dr Agnieszka Bobrowska 

 

1 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

Wykład 7 

 
Modele optimum ekonomii (gospodarki) 
 
7.1. Ekonomia i jej stany

1

 

Na  rynku  wyst

ę

puj

ą

  dwie  podstawowe  grupy  podmiotów  gospodarczych.  Pierwsz

ą

  z  tych  grup 

stanowi

ą

 producenci, których działanie polega na wyborze i wykonaniu planu produkcji, tj. okre

ś

leniu 

wielko

ś

ci  wej

ś

ciowych  i  wyj

ś

ciowych  dla  ka

Ŝ

dego  asortymentu  towaru.  Zakłada  si

ę

, 

Ŝ

e  działanie 

producenta  podlega  ograniczeniom  i 

Ŝ

e  przy  danym  poziomie  cen  zdecyduje  si

ę

  on  na  taki  plan 

produkcji,  który  pozwoli  zmaksymalizowa

ć

  jego  zysk.  Przez  zysk  producenta  rozumie  si

ę

  ró

Ŝ

nic

ę

 

mi

ę

dzy  sum

ą

  wszystkich  jego  przychodów  i  sum

ą

  poniesionych  przez  niego  wydatków. 

Podsumowuj

ą

c  pod  poj

ę

ciem  producenta  rozumie  si

ę

  podmiot  gospodarczy,  którego  działalno

ść

 

polega na wykonaniu planu produkcji w celu maksymalizacji zysku.  

Drug

ą

  grup

ę

  podmiotów  gospodarczych  stanowi

ą

  konsumenci.  Konsumenci  dokonuj

ą

  wyborów 

towarów,  a  wybrane  przez  nich  towary  maj

ą

  słu

Ŝ

y

ć

  wył

ą

cznie  celom  konsumpcyjnym.  W  przypadku 

konsumentów  mówimy, 

Ŝ

e  dokonuj

ą

  wyboru  planu  konsumpcji.  Nale

Ŝ

y  podkre

ś

li

ć

, 

Ŝ

e  wybory 

konsumenta  s

ą

  ograniczone  przez  jego  własno

ś

ci  psychofizyczne  oraz  przez  jego  bud

Ŝ

et,  nie  mo

Ŝ

e 

on  bowiem  przeznaczy

ć

  na  zakup  towarów  wi

ę

cej  ni

Ŝ

  wynosz

ą

  jago  zasoby  pieni

ęŜ

ne.  Konsument 

dokonuje  wyboru  takiego  planu  konsumpcyjnego,  na  który  przy  danych  ograniczeniach  mo

Ŝ

e  sobie 

pozwoli

ć

 i który w jego przekonaniu jest optymalny ze wzgl

ę

du na skal

ę

 jego preferencji.  

Przyjmuje si

ę

, 

Ŝ

e w gospodarce działa 

n

 producentów i 

m

 konsumentów. Plan produkcyjny j-tego 

producenta (

n

j

,...,

2

,

1

=

) jest reprezentowany przez wektor 

j

y

 przestrzeni towarów 

l

R

 (

l

j

R

y

∈

), 

który  składa  si

ę

  zarówno  z  wektora  wej

ść

  (warto

ś

ci  ujemne)  jak  i  wektora  wyj

ść

  (warto

ś

ci  dodatnie). 

Zbiór  wszystkich  planów  produkcji  mo

Ŝ

liwych  do  osi

ą

gni

ę

cia  ze  wzgl

ę

du  na  dost

ę

pn

ą

  dla  j-tego 

producenta  technologi

ę

  nazywa  si

ę

  jego  zbiorem  produkcji  i  oznacza  przez 

j

Y

.  Punkty  tego  zbioru 

j

j

Y

y

∈

 nazywa si

ę

 poda

Ŝą

 j-tego producenta.  

Plan konsumpcji i-tego konsumenta (

m

i

,...,

2

,

1

=

) opisuje z kolei wektor 

i

x

 z przestrzeni towarów 

l

R

  (

l

i

R

x

∈

),  przy  czym  odwrotnie  ni

Ŝ

  w  przypadku  producenta  jego  warto

ś

ci  dodatnie  interpretuje 

si

ę

  jako  wej

ś

cia,  a  warto

ś

ci  ujemne  jako  wyj

ś

cia.  Zbiór  mo

Ŝ

liwych  do  osi

ą

gni

ę

cia  przez  i  –tego 

konsumenta  planów  konsumpcyjnych  nazywa  si

ę

  jego  zbiorem  konsumpcji  i  oznacza  przez 

i

X

. 

Elementy  tego  zbioru 

i

i

X

x

∈

  nazywa  si

ę

  popytem  i-tego  konsumenta.  Preferencje  i-tego 

konsumenta okre

ś

la si

ę

 przy u

Ŝ

yciu relacji preferencji 

i

~

p

. 

Zanim  wprowadzimy  poj

ę

cie  ekonomii  i  omówimy  stany  ekonomii,  wyja

ś

nimy  czym  s

ą

  zasoby 

całkowite ekonomii. 

 

                                                 

1

 

Wykład  opracowano  na  podstawie  A.  Malawski:  Wprowadzenie  do  ekonomii  matematycznej,  Wydawnictwo 

Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 5 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

2 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

Zasoby  całkowite  ekonomii

  to  ilo

ś

ci  towarów  dane  a  priori,  dost

ę

pne  dla  podmiotów 

gospodarczych  lub  te

Ŝ

  przez  nie  udost

ę

pniane  w  wyniku  prowadzonej  przez  te  podmioty 

działalno

ś

ci.  

 

Aby  odró

Ŝ

ni

ć

  rodzaje  towarów  wyst

ę

puj

ą

cych  na  rynku,  do  wyra

Ŝ

enia  ilo

ś

ci  towarów  danych  do 

dyspozycji  podmiotów  (wej

ś

cia)  u

Ŝ

ywa  si

ę

  dodatnich  liczb  rzeczywistych,  z  kolei  ilo

ś

ci  towarów 

udost

ę

pnianych  przez  te  podmioty  (wyj

ś

cia)  wyra

Ŝ

a  si

ę

  w  liczbach  ujemnych.  Zasoby  całkowite 

obejmuj

ą

  dost

ę

pny  w  danej  chwili  cały  kapitał  ekonomii,  tj.  nieruchomo

ś

ci,  zło

Ŝ

a  surowcowe, 

urz

ą

dzenia, zapasy itp.  

Zasoby całkowite opisuje wektor 

ω

 nale

Ŝą

cy do przestrzeni towarów 

l

R

. 

Zatem  przyjmuj

ą

c, 

Ŝ

e  działania  konsumentów  da  si

ę

  opisa

ć

  za  pomoc

ą

  niepustych  zbiorów 

konsumpcji 

l

i

R

X

⊂

  i  relacji  preferencji 

i

~

p

dla  ka

Ŝ

dego 

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

,  działania  producentów  za 

pomoc

ą

 zbiorów produkcji 

l

j

R

Y

⊂

 (

{

}

n

j

,...

2

,

1

∈

), a zasoby całkowite s

ą

 dane przez punkt 

l

R

∈

ω

, 

mo

Ŝ

emy zdefiniowa

ć

 poj

ę

cie ekonomii: 

 

Układ: 

( )

( )

(

)

ϖ

,

,

,

~

j

i

i

Y

X

E

f

=

 

nazywamy 

ekonomi

ą

.  

 

Stan ekonomii okre

ś

la si

ę

 przez podanie planu działania ka

Ŝ

dego konsumenta oraz planu produkcji 

ka

Ŝ

dego  producenta.  Zatem  stan  ekonomii 

E

  mo

Ŝ

na  opisa

ć

  za  pomoc

ą

 

(

)

n

m

+

-  elementowego 

ci

ą

gu 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

 punktów w przestrzeni towarów 

l

R

. 

Dla okre

ś

lonego stanu 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

 ekonomii 

E

 ró

Ŝ

nic

ę

: 

 

∑

∑

=

=

−

=

−

n

j

j

m

i

i

y

x

y

x

1

1

 

nazywamy 

popytem netto

.  

 

 

 

Uwaga: 

Wektor 

y

x

−

 zawiera zarówno współrz

ę

dne dodatnie oznaczaj

ą

ce wej

ś

cia, jak i warto

ś

ci ujemne 

oznaczaj

ą

ce wyj

ś

cia i przedstawia wynik netto działalno

ś

ci wszystkich podmiotów gospodarczych.  

 

Dla okre

ś

lonego stanu 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

 ekonomii 

E

 punkt: 

ω

−

−

=

y

x

z

; 

l

R

z

∈

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

3 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

nazywamy 

popytem nadwy

Ŝ

kowym

. 

 

Popyt nadwy

Ŝ

kowy opisuje nadwy

Ŝ

k

ę

 popytu netto 

y

x

−

 nad zasobami całkowitymi 

ω

.  

 

Stan 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

  ekonomii 

E

,  dla  którego  popyt  nadwy

Ŝ

kowy  wynosi  zero,  czyli  gdy  popyt  netto 

wszystkich podmiotów gospodarczych równa si

ę

 zasobom całkowitym ekonomii: 

 

ω

=

−

y

x

 

nazywamy 

równowag

ą

 rynkow

ą

. 

 

 

 

Uwaga: 

1.  Dla danej ekonomii 

E

 mo

Ŝ

e istnie

ć

 wi

ę

cej ni

Ŝ

 jeden stan równowagi rynkowej.  

2.  Symbolicznie zbiór wszystkich równowag dla ekonomii 

E

 zapisujemy w postaci zbioru: 

 

( )

( )

(

)













=

−

∈

=

∑

∑

=

=

+

ω

n

j

j

m

i

i

n

m

l

j

i

y

x

R

y

x

M

1

1

)

(

:

,

. 

 

 

7.2. Ekonomia z własno

ś

ci

ą

 prywatn

ą

2

 

W  celu  wyprowadzenie  poj

ę

cia  ekonomii  z  własno

ś

ci

ą

  prywatn

ą

  konieczne  jest  wprowadzenie 

dodatkowych zało

Ŝ

e

ń

 oraz omówienie podstawowych cech tej kategorii. 

W  ekonomii  z  własno

ś

ci

ą

  prywatn

ą

  jedynymi  wła

ś

cicielami  zasobów  całkowitych  s

ą

  konsumenci, 

dzi

ę

ki  czemu  posiadaj

ą

  całkowit

ą

  kontrol

ę

  nad  producentami.  Inaczej  oznacza  to, 

Ŝ

e  i-ty  konsument 

znajduje  si

ę

  w  posiadaniu 

l

i

R

∈

ω

  zasobów  całkowitych 

ω

  oraz 

Ŝ

e  ma  swoje  udziały  w  zyskach 

producentów, przy czym 

∑

=

=

m

i

i

1

ω

ω

.  

Wielko

ść

 

i

ω

 dana jest a priori i okre

ś

la ilo

ś

ci towarów, które s

ą

 do dyspozycji i-tego konsumenta, 

b

ą

d

ź

 które i-ty konsument udost

ę

pnia producentom przez swoj

ą

 działalno

ść

.  

Przez 

ij

θ

  oznacza  si

ę

  udział  i-tego  konsumenta  w  zyskach  j-tego  producenta,  przy  czym 

R

ij

∈

θ

,

0

≥

ij

θ

 

oraz 

∑

=

=

m

i

ij

1

1

θ

  dla  ka

Ŝ

dego 

n

j

,...,

2

,

1

=

.  Pozostałe  zało

Ŝ

enia  o  producentach 

i konsumenta s

ą

 takie jak w poprzednim podrozdziale. 

 

Ekonomi

ą

 z własno

ś

ci

ą

 prywatn

ą

 

E

~

 nazywamy układ: 

                                                 

2

 

Wykład  opracowano  na  podstawie  A.  Malawski:  Wprowadzenie  do  ekonomii  matematycznej,  Wydawnictwo 

Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 5

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

4 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

 

( )

( )

(

)

ij

i

j

i

i

Y

X

E

θ

ω

,

,

,

,

~

~

f

=

, 

o ile: 

1. Układ 

( )

( )

(

)

ϖ

,

,

,

~

j

i

i

Y

X f

, gdzie 

∑

=

=

m

i

i

1

ω

ω

jest ekonomi

ą

 

E

, 

2.  

m

i

,...,

2

,

1

=

∀

,  

n

j

,...,

2

,

1

=

∀

 

(

)

0

≥

ij

θ

 oraz 

n

j

,...,

2

,

1

=

∀

 













=

∑

=

m

i

ij

1

1

θ

. 

 

Kiedy  wiemy  ju

Ŝ

  czym  jest  ekonomia  z  własno

ś

ci

ą

  prywatn

ą

,  mo

Ŝ

emy  przyst

ą

pi

ć

  do  omówienia 

sposobu jej działania.  

Zakładamy, 

Ŝ

e dany jest wska

ź

nik poziomu cen 

l

R

p

∈

 oraz 

Ŝ

e producenci maksymalizuj

ą

 swoje 

zyski    na  zbiorze  produkcji 

{ }

j

j

Y

Y

U

=

,  przy  dost

ę

pnych  dla  siebie  technologiach  produkcji. 

Przyjmijmy, 

Ŝ

e  plan  produkcyjny  maksymalizuj

ą

cy  zyski  j-tego  producenta,  to  plan 

j

j

Y

y

∈

,  a  jego 

wielko

ść

 mierzy si

ę

 funkcj

ą

 zysku: 

 

j

j

y

p

p

,

)

(

=

π

. 

 

Cały zysk j-tego producenta wielko

ś

ci 

)

( p

j

π

, zgodnie z zało

Ŝ

eniami ekonomii z własno

ś

ci

ą

 prywatn

ą

, 

zostaje  podzielony  mi

ę

dzy  konsumentów.  Zatem  warto

ść

  maj

ą

tku  i-tego  konsumenta  wyra

Ŝ

a  si

ę

 

nast

ę

puj

ą

co: 

 

)

(

1

p

p

w

n

j

j

ij

i

i

∑

=

+

=

π

θ

ω

. 

 
Celem  i-tego  konsumenta  jest  maksymalizacja  swoich  preferencji  przy  danym  ograniczeniu 

bud

Ŝ

etowym 

i

w

.  Przyjmijmy, 

Ŝ

e  optymalny  plan  konsumpcji  i-tego  konsumenta  na  zbiorze 

i

X

,  to 

plan 

i

x

.  Ekonomia  z  własno

ś

ci

ą

  prywatn

ą

 

E

~

  znajduje  si

ę

  w  stanie  ogólnej  równowagi 

konkurencyjnej,  je

Ŝ

eli  wszystkie  optymalne  działania  podmiotów  gospodarczych 

j

i

y

x

,

  spełniaj

ą

 

warunek  równowagi  rynkowej.  Oznacza  to, 

Ŝ

e  przy  ustalonym  poziomie  cen 

p

i  działaniach  innych 

uczestników  rynku, 

Ŝ

aden  podmiot  gospodarczy  nie  ma  motywacji  do  zmiany  swojego 

dotychczasowego planu działania, a tak

Ŝ

e, 

Ŝ

e stan ekonomii

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

 to stan równowagi rynkowej.  

Ci

ą

g  punktów 

( ) ( )

(

)

*

*

*

,

,

p

y

x

j

i

  w  przestrzeni  towarów 

l

R

  tworzy 

stan  ogólnej  równowagi 

konkurencyjnej Walrasa

, je

Ŝ

eli spełnione s

ą

 nast

ę

puj

ą

ce warunki: 

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

5 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

(I) 

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

 

*

i

x

  jest  elementem  maksymalnym  ze  wzgl

ę

du  na  relacj

ę

  preferencji 

i

~

f

 

w zbiorze 













+

≤

∈

∑

=

n

j

j

ij

i

i

i

i

y

p

p

x

p

X

x

1

*

*

*

*

:

θ

ω

, 

 

(II) 

{

}

n

j

,...,

2

,

1

∈

∀

*

j

y

 maksymalizuje, ze wzgl

ę

du na cen

ę

 

*

p

, zysk na zbiorze 

j

Y

, 

 

(III) 

∑

∑

∑

=

=

=

=

−

n

j

n

i

i

j

m

i

i

y

x

1

1

*

1

*

ω

. 

 

 

 

Uwagi: 

1.  Dla i-tego konsumenta plan konsumpcji 

*

i

x

 jest konsumpcj

ą

 w stanie równowagi ze wzgl

ę

du na 

wska

ź

nik poziomu cen 

*

p

 oraz ograniczenie bud

Ŝ

etowe 

∑

=

+

=

n

j

j

ij

i

i

y

p

p

w

1

*

*

*

*

θ

ω

. 

2.  Dla  j-tego  producenta  plan  produkcji 

*

j

y

  jest  jego  produkcj

ą

  w  równowadze  ze  wzgl

ę

du  na 

wska

ź

nik 

*

p

. 

3.  Stan równowagi 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

 jest równowag

ą

 rynkow

ą

. 

 

 

7.3. Optimum ekonomii

3

 

 

Problem  optimum  ekonomii  to  problem  optimum  społecznego  w  grupie  podmiotów  tworz

ą

cych  t

ą

 

ekonomi

ę

.  Sprowadza  si

ę

  on  do  udzielenia  odpowiedzi  na  pytanie,  który  z  mo

Ŝ

liwych  stanów 

gospodarki  jest  optymalny  społecznie.  O  ile  w  przypadku  pojedynczych  jednostek,  mo

Ŝ

na  przypisa

ć

 

indywidualne  preferencje  i  wskaza

ć

  optymalny  wybór  ze  wzgl

ę

du  na  te  preferencje,  to  dla  grup 

społecznych, wewn

ą

trz których istnieje konflikt interesów, niemo

Ŝ

liwe jest porównywanie ich wyborów, 

w szczególno

ś

ci nieporównywalne s

ą

 „korzy

ś

ci społeczne”. 

 

Jednym  ze  znanych  w  ekonomii  warunków  optimum  społecznego  jest  warunek  zaproponowany 

przez  V.  Pareto.  Gospodarka  znajduje  si

ę

  w  stanie  optymalnym  w  sensie  Pareto,  je

Ŝ

eli  nie  mo

Ŝ

liwa 

jest poprawa sytuacji któregokolwiek podmiotu bez pogorszenia stanu chocia

Ŝ

 jednego z pozostałych 

podmiotów.  

 

W  niniejszym  wykładzie  wyka

Ŝ

emy, 

Ŝ

e  przy  istniej

ą

cych  cenach  równowagi  i  danych  zasobach, 

w ekonomii  z  własno

ś

ci

ą

  prywatn

ą

  plany  produkcji  maksymalizuj

ą

ce  zyski  producentów  oraz  plany 

konsumpcji maksymalizuj

ą

ce preferencje konsumentów tworz

ą

 optimum Pareto i na odwrót.  

                                                 

3

 

Wykład  opracowano  na  podstawie  A.  Malawski:  Wprowadzenie  do  ekonomii  matematycznej,  Wydawnictwo 

Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 6

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

6 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

 

Niech  dana  jest  ekonomia 

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

j

i

i

Y

X

E

p

=

  oraz  dwa  jej  stany 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

, 

( ) ( )

(

)

'

'

,

j

i

y

x

,  oba 

osi

ą

galne. Zbiór stanów osi

ą

galnych oznaczamy przez 

A

.  

 

Mówimy, 

Ŝ

e  stan 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

  jest  co  najwy

Ŝ

ej  w  takim  stopniu 

społecznie  preferowany

  jak 

stan 

( ) ( )

(

)

'

'

,

j

i

y

x

, je

Ŝ

eli: 

 

'

~

i

i

i

x

x p

 

 

dla ka

Ŝ

dego konsumenta 

m

i

,...,

2

,

1

=

, co zapisujemy: 

 

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

,

~

j

i

j

i

y

x

y

x

p

. 

 

Zdefiniowana powy

Ŝ

ej relacja preferencji społecznej 

2

~

A

⊂

p

 ma nast

ę

puj

ą

ce cechy: 

1.  Jest zwrotna, tzn. dla ka

Ŝ

dego stanu osi

ą

galnego 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

 ekonomii 

E

 zachodzi: 

 

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

j

i

j

i

y

x

y

x

,

,

~

p

, 

 

2.  Jest  przechodnia,  tzn.  dla  ka

Ŝ

dej  trójki  stanów  osi

ą

galnych 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

, 

( )

( )

(

)

'

,

'

j

i

y

x

, 

( )

( )

(

)

'

'

,

''

j

i

y

x

 ekonomii 

E

 zachodzi: 

 

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

''

,

''

,

''

,

''

'

,

'

'

,

'

,

~

~

~

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

p

p

p

⇒

∧

. 

 
3.  Nie jest zupełna, co oznacza, 

Ŝ

e nie ka

Ŝ

de dwa stany osi

ą

galne musz

ą

 by

ć

 porównywalne  

wzgl

ę

dem tej preferencji. 

 

Podobnie jak w przypadku słabej preferencji 

~

p

 znanej z teorii preferencji konsumenta, dla preferencji 

społecznej  mo

Ŝ

na  zdefiniowa

ć

,  w  zbiorze  stanów  osi

ą

galnych 

A

,  relacj

ę

  silnej  preferencji 

p

  oraz 

relacj

ę

 oboj

ę

tno

ś

ci  ~. 

Relacj

ę

 

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

,

j

i

j

i

y

x

y

x

p

 nazywamy 

relacj

ą

 silnej preferencji społecznej

, je

Ŝ

eli: 

 

(

)

'

,...,

2

,

1

~

i

i

i

x

x

m

i

p

=

∀

 oraz 

(

)

'

,...,

2

,

1

i

i

x

x

m

i

p

=

∃

. 

 

Zapis 

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

,

j

i

j

i

y

x

y

x

p

  czytamy:  stan  osi

ą

galny 

( )

( )

(

)

'

,

'

j

i

y

x

  jest  bardziej  preferowany 

społecznie ni

Ŝ

 stan 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

. 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

7 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

Relacj

ę

 

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

~

,

j

i

j

i

y

x

y

x

  nazywamy 

relacj

ą

  oboj

ę

tno

ś

ci

,  a  stany  osi

ą

galne 

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

'

,

'

,

,

j

i

j

i

y

x

y

x

 oboj

ę

tne, je

Ŝ

eli: 

(

)

'

~

,...,

2

,

1

i

i

x

x

m

i

=

∀

 

Po  zdefiniowaniu  relacji  preferencji  społecznej,  mo

Ŝ

emy  zdefiniowa

ć

  optimum  ekonomii 

E

 

rozumiane jako taki stan osi

ą

galny, w porównaniu z którym 

Ŝ

aden stan osi

ą

galny nie jest preferowany.  

Je

Ŝ

eli stan osi

ą

galny 

( )

( )

(

)

j

i

y

x

,

 ekonomii 

E

 jest maksymalnym stanem w zbiorze 

A

 ze wzgl

ę

du 

na relacj

ę

 preferencji 

~

p

, to nazywamy go 

optimum ekonomii 

E

. 

Optimum  ekonomii  oznacza, 

Ŝ

e  lepsze  zaspokojenie  potrzeb  chocia

Ŝ

  jednego  konsumenta  jest 

mo

Ŝ

liwe jedynie kosztem pogorszenia sytuacji innego.  

W  tym  momencie  pojawia  si

ę

  pytanie  czy  dana  ekonomia 

E

  ma  optimum,  a  je

Ŝ

eli  ma  to  kiedy? 

Problem istnienia optimum ekonomii rozstrzyga twierdzenie 7.1. 

 

Twierdzenie 7.1. 

Je

Ŝ

eli spełnione s

ą

 nast

ę

puj

ą

ce warunki: 

 

(I)

{

}

i

X

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

  jest  zbiorem  domkni

ę

tym,  spójnym  i  ograniczonym  z  dołu  przez 

relacj

ę

 

≤

, 

(II) Relacja preferencji  

i

~

p

 jest domkni

ę

ta w 

i

X

, 

(III) 

Y

 jest zbiorem domkni

ę

tym, wypukłym i spełnia zało

Ŝ

enie 

{ }

0

=

∩

+

l

R

Y

, 

(IV) 

Y

X

−

∈

ω

 , 

 

wówczas ekonomia 

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

j

i

i

Y

X

E

p

=

 ma optimum.  

 

(Dowód  twierdzenia  7.1  w  ksi

ąŜ

ce:  A.  Malawski,  „Wprowadzenie  do  ekonomii  matematycznej”,  AE 

w Krakowie, 1999,str. 103) 

 

 

7.4. Optimum społeczne a równowaga w warunkach konkurencji

4

 

 

Poj

ę

cie  optimum  społecznego  ró

Ŝ

ni  si

ę

  od  omówionego  wcze

ś

niej  poj

ę

cia  ogólnej  równowagi 

konkurencyjnej  przede  wszystkim  tym, 

Ŝ

e  w  pierwszym  z  nich  nie  wyst

ę

puj

ą

  ceny  jako  składnik 

poj

ę

cia równowagi. Aby pokaza

ć

 jakie zale

Ŝ

no

ś

ci wyst

ę

puj

ą

 pomi

ę

dzy tymi kategoriami wprowadzimy 

poj

ę

cie równowagi ze wzgl

ę

du na poziom cen.  

                                                 

4

 

Wykład  opracowano  na  podstawie  A.  Malawski:  Wprowadzenie  do  ekonomii  matematycznej,  Wydawnictwo 

Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 1999, rozdział 6

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

8 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

 

Niech dany b

ę

dzie wska

ź

nik poziomu cen 

l

R

p

∈

 i ekonomia 

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

i

i

i

Y

X

E

p

=

. 

 

Stan 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

 ekonomii 

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

i

i

i

Y

X

E

p

=

 nazywamy 

stanem równowagi ze wzgl

ę

du na 

wska

ź

nik poziomu cen 

l

R

p

∈

, je

Ŝ

eli : 

 

(I) 

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

 

*

i

x

  jest  elementem  maksymalnym  w  zbiorze  ogranicze

ń

  bud

Ŝ

etowych 

{

}

*

:

i

i

i

i

px

px

X

x

≤

∈

 ze wzgl

ę

du na relacj

ę

 preferencji 

i

~

p

, 

 

(II) 

{

}

n

j

,...,

2

,

1

∈

∀

 

*

j

y

 maksymalizuje zysk 

j

py

 na zbiorze produkcji 

j

Y

, 

 

(III) 

∑

∑

=

=

=

−

n

j

j

m

i

i

y

x

1

*

1

*

ω

. 

 

 

 

Uwaga: 

1.  Warunek  (I)  oznacza,  i

Ŝ

  plan  konsumpcji 

*

i

x

  dla  i-tego  konsumenta  jest  konsumpcj

ą

  w  stanie 

równowagi ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik poziomu cen 

p

. 

2.  Warunek (II) mówi natomiast, 

Ŝ

e dla j-tego producenta 

*

j

y

 jest planem produkcji w równowadze 

ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik poziomu cen 

p

. 

3.  Ostatni  warunek  definicji  stanu  równowagi  ze  wzgl

ę

du  na  wska

ź

nik  poziomu  cen  oznacza, 

Ŝ

e 

stan 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

 jest równowag

ą

 rynkow

ą

. 

 

Łatwo mo

Ŝ

na wykaza

ć

, 

Ŝ

e poj

ę

cie stanu równowagi ze wzgl

ę

du na dany wska

ź

nik poziomu cen dla 

ekonomii 

E

 i poj

ę

cie stanu równowagi ekonomii z własno

ś

ci

ą

 prywatn

ą

 s

ą

 równowa

Ŝ

ne.  

Załó

Ŝ

my, 

Ŝ

e  stan  równowagi 

( ) ( )

(

)

*

*

*

,

,

p

y

x

j

i

  jest  stanem  równowagi  ekonomii  z  własno

ś

ci

ą

 

prywatn

ą

. Wówczas stan 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

 jest stanem równowagi odpowiedniej ekonomii 

E

 ze wzgl

ę

du na 

wska

ź

nik poziomu cen 

*

p

 bez wyszczególnienia zasobów 

i

ω

 oraz udziałów 

ij

θ

 danych w ekonomii 

z własno

ś

ci

ą

 prywatn

ą

. 

Zało

Ŝ

ymy  teraz  z  kolei, 

Ŝ

e  stan 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

  jest  stanem  równowagi  ze  wzgl

ę

du  na  wska

ź

nik 

poziomu  cen 

*

p

  dla  ekonomii 

E

.  Je

Ŝ

eli  przypiszemy  i-temu  konsumentowi 

∑

=

−

=

n

j

j

i

i

y

m

x

1

*

*

1

ω

 

zasobów oraz równe udziały  w  zyskach producentów 

m

ij

1

=

θ

 , wówczas mo

Ŝ

na sprawdzi

ć

, 

Ŝ

e stan 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

9 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

( ) ( )

(

)

*

*

*

,

,

p

y

x

j

i

  jest  stanem  równowagi  ekonomii  z  własno

ś

ci

ą

  prywatn

ą

  otrzyman

ą

  z  ekonomii 

E

 

poprzez wyszczególnienie zasobów 

i

ω

 i udziałów 

ij

θ

. 

 

Wniosek: 

Stan 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

  jest  dla  ekonomii 

E

  stanem  równowagi  przy  poziomie  cen 

*

p

  wtedy  i  tylko 

wtedy,  gdy 

( ) ( )

(

)

*

*

*

,

,

p

y

x

j

i

  jest  stanem  równowagi  ekonomii  z  własno

ś

ci

ą

  prywatn

ą

  wyprowadzon

ą

 

z ekonomii 

E

 poprzez wyszczególnienie dla i-tego konsumenta zasobów 

i

ω

 i udziałów 

ij

θ

. 

 

Poj

ę

cie  stanu  równowagi  ze  wzgl

ę

du  na  wska

ź

nik  poziomu  cen  jest  o  tyle  wygodne, 

Ŝ

e  nie 

wymaga w ekonomii wyszczególnienia poj

ęć

 zasobów i udziałów konsumentów.  

W  nast

ę

pnej  kolejno

ś

ci  podamy  warunki,  przy  których  poj

ę

cia  optimum  społecznego  i  równowagi 

ze wzgl

ę

du na wska

ź

nik poziomu cen s

ą

 równowa

Ŝ

ne. 

W tym celu rozwa

Ŝ

ymy ekonomi

ę

 

E

, a w niej wyszczególnimy zbiór tych planów konsumpcji, które 

i-ty  konsument  preferuje  co  najmniej  tak  jak  plan 

i

i

X

x

∈

*

;  zbiór  ten  zapisujemy  w  nast

ę

puj

ą

cy 

sposób: 

 

{

}

*

~

:

*

i

i

i

i

i

x

i

x

x

X

x

X

i

f

∈

=

. 

 

Twierdzenie 7.2. 

Niech 

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

i

i

i

Y

X

E

p

=

 b

ę

dzie ekonomia tak

ą

, 

Ŝ

e: 

 

(I) 

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

 

i

X

 jest zbiorem wypukłym, 

(II) 

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

 relacja preferencji 

i

~

p

 jest wypukła. 

 

Wówczas  stan  równowagi 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

  przy  poziomie  cen 

p

  jest  optimum,  o  ile  plan  konsumpcji 

*

i

x

 

nie jest konsumpcj

ą

 nasycon

ą

 (konsumenci znajduj

ą

 si

ę

 w sytuacji niedosytu). 

 

W tym miejscu zaleca si

ę

 studentowi takich poj

ęć

 jak zbiór wypukły i wypukła relacja preferencji.  

Twierdzenie  7.2.  podaje  warunki,  przy  których  stan  równowagi 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

  ze  wzgl

ę

du  na  wska

ź

nik 

poziomu cen 

p

dla ekonomii 

E

 jest optimum społecznym. 

Podamy  teraz  kolejne  twierdzenie,  które  dyktuje  jakie  warunki  musi  spełnia

ć

  ekonomia 

E

,  aby  dla 

danego optimum społecznego 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

 istniał taki poziom cen 

0

≠

p

, dla którego stan 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

 

jest stanem równowagi ze wzgl

ę

du na dany wska

ź

nik poziomu cen.  

 

 
 

 

dr Agnieszka Bobrowska 

 

10 

Ekonomia matematyczna II 

 
  

Twierdzenie 7.3. 

Niech 

( )

( )

(

)

ω

,

,

,

~

i

i

i

Y

X

E

p

=

 b

ę

dzie taka ekonomi

ą

, 

Ŝ

e: 

 

(I)  

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

 

i

X

 jest zbiorem wypukłym, 

(II)  

{

}

m

i

,...,

2

,

1

∈

∀

relacja preferencji 

i

~

p

 jest domkni

ę

ta i wypukła, 

(III) 

Y

 jest zbiorem wypukłym. 

 

Wówczas dla optimum 

( ) ( )

(

)

*

*

,

j

i

y

x

, gdzie pewne 

*

i

x

 nie jest konsumpcj

ą

 nasycon

ą

, istnieje poziom 

cen 

0

≠

p

  taki, 

Ŝ

e: 

*

i

x

  minimalizuje 

i

px

  na  zbiorze 

{

}

*

~

:

*

i

i

i

i

i

x

i

x

x

X

x

X

i

f

∈

=

  dla  ka

Ŝ

dego 

m

i

,...,

2

,

1

=

 oraz 

*

i

y

 maksymalizuje 

j

py

 na zbiorze 

j

Y

 dla ka

Ŝ

dego 

n

j

,...,

2

,

1

=

. 

 

(Dowód  twierdzenia  7.2.  i  twierdzenia  7.3.  w  ksi

ąŜ

ce:  A.  Malawski,  „Wprowadzenie  do  ekonomii 

matematycznej”, AE w Krakowie, 1999,str. 105-107). 

 

 

Podsumowanie: 

1.  Modele  systemu  ekonomicznego,  jego  równowagi  oraz  stanu  optymalnego  stanowi

ą

  swego 

rodzaju  podsumowanie  modeli  teoriomnogo

ś

ciowych  i  liniowych  zaproponowane  przez 

G. Debreu. 

2.  W  modelach  tych  zakłada  si

ę

  liniowo

ść

  funkcji  produkcji  i  funkcji  popytu  oraz  doskonałe 

działanie mechanizmu rynkowego.  

3.  Przedstawione modele po pierwsze pozwalaj

ą

 wyznaczy

ć

 stan równowagi konkurencyjnej (typu 

Walrasa) w uj

ę

ciu makroekonomicznym. 

4.  Na  postawie  modelu  ekonomii  z  własno

ś

ci

ą

  prywatna  mo

Ŝ

liwe  jest  okre

ś

lenie  udziału 

konsumentów-wła

ś

cicieli czynników wytwórczych w zyskach w zyskach producentów. 

5.  Model  optimum  ekonomii  stanowi  sformalizowane  i  uogólnione  uj

ę

cie  optimum  Pareto 

z zało

Ŝ

eniem, 

Ŝ

e mo

Ŝ

liwe jest ustalenie optimum społecznej u

Ŝ

yteczno

ś

ci.  

 

 

Pytania kontrolne: 

1.  Scharakteryzuj model opisuj

ą

cy stany ekonomii (gospodarki). 

2.  Jak definiujemy stan równowagi ekonomii? 

3.  Z jakich elementów składa si

ę

 model ekonomii z własno

ś

ci

ą

 prywatn

ą

?  

4.  Opisz warunki istnienia stanu równowagi ekonomii z własno

ś

ci

ą

 prywatn

ą

? 

5.  Zdefiniuj  i  zinterpretuj  popyt  netto  i  popyt  nadwy

Ŝ

kowy  w  modelu  ekonomii  z  własno

ś

ci

ą

 

prywatn

ą

.  

6.  Kiedy gospodarka znajduje si

ę

 w sytuacji optimum Pareto?