienia  otrzymuje  się  poprzez  przestawienie 

przełącznika wg schematu pomiarowego z pozycji 1 na 4. Dla danej temperatury w piecyku 
n

ależy odczytywać również wartości napięcia z woltomierza U

i

.  

Następnie: 
• 

wyznaczyć błąd  systematyczny jako różnice między napięciem termoelektrycznym E

’

  dla 

spoiny odniesienia w otoczeniu 

a  napięciem  termoelektrycznym  E(t

0

=0

°

C) dla spoiny 

odniesienia w 

lodzie; Δ

s

E= E

’

- E(t

0

=0

°

C) 

• 

dla  serii  punktów  pomiarowych,  dla  temperatury  spoiny  odniesienia  w  lodzie  wyznaczyć 

współczynnik korelacji liniowej r  
• 

dla  serii  punktów  pomiarowych,  dla  temperatury  spoiny  odniesienia  w  lodzie  wyznaczyć 

metodą funkcji regresji równanie analityczne charakterystyki E= a+bt  (obliczyć a i b) 
• na tle punktów pomiarowych 

wykreślić otrzymaną charakterystykę 

• 

obliczyć niepewności standardowe współczynników a i b 

• 

dla przykładowego punktów x

0  

np. x

0

 = 100

°

C wyznaczyć 𝑢

𝑦

′

 

, następnie odczytać z tablic 

rzeczywistą wartość napięcia termoelektrycznego dla tej temperatury E

rz

(x

0

) i sprawdzić czy  

E

rz

(x

0

)  <= E(x

0

)±

 𝑢

𝑦

′

(x

0

)  

• dla temperatur t

p

 50

°

C, 100

°

C, 150

°

C, 200

°

C, 250

°

C, 300

°

C i 350

°

C nastawianych na piecyku 

narysować charakterystykę napięcia uzyskanego z przetwornika, mierzonego woltomierzem, 
od temperatury w piecyku tj. U=f(t

p

) 

•  obliczyć  błędy  systematyczne  w  tych  punktach  temperatury  dla  przetwornika  (napięcie 

termoelektryczne/napięcie) w następujący sposób: 

 

5 

 

Schemat stanowiska 

 
 
  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Piecyk Fluke:  zakres temperatur 35°C - 

375°C, rozdzielczość 0,1°C, błąd graniczny: ±0,25°C do temperatury 

100°C, ±0,5°C do temperatury 375°C 

 

Multimetr Th1961: ustawiany zakres 100.

0000  mV,  rozdzielczość  0,1  µV,  błąd  graniczny  w  temperaturze 

23±5°C: ±0,0065%wartości wskazywanej + 0,0045%zakresu 

 

Przetwornik temperatura napięcie dla termoelementu typu K : zakres 0°C/0V- 400°C/10V  
 
Woltomierz:  ustawiany zakres 0- 

10v, rozdzielczość 0,1 V   

Rys.2. Schemat stanowiska pomiarowego 

 

t 

U 

V 

Multimetr typ TH1961  

mV 

Woltomierz 

Piecyk FLUKE  9100S  

  

°C 

  

Przełącznik spoin 

   odniesienia   

Przetwornik  

temperatura/napięcie  
 

1 

4 

3 

2 

t

0

 =0°C 

 

t

0

 >0°C 

 

Termoelement typ K  

S

poi
ny 

odni

es

ie

ni

a 

 

+ 

- 

+ 

- 

6 

 

 

•   z równania  charakterystyki przetwornika (0°C/0V-  400°C/10V  –  charakterystyka 

liniowa) 

t =

400 ∙U

10

 

obliczyć temperaturę t dla napięcia odczytanego z woltomierza U 

• 

Obliczyć błąd systematyczny temperatury Δ

s

t = t − t

p

 

• 

Obliczyć błąd systematyczny względny tzn. 

Δ

s

t

𝑡

𝑝

∙ 100% 

• 

Narysować zależność błędu systematycznego względnego 

Δ

s

t

𝑡

𝑝

 od temperatury w piecyku 

t

p

 

• 

zaznaczyć na wykresie zakres w którym błąd jest mniejszy niż 2% 

 

4.  PYTANIA KONTROLNE 

1.  O czym informuje 

współczynnik korelacji liniowej? 

2.  Co oznacza, ze r= ± 1 i r= 0 
3.  Ogólna zasada wyznaczania funkcji regresji 
4. 

Definicje błędu systematycznego i poprawki 

5. 

Napisać równanie charakterystyki przetwornika którego zakres odpowiada 0°C/0V i 
400°C/10V 

 

5.  LITERATURA 

1. Danuta Turzeniecka: 

Ocena  niepewności  wyniku  pomiaru, Wydawnictwo Politechniki 

Poznańskiej 1977 
2. John.R. Taylor: 

Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 1999 

 

Data wykonania instrukcji: 

18.10.2010